Was sind und was sollen die Zahlen?

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allgemeine Gültigkeit auch für jedes andere durch eine Abbildung f)
geordnete einfach unendliche System £i und dessen P^lemente v besitzt,
und daß die Übertragung von N auf ü (z. B. auch die Übersetzung
eines arithmetischen Satzes aus einer Sprache in eine andere) durch
die in 132, 133 betrachtete Abbildung ip geschieht, welche jedes
Element n von N in ein Element v von £l, nämlich in verwandelt.
Dieses Element v kann man das n-te Element von Sl nennen,
und hiernach ist die Zahl n selbst die n-te Zahl der Zahlenreihe N.
Dieselbe Bedeutung, welche die Abbildung cp für die Gesetze im Gebiete
N besitzt, insofern jedem Elemente n ein bestimmtes Element
cp (n) = n' folgt, kommt nach der durch ty bewirkten Verwandlung
der Abbildung 0 zu .für dieselben Gesetze im Gebiete insofern dem
durch Verwandlung von n entstandenen Elemente v — 4>(n) das
durch Verwandlung von n' entstandene Element 6 (v) = ip(n') folgt;
man kann daher mit Recht sagen, daß cp durch ^ in 0 verwandelt
wird, was sich symbolisch durch 6 = f cp ip, cp = ty 6 ip ausdrückt.
Durch diese Bemerkungen wird, wie ich glaube, die in 73 aufgestellte
Erklärung des Begriffes der Zahlen vollständig gerechtfertigt. Wir
gehen nun zu ferneren Anwendungen des Satzes 126 über.
§11.
Addition der Zahlen.
135. Erklärung. Es liegt nahe, die im Satze 126 dargestellte
Definition einer Abbildung -tp der Zahlenreihe N oder der durch dieselbe
bestimmten Funktion n) auf den Fall anzuwenden, wo das
dort mit Sl bezeichnete System, in welchem das Bild ip (N) enthalten
sein soll, die Zahlenreihe N selbst ist, weil für dieses System Sl
schon eine Abbildung 0 von Si in sich selbst vorliegt, nämlich diejenige
Abbildung cp, durch welche N als einfach unendliches System
geordnet ist (71, 73). Dann wird also & = N, 6 (n) = cp (n) == n\
mithin
I. il>(N)*N,
und es bleibt, um tp vollständig zu bestimmen, nur noch übrig, das
Element co aus ß, d. h. aus N nach Belieben zu wählen. Nehmen
wir co = 1, so wird ip offenbar die identische Abbildung (21) von N,
weil den Bedingungen
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