Was sind und was sollen die Zahlen?

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genügt. Durch vollständige Induktion (80) ergibt sich zunächst, daß
i\) n eine ähnliche Abbildung von Z n in 2 ist; denn
Q. dies ist zufolge II wahr für n = 1, und
6. wenn diese Behauptung für eine Zahl n zutrifft, so folgt
aus III und aus der Art des oben beschriebenen Überganges 0 von ß
zu y, daß die Behauptung auch für die folgende Zahl ri gilt, w. z. b. w.
Hierauf beweisen wir ebenfalls durch vollständige Induktion (80),
daß, wenn ra irgendeine Zahl ist, die oben angekündigte Eigenschaft
wirklich allen Zahlen n zukommt, welche ra sind, also nach 93,
74 der Kette ra 0 angehören; in der Tat,
q. dies leuchtet unmittelbar ein für n — m, und
6. wenn diese Eigenschaft einer Zahl n zukommt, so folgt wieder
aus III und der Beschaffenheit von ö, daß sie auch der Zahl ri zukommt,
w. z. b. w. Nachdem auch diese besondere Eigenschaft unserer
neuen Reihe von Abbildungen festgestellt ist, können wir unseren
Satz leicht beweisen. Wir definieren eine Abbildung i der Zahlenreihe
A T , indem wir jeder Zahl n das Bild i (ri) — i\) n (ri) entsprechen
lassen; offenbar sind (nach 21) alle Abbildungen ip n in dieser einen
Abbildung i enthalten. Da i\> n eine Abbildung von Z n in 2 war, so
folgt zunächst, daß die Zahlenreihe N durch i ebenfalls in 2 abgebildet
wird, also i (N) 3 2 ist. Sind ferner ra, n verschiedene
Zahlen, so darf man der Symmetrie wegen nach 90 annehmen, es
sei ra m (m) = t^„(ra)
und i(ri) = 4> n (ri); da aber ty n eine ähnliche Abbildung von Z n in 2
war, und ra, n verschiedene Elemente von Z n sind, so ist i> n (m)
verschieden von tn( n ), also auch i (ra) verschieden von
d. h. i ist eine ähnliche Abbildung von N. Da ferner N ein unendliches
System ist (71), so gilt nach 67 dasselbe von dem ihm
ähnlichen System %(N) und nach 68, weil %(N) Teil von 2 ist,
auch von w. z. b. w.
160. Satz. Ein System 2 ist endlich oder unendlich, je nachdem
es ein ihm ähnliches System Z n gibt oder nicht gibt.
Beweis. Wenn 2 endlich ist, so gibt es nach 159 Systeme Z n ,
welche nicht ähnlich abbildbar in 2 sind; da nach 102 das System Z r
aus der einzigen Zahl 1 besteht und folglich in jedem System ähnlich
abbildbar ist, so muß die kleinste Zahl JE (96), der ein in 2 nicht
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