Was sind und was sollen die Zahlen?

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Beweis. Ist n in m 0 enthalten, also nach 74 auch w 0 3m 0 , so
kann m nicht in der Kette n 0 enthalten sein (weil sonst nach 74
auch ra 0 3w 0 , also m 0 — n 0 , mithin nach 84 auch m — n wäre),
und hieraus folgt nach 85, daß ist. Im entgegengesetzten
Falle, wenn n nicht in der Kette m 0 enthalten ist, muß (nach 85)
ra 0 3 n' 0 sein, w. z. b. w.
89. Erklärung. Die Zahl m heißt kleiner als die Zahl w,
und zugleich heißt n größer als w, in Zeichen
wenn die Bedingung
erfüllt ist, welche nach 74 auch durch
- '""U
ausgedrückt werden kann.
90. Satz. Sind m, n irgendwelche Zahlen, so findet immer
einer und nur einer der folgenden Fälle A, ft, v statt:
Beweis. Denn wenn A stattfindet (84), so kann weder fi
noch v eintreten, weil nach 83 niemals ist. Wenn aber
nicht stattfindet, so tritt nach 88 einer und nur einer der Fälle (u, v
ein, w. z. b. w.
91. Satz. Es ist
Beweis. Denn die Bedingung für den Fall v in 90 wird durch
m = n erfüllt.
92. Erklärung. Um auszudrücken, daß m entweder = n
oder «< w, also nicht >> n ist (90), bedient man sich der Bezeichnung
und man sagt, m sei höchstens gleich n, und n sei mindestens
gleich m.
93. Satz. Jede der Bedingungen
ist gleichwertig mit jeder der anderen.
Beweis. Denn wenn , so folgt aus A, jti in 90 immer
, weil (nach 76) ist. Umgekehrt, wenn also
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