Mitschrift

Analysis 2
VL Griewank
Mitschrift
M. Kerber
26. Juni 2013
1

Inhaltsverzeichnis
I VL am 8.4.13 8
1 Integration 8
1.1 Bestimmtes Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.1 Def bestimmtes Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.2 Def Treppenfunktion/stückweise Konstant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.3 Bemerkung Menge aller Treppenfktn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.4 Def Integral über Treppenfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.5 Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
II VL am 10.4.13 12
1.1.6 Bem Dirichletfkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.7 Def Normiertheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.8 Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
III VL am 15.4.13 16
1.1.9 Bemerkung Gegenbeispiel normierter Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.1.10 Def Banachraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.1.11 Warnung!!!!!!!! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.1.12 Erinnerung Cauchyfolge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.1.13 Def abgeschlossener Unterraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.1.14 Satz Abgeschlossenheit von B [a, b] und T [a, b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.1.15 Satz Grenzwert, wenn Regelfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.1.16 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
IV VL am 17.4.13 20
1.1.17 Def gleichgradige Konvergenz von Funktionenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.1.18 Lemma Gleichgradige Konvergenz⇒punktweise Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.1.19 Bem Verhältnis punktweise zu gleichmäÿiger Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.1.20 Lemma Erweiterung linearer Funktionenabschlüsse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.1.21 Korollar Cauchyintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2

V VL 22.4.13 23
1.1.22 Bemerkung Funktional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.1.23 Def Riemannsumme und Feinheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.1.24 Lemma Integraleigenschaften von S(f, Z, z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.1.25 Satz Konvergenz von Riemannsummen gegen das Cauchyintegral . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.1.26 Def Untersumme und Obersumme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.1.27 Korollar Beziehung der Summen zum Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
VI VL am 24.4.13 27
1.1.28 Def Riemannintegrierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.1.29 Satz linearer Unterraum aus riemannintegrierbaren Fktnen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.1.30 Def . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.2 Mittelwertsatz und Hauptsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.2.1 Mittelwertsatz der Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.2.2 Kor verallgemeinerter Mittelwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.2.3 Bem Integration Dierentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.2.4 Hauptsatz der Dierential- und Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
VII VL 29.4.13 32
1.2.5 Bemerkung Stammfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.2.6 Korollar Eigenschaften der Stammfkt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.2.7 Tabelle von Stammfunktionen (Antiderivative) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.2.8 WARNUNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.3 Partielle Integration und Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.3.1 Herleitung part. Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.3.2 Bem Nutzen von part. Int. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.3.3 lineare Substitutionsregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
VIII VL am 6.5.13 36
1.3.4 Umkehrung der Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.3.5 Bemerkung Leibnitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.3.6 Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.3.7 BemerkungFaktorisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.3.8 Schrittweise Anwendung der Substitutionsregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.4 Integration rationaler Zahlen (oder wie Griewank schreibt: Integrationaler Funktionen) . . . . . . . 38
1.4.1 Def rationale Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.4.2 Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.4.3 Elementare Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3

IX VL am 8.5.13 41
1.4.4 Satz Paritalbruchzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.4.5 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.4.6 Merke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.4.7 Abschlussbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.5 Anwendungen der Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.5.1 letze Anwendung: Riemannsches Integralkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.5.2 Kosequenz verallg. harmon. Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
X VL 13.5.13 47
2 Metrische Räume (Verallgemeinerung von Banach) 47
2.0.3 Überblick über metrische Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.0.4 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.1 Denitionen und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.1.1 Denition metrischer Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.1.2 Def Skalarproduktraum/Prä-Hilbert-Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.1.3 Bem komplexe Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.1.4 Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.1.5 Verallgemeinerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.1.6 Lemma Young- und Hölderungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
XI VL am 15.5.13 51
2.1.7 Lemma Monotonie der p-Norm bzgl. p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.1.8 Bem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.1.9 Satz Minkowskiungleichung, ∆−Ungleichung für ‖ · ‖ p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.1.10 Korollar Folgen aus Satz 2.1.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.1.11 Lemma normierter Raum von Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.1.12 Denition Äquivalenz von Normen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.1.13 Satz Normäquivalenz auf R n und l n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
XII VL 22.5.13 56
2.1.14 Satz Äquivalenz von Normen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.2 Konvergenz und Vollständigkeit in metrischen Räumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.2.1 Def Konvergenz, Cauchy, Vollständigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.2.2 Bem Identität vom von Konvergenz und Vollständigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4

2.2.3 Satz Produkt metrischer Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.2.4 Kor Vollständigkeit von R n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.2.5 Satz Vollständigkeit von Folgenräumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.2.6 Def oene und abgeschlossene Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.2.7 Lemma Schnitte und Vereinigungen von oenen/geschlossenen Mengen . . . . . . . . . . . . 58
2.2.8 Def . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
XIII Ergänzungen aus der Ü Bosse 22.5.13 59
2.2.9 Def Randpunkt und Rand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
XIV VL am 27.5.13 61
2.2.10 Bemerkung leere Menge; geschlossen, wenn Komplement oen etc. . . . . . . . . . . . . . . 61
2.2.11 Lemma oen und geschlossen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.2.12 Lemma Beziehung inneres, Abschluss und Rand zu Vereinigung und Schnitt . . . . . . . . . 62
2.2.13 Def dicht und separabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.2.14 Lemma Charakterisierung von Konvergenz durch Umgebungen . . . . . . . . . . . . . . . . 63
XV VL am 29.5.13 64
XVI VL am 3.6.13 65
3 Stetigkeit und Banach 65
3.0.15 Bemerkung Erhaltung von Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.0.16 Kontraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.0.17 Bemerkung BFT nützlich bei Beweisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.0.18 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.0.19 Denition Kompakte Menge, beschränkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.0.20 Bem Überdeckungskompaktheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.0.21 Lemma Abgeschlossen- und Beschränktheit von Kompakten Mengen . . . . . . . . . . . . . 67
3.0.22 Satz Vererbung und Kompaktheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.0.23 Kor Weierstraÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.0.24 Def Wegzusammenhängend, konvex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.0.25 Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
XVII VL am 5.6.13 70
3.0.26 Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.0.27 Bem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5

4 Dierentialrechnung in mehreren Variablen 70
4.0.28 Def Linearität, Anität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.0.29 SatzL(X, Y ) ist Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.0.30 Bem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.0.31 Def totale Dierenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.0.32 Bem reeller und mehrdim Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.0.33 Def Landausymbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.0.34 Lemma Rechenregeln für Landausymbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.0.35 Bem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
XVIII VL 10.6.13 75
XIX VL 12.6.13 76
4.0.36 Def Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.0.37 Bem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.0.38 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.0.39 Def stetig dierenzierbar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.1 Eigenschaften dibarer Fktnen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.1.1 Satz Mittelwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.1.2 Kor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.1.3 Satz Charakterisierung konstanter Fktnen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.1.4 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
XX VL am 17.6.13 82
4.1.5 Satz partielle Ableitung stetig, dann total stetig dibar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.1.6 Bem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.1.7 Satz Mittelwertsatz, Klappe die 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.1.8 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.1.9 Verallgemeinerung auf Vektorfktnen. f : R n → R n mit m > 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.1.10 Def Jacobimatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.1.11 Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.1.12 Satz Schrankensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.1.13 Bem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.1.14 Kor C 1 Eigenschaft auf kompakter Menge impliziert Lipschitzstetigkeit. . . . . . . . . . . . 85
4.1.15 Bem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.1.16 Bem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6

XXI VL am 19.6.13 86
5 Umkehrfunktion, Gleichungen und implizites Funktionentheorem 86
5.0.17 Merke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.0.18 Allg. Voraussetzung für Theorie und Algorithmik
∇f(x 0 ) = ( ∂f i
) j=1,...,n
i=1,..,n
∂x ∈ Rn×n
j
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.1 Gleichungslösung und vereinfachtes Nwetonverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
XXII VL am 24.6.13 90
5.1.1 lokale Konvergenz des vereinfachten Newtonverfahrens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.1.2 Bezeichnung Residuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.1.3 Kor Existenz und Dibarkeit der Umkehrfkt. F −1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.1.4 Bem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
XXIII VL am 26.6.13 94
5.1.5 Bem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.1.6 Konsequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.1.7 Satz Implizites Funktionentheorem (IFT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.1.8 Facts of Life of Lineare Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.1.9 Bem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7

Teil I
VL am 8.4.13
1 Integration
1.1 Bestimmtes Integral
Motivation: Berechnung von Flächen und Volumina...................
Vorgehensweise:
• Stellen bestimmte Anforderungen an den Integraloperator
• zeigen anschlieÿend, dass diese durch Riemannintegral erfüllt sind
• gelten auch für das das allgemeinere Lebesqueintegral (dazu Maÿtheorie, hier nicht machbar)
8

1.1.1 Def bestimmtes Integral
Eine reellwertige Operation
für
ˆb
a
f(x) dx
f : [a, b] → R
d.h. man integriert die Fkt. f über Intervall [a, b], heiÿt bestimmtes Integral, falls folgende Bedingungen erfüllt
sind:
1. Linearität:
für α, β ∈ R gilt:
ˆb
2. Monotonie
Falls f(x) ≤ g(x) für x ∈ [a, b] gilt:
3.
a
ˆb
[αf(x) + βg(x)] dx = α
ˆb
a
f(x)dx ≤
a
ˆb
a
ˆb
f(x)dx + β
g(x)dx
• Umkehrung (f ′ ≤ g ′ ⇒ f ≤ g) gilt so nicht, da beliebige Konstante zu f aufaddiert werden kann.
Allerdings Konsequenz aus Hauptsatz, wenn f(a) = g(a)
ˆb
a
1dx = b − a und
∣
ˆb
a
f(x)dx
∣ ≤
ˆb
a
a
g(x)
|f(x)| ≤ (b − a)‖f‖ ∞
wobei ‖f‖ ∞ = sup {|f(x)| : a ≤ x ≤ b} eine Norm auf der Menge der Funktionen ist
4. Additivität bzgl. Integrationsintervall
• hier wäre ihr Bild gewesen
ˆb
a
f(x)dx =
ˆd
a
ˆb
f(x)dx +
d
f(x)dx
• Dozent malt ein Bild an die Tafel, bei der die Fläche unter der Kurve als Integral markiert wird.
9

1.1.2 Def Treppenfunktion/stückweise Konstant
Eine Funktion
f : [a, b] → R
heiÿt Treppenfunktion oder äquivalenterweise stückweise konstant, falls es eine Zerlegung
mit
gibt, so dass
Z = (a = x 0 , x 1 , . . . , x n−1 , x n = b)
x i < x i+1
x ∈ (x i , x i+1 ) ⇒ f(x)c i+1 ∈ R
Mit anderen Worten f nimmt nur die Werte c i+1 für i = 0 . . . n + 1in den oenen Intervallen (x i , x i+1 )an. Die
Werte von f an Zwischenstellen sind entweder f(x i ) = c i oder f(x i ) = c i+1
• Bild
• n + 1 Stützstellen x i für i = 0 . . . n,
• n Intervalle [x i−1 , x i ] für i = 1, . . . , n
• Werte c i für i = 1, . . . , n
1.1.3 Bemerkung Menge aller Treppenfktn
Die Menge aller Treppenfunktionen auf [a, b] bezeichnen wir mit
T [a, b]
Sie ist überabzählbar unendlich
1.1.4 Def Integral über Treppenfunktion
Für beliebiges f ∈ T [a, b] wird Integral deniert durch:
ˆb
a
f(x)dx =
⎛
n∑
n∑
c i (x i − x i−1 ) ⎝=
ˆx i
i=1
i=1
i=1
x i−1
x i−1
f(x)dx =
n∑
ˆx i
⎞
c i dx⎠
1.1.5 Lemma
Das nach Denition 1.1.4 auf T [a, b] denierte Integral ist 1dtg. deniert und erfüllt alle in Def 1.1.1 geforderten
Eigenschaften. Hierbei nutzt man die Vektorraumstruktur von T [a, b]
Bew
1. Vektorraum
10

• Zunächst zu zeigen, dass für f, g ∈ T [a, b] auch αf + βg ∈ T [a, b] , da sonst die Eigenschaften gar nicht
def. sind.
• f ∈ T [a, b] ⇒ αf ∈ T [a, b] für selbe Zerlegung Z und c i ersetzt durch αc i
• Bild2
• ˜f = 2 3 f gegeben durch ˜c i = 2 3 c i für i = 1, . . . , n
• betrachte Summe ˆf = f + ˜f und f, ˜f ∈ T [a, b]
• ⇒ αf ∈ T [a, b] und entsprechenden Zerlegungen Z = (x 0 , . . . , x n ) und ˜Z = (x 0 = a, ˜x 1 . . . , ˜xñ, b)
• die Zahl der Stützstellen, hier n und ñ können unterschiedlich sein.
für die Summenfunktion ˆf betrachten die Zerlegung
Ẑ = Z ∪ ˜Z = (a = ˆx 0 < ˆx 1 < . . . < ˆxˆn = b) mit ˆn ≤ n + ñ − 2
• im Allgemeinen stimmen nur x 0 = ˜x 0 und x n = ˜xñ überein. Jedes ˆx k ist entweder ein x i oder ein x j ,
wobei die ˆx k nach Gröÿe geordnet werden müssen.
• um zu zeigen, dass ˆf ∈ T [a, b], betrachte
für ˆx k−1 < x < ˆx k
• Bild3
ˆx k−1 = x i−1 < ˆx k = ˜x j
ˆf = f + ˜f = c i + ˜c j
• mit Hilfe dieser einfachen Konstruktion erhalten wir (?) Treppendarstellungen von ˆf auf Ẑ = Z ∪ ˜Z
• damit wurde gezeigt, dass T [a, b] ein linearere Vektooraum ist, d.h. Summen und Vielfache seiner
Elemente enthält.
2. Beweis der 1dtgkeit wie folgt:
Wenn man
die beiden
Treppenfktn
addiert, dann
sind die Randpunkte
doppelt
enthalten,
weshalb sie
wieder abgezogen
werden
müssen⇒ −2
Weil auch
Kante auf
Kante treen
kann⇒< n + ñ
• betrachten f ∈ T [a, b] mit 2 verschiedenen Zerlegungen Z und ˜Z. Dann ist f auch auf Ẑ = Z ∪ ˜Z stückweise
Konstant und es lässt sich leicht nachprüfen, dass für entsprechende Integrale gilt:
n∑
c i (x i − x i−1 ) =
i=1
ˆn∑
k=1
c k (x k − x k−1 ) =
ñ∑
c j (x j − x j−1 ) =
• mit anderen Worten: Integral hat für alle Zerlegungen von f den selben Wert
j=1
ˆb
a
f(x)dx
11

Teil II
VL am 10.4.13
Fortsetzung des Beweises
• schon gezeigt: Linearität und 1dtgkeit.
• Monotonie:
f(x) ≤ ˜f(x) ⇒
ˆb
a
f(x)dx ≤ ˜f(x)dx
wähle gemeinsame Zerlegung Ẑ = Z ∪ ˜Z
im Allgemeinen ˆn = n + ñ − 2 Stützstellen
Ẑ = (ˆx 0 = a, ..., ˆxˆn ) ergibt im Interval (ˆx k−2 , ˆx k) im Falle ˆx k−1 = x i−1 , ˆx k = ˜x j
Bild1
dann gilt für x ∈ (ˆx k−1 , ˆx k ) :
f(x) = c i ≤ ˜f(x) = ˜c i Beitrag zur Integralsumme
c i (ˆx k − ˆx k−1 ) ≤ ˜c j (ˆx k − ˆx k−1 )
Summation über k liefert behauptete Aussage.
• Additivität bzgl. Integrationsintervall
Bild2
˜Z = (x 0 , ..., x i−1 , d, x i , ..., x n ) gültige Zerlegung für f
˜Z =
ˆb
a
∑i−1
n∑
f(x)dx = c j (x j − x j−1 ) + (d − x i−1 )c i + (x i − d)c i + c j (x j − x j−1 )
j=1
j=i+1
} {{ } } {{ }
´ d
a f(x)dx auf Z{d, x i, ..., x n }
12

Beschränktheit:
ˆb
f(x)dx
∣ ∣
a
=
≤
n∑
c
∣ i (x i − x i−1 )
∣
i=1
n∑
|c i (x i − x i−1 )|
i=1
i=1
ˆb
= ∑ |c i | (x i − x i−1 ) = |f(x)| dx
i=1
a
n∑
≤ max |c j| (x i − x i−1 )
1≤j≤n
= max
1≤i≤n |c i| [x 1 − x 0 + x 2 − x 1 ...x n−1 − x n−2 + x n − x n−1 ]
kürzen
= max
1≤i≤n (|c i|)(x n − x 0 ) = (b − a)‖f‖ ∞
□
‖‖ gleich noch mal deniert, alle Eigenschaften bewiesen.
Frage: Wie können wir das Integral von T [a, b] auf eine gröÿere Fktklasse erweitern, ohne Grundeigenschaften zu
verlieren.
Antwort: Durch Abschluss der Treppenfkt T [a, b] im Banachraum der beschränkten Fktn. B [a, b]
• Bild3
1.1.6 Bem Dirichletfkt
Dirichletfkt.
ist beschränkt, aber nicht integrierbar.
f(x) =
{
0, x ∈ Q
1, x ∈ R\Q
13

1.1.7 Def Normiertheit
Ein linearer Vektorraum V heiÿt normiert, wenn es eine Norm
‖ · ‖ : V → R
gibt, mit folgenden Eigenschaften (Spezialfall |·| auf V = R)
Bsp:
1. Denitheit
0 ≤ ‖v‖ mit ‖v‖ = 0 ∈ R ⇔ v = ⃗0 ∈ V
2. Positive Homogenität
‖αv‖ = |α| ‖v‖ für v ∈ V und α ∈ R
3. Dreiecksungleichung
‖v + w‖ ≤ ‖v‖ + ‖w‖ für v, w ∈ V
inverse Dreiecksungleichung
|‖v‖ − ‖w‖| ≤ ‖v − w‖
• Manhattannorm:
benutzt bei Abstand zweier Orte
‖(x, y)‖ 1 = |x| + |y|
• allgemeine p-Norm in R n ‖(x 1 , ..., x n )‖ p =
( n
∑
i=1
|x i | p ) 1
p
für 1 ≤ p ≤ ∞
‖(x 1 , ..., x n )‖ ∞ = lim
p→∞ ‖(x 1, ..., x n )‖ p = max
1≤i≤p {|x i|}
• Warnung: Für 0 < p < 1 ist Denitheit und Homogenität gegeben, die Dreiecksungleichung ungültig, z.B.
‖(x, y)‖ 1
2 = (√ |x| + √ |y|) 2 keine Norm!
• wichtigste Fälle: theoretisch p = 2, praktisch: p = 1, p = ∞, da einfacher zu berechnen (speziell Matrixnormen)
1.1.8 Lemma
Bew
1. T [a, b] ist normierter Vektorraum bzgl.
‖f‖ = ‖f‖ ∞ = sup {|f(x)| : a ≤ x ≤ b}
2. das Selbe gilt für B [a, b] , d.h. die Menge aller Fktnen f [a, b], für die ‖f‖ ∞ endlich ist. B [a, b] heiÿt Raum
der Beschränkten Funktionen
1. folgt aus 2., da oensichtlich T [a, b] ⊂ B [a, b]
14

• betrachte f ∈ B [a, b] ⇒ ‖f‖ ∞ = sup {|f(x)| : a ≤ x ≤ b} ≥ 0, da |·| ≥ 0 und ‖f‖ ∞ = 0 ⇔ f(x) = 0
für x ∈ [a, b] ⇒ f ≡ ⃗0
• 1. bewiesen
2.
‖αf‖ ∞ = sup {|αf(x)|} = sup {|α| |f(x)|}
a≤x≤b
a≤x≤b
= |α| sup {|f(x)|}
a≤x≤b
= |α| ‖f‖ ∞
3. g ∈ B [a, b] ⇒
‖f + g‖ ∞ = sup {|f(x) + g(x)| }
a≤x≤b } {{ }
∈R
≤ {|f(x)| + |g(x)|}
≤
sup
a≤x≤b
sup {|f(x)|} + sup {|g(x)|}
a≤x≤b
a≤x≤b
= ‖f‖ ∞ + ‖g‖ ∞
15

Teil III
VL am 15.4.13
1.1.9 Bemerkung Gegenbeispiel normierter Raum
• Monoton steigende Funktionen auf [a, b] mit ‖f‖ ∞ = ‖f(b)‖ < ∞
• M [a, b] ⊂ B[a, b]
• 0 ∈ M [a, b] ist schwach monoton
• aber Skalierung mit negativen Funktionen oder Dierenzenbildung führen auÿerhalb von M aber in B [a, b] \M [a, b]
• genau: M [a, b] ist ein konvexer Kegel in B,d.h.
1.1.10 Def Banachraum
f, g ∈ M ⇒ αf + βg ∈ M, falls α, β ≥ 0
Einen Vektorraum V nennt man Banachraum ⇔ er vollständig ist, d.h. jede Cauchyfolge(siehe (1.1.12)) einen
Grenzwert in V hat.
1.1.11 Warnung!!!!!!!!
In Funktionenräumen und anderen mehrdim. Räumen gibt es keine mit der Raumstruktur kompatible Anordnung
im Sinne von ≥-Beziehungen. Vollständigkeit kann NICHT über Supremum deniert werden.
1.1.12 Erinnerung Cauchyfolge
Eine Folge (v n ) n∈N ⊂ V ist eine Cauchyfolge bzgl. ‖ · ‖, wenn
1.1.13 Def abgeschlossener Unterraum
∀ε > 0 ∃n 0 ∈ N : ‖v n − v m ‖ < ε ∀n, m > n 0 (ε)
Ein Unterraum U < V heiÿt abgeschlossen, falls alle konvergenten Folgen aus U Grenzwerte u = lim n→∞ u n
haben, die auch zu U gehören.
U ist dann selbst ein Banachraum.
1.1.14 Satz Abgeschlossenheit von B [a, b] und T [a, b]
B [a, b] ist bzgl. ‖ · ‖ ∞ ein Banachraum, der Unterraum T [a, b] istb nicht abgeschlossen.
Bew
Betrachte Folge von Treppenfktnen f n ∈ T [a, b] , die Cauchykriterium erfüllen, d.h.
• ∀ε > 0 ∃n 0 (ε), n, m ≥ n 0 (ε) : ε > ‖f n − f m ‖ ∞ ≥ |f n (x) − f m (x)| ∀x ∈ [a, b]
• also bilden für jedes x ∈ [a, b] die Werte f n (x) ∈ R Cauchyfolgen im vollständigen Körper R mit eindeutigen
Grenzwerten
f(x) = lim
n→∞ f n(x) für x ∈ [a, b]
16

• dieser Punktweise Konvergenzprozess deniert 1dtg. die Grenzfunktion
• zu zeigen: f ∈ B [a, b] , d.h.
beschränkt
‖f − f n ‖ −→
n→∞
0
f : [a, b] → R
• aus Cauchyeigenschaft folgt für beliebiges ε mit n 0 (ε)
‖f m (x) − f n (x)‖ ≤ ε ⇒ |f n (x) − f m (x)| ≤ ε
⇒
⇒
⇒
• damit Banacheigenschaft B [a, b] bewiesen.
• bleibt: Unterraum nicht abgeschlossen
‖f n − f‖ ∞ ≤ ε
‖f‖ ∞ = f − f n + f n ‖ ≤ ‖f − f n ‖ ∞ + ‖f n ‖ ∞ < ∞
f beschränkt
beweise Unvollständigkeit von T [0, 1] T [0, 1] kann
Bild1
an Stelle von
T [a, b] deshalb
Unvollständigkeit = Unabgeschlosseneheit
genommen
f n (x) = i−1
n
, falls i−1
n
≤ x ≤ i n , x i−1 ≤ x ≤ x i
werden, da
um zz., dass f n für n → ∞ Cauchyfolge ist, betrachte punktweisen Grenzwert
man den Bereich
auf 0
f(x) = lim f n(x) = x
n→∞ verschieben
und b skalieren
und es gilt ∀x ∈ [0, 1]
kann
∣ f n(x) − f m (x)
∣ ≤ |f n (x) − x| + |f m (x) + x|
−x +x
≤
≤
1 n + 1 m
ε falls n, m ≥ n 0 (ε) = 2 ε
1.1.15 Satz Grenzwert, wenn Regelfunktion
Eine Fkt. f ∈ B [a, b] ist genau dann Grenzwert
f = lim
n→∞ f n(x) von f n ∈ T [a, b]
falls sie eine Regelfunktion ist, d.h. an allen x ∈ [a, b) bzw. x ∈ (a, b] existiert der halbseitige Grenzwert
f + (x) = lim
˜x↘x
f(˜x), bzw. f − (x) = lim
˜x↗x
f(˜x)
Mit anderen Worten f hat überall einen Links- bzw. Rechtsseitigen Grenzwert.
17

Gegenbeispiele
{
sin
1. 1 f(x) =
x
für x ∈ (0, 1]
⇒ f + (0) undeniert
0 für x = 0
Bew
2. Dirichletfkt.
• in f ‖ ˆf − f‖ ≥ 1 2 , ˆf ∈ T [a, b]
• ⇒ betrachte festes x ∈ [a, b) und beliebiges ε, so wie n 0 (ε), so dass für konvergente Folge
für ein n ≥ n 0 (ε)
• ⇒ :
f n ∈ T [a, b] : ‖f n − f‖ ≤ ε 2
Bild2
f n (x) ∈ [ f(x) − ε 2 , f(x) + ]
ε
2
dann liegt x in oder am linken Rand eines der Intervalle auf denen f n konstant ist
es gilt also für ein δ > 0
x < s < t < x + δ ⇒ f n (s) − f n (t) = 0
da auch für s, t, |f(s) − f n (s)| ≤ ε 2 und |f n(t) − f(t)| ≤ ε 2
für selbe s, t ∈ (x, x + δ) gilt
|f(s) − f(t)| ≤ |f(s) − f n (s) − f(t) + f n (t)|
≤
≤
|f(s) − f n (s)| + |f(t) − f n (t)|
2 ε 2 = ε
Das entspricht genau der Def. von rechtsseitiger Halbstetigkeit von f an der Stelle x. Da für alle
ε > 0 ∃δ > 0 :
|f(s) − f(t)| ≤ ε ∀x < s < t < x + δ
somit ∃ der rechtsseitige Grenzwert von
für alle x ∈ [a, b)
Herleitung für f − (x) für x ∈ (a, b] völlig analog
lim f(x) = f +(x)
˜x↘x
die Approximierbarkeit von Regelfktnen. durch Treppenfktnen. verlangt ähnlich aufwendigen Beweis
18

□
1.1.16 Satz
Regelfunktionen f ∈ R [a, b] ≡ cl(T [a, b]) haben nur abzählbar viele Sprünge, d.h.
{x ∈ [a, b] : f + (x) ≠ f − (x)}
ist abzählbar und die Folge der Sprünge f + (x) − f − (x) konvergiert gegen 0.
Gegenbsp
Bsp
1. Dirichlet hat überabzählbar viele Sprünge der Gröÿe 1
2. x sin 1 x hat an Stelle x = 0 kein f +(x)
• Alle stetigen Fktnen. C [a, b] und alle monotonen Fktnen. M [a, b] bzw. −M [a, b] sind Regelfktnen. (und
damit Cauchyintegrierbar)
cl heiÿt closure,
cl(U)
mit U ⊂
V Banach ist
Menge aller
Grenzwerte
von Folgen aus
U, auch Ū,
auch Durchschnitt
aller
abgeschlossener
Ũ, die
U enthalten,
Ũ > U
-M bezeichnet
die Menge
der fallenden
monotonen
Fktnen., denn
wir hatten M
als Menge aller
steigenden
deniert. allgemein:
A Menge
⊂Vektorraum,
dann −A =
{v = −w : w ∈ A}
19

Teil IV
VL am 17.4.13
Bsp
• T [a, b] ⊂ R [a, b] = cl(T [a, b]) ⊂ B [a, b]
• auÿerdem R [a, b] ⊃C [a, b] ≡ stetge.Fkt. auf [a, b] sind abgeschlossen und damit selbst ein Banachraum
1.1.17 Def gleichgradige Konvergenz von Funktionenfolgen
Eine Folge f n ∈ B [a, b] heiÿt gleichgradig konvergent gegen f ∈ B [a, b]
⇔
lim
n→∞ ‖f n − f‖ ∞ = 0
d.h.
f = lim
n→∞ f n oder f n → f im Banachraum B [a, b]
Man spricht auch von gleichmäÿiger oder uniformer Konvergenz
1.1.18 Lemma Gleichgradige Konvergenz⇒punktweise Konvergenz
Gleichgradige Konvergenz impliziert punktweise Konvergenz, d.h.
aber die Umkehrung gilt nicht.
f(x) = lim
n→∞ f n(x) ∀x ∈ [a, b]
Bew
•
f n → f ∈ B [a, b] ⇒ ‖f n − f‖ ∞ → 0
⇒
|f(x) − f n (x)| → 0 für jedes x ∈ [a, b], also pktweise Konvergenz
• zz: Umkehrung falsch, d.h. ∃ pktweise Konvergente Folge f n , die nicht gleichgradig konvergiert, d.h. keine
Cauchyfolge ist.
• Bsp: f n (x) = x n auf [0, 1]
{
• f(x) = lim n→∞ x n 1, x = 1
=
0, x ∈ [0, 1)
• Die Grenzfkt. f(x) hat aber zu allen f n (x) den konstanten Abstand
‖f − x n ‖ ∞ = sup |f n (x) − f(x)|
0≤x≤1
≥
sup
0≤x

1.1.19 Bem Verhältnis punktweise zu gleichmäÿiger Konvergenz
Die Forderung nach gleichmäÿiger Konvergenz einer Folge ist also stärker als die Eigenschaft von punktweiser
Konvergenz
Zurück zum Ziel, das Integral ´ b
f(x)dx von T [a, b] auf R [a, b]zu erweitern
a
1.1.20 Lemma Erweiterung linearer Funktionenabschlüsse
Für jede Lipschitzstetige lineare Abbildung F von einem Teilraum U ⊂ V Banach ex. eine 1dtge. Erweiterung von
F auf den Abschluss U, die auch linear und Lipschitzstetig ist. Die Werte von F : U → R sind gegeben durch
F (u) = lim
n→∞ F (u n) für (u n ) ⊂ U mit u n → u
Bew
Für jedes u ∈ Ū ex. Cauchyfolge u n → u, so dass für n ≥ n 0 (ε) ≤ m:
□
|f(u n ) − f(u m )| ≤ L‖u n − u m ‖ ∞ ≤ Lε
• d.h. Mit u n bilden wg. Lipschitzstetigkeit auch f(u n ) eine Cauchyfolge und haben einen 1dtg. Grenzwert,
den wir mit f(n) bezeichnen.
f(u) = lim
n→∞ f(u n)
• diese Setzung ist 1dtg., da für andere Folge ũ n → u:
• Linearität folgt aus Grenzwertsätzen:
|F (ũ n ) − F (u)| = |F (ũ n ) − F (u n )| + |F (u n ) − F (u)| → 0
→0
≤ L‖ũ n − u n ‖ ∞
→0
u n → u und v n → v ⇒ αu n + βv n → αu + βv
F (αu + βv) = lim
n→∞ F (αu n + βv n )
= lim (αF (u n) + βF (v n ))
n→∞
α lim F (u n) + β lim F (v n)
n→∞ n→∞
= αF (u) + βF (v)
=
Gws.
21

1.1.21 Korollar Cauchyintegral
Das Integral F (f) ≡ ´ b
f(x)dx für f ∈ T [a, b] hat eine 1dtge. Erweiterung, das so genannte Cauchyintegral
a
F (f) =
das weiterhin alle Erfordernisse nach Def (1.1.1)
ˆb
a
f(x)dx = lim
ˆb
n→∞
a
f n (x)dx mit f n ∈ [a, b]
Bew
Wir wisse, dass F auf T [a, b] die Lipschitzkonstante (b − a) hat.. Für f, g ∈ T [a, b] gilt:
ˆb
ˆb
f(x) − g(x)dx
∣
∣ ≤ |f(x) − g(x)| dx ≤ (b − a)‖f − g‖ ∞
Bsp.
• Linearität folgt aus Lemma (1.1.20), andere Eigenschaften leicht nachprüfbar.
1. f(x) = x auf [0, 1]
• f n (x) = i−1
n
= c i für i−1
n
• ‖f − f n ‖ ∞ = 1 n → 0
• ´ b
a f n(x)dx = ∑ n
i=1 i−1
2. ´ e x dx = lim n→∞
´ b
0 f n(x)dx
• x i = i nb für i = 0, ..., n
• f n (x) = e x−1 = e (i−1)b
n
• ´ b
a f n(x)dx = ∑ n
= b 1−e b
n
= b e b −1
1−e n
b n
e n b −1
≤ x ≤ i n
n (x i − x i−1 )
} {{ }
= 1 n
i=1 e (i−1)b
n
für i−1
n
= 1 n 2 ∑ n
i=1 (i − 1) = 1 n 2 ∑ n−1
i=0 i = n(n−1)
2n 2
≤ x ≤ i
n
(x i − x i−1 ) = ∑ n−1
i=0 e ib n · b
n = b n
→
n→∞1 (eb − 1) lim n→∞
• (e b − 1) · 1 da nach L'Hospital lim z→0
∑ n−1
i=0 ( e b n
}{{}
q
b
n
e b n −1 = (eb − 1) lim z→0
z
e z −1 = lim z→0 1
e
= 1 z 1
) i = b n
1
→
n→∞ 2
1−q n
1−q
z
e z −1 mit z = b n → 0
22

Teil V
VL 22.4.13
1.1.22 Bemerkung Funktional
Integraloperator ´ b
f(x)dx ist Funktion von Funktionen F (f) = Funktional , wenn Wertebereich reelle Zahlen
a
1.1.23 Def Riemannsumme und Feinheit
Für gegebenes f ∈ B [a, b] , Z = (x i ) n i=0 Zerlegung von [a, b] und z = (z i ) n i=0 ein Vektor von Argumenten
z i ∈ [x i−1 , x i ] heiÿt
n∑
S(f, Z, z) = f(z i )(x i − x i−1 )
die Riemannsumme von f auf Z mit z ∈ R n
heiÿt Feinheit der Zerlegung z.
• Bild1
i=1
|Z| ≡ max
1≤i≤n |x i − x i−1 | = max
1≤i≤n (x i − x i−1 )
1.1.24 Lemma Integraleigenschaften von S(f, Z, z)
Für festes Z, z hat S auf B [a, b] die von Integralen geforderten Eigenschaften Linearität, Monotonie und Beschränkung
|S(f, Z, z)| ≤ ‖f‖ ∞ (b − a)
Bew
siehe Übungsgruppe
□
1.1.25 Satz Konvergenz von Riemannsummen gegen das Cauchyintegral
Für jede Regelfunktion f ∈ R [a, b] und bel. Folgen von Zerlegungen Z k , z k gilt die Implikation
Bew
In 3 Stufen
∣ Z
k ∣ ∣ −→
k→∞
0 ⇒ S(f, Z, z) −→
∞
ˆb
a
f(x)dx
1. f(x) mit Treppenfkt. mit m = 1 Stufen, d.h. m + 1 = 2 Werten (d ∈ (a, b) normalerweise nicht Stützpunkt
der Zerlegung) (zu Bild)
23

2. f ∈ T [a, b] mit m > 1 unter Voraussetzung , dass Satz für m − 1 Stufen gilt
Bem Wir betrachten zunächst allgemein Riemannsummen S(f, Z, z), wo Auswertungspunkte z i ∈ (x i−1 , x i ) bel.
gewählt sein können. Bei vielein Unter und Obersummen werden z i als Minimalpnkte bzw. Max.werte von f auf
[x i−1 , x i ] gewählt. Das ist theoretisch schön, aber praktisch aufwendig, da jeweils zu Extremwertaufgaben zu lösen
sind. Im allgemeinen viel schwerer als Integrale numerisch auszuwerten.
• BILD2
3. Behauptung für beliebiges f ∈ R [a, b]
-
⎧
⎪⎨ f(a)
1. f(x) = f(b)
⎪⎩
∈ {f(a), f(b)}
falls a ≤ x ≤ d
falls d < x ≤ b
falls x = d
• für bel. Zerlegung ex. ein i ∈ {1, ..., n − 1}
x i−1 < d < x i+1
•
∑i−1
n∑
S(f, Z, z) = f(a)(x j − x j−1 ) + f(b)(x j − x j−1 ) + f(z i )(x i − x i−1 ) − f(z i+1 )(x i+1 − x i )
• nach Def für f ∈ T [a, b] :
j=1
j=i+1
ˆb
a
fdx =
=
ˆ
x i−1
fdx + f(a)(d − x i−1 ) + f(b)(x i+1 − d) + fdx
a
x i+1
ˆb
a
f(x)dx + f(a)(x i−1 − a) + f(a)(d − x i−1 ) + f(b)(x i+1 − d) + f(b)(b − x i+1 )
ˆb
• da ∑ i−1
j=1 f(a)(x j − x j−1 ) = (x i−1 − a)f(a) und ∑ n
j=i+1 f(b)(x j − x j−1 ) = (b − x i−1 )f(b) ergibt sich
nach Dierenzbildung
ˆb
f(x)dx − S(f, Z, z)
= |f(a)(d − x i−1 ) − f(z i )(x i − x i−1 ) + f(b)(x i+1 − d) − f(z i+1 )(x i+1 − x i )|
∣
∣
a
≤
∆−Ungl.
max {|f(a)| , |f(b)| , |f(z i )| , |f(z i+1 )|} ·
(d − x i−1 + x i+1 − d + x i+1 − x i + x i − x i−1 )
≤ ‖f‖ ∞ (x i+1 − x i−1 ) · 2
≤
‖f‖ ∞ · 2 · |Z|
24

• wenn |Z| bzw. genau genommen ∣ ∣ Z
k ∣ b
∣gegen 0 geht, konvergiert der Abstand ∣´ a f(x)dx − S(f, Zk , z k ) ∣
auch gg.0. Damit ist die Bahauptung für den einfachsten Fall (1. ) bewiesen.
2. Jeder Fkt. f ∈ T [a, b] mit m > 1 Sprüngen, z.B. einem an der Stelle d lässt sich schreiben als Summe
f(x) = ˜f(x) + ˆf(x)
wobei ˜f nur m − 1 und ˆf genau einen Sprung hat, z.B.
{
0 für x ≤ d
ˆf(x) =
f + (d) − f − (d), x>d
• dann erfüllt die Dierenz
˜f(x) = f(x) − ˆf(x)
dass ˜f + (d) = f + (d) − [f + (d) − f − (d)] = f − (d)
und ˜f − (d) = f − (d) − ˆf(d) = f − (d)
• d.h. ˜f(x) ist am Punkt d stetig und hat nur noch m − 1 Sprünge.
• nach IV:
• wg. Linearität der Riemannsumme gilt:
ˆb
(wenn Linearität von ´ auf R [a, b])
a
ˆb
a
fdx =
ˆb
a
ˆb
˜fdx +
a
ˆfdx
[
˜fdx = lim S( ˜f, Z k , z k ) + S( ˆf,
]
Z k , z k )
k→∞
lim S(f,
k→∞ Zk , z k ) = lim S( ˜f, ...) + lim S( ˆf, ...)
k→∞ k→∞
=
=
ˆb
a
ˆb
a
ˆb
˜fdx +
3. Für bel. f ∈ T [a, b] und ε > 0 ∃ f ε ∈ T [a, b] , so dass ‖f − f ε ‖ ∞ ≤ ε
3(b−a)
⇔
‖f − f ε ‖(b − a) ≤ ε 3
∣ b
⇒ ∣´ a f(x)dx − ´ b
a f ε(x)dx∣ ≤ ´ b
a |f(x) − f ε(x)| dx ≤ ‖f − f ε ‖ ∞ (b − a) ≤ ε 3
• BILD3
fdx
a
ˆfdx
25

• entsprechend gilt für bel. Zerlegung (Z, z)
|S(f, Z, z) − S(f ε , ...)| ≤ ‖f − f ε ‖ ∞ (b − a) ≤ ε 3
• nach 2. ist Fehler zwischen ´ b
a f εdx und S(f ε , ...) kleiner als ε 3für alle Zerlegungen mit einer Feinheit
|Z| < δ, wobei δ = δ(ε) von der gewünschten Toleranz abhängt. Für alle diese Zerlegungen gilt
ˆb
fdx − S(f, ...)
∣
∣ ≤ 3 · ε
3 = ε
• damit ist die Beh. für allgemeine Regelfkt. bewiesen.
1.1.26 Def Untersumme und Obersumme
Die Ausdrücke
¯S(f, Z) =
S(f, Z) =
a
n∑
(x i − x i−1 ) sup (f(x)) ≤ ‖f‖ ∞ (b − a)
x i−1≤x≤x i
i=1
n∑
(x i − x i−1 ) inf (f(x)) ≥ −‖f‖ ∞ (b − a)
x i−1≤x≤x i
i=1
heiÿen Riemann-Obersumme/-Untersumme auf [a, b]
1.1.27 Korollar Beziehung der Summen zum Integral
Für f ∈ R [a, b] gilt
S(f, Z) ≤
ˆb
a
fdx ≤ ¯S(f, Z)
und beide Schranken konvergieren zum Integral, wenn Feinheit |Z| → 0 geht.
26

Teil VI
VL am 24.4.13
Bew
analog zu dem Beweis von 1.1.25
□
Frage
Gelten 1.1.25 und 1.1.27 wirklich nur für Regelfunktionen?
Antwort
Nein! Man kann das Integral nicht über Treppenfktnen., sondern als gemeisamen Grenzwert der Unter- und
Obersummen denieren , wenn dieser ex.
Bsp
f(x) =
{
sin 1 x , 0 ≠ x ≤ 1
0, x = 0
• f /∈ R [a, b] , daf + (0) nicht ex.
• auf Intervall [ε, 1] ist f(x) stetig und somit konvergieren nach 1.1.27 Ober- und Untersumme gegen
ˆn
ε
f(x)dx
• Im Intervall [0, ε]können inf f und sup f sich um 2 unterscheiden. Es gilt also auf dem gesamten Intervall:
• lim |Z|→0
∣ ∣ ¯S(f, Z) − S()
∣ ∣ ≤ 2ε für bel. ε > 0
• ⇒ ∣ ∣ ¯S() − S()
∣ ∣ → 0 ⇒ f(x) ist Riemannintegrierbar.
¯S(f, Z) − S(f, Z) ≤ ¯S(f, ˜Z) − S(f, ˜Z) + 2ε
↓ |Z| → 0 ⇒ ∣ ˜Z
∣ → 0 + 2ε
0 nach 1.1.27
27

1.1.28 Def Riemannintegrierbarkeit
Eine Funktion f ∈ B [a, b] heiÿt Riemannintegrierbar, falls aus |Z| → 0 folgt, dass die Untersummen und Obersummen
¯S(f, Z) und S(f, Z) einen gemeinsamen Grenzwert haben, den man dann mit
ˆb
a
f(x)
bezeichnet.
1.1.29 Satz linearer Unterraum aus riemannintegrierbaren Fktnen.
Die riemannintegrierbaren Fktnen. bilden einen abgeschlossenen lin. Unterraum von B [a, b] und das Integral
stimmt auf R [a, b] mit der ursprünglichen Denition überein.
Zudem hat es weiterhin die nach Def 1.1.1 geforderten Eigenschaften.
1.1.30 Def
Falls f auf allen Intervallen [ a, ˜b]
mit ˜b < b ≤ ∞ Riemannintegrierbar ist und der Grenzwert
c = lim
˜b→b
â
˜b
f(x)dx ∈ R
ex., dann heiÿt c das uneigentliche Integral von f auf [a, b) und man schreibt
Entsprechend mit a = −∞ usw.
ˆb
ˆ∞
c = f(x)dx bzw. c = f(x)dx, falls b=∞
a
a
Bsp
f(x) = e −x auf [0, ∞]
• ´ ˜b
0 e−x dx = 1 − e −˜b −→
˜b→∞
1
• Flächenstück ist ∞ lang, aber mit endlichem Flächenmaÿ
a = 0, b = 1, f = − log(x)
• f auf [0, 1] unbeschränkt, aber
ex!!!!!!
ˆ1
0
ˆ
− log x = lim − log xdx
a↘0
1
0
28

Ggbsp
f(x) = 1
1+x
auf [0,∞)
• S(f, Z) ≈ harmonische Reihen→ ∞ ⇐ ´ ˜b
0
• Flächenstück ist ∞ , da 1
1+x ≫ e−x für x groÿ.
1.2 Mittelwertsatz und Hauptsatz
1.2.1 Mittelwertsatz der Integralrechnung
1
1+x dx !! = log(1 + ˜b) −→
˜b→∞
∞
Falls f ∈ C [a, b], dann ∃ ein Zwischenwert z ∈ (a, b), so dass
ˆb
a
⎛
f(x)dx = (b − a)f(z) ⎝=
MaW. Integral entspricht Integral über konstantes f(z) für geeignetes z
Bew
Nach Weierstraÿ ex. Pkte. x ∗ , x ∗ ∈ [a, b], so dass
ˆb
f ∗ = f(x ∗ ) ≤ f(x) ≤ f ∗ = f(x ∗ )
• oBdA (ohne Berücksichtigung der Aufgabenstellung :-) ) x ∗ ≤ x ∗
• dann gilt wg. Monotonie des Integrals (Autor: Ich glaube 1.1.1):
• Division durch b − a
(b − a)f(x ∗ ) =
ˆb
a
f(x ∗ )dx ≤
f(x ∗ ) ≤
ˆb
a
a
f(x)dx ≤
[´ b
a f(x)dx ]
b − a
⎞
f(z)dx⎠
ˆb
a
f(x ∗ )dx = (b − a)f(x ∗ )
≤ f(x ∗ )
• nach Zwischenwertsatz ex im Intervall (x ∗ , x ∗ ) ⊂ (a, b)ein z , so dass
[´ ]
b
a f(x)dx f(z) =
b − a
• nach Multiplik. mit b − a ergibt sich Beh.
29

□
1.2.2 Kor verallgemeinerter Mittelwertsatz
• f ∈ C [a, b]
• 0 ≤ g ∈ Ri [a, b] ⇒ ∃(min. eins)z ∈ (a, b)
ˆb
a
ˆb
f(x)g(x)dx = f(z)
a
g(x)dx
Bew
• Mit Minimal- und Maximalpkten. x ∗ und x ∗ wie oben
•
ˆb
f(x ∗ )
a
gdx
≤
ˆb
a
fgdx
ˆb
≤ f(x ∗ )
a
gdx
f(x ∗ )
≤
´ b
a fgdx
´ b
a
≤ f(x ∗ )
gdx
= f(z) nach Zwischenwertsatz
□
Bsp
´ 5
0
sin x2
} {{ }}{{}
dx = sin(z 2 )(1 − e 5 )
f
e −x
g>0
1.2.3 Bem Integration Dierentiation
Integration und Dierentiation sind in folgendem Sinne inverse Operationen zueinander (Integration durch Umkerhung
von Diregeln)
30

1.2.4 Hauptsatz der Dierential- und Integralrechnung
Falls f ∈ C [a, b] , ist für ˜x ∈ [a, b] die Stammfkt.
F a (˜x) =
1dtg. auf [a, b] deniert und in (a, b) sogar deniert.
ˆ˜x
a
f(x)dx ∈ R
F a(˜x) ′ := d
ˆ˜x
f(x)dx = f(˜x)
d˜x
a
MaW. Der Integrand f(˜x) ist Ableitung des Integrals F a (˜x) bzgl. seiner Variablen Obergrenze.
Bew
⎡
ˆ˜x+h
1
lim
h→0 h [F 1
a(˜x + h) − F a (˜x)] = lim ⎣ f(x)dx −
h→0 h
=
Additvität bzgl. Intervall
1
lim
h→0 h
ˆ
a
˜x+h
x
f(x)dx
ˆ˜x
a
⎤
f(x)dx⎦
=
Mittelwsatz
lim
h→0 f(z)h h
mit ˜x < z < ˜x + h ⇒ h → 0 ⇒ z → ˜x
□
31

Teil VII
VL 29.4.13
Bsp
f(x) = sin x
• F a (˜x) = ´ ˜x
a sin xdx hat die Ableitung F ′ a(˜x) = sin(˜x)
• wir wissen d
dx
(− cos(˜x)) = sin(˜x)
• also:
d
dx (− cos(˜x) − F a(˜x)) = sin(˜x) − sin(˜x) = 0
• nach MWsatz der Direchnung muss die Dierenz − cos −F a const. sein
− cos(˜x) − F a (˜x) = const. c
• da F a (a) = 0 (einsetzen in Def.) ergibt sich c = − cos(˜x)
• damit
F a (˜x) = cos(a) − cos(˜x)
• setze ˜x = b ⇒ ´ b
sin(x)dx = cos a − cos b
a
1.2.5 Bemerkung Stammfunktion
Das bestimmte Integral von sin x wurde durch Aunden der Stammfkt. F (x) = − cos x mit F ′ (x) = sin x berechnet.
Allgemein lässt sich die Integration auf Umkehrung der Di. zurückführen.
1.2.6 Korollar Eigenschaften der Stammfkt.
1. F a (˜x) − Fã(˜x) = c = F a (ã) − Fã(a)
2. F ′ (x) = f(x) ⇒ F (x) − F a (x) = c = F (a)
3. Jedes f ∈ C [a, b] besitzt eine bis auf eine const. 1dtge Stammfkt. F (x), die F ′ (x) = f(x)
Schreibweise:
ˆ
F (x) =
f(x)dx + C
wobei C auch generische (?) Konstante ist.
Rechter Ausdruck heiÿt auch unbestimmtes Integral.
Aus 2. folgt für best. Integral:
ˆb
a
fdx = F (b) − F (a) = F (x)| b a
32

1.2.7 Tabelle von Stammfunktionen (Antiderivative)
Integrand unbest. Integral=Stammfkt (immer +C) Bedingungen
x n 1
n ∈ Z
n+1 xn+1 n ≠ −1
1
x
ln x x > 0
x α 1
α ∈ R
α+1 xα+1 α ≠ 1, x > 0
e αx 1 α eαx α ≠ 0
usw.
•
ˆ7
2
1
x 2 + 1 dx = 1 2
= 1 2
ˆ7
2
ˆ7
2
[ 1
x − 1 − 1 ]
dx
x + 1
ˆ7
1
x − 1 dx − 1
x + 1 dx
2
• Dies Stammfkt. sollte durch Ableiten veriziert werden
1.2.8 WARNUNG
= 1 2 log(x − 1)|7 2 − 1 2 log(x + 1)|7 2
usw. das sollte man können
Während sich für die arithmetischen Ops. +, −, ·, : und Elementarfktnen. sin, cos, log, .... zusammengesetzte Formel
durch Anwendung der Diregeln eine entsprechende, meist längere Formel für Ableitung herleiten lässt, ist das
Aunden einer Stammfkt. nur in ganz wenigen Fällen möglich.
Bsp
33

´ e−x 2 dx + C (Gauÿfkt.) hat keine symbolische Darstellung, spielt groÿe Rolle in Fehlerabschätzung
Errorfunktion = erf(x) = √ 2 ˆx
e −˜x2 d˜x π
0
Gute Nachricht
numerische Integration = Quadratur, d.h. bel. genaue Annäherung von Integralen mit Hilfe von Riemannartigen
Summen kein Problem, es sei denn viele unabhängige Variablen.
Herr Griewank
schrieb hier:
Gute Nacht
1.3 Partielle Integration und Substitution
Idee: Umkehrung von Diregeln, um Intergrationsregelbn zu erhalten
• Linearität wird unmittelbar erhalten
ˆ
ˆ
fdx = F + C,
gdx + C, α, β ∈ R
ˆ
ˆ
(αf + βg)dx = αF + βG + D = α
ˆ
fdx + β
gdx
• Begründung: Dierenziation der rechten Seite ergibt Integranden
• aufwendiger sind die Umkehrungen von Produktregel(partielle Int) und Kettenregel(Substitution)
1.3.1 Herleitung part. Integration
• betrachte f, F = ´ f, g, G = ´ g, H = F G, h = H ′
• nach Produktregel der Di. gilt H ′ = h = F ′ G + F G ′ = fG + gF
• daraus ergibt sich durch unbest. Integr. beider Seiten, dass
ˆ
ˆ
fGdx = F G − gF dx
• entsprechend für best. Integral:
ˆb
a
fGdx = F G | b a −
ˆ b
a
gF dx
1.3.2 Bem Nutzen von part. Int.
Im Ergebnis haben wir ein Integral über f · G durch ein Integral über g · F plus einen durchintegrierten Term F G
ersetzt. Das ist hilfreich, falls gF im weiteren einfacher zu integrieren ist als fG
Auswahlregel:
Zerlege vorgegebenen Integranden in Faktoren f, G, so dass F leicht angebbar und g möglichst einfacher ist als G
34

Bsp
1.
ˆ
ˆ
xe x dx = xe x −
= xe x − e x
e x dx
2.
ˆ
ˆ
sin xe x dx = sin xe x − cos xe x dx
ˆ
= sin xe x − cos xe x − sin xe x
man rechne + ´ sin xe x und teile durch 2 ...
1.3.3 lineare Substitutionsregel
ˆb
a
f(αx + β)dx = 1 α
= 1 α
ˆb
a
ˆb
a
αf(αx + β) dx
} {{ }
d
dx F (αx+β)
d
dx F ()dx mit F ′ = f
= 1 α F () |b a
= 1 F (z) |αb+β
αa+β
α
35

Teil VIII
VL am 6.5.13
1.3.4 Umkehrung der Kettenregel
• z = F (x) ⇒ dz
dx = F ′ (x) = f(x)
• y = G(z) ⇒ dy
dz = G′ (x) = g(x)
• h(x) = d
dxH(x) = g(F (x))f(x)
1.3.5 Bemerkung Leibnitz
dy
dx = dy dz
dz dx
• H(x) = ´ h(x)dx = G(F(x)) = ´ g(F(x)f(x)dx
• Mit anderen Worten: Lässt sich der Integrand als Produkt einer zusammengesetzten Fkt. g(F (x)) und deren
innerer Ableitung interpretieren, so ist das Intergral die Stammfkt. G(F (x)) bzw. G ◦ F .Man muss also nur
die äuÿere Funktion g integrieren
1.3.6 Substitution
• Ersetzen = Substitution, Umkehrung von Kettenregel heit Substitutionsregel
• Leibnitznotation
ˆ
g(x) dy ˆ
dx dx =
d.h. Integration bzgl. x durch Int nach y ersetzt.
g(y)dy = G(y)
36

Bsp
´ 1
x log3 (x)dx
• y = F (x) = log x ⇒ f(x) = F ′ (x) = 1 x
, g(y) = y3
• G(y) = 1 4 y4
• Probe:
d
1
dx
4 [log4 x] = 4 4 log3 x 1 x = 1 x log3 x okay
1.3.7 BemerkungFaktorisierung
Wie bei part. Int. ist Faktorisierung des Integranden häug nicht natürlich vorgegeben, sondern man führt eine
Substitution der Variablen durch, um die Produktform zu erhalten.
Bsp
´ √
1 − z2 dz
• z = sin x ⇒ dz
dx = cos x
• √ 1 − sin 2 x = cos x
•
ˆ
=
=
=
ˆ
ˆ
ˆ
cos x dz
dx dx
cos 2 xdx
(1 − sin 2 x)dx
= x + 1 2 sin x cos x − 1 2 x
= 1 (x + sin x cos x)
2
37

• Stammfunktion sollte in ursprünglicher Variable z ausgedrückt werden
• Rücksubstitution: x = arcsin z
ˆ √1
− z2 dz = 1 2 arcsin z + 1 2 z√ 1 − z 2
1.3.8 Schrittweise Anwendung der Substitutionsregel
1. drücke integrationsvariable, z.B. z, als Funktion z = F (t) der neuen Integrationsvariablen t aus.
2. berechne f(t) = F ′ (t) = dz
dt
3. nde Stammfkt. von G(F (t))f(t) bzgl. t
und ersetze im Integral dz durch f(t)dt
4. ersetze t durch F −1 (z) und vereinfache Ausdruck
Warnung!!!: Eigentlich muss sichergestellt werden, dass im Integrationsintervall F : t → z nicht nur dibar,
sondern auch stetig monoton ist, so dass F −1 1dtg. def. ist., d.h. Gültigkeitsbereich muss ebenfalls eingeschränkt
werden. Normalerweise integriert man erst und prüft das Ergebnis auf Stammfkteigenschaft.
1.4 Integration rationaler Zahlen (oder wie Griewank schreibt: Integrationaler Funktionen)
Fakt
Immer möglich durch so genannte Partialbruchzerlegung, die allerdings numerisch instabil sein kann.
1.4.1 Def rationale Funktion
f(x) = P (x)
Q(x)
mit Polynomen vom grad m im Zähler und n im Nenner heiÿt rationale Fkt.
38

1.4.2 Lemma
Da Polynomer mit reellen Koezienten ein euklidisscher Ring sind, ∃ ∀ P, Q ein Faktor S und ein Rest R, so dass
P = QS + R
mit deg(R) < deg(Q)
Wenn deg P < deg Q ⇔ R = P
• Es gilt immer:
P
Q = S + R Q
• für Integration ist das Faktorpolynom kein Problem. Wir müssen nur noch echte Brüche, d.h.
P
Q mit n > m
behandeln (? dieses Wort war gar nicht da)
• Partialbruchzerlegung erlaubt Darstellung von P Q
Nenner)
1. f(x) = α
x−β
quadratisch irreduzierbar
2. f(x) = νx+δ
x 2 +2βx+γ
als Summe von Termen der folgenden Art linear (bzgl.
• Irreduzierbarkeit bedeutet, dass Nenner x 2 + 2βx + γ keine reellen NSTs hat, was genau dann der Fall ist,
wenn γ > β 2 x 2 + 2βx + γ = (x + β) 2 + γ − β 2
} {{ }
γ ′
1. γ ′ < 0 ⇒ 2 relle Lsgs
2. γ ′ = 0 ⇒ 1 doppelte NST
3. γ ′ > 0 ⇒2 komplexe Wurzeln
• 1.⇒ x 2 + 2βx + γ = (x − x 1 )(x − x 2 ) mit NSTs x 1 ≠ x 2
[
1
(x − x 1 )(x − x 2 ) = 1
− 1 ] ( )
1
1 − x 1 1 − x 2 x 1 − x 2
• ⇒Reduktion auf lin. Fall
39

1.4.3 Elementare Integrale
1. lin. Fall
• ´ α
x−β
dx = α log(x − β), wo x > β
• ´ x
x−β
dx = α log(β − x) wo x < β
• ⇒ ´ = α log |x − β| linearer Fall
•
ˆ
ˆ
νx + δ
1
x 2 + 2βx + γ dx = 2 ν(2x + 2β) + δ − βν dx
= 1 2 ν ˆ (2x + 2β)dx + (δ − βν)
ˆ 1dx
= 1 2 ν log ∣ ∣ x 2 + 2β + γ ∣ ∣ + zweiter Term
• Im Folgenden kann also angenommen werden, dass Zähler konstant =1 und wir mussten nur noch
integrieren
ˆ 1dx
• falls Nenner reduzierbar , d.h. γ < β 2 lässt sich Term in 2 lin. Terme aufspalten und intergrieren. Für
γ = β 2 ergibt sich
• ˆ
2. letzter Fall:
ˆ
1
(x + β) 2 + γ − β 2
} {{ }
>0
dx
(x − x 1 ) 2 = − 1
(x − x 1 ) x 1Konstante
=
=
ˆ
dx
(x + β) 2 = arctan(x + β)
+ γ
′
( )
1
√ arctan x + β
√
γ − β
2 γ − β
2
40

Teil IX
VL am 8.5.13
1.4.4 Satz Paritalbruchzerlegung
1. Nach Lemma 1.4.2 können wir von f(x) = P Q
ein Polynom S(x) abspalten, wenn deg(P (x)) ≥ deg(Q(x))
und Q(x) = x n + ... Deswegen können wir o.B.d.A annehmen, dass
2. Das Nennerpolynom Q aht eine 1dtge. Faktorisierung
deg(P ) = m < deg Q = n
∏n r
Q = (x − x j ) =
j=1
n−nr
2∏
j=1
x 2 + 2β j x + γ j
wobei x j für j = 1 n r reelle NSTs sind und die quadratischen Faktoren (x 2 + 2β j x + γ j ) sind irreduzierbar,
d.h. sie besitzen keine reellen NSTs, da γ j > β 2
3. Falls alle NSTs und irreduzierbare Faktoren unterschiedlich sind, ex. 1dtg. Koezienten A j , B j , C j , so dass
n
P
r
Q = ∑
j=1
A j
x − x j
+
n−nr
2∑
j=1
B j x + C j
x 2 + 2β j x + γ j
Die Konstanten A j , B j , C j können durch Koezientenvgl. nach Multiplikation mit Q bestimmt werden.
Bew
siehe Algebra
□
Bsp
P
Q = x2 +x−1
x 3 +x
• m = 2, n = 3
• Q = (x − 0)(x 2 + 1) ← β 2 = 0 < γ = 1
• P Q = A x + Bx+C
x 2 +1
•
P = x 2 + x − 1 = ( A x + Bx + C
x 2 + 1 )(x2 + 1)x
= A(x 2 + 1) + (Bx + C)x
= x 2 (A + B) + Cx + A
41

• ⇒ A = −1, C = 1, −1 + B = 1 ⇒ B = 2
• x2 +x−1
x 3 +x
= − 1 x + 2x+1
x 2 +1 Partialbruchzerlegung
1.4.5 Korollar
Unter Voraussetzung von Satz 1.4.4 1. und 2.
ˆ n
P
r
Q dx = ∑
A j log |x − x j | +
j=1
n−nr
2∑
j=1
n−nr
1
2∑
ˆ
2 B jlog(x 2 + 2β j + γ j ) +
→B jx+β jB j j=1
C j − β j B j
x 2 + β j x + γ j
dx
letzter Term gegeben durch
1
(C j − A j B j ) √
γ j − βj
2
arctan( x j + β
√
γ − β
2 )
Bew
bis auf letzten Term bereits erbracht
• betrachte ´
•
dx
x 2 +βx+γ = ´
• ⇒ dz
dx
=
1˜γ
⇔ dx = ˜γdz (Substitution)
•
dx
(x+β) 2 +˜γ 2 mit ˜γ 2 = γ − β 2 > 0
= 1˜γ 2 ˆ
= 1˜γ 2 ˜γ ˆ
dx
( + )
x˜γ
β˜γ
2 + 1
} {{ }
2
dz
2 2 + 1
• 2. Substitution: z = tan t ⇒ dz
dt = 1
cos 2 t
•
= 1˜γ
ˆ
= 1˜γ
ˆ
= 1˜γ
ˆ
dt
cos 2 ( sin2 t
cos 2 t + 1)
dt
sin 2 t + cos 2 t
dt
= t˜γ
• Rücksubstitution:
42

□
1˜γ arctan(z) = √
1
γ−β 2 arctan( √ x+β ) γ−β 2
• damit ist der letzte Integralterm bewiesen
Es folgt damit für das Bsp:
´ x2 +x−1
x 3 +x
dx = − log |x| + log ( x 2 + 1 ) + arctan(x)
1.4.6 Merke
d
dx arctan(x) = 1
1 + x 2
1.4.7 Abschlussbemerkung
Wenn Q mehrfache NSTs oder irreduzible Faktoren hat, also z.B.
Q = (x − 1) 2 (x 2 + x + 17) 2
lässt sich die Form der Patialbruchzerlegung entsprechend erweitern.
Integral beteht immer noch aus polynomialem und rationalem Anteil, sowie logs und arctans
1.5 Anwendungen der Integralrechnung
Fläche in cartesischen Koords. y = f(x) > 0
Fläche: ∑ ´
f(x)∆x → f(x)dx
∆x→0
Fläche in Polarkoords
∑ 1
2 r(r∆ϕ)
´ 1
2 r2 dϕ
→
∆ϕ→0
43

Bsp
Viertel(Einheits)kreis:
• Cartesisch
´ 1
0
• Polar:
´ π 2
0
Bogenlänge
• Cartesisch
√
1 − x2 dx = ´ π 2
0
1
2 dϕ = π 4
√
1 − sin 2 t cos tdt = ´ π 2
0 cos2 dt = ´ π 2
0 (1 − sin2 )dt = π 2 − ´ π 2
0 sin2 dt = π 4
Bsp
∑ √
∆y2 + ∆x 2 = ∑ √ 1 + ( ∆y
∆x )2 ∆x
´ √
→ 1 + f ′
(x) 2 dx
∆x→0
y = x 2 von 0 ≤ x ≤ 1
´ 1
0
√
1 + 4x2 dx ist elliptisches Integral ⇒ nachschlagen oder 2xSubstitution !!nicht trivial!!
• Polar
44

∑ √
r2 ∆ϕ 2 + ∆r 2 = ∑ √ r 2 + ∆r2
∆ϕ
∆ϕ 2
´ √
ϕ
→
∆ϕ→0
ϕ 0
r 2 + ( dr
dϕ )2 dϕ
Bogenlänge für allg. Parametrisierung (x(t), y(t)) für t 0 ≤ t ≤ t 1
• ∑ √
∆x2 + ∆y 2 = ∑ √ ( ∆x
∆t )2 + ( ∆y
∆t )2 ∆t
´ t1
√
• → x′
∆t→0
t 0
(t) 2 + y ′ (t) 2 dt, wobei x ′ = dx
dt , y′ = dy
dt
Volumen von Rotationskörpern
• V = ∑ πf 2 ∆x → π ´ b
a f 2 dx
Manteloberäche von Rotationskörpern
• M = ∑ √
2fπ 1 + ( ∆y
}{{}
∆x )2 ∆x→ 2π ´ b
a f√ 1 + f 2 dx
Umfang
1.5.1 letze Anwendung: Riemannsches Integralkriterium
Für Konvergenz einer Reihe
∞∑ ∞∑
x k = f(k)
k=1
Angenommen x k = f(k) mit f : [1, ∞) → [0, ∞) nichtnegativ und (schwach) monoton fallend. Dann konvergiert
die Reihe
ˆ∞
ˆb
∞∑
x k ⇔ fdx = lim < ∞
k=1
1
k=1
b→∞
1
45

Beweis:
Wegen Monotonie gilt:
□
• f(k − 1) ≥ ´ k
k−1 fdx ≥ f(k) = x k
• ∑ m
k=2 x k ≤ ∑ m
´ k
k=2 k−1 f(x)dx = ´ m
1 fdx
• ∑ ∞
k=2 x k ≤ lim m→∞
´ m
1 fdx = ´ ∞
1
fdx
• falls ´ ∞
1
fdx existiert, ist die Reihe ∑ x k , wenn deren Gleider positiv sind, nach oben beschränkt und
absolut konvergent.
• Gegenrichtung analog
1.5.2 Kosequenz verallg. harmon. Reihe
∑ ∞
k=1 1 k c < ∞ ∀c ∈ R ⇔ c = 1
46

Teil X
VL 13.5.13
2 Metrische Räume (Verallgemeinerung von Banach)
2.0.3 Überblick über metrische Räume
2.0.4 Bemerkung
euklidische Räume R n ⊂ C n komplexe Räume
∩ ∩
Skalarprodukträume ⊂ Hilberträume
∩ ∩
normierte Räume ⊂ Banachräume
∩ ∩
metrische Räume ⊂ vollständige metr. Räume
• bel. Teilmengen eines metrischen Raumes bilden wieder solche, was für normierte Räume nicht gilt
Bsp: Kugeloberäche in R 3 ist metrischer Raum aber nicht linearer Raum
• bis auf Isomorphie, d.h. Umbenennung der Elemente, gibt es für jedes n ∈ N und n = ∞ abzählbar genau
einen Hilbertraum der Dimension n
2.1 Denitionen und Beispiele
2.1.1 Denition metrischer Raum
Eine Menge X (ohne jegliche algebraische Struktur9 heiÿt metrischer Raum, , falls es eine Metrik genannte
Abstandsfunktion
d : X × X → [0, ∞]
gibt, so dass ∀x, y, z ∈ R
Bsp
1. d(x, y) = 0 ⇔ x = y Denitheit
2. d(x, y) = d(y, x) Symmetrie
3. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) △− Ungleichung
1. diskrete Metrik
{
0, y = x
d(x, y) =
∞, sonst
47

2. in einem normierten Raum ist d(x, y) = ‖y − x‖
2.1.2 Def Skalarproduktraum/Prä-Hilbert-Raum
Ein linearer Raum heiÿt Skalarproduktraum oder Prä-Hilbert-Raum, wenn es ein so genanntes inneres oer Skalarprodukt
〈·, ·〉 : V × V → R gibt, so dass für u, v, w ∈ V :
1. 〈u, u〉 ≥ 0 mit 〈u, u〉 = 0 ⇔ u = 0 Denitheit
2. 〈u + v, w〉 = 〈u + w〉 + 〈v, w〉 Additivität
〈tu, v〉 = t 〈u, v〉 = 〈u, tv〉 Bihomogenität für t ∈ R
3. 〈v, u〉 = 〈u, v〉 Symmetrie
2.1.3 Bem komplexe Räume
Bei komplexen Räumen gilt t 〈u, v〉 = 〈tu, v〉 = 〈u, ¯tv〉 ,
¯t =kompl. konj. und 〈v, u〉 = 〈u, v〉 ∈ C
2.1.4 Lemma
Jeder Skalarproduktraum ist ein normierter Raum bzgl. der Norm
‖v‖ = 〈v, v〉 1 2
= √ 〈v, v〉
für v ∈ V und es gilt die Cauchy-Schwarz'sche Ungleichung
|〈u, v〉| ≤ ‖u‖‖v‖
Bew
Zunächst Cauchy-Schwarz:
• betrachte t ∈ Rbeliebig
0 ≤ ‖u + tv‖ = 〈u, u〉 + 〈tv, u〉 + 〈u, tv〉 + 〈tv, tv〉 quadrat. Ergänzung
= ‖u‖ 2 + t [〈u, v〉 + 〈v, u〉] + t 2 〈v, v〉
= ‖u‖ 2 + 2t 〈u, v〉 + t 2 ‖v‖ 2
• Minimierung der rechten Seite bzgl. t ergibt t = 〈u,v〉
‖v‖ 2
• Einsetzen in die rechte Seite liefert
0 ≤ ‖u‖ 2 −
• nach Multiplikation mit ‖v‖ 2 und Wurzel ergibt sich
2 〈u, v〉2 〈u, v〉2
‖v‖ 2 +
‖v‖ 4 = ‖u‖ 2 〈u, v〉2
−
‖v‖ 2 ≥ 0
‖v‖‖u‖ ≥ [〈u, v〉] 1 2
= |〈u, v〉|
48

Beweis der △−Ungleichung folgt unmittelbar
□
• Wurzelziehen ergibt das gewünschte
‖u + v‖ 2 = 〈u + v, u + v〉
= 〈u, u〉 + 〈u, v〉 + 〈v, u〉 + 〈v, v〉
= ‖u‖ 2 + 2 〈u, v〉 + ‖v‖ 2
≤ ‖u‖ 2 + 2‖u‖‖v‖ + ‖v‖ 2 = (‖u‖ + ‖v‖) 2
Bsp
Betrachte Ebene R 2 . Ist normierter Raum bzgl. ‖x 1 , x 2 ‖ p = p√ |x 1 | p + |x 2 | p für p ∈ [1, ∞] und sogar Skalarproduktraum,
wenn p = z und somit
‖(x 1 , x 2 ) 2 ‖ = x 2 1 + x 2 2 = 〈(x 1 , x 2 ), (x 1 , x 2 )〉
wobei
〈(x 1 , x 2 ), (y 1 , y 2 )〉 = x 1 y 1 + x 2 y 2
Linearität oensichtlich.
2.1.5 Verallgemeinerung
R n ist Skalarproduktraum bzgl.
〈(x 1 , ..., x n ), (y 1 , ..., y n )〉 =
n∑
x i y i
Funktionenräume
C [a, b] ist Banach bzgl. ‖f‖ ∞ = sup a≤x≤b |f(x)| und Skalarprod.- (nicht Hilbert)-Raumbzgl.
〈f, g〉 =
ˆb
a
f(x)g(x)dx
Warnung
[´
Entsprechende Norm b
2
‖f‖ 2 = dx]
a f(x)2 hat wesentlich andere Eigenschaften als ‖f‖∞
Mit anderen Worten auf unendlichdimensionalen Räumen ist sehr wichtig, wie man Abstand bzw. Gröÿe misst
Folgenräume
l p = l p (R) ≡ Raum aller Folgen (x i ) ∞ i=1 ⊂ R, für die ∑ ∞
i=1 |x i| p < ∞ und somit ‖x‖ p = ( ∑ ∞
i=1 |x i| p ) 1 p
< ∞
Für p ∈ [1, ∞) ergibt sich Banachraum für p = 2 der einzige seperable Hilbertraum mit Skalarprodukt
〈x, y〉 =
i=1
∞∑
x i y i ≤ ‖x‖ 2 ‖y‖ 2 < ∞
alle l p Räume bestehen ausschlieÿlich aus Nullfolgen (wg. Konvergenz)
i=1
l 1 (R) ∌ x = ( 1 k )∞ k=1 ∈ l 2 (R)
49

2.1.6 Lemma Young- und Hölderungleichung
Für p > 1 < q konjugiert, d.h. 1 p + 1 q = 1 gilt für x i, y i ∈ R ∋ ˆx, ŷ
1. |ˆx| |ŷ| ≤ |ˆx|p
p
+ |ŷ|q
q
Young'sche Ungl.
Bew
2. ∑ n
i=1 |x iy i | ≤ ( ∑ n
i=1 |x i| p ) 1 p (
∑ n
j=1 |x j| q ) 1 q = ‖x‖p ‖y‖ q Hölder
3. Reduziert sich für p = q = 2 zu Cauchy-Schwarz
1.
• es gilt 1 p + 1 q = 1 ⇔ p + q = pq ⇔ 1
p−1 = q − 1
2.
• Fläche unter Kurve = ´ |ˆx|
x p−1 dx = 1 0 p xp | |ˆx|
0 = |ˆx|p
p
• Fläche über = ´ |ŷ|
y q−1 dx = 1 0 q xq | |ŷ|
0 = |ŷ|q
q
• Fläche des Rechtecks = |ˆx| |ŷ| ≤ ∑ Teilächen = |ˆx|p
p
n∑
i=1
|x i | |y i |
‖x‖ p ‖y‖ p
⇒
≤
young
=
+ |ŷ|q
q
∑ n
i=1 |x i| |y i | ≤ ‖x‖ p ‖y‖ q
n∑
( |x i| p
p‖x‖ p + |y i| q
p q‖y‖ q )
q
i=1
1
n∑
p‖x‖ p |x i | p + 1
p
q‖y‖ q q
i=1
} {{ }
1
p
n∑
|y i | q
i=1
} {{ }
1
q
□
50

Teil XI
VL am 15.5.13
2.1.7 Lemma Monotonie der p-Norm bzgl. p
Bew
Zunächst ist klaar, dass ∀ p ≥ 1 gilt:
‖x‖ 1 ≥ ‖ · ‖ p ≥ ‖ · ‖ q ≥ ‖x‖ ∞ =
‖x‖ p =
( n
∑
i=1
max |x i| ≥ ‖x‖ n
i=1,...,n n
) 1
p ( ) 1
|x i | p ≥ max |x i| p p
= ‖x‖∞
1≤i≤n
[ ∑n
( ) q ] p [
• q > p → ‖x‖q
‖x‖ p
=
|xi| ∑n
( ) p ] 1
i=1 ‖x‖ p
≤
|xi| q
i=1 ‖x‖ p
= 1
( ) q ( ) p
• |xi|
‖x‖ p
≤ ‖x‖∞
‖x‖ p
≤ 1 ⇒ |xi|
‖x p‖ ≤ |xi|
‖x p‖
• Bild1
• letzte Ungleichung ‖x‖ 1 = ∑ n
i=1 |x i| ≤ n · max 1≤i≤n |x i | = n‖x‖ ∞
)
• ∑ ( |x i| p
‖x‖ p p
= 1 ∑
‖x‖ p |xi | p = ‖x‖p p
p
‖x‖ = 1 p p
□
51

2.1.8 Bem
Wichtige Werte p = 1, 2, ∞. Bei Annäherung von Daten minimiert man die p-Norm des Diskrepanzenvektors
•
wird durch Wahl von (a, b) minimiert
‖z‖ p =
z i = y i − (ax i + b)
[ n
∑
i=1
|y i − (ax i + b)| p ] 1
p
p = 2⇒ gaussches Ausgleichsverfahren, d.h. Minimierung von ‖z‖ 2
p = ∞⇒ Tschebytscheapproximation, Minimierung der maximalen Diskrepanz |y i − ax i − b|
p = 1⇒L 1 - Approximation, Minimierung der Summe der Fehler
Einuss von Ausreiÿern, d.h. möglicherweise fehlerhaften Datenpaaren p = 2, p = ∞ stark beeinusst,
p = 1 völlig unbeeinusst von Ausreiÿern
2.1.9 Satz Minkowskiungleichung, ∆−Ungleichung für ‖ · ‖ p
1. ‖x + y‖ p ≤ ‖x‖ p + ‖y‖ p
2. [´ b
a |f(x) + g(x)|p] 1 p
≤
⎡
⎣
ˆb
a
⎤
1
p
‖f‖ p
|f(x)| p dx⎦
} {{ }
⎡
+ ⎣
vorausgesetzt f, g sind Riemannintegrierbar
Bew
nur 2., da 1. analog folgt
ˆb
a
⎤
1
p
≡‖g‖ p
|g(x)| p dx⎦
} {{ }
52

ˆb
a
|f(x) + g(x)| p =
≤
≤
Hölder
• Division durch 2. Faktor ergibt
ˆb
a
ˆb
a
⎡
⎣
ˆb
a
|f + g| 1 |h(x)| p−1 dx
ˆb
|f| |h| p−1 dx +
⎤ 1 ⎡ p
|f| p dx⎦
⎣
⎡
= (‖f‖ p + ‖g‖ p ) ⎣
ˆb
a
ˆb
= (‖f‖ p + ‖g‖ p )‖f + g‖
a
a
|g| |h| p−1 dx
⎤
|h| (p−1)q dx⎦
⎤
|h| p dx⎦
p
q
p
1
q
1
q
⎡
+ ⎣
ˆb
a
⎤ 1 ⎡ p
|g p | dx⎦
⎣
ˆb
a
⎤
|h| (p−1)q dx⎦
1
q
‖f + g‖ p p
p
q
‖f + g‖ p
= ‖f + g‖ p(1− 1 q )
p
= ‖f + g‖ 1 p
≤ ‖f‖ p + ‖g‖ p
q.e.d
2.1.10 Korollar Folgen aus Satz 2.1.9
1. Aus 2.1.9, 1. folgt, dass R n bzgl. ‖ · ‖ p wirklich normierter Raum ist
2. Aus 2.1.9, 2. folgt, dass die Reimannintegrierbaren Funktionen einen mit L p [a, b] bezeichneten normierten
Raum bilden, wenn Funktionen f und ˜f mit ´ b ∣
a
∣f − ˜f
∣ dx = 0 als identisch betrachtet.
∣
∣f − ˜f
∣ = ‖f − ˜f‖ = d(f, ˜f)
mit anderen Worten die Elemente L p [a, b] sind Äquivalenzklassen von Fktnen.⇒Lebesqueintegration für
präzise Behandlung.
2.1.11 Lemma normierter Raum von Folgen
Wisst Ihr übrigens,
was q.e.d
auch noch
heiÿen kann?
quite easily
done, wahlweise
quo erat
demonstrator
(worin sich der
beweisende
irrt)
Die Folgen (x 1 , ..., x n , ...) = (x k ) k∈N mit ‖x‖ p = (∑ ∞
i=1 |xi|) 1 p
< ∞ bilden einen normierten Raum, der mit l p = l p(R)
für p ∈ [1, ∞). Für p = ∞ setzt man ‖x‖ p = sup i∈N |x i| , d.h. l ∞ besteht genau aus den beschränkten Formeln.
Bew
Homogenität und Denitheit sind oensichtlich mit x = 0 ⇔ x i = 0∀i
• zz: △−Ungleichung ‖x + y‖ p ≤ ‖x‖ p + ‖y‖ p und somit x, y ∈ l p ⇒ x + y ∈ l p
53

• angenommen, es gibt Folgen y, x ∈ l p mit ‖x‖ p + ‖y‖ p < ‖x + y‖ p ∈ [0, ∞]
• da ‖x + y‖ p ≥ ( ∑ n
n=1 |x n| p ) 1 p monoton bzgl. n wächst und im Grenzwert ‖x + y‖ p erreicht, müsste bereits
für endliches n ∈ N gelten
( n
∑
k=1
) 1
(
p
∑ n
|x k | p > ‖x‖ p + ‖y‖ p ≥
k=1
) 1 (
p
∑ n
|x k | p +
k=1
|y k | p ) 1
p
• das würde bedeuten, dass die Minkowski Ungleichung für die ersten n Komponenten der Folge verletzt wäre.
Wir haben also einen Widerspruch.
2.1.12 Denition Äquivalenz von Normen
2 Normen ‖ · ‖und |‖ · ‖| auf demselben linearen Raum X heiÿen äquivalent, wenn es positive Konstanten c 1 und
c 2 gibt, so dass ∀x ≠ 0 :
0 < c 1 ≤ |‖x‖|
‖x‖ ≤ c 2
2.1.13 Satz Normäquivalenz auf R n und l n
Alle Normen auf R n sind paarweise äquivalent.
Bew
• benutze euklidische Norm ‖ · ‖ = ‖ · ‖ 2 als Referenz mit e i = (0, ..., 1
i−te Stelle , ..., 0)T ∈ R n
•
|‖x‖| = |‖
△−Ungl.
≤
=
Cauchy Schwarz
≤
• also haben wir die Ungleichung gezeigt, d.h.
n∑
x i e i ‖|
i=1
n∑
|‖x i e i ‖|
i=1
n∑
|x i | |‖e i ‖|
i=1
(
∑ n
) 1 ( )
2 n 1
2
∑
|x i | 2 |‖e i ‖| 2
i=1
= ‖x‖ 2 · c 2
|‖x‖| ≤ c 2 ‖x‖ 2
i=1
} {{ }
≡c 2,unabh. von x
54

• Existenz von c 1 wird durch Widerspruch bewiesen. Falls ein c 1 > 0 nicht existiert, muss gelten:
• d.h. die skalierten Vektoren ˜x k =
0 =
|‖x‖|
inf
0≠x∈X ‖x‖
=
|‖x k ‖|
lim
k→∞ ‖x k ‖
x k
erfüllen ‖x k ‖ |‖˜x k‖| → 0
k→∞
für x=(x k ) k∈N ⊂X
• da die ˜x k ∈ R n zur Einheitkugel gehören ‖˜x k ‖ = 1 sind sie beschränkt und haben nach Verallgemeinerung
von Heine-Borel eine konvergente Teilfolge
• oBdA ˜x k → x ∗ mit ‖˜x k ‖ → ‖x ∗ ‖ = 1. Da |‖˜x k ‖| ≤ c 2 ‖˜x k − x ∗ ‖ → 0
• |‖˜x k ‖| ≡ |‖˜x k − x ∗ + x ∗ |‖ ≥ |‖x ∗ |‖ − |‖˜x k − x ∗ |‖
• |‖˜x k |‖ = |‖x k|‖
‖x k ‖ hat lim inf ≥ |‖x ∗|‖ > 0
• im Widerspruch zur Annahme, dass |‖x k|‖
‖x k ‖ → 0
• also ist c 1 ≡ inf 0≠x∈X
|‖x|‖
‖x‖ > 0
• damit ist die Äquivalenz von |‖ · |‖ und ‖ · ‖ bewiesen.
→ |‖x ∗ |‖ > 0, da |‖ · |‖ denit
k→∞
55

Teil XII
VL 22.5.13
2.1.14 Satz Äquivalenz von Normen
Bsp
‖|x‖| ‖|x‖|
0 < inf ≤ sup
0≠x∈R n ‖x‖ 2 0≠x∈R ‖x‖ < ∞
• Unendlich dimensionaler Raum mit zwei nicht äquivalenten Normen. l 2 (R) = Menge aller quadratisch summierbaren
Folgen ist Hilbertraum bzgl. ‖ · ‖ 2 .
• zweite Norm ‖|u‖|≡ ‖u‖ ∞ ergibt für Vektoren u (k) = (1, ..., 1, 0, ..., 0) = ∑ k
} {{ }
k−mal
• ‖u (k) ‖ = √ k, ‖|u (k) |‖ = ‖u (k) ‖ ∞ = 1 ⇒ ‖|u(k) |‖
‖u (k) ‖
→ 0 ⇒keine Äquivalenz
k→∞
2.2 Konvergenz und Vollständigkeit in metrischen Räumen
2.2.1 Def Konvergenz, Cauchy, Vollständigkeit
1. Eine Folge (u k ) ⊂ X heiÿt konvergent , falls ∃u ∗ ∈ X :
∀ε > 0 ∃n 0 (ε) : n ≥ n 0 ⇒ d(u n , u ∗ )
j=1 ⃗e j
woraus folgt, dass (u k ) auch Cauchy-Folge sein muss. D.h. ∀ε > 0 ∃n 0 (ε) : n, m ≥ n 0 ⇒ d(u n , u m ) < ε
2. ein metrischer Raum heiÿt vollständig, falls in ihm jede Cauchyfolge einen Grenzwert besitzt
3. ein Raum heiÿt präkompakt, falls jede beschränkte Folge eine konvergente Teilfolge besitzt
• Bemerkung: Bolzano-Weierstraÿ: R und alle endlichdimensionalen Räume R n sind präkompakt.
2.2.2 Bem Identität vom von Konvergenz und Vollständigkeit
u k → u ∗ ⇔ d(u k , u ∗ ) → 0
Bei Normen ist Konvergenz und Vollständigkeit auch für Paare äqu. Normen identisch
56

2.2.3 Satz Produkt metrischer Räume
Für X i metrische Räume mit Normen
d i : X i × X i → R
bildet das cartesische Produkt
X = ⊗
n X i = X 1 × ... × X n
i=1
auch einen metrischen Raum bzgl. der Norm
X ist vollständig ⇔alle X i sind vollständig.
d((x 1 , ..., x n ), (˜x 1 , ..., ˜x n ) := max
1≤i≤n (d i(x i , ˜x i ))
Bew
Da X 1 × ... × X n = (X 1 × ... × X n−1 ) × X n = ˜X n−1 × X n kann der Beweis induktiv geführt werden.
• n = 1 ⇒ X 1 = X trivial
• n = 2 ⇒ X 1 ≡ Y, X 2 = Z, X ∋ x = (y, z), d y = d 1 , d z = d 2
• Denitheit und △ − Ungleichung sind für d leicht nachprüfbar
• n → n + 1 folgt , da X 1 × ... × X n+1 = (X 1 × ... × X n ) × X n+1 wiederum als Produkt zweier metrischer
Räume darstellbar ist
• zz. bleibt Vollständigkeitsaussage
• ⇒
Betrachte Folge (y k ) k∈N
⊂ Y , die Cauchykriterium erfüllt, d.h. d y (y k , y m ) < ε k, m > n 0 (ε)
⇒ für bel. z ∗ ∈ Z ist (x k = (y k , z ∗ )) ⊂ X eine Cauchyfolge, da
d(x k , x m ) = d((y k , z ∗ ), (y m , z ∗ ) = max(d y (y k , y m ), d z (z ∗ , z ∗ )) = d y (y k , y m ) < ε
=0
• ⇐
wg. vorausgesetzter Vollständigkeit von X hat (x k ) als Cauchyfolge Grenzwert x ∗ = (y ∗ , z ∗ ) mit max(d y (y k , y ∗ ), d z (z ∗ , z ∗ )) →
k
das verlangt d y (y k , y ∗ ) → 0, d.h. Ausgangsfolge (y k ) hat GW y ∗ ∈ Y
betrachte Cauchyfolge ( x (k)) k∈N
daraus folgt, dass alle Komponentenfolgen
für festes j einen GW x (k)
j
mit Komponenten x(k) j ∈ X j ∀ε > 0 ∃n 0 = n 0 (ε) : ∀k, m ≥ n 0 :
ε > d(x (k) , x (m) ) = max (d j(x (k)
j , x (m)
j ))
1≤j≤n
(
x (k)
j
)
⊂ X j
haben, da alle X j nach Voraussetzung vollständig.
57

(
zz. bleibt, dass x (∗) =
x (∗)
1
, ..., x(∗) n
)
wirklich GW der
(
x
(k) )
für bel. ε > 0 mit Obigem n 0 gilt ∀j und festes k ≥ n 0 : d j (x (k)
j
damit gilt schlieÿlich d(x (k) , x (∗) ) = max 1≤j≤n d j (x (k)
j , x (∗)
j ) ≤ ε
damit gezeigt, dass auch X vollst. metr,. Raum ist
2.2.4 Kor Vollständigkeit von R n
Die Räume R n = R×...×R (und C n ) sind vollst.
2.2.5 Satz Vollständigkeit von Folgenräumen
Auch die Folgenräume l p (R) sind vollständig. (insbesondere l ∞ (R)
2.2.6 Def oene und abgeschlossene Mengen
, x (m)
j
) ≤ ε und sonst für m → ∞ : d j (x (k)
j
1. zu x 0 ∈ X heiÿt B r (x 0 ) = {x ∈ X : d(x, x 0 ) < r} und ¯B r (x 0 ) = {x ∈ X : d(x, x 0 ) ≤ r}die oene bzw. abgeschlossene
Kugel mit Radius r um Mittelpunkt x 0
2. U ⊂ X heiÿt Umgebung von x 0 , falls für ein r > 0 : B r (x 0 ) ⊂ U
3. U ⊂ X heiÿt oen, falls es zu jedem x 0 ∈ U ein r > 0 gibt, so dass B r (x 0 ) ⊂ U
4. U heiÿt abgeschlossen ⇔ U 2 ≡ X\U oen
2.2.7 Lemma Schnitte und Vereinigungen von oenen/geschlossenen Mengen
• endliche Schnitte und unendliche Vereinigungen oener Mengen sind oen
• endl. Vereinigungen und unendl. Schnitte geschlossener Mengen sind geschlossen
2.2.8 Def
Für M ⊂ X heiÿt:
1. x 0 ∈ M innerer Punkt von M, falls B r (x 0 ) ⊂ M für ein r > 0
2. die oene Menge aller inneren Punkte von M heiÿt das Innere von M und kann mit ˚Mbezeichnet werden
3. Die Menge aller GW von Folgen aus M heiÿt der Abschluss von M und kann mit ¯M bez. werden
4. Der Schnitt der Abschlüsse ¯M ∩ ¯M C heiÿt der Rand und wird mit ∂M bezeichnet
5. X heiÿt seperabel wenn es eine abzählbare TM M ⊂ X gibt, so dass ¯M = X, d.h. jeder Pkt. in X ist GW
einer Folge aus M
• Bsp: X = R, M = Q
, x (∗)
j ) ≤ ε
58

Teil XIII
Ergänzungen aus der Ü Bosse 22.5.13
2.2.9 Def Randpunkt und Rand
x 0 ∈ X heiÿt Randpunkt von A ⊂ X, wenn jede Umgebung von x 0 (mind.) einen Punkt aus A und A C = X\A
enthält
Der Rand ist die Menge aller Randpunkte
Bildchen
!!!!!!!!!!!!!!Eine Kugel muss nicht immer Kugel sein, bei einer anderen Metrik sind auch andere Konstrukte (z.B.
Vierecke) denkbar!!!!!!!!!!!
Bsp:
1. A = (0, 1] ⊂ R
• Å = (0, 1)
• ∂A = {0, 1}, da ich um beide Punkte eine Umgebung legen kann, in der je ein Pkt aus A und A C liegt
• Ā = [0, 1]
2. A = Q ⊂ R
• Å = ∅, da man immer zwischen zwei Zahlen ∈ Q eine aus R legen kann. Damit ndet man nie eine
Umgebung um eine rationale Zahl, die nur rationale Zahlen enthält
59

• ∂A = R
• Ā = R
3. A = B r (x 0 )
• Å = A
• ∂A = S r (x 0 ) = {x ∈ X : d(x, x 0 ) = r}
• Ā = ¯B r (x 0 )
4. A = { 1
n : n = 1, 2, ....} ⊆ R
• Å = ∅
• ∂A = A ∪ {0}
• Ā = A ∪ {0}
5. A = { ( 1 n , 1 m ) : m, n ∈ N} ⊆ R 2
• Å = ∅
• Ā = ∂A
• ∂A = A ∪ {0, 0} ∪ { (0, 1 m ), m ∈ N} ∪ { ( 1 n
, 0), n ∈ N}
60

Teil XIV
VL am 27.5.13
2.2.10 Bemerkung leere Menge; geschlossen, wenn Komplement oen etc.
• Die leere Menge Menge ist oen und geschlossen
• M geschlossen, wenn M C oen
• die meisten Mengen sind weder geschlossen, noch oen
• (a, b) ist oen, [a, b] geschlossen
• [a, b] c = (−∞, a) ∪ (b, ∞)
2.2.11 Lemma oen und geschlossen
Bew
1. M i oen ⇒ ⋂ n
i=1 M ioen ∧ ⋃ ∞
i=1 M i oen
2. M i geschlossen⇒ ⋃ n
i=1 M i geschlossen ∧ ⋂ ∞
i=1 M i geschlossen
1. äquivalent zu 2., wg der Moivreschen Formel für bel. TM M i
(
⋃ ∞
) c ∞⋂
M i = Mi c = {Menge aller Elemente x∈X, die zu keiner der Mengen M i gehören}
i=1
zum Beweis von 1.
i=1
• Für jedes x ∈ ⋂ n
i=1 M i gilt: x ∈ M i für i = 1...n und wg. Oenheit der M i : x ∈ B ri (x) ⊂ M i für ein geeignetes
r i > 0.
• Dann gilt mit r = min 1≤i≤n r i > 0, dass x ∈ B r (x) = ⋂ n
i=1 B r i
(x) ⊂ ⋂ n
i=1 M i. Also ist B r (x) im endlichen
Schnitt enthalten
• zweite Aussage:
• x ∈ ⋃ ∞
i=1 M i ⇒ x ∈ B ri (x) ⊂ M i für min. ein i
• dann ist aber auch B ri
⊂ ⋃ ∞
i=1 M i
• somit jeder Punkt x ∈ ⋃ ∞
i=1 M i innerer Punkt und die Vereinigung ist damit oen
• die Einschränkung ist notwendig, da
[0, 1]
geschlossen
=
(0, 1) =
∞⋂
(− 1 i , 1 + 1 i )
i=1
∞⋃
[ 1
i , 1 − 1 ]
i
i=1
61

2.2.12 Lemma Beziehung inneres, Abschluss und Rand zu Vereinigung und Schnitt
• Inneres
⋃
˚M ≡ {Menge aller inneren Pkte. von M}=
˜M
• Abschluss
oene ˜M⊂M
⋂
¯M ≡ {Menge aller Grenzwerte von Folgen aus M} =
geschl ˜M⊃M
˜M
• Rand
∂M≡
¯M\ ˚M
Bew
später
2.2.13 Def dicht und separabel
Bsp
1. M ⊂ ˜M heiÿt dicht in ˜M falls ¯M ⊃ ˜M (z.B. Q in R )
2. X heiÿt separabel, wenn sie Abschluss einer abzählbaren TM M ⊂ X ist
1. Die Dezimalzahlen mit jeweils nur endlich vielen Ziern liegt dicht in der Menge der rationalen Zahlen, ihr
Abschluss sind aber schon die reellen Zahlen.
2. Kreis und Kreisrand in der Ebene
¯B = { (x, y) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≤ 1 }
abgeschlossen,beschränkt, separabel, da Abschluss von
} {{ }
¯B ∩ Q 2 = { (x, y) : x, y ∈ Q, x 2 + y 2 ≤ 1 }
kompakt
3. S = ∂ ¯B
{
= {(x, y) : x 2 + y 2 = 1},˚¯B = (x, y) : x 2 + y 2 < 1 }
abgeschlossen, kompakt, separabel, da Abschluss von {(cos ϕ, sin ϕ) : ϕ ∈ Q}
4. Denkaufgabe:
wird S auch durch S ∩ Q 2 aufgespannt, d.h. ist Abschluss
{
}
}
• S ∩ Q 2 ≡ ( m n , p q ) : m 2
n
+ p2
2 q
= 1 =
{( m 2 n , p q ) : (mq)2 + (pn) 2 = (nq) 2 , d.h.a = mq, b = pn, c = nq müssen
pythagoräisches Tripel bilden
• a 2 + b 2 = c 2 hat ∞ viele Lsgs⇒ Dichte von S ∩ Q 2
• a n + b n = c n hat nach Fermat keine Lsg für n ≥ 3
Als abgeschlossene TM von R 2 sind sowohl ¯B als auch S selbst vollständige metrische Räume bzgl. der geerbten
Metrik d(x, ˜x) = ‖x − ˜x‖ 2 für x, ˜x ∈ B oder x, ˜x ∈ S
62

• in S bietet sich Bogenmaÿ als alternative Metrik an
• Für (x, y) und (˜x,ỹ) bietet sich das Bogenmaÿ
ϕ = b((x, y), (˜x, ỹ)) = arccos(x˜x + yỹ)
an
• gilt nach Kosinussatz
c 2 = â 2 + ˆb 2 − 2âˆb cos(ϕ) = 2(1 − cos ϕ) ⇔ d = √ 2 √ 1 − cos(b)
• hieraus lassen sich Konstanten c 1 und c 2 herleiten, so dass 0 < c 1 ≤ b a ≤ c 2 < ∞
2.2.14 Lemma Charakterisierung von Konvergenz durch Umgebungen
1. (x i ) ∞ i=1 ⊂ X konvergiert gegen ein x ∗ ∈ X
⇔∀ oenen U ∋ x ex. ein n 0 , so dass U ∋ x n für alle n ≥ n 0
⇔ ∀ oen U ∋ x ∃n 0 ∀n ≥ n 0 : x n ∈ U
2. Eine Menge M ⊂ X ist abgeschlossen ⇔ x n → x ∗ für (x n ) n∈N ⊂ M impliziert, dass x ∗ ∈ M
Bemerkung: 1. kann genutzt werden, um Konvergenz zu denieren, wenn man keine Metrik, sondern nur ein
System oener Mengen hat⇒topologischer Raum
Bew
1.
• ⇒
• ⇐
Betrachte oenes U ∋ x und entsprechende Kugel B ε (x) ⊂ U
diese ex., da U nur innere Punkte hat, insbesondere x einer ist
aus Konvergenz folgt Existenz von n 0 = n 0 (ε), so dass ‖x n − x‖ < ε für n ≥ n 0 was impliziert
x n ∈ B ε (x) ⊂ U für n ≥ n 0
betrachte bel. ε > 0 und entsprechendes U = B ε (x), dann müssen alle x n mit n ≥ n 0 (U) in U(
liegen, so dass ‖x n − x‖ < ε. Damit ist übliche Denition der Folgenkonvergenz erfüllt.
63

Teil XV
VL am 29.5.13
Ich war Schüler belustigen, keine VL. Siehe Kurs Mitschriften, der Upload nur für diese VL
64

Teil XVI
VL am 3.6.13
3 Stetigkeit und Banach
Stetigkeit von f, d.h.
f ∈ C(x, y) ⇔ ∀x∀ε∃δ : f(B δ (x)) ⊂ B ε (x)
⇔ x k → x ∗ ⇒ f(x k ) → f(x ∗ ) = y ∀x ∗ ∈ X
⇔ { V ⊂ Y offen ⇒ U = f −1 (V ) offen } ⇔ { V ⊂ Y abgeschlossen ⇒ f −1 (V ) ⊂ X abgeschlossen }
3.0.15 Bemerkung Erhaltung von Stetigkeit
Stetigkeit wird unter üblichen Verknüpfungen erhalten
3.0.16 Kontraktion
f : M ⊂ X → M mit M abgeschlossen
Konsequenz BFT:
∀x, y ∈ M : d(f(x), f(y)) ≤ Ld(x, y) mit L < 1
• ∀x 0 ∈ M konvergiert die iterativ erzeugte Folge x k = f(x k−1 ) gegen den einzigen Fixpunkt von f in M
• Abstand des verbleibenden Abstands zur Lsg:
Bew
noch zz: lokale Abschätzung
d(x k , x ∗ ) ≤
x k → x ∗ = f(x ∗ )
L
1 − L d(x k, x k−1 )
d(x k , x ∗ ) ≤ d(x k , x k+1 ) + d(x k+1 , x ∗ )
= d(f(x k−1 ), f(x k )) + d(f(x k , x ∗ ))
≤ Ld(x k−1 , x k ) + Ld(x k , x ∗ )
⇔ d(x k , x ∗ )(1 − L) ≤ Ld(x k , x k−1 ) ⇒ Behauptung
□
65

3.0.17 Bemerkung BFT nützlich bei Beweisen
von
• Ex. von Umkehrfktnen. (in R n )
• Implizitem Funktionentheorem (in R n )
• Satz von Picard-Lindelö zeigt C [a, b]
• Ex. und 1-dtgkeit von Lsg von DGLs
3.0.18 Bemerkung
Euklid
Euklid
Banachraum
Zur Berechnung der Lipschitzkonstanten gibt es Vererbungsregeln, z.B.
h(x) = αf(x) + βg(x)
mit Lipschitzkonstanten L f , L g auf gemeinsamem Bereich M ⊂ X, α, β ∈ R
⇒ L h = |α| L f + |β| L g
Wenn f auf Umgebung U ⊃ M ⊂ R dibar ist, dann ergibt
L = sup |f ′ (x)|
x∈M
geeignete, ziemlich optimale (so what???????) Lipschitzkonstante. In R n ist L Maÿ der Jakobimatrix
(
∂fi
∂x j
)
i = 1, ..., m
j = 1, ..., n
3.0.19 Denition Kompakte Menge, beschränkt
1. M ⊂ X heiÿt (folgen)kompakt, falls ∀(x k ) k∈N ⊂ X eine konvergente Teilfolge und damit ein Häufungspunkt
in M ex.
2. M ⊂ X heiÿt beschränkt, falls für ein und damit alle x 0 ∈ M : sup x∈M d(x 0 , x) < ∞
3.0.20 Bem Überdeckungskompaktheit
Es gibt auch ein Konzept, Überdeckungskompaktheit, das für verschiedene Beweisführungen nützlich ist. Auf metrischen
Räumen allerdings äquivalent zur Folgenkompaktheit. Bzgl. 2. gilt für jedes ˜x 0 nach △−Ungl.:
sup (˜x 0 , x) ≤ sup d(x 0 , x) + d(x, ˜x 0 )
X∈M
x∈M
Also ist die Eigenschaft unabh. vom Referenzpkt. x 0
66

3.0.21 Lemma Abgeschlossen- und Beschränktheit von Kompakten Mengen
Jede kompakte Menge M ⊂ X ist abgeschlossen und beschränkt.
Falls X ein endlich dimensionaler normierter Raum ist, gilt auch die Umkehrung, d.h. jede beschränkte abgeschlossene
Menge ist (folgen)kompakt
Bew
Wäre M nicht abgeschlossen, so gäbe es Folgen (x k )M mit grenzwert x ∗ ∈ M C . Das widerspricht vorausgesetzter
Folgenkompaktheit. Wäre M unbeschränkt, so gäbe es Folge (x k ) ⊂ M mit
Alsofolgt für jedes feste m und k → ∞
d(x k , x 0 ) → ∞.
lim inf d(x m, x k ) ≥ lim inf d(x 0, x k ) − d(x 0 , x m ) = ∞
k→∞ k→∞
Es gibt speziell Folge (x k ) mit x k /∈ B k (x 0 ), d.h. d(x 0 , x k ) ≥ k
• zz bleibt Umkehrschluss, wenn X = R n .
• betrachte Folge ( x (k)) ∞
k=1 ⊂ M ⊂ B r(0) ⊂ R n
• bezeichnet man nun mit x (k)
j die j-te Komponente des Vektors x (k) , so bilden die Folgen x (k)
j für festes j eine
durch r beschränkte Folge in R. Sie haben wegen der bereits bewiesenen Folgenkompaktheit beschränkter
abgeschlossener Mengen in R Häufungspunkt x ∗ j ∈ R
• o.B.d.A können wir sukzessive für j = 1, ..., n Folgeglieder auslassen, so dass die verbleibende Folge x (k) in
jeder Komponente gg. das entsprechende x (∗)
j konvergiert
• dann konvergiert
gg. 0
{∣
‖x (k) − x (∗) ∣∣x (k)
‖ ∞ = max j
1≤j≤n
− x (∗)
j
• wg. Äquivalenz aller Normen auf R n und vorausgesetzter Abgeschlossenheit von M gilt
was Folgenkompaktheit von M bedeutet
□
3.0.22 Satz Vererbung und Kompaktheit
Falls f : M ⊂ X → Y stetig und M kompakt,
1. dann ist auch f(M) ⊂ Y kompakt
2. dann ist f auf M sogar gleichmäÿig stetig, d.h.
x (k) → x (∗)
}
∣
∀ε∃δ∀x ∈ M : f(B δ (x)) ⊂ B ε (f(x))
67

Bew
1. betrachte Folge von y k ∈ f(M) ⇒ x k ∈ f −1 (y k ) ∩ M ist Folge in M und hat nach Kompaktheitsvoraussetzung
Häufungspunkt x 0 ∈ M
• aus x 0 = lim k→∞ x n(k) ← T eilfolge
• ergibt sich wegen Stetigkeit von f
y n(k) = f(x n(k) ) → f(x ∗ ) ≡ y +
• also ist y + Häufungspunkt von (y k ) k∈N und f(M) damit auch kompakt
2. Bew. durch Widerspruch
• angenommen
∃ε > 0 : δ = 1 k ∃(x k, y k ) ∈ M × M
mit
d(x k , y k ) ≤ 1 k
aber
d(f(x k ), f(y k )) ≥ ε
• wg. Folgenkompaktheit haben (x k ) und (y k ) Häufungspunkte, so dass o.B.d.A x k → x ∗ und y k → y ∗
• da d(x k , y k ) ≤ 1 k , muss auch d(x ∗, y ∗ ) ≤ d(x ∗ , x k ) + d(x k , y k ) + d(y k , y ∗ ) gg. 0 konvergieren.
• Also gilt x ∗ = y ∗ und wg. Stetigkeit von f an x ∗ = y ∗
• lim k→∞ f(x k ) = f(x ∗ ) = f(y ∗ ) = lim k→∞ f(y k )
• schlieÿlich muss auch d(f(x k ), f(y k )) gg. 0 konvergieren
• Widerspruch zur Annahme d(f(x k ), f(y k ) ≥ ε > 0
□
3.0.23 Kor Weierstraÿ
Falls f : M ⊂ X → R stetig mit M kompakt, dann ex. ein Minimalpunkt x ∗ ∈ M und Maximalpkt. x ∗ ∈ M, so
dass
f ∗ = f(x ∗ ) ≤ f(x) ≤ f ∗ = f(x ∗ )
für alle x ∈ M
Bew
Nach Satz (3.0.22) ist f(M) ⊂ R kompakt, deshalb beschränkt und enthält sein Inmum als y ∗ ∈f(M) und sein
Supremum als y ∗ ∈ f(M)
• dieses sind die Minimal- und Max.werte von f auf M.
• deren Urbilder f −1 (y ∗ ) und f −1 (y ∗ ) mindestens einen Minimalpkt x ∗ und Maximalpkt. x ∗ enthalten.
68

3.0.24 Def Wegzusammenhängend, konvex
Eine Menge M ⊂ X heiÿt wegzusammenhängend, wenn es zu jedem Paar x, y ∈ Meine stetige Funktion
P : [0, 1] → M gibt, so dass P (0) = x und P (1) = y.
Eine Menge M ⊂ X heiÿt konvex, wenn p an gewählt werden kann, d.h.
für 0 ≤ t ≤ 1
3.0.25 Lemma
Stetige Funktionen erhalten Zusammenhang
Ane Funktionen erhalten Konvexität
p(t) = (1 − t)x + ty
69

Teil XVII
VL am 5.6.13
Abschluss von Metrische Räume
3.0.26 Lemma
Elementare Aussagen über Zshg. und Konvexität
1. M ⊂ X in metrischem Raum X zusammenhängend ⇒f(M) ⊂ Y tut es auch in Y , falls f stetig
2. M ⊂ X in linearem Raum X konvex⇒ f(M) ⊂ Y in linearem Raum Y konvex, falls f : X → Y an ist
3. M, N zusammenhängend⇒ M ∪ N zusammenhängend
4. M, N konvex⇒ M ∩ N konvex
3.0.27 Bem
• 3. gilt nicht für Schnitt
• 4. gilt nicht für Vereinigung
• Kovexität spielt groÿe Rolle in Optimierung, speziell bei wirtschaftswissenschaftlichen Anwendungen
4 Dierentialrechnung in mehreren Variablen
Idee: Annäherung einer hinreichend glatten Funktion f : X → Y zwischen lin. Räumen durch ane - , bzw. Fkt.,
die Tangentenlinie verallgemeinert
4.0.28 Def Linearität, Anität
1. Eine Abbildung f : X → Y heiÿt linear, falls für alle x, y ∈ X und α, β ∈ R gilt
f(αx + βy) = αf(x) + βf(y)
Man schreibt die Anwendung einer linearen Funktion f auf ein Element x ∈ X gerne in der multiplikativen
Form
f(x) = Ax
mit A ∈ L(X, Y ). Hierbei bezeichnet L(X, Y ) die Menge aller linearen Operatoren, d.h. kinearen Abb, zwischen
X und Y
2. f : X → Y heiÿt an, wenn f(x) − f(0) linear ist, so dass f(x) = Ax + b mit f(0) = b
Häug wird linear gesagt, wenn an gemeint ist.
• A(αx + βy) = αAx + βAy
• falls b = 0 heiÿt f(x) = Ax auch homogen
linear ⇔ an ∧ homogen
70

4.0.29 SatzL(X, Y ) ist Banach
Seien X, Y Banachräume, d.h. normiert und vollst.
Bew
□
1. dann bildet L(X, Y ) einen normierten Raum bezüglich der Norm
‖A‖ =
‖Ax‖
sup
0≠x∈X ‖x‖
← Norm in Y
← Norm in X
Diese wird als Operatornorm oder die durch die beiden Normen in X und Y induzierte Norm bezeichnet.
2. Der normierte Raum L(X, Y ) ist sogar vollständig und somit Banach.
1. A, B ∈ L(X, Y ) ergibt die Summe A + B mit den Werten (A + B)x = Ax + Bx für x ∈ X. Für x ∈ R wird
αA deniert durch die Werte
(αA)(x) = α(Ax)
Mit Denitionen ist L(X, Y ) oensichtlich ein lin. Raum
• Normeigenschaften von ‖A‖ ergeben sich wie folgt:
(a) Denitheit
da ‖Ax‖ ≥ 0 und ‖x‖ > 0 für x ≠ 0 ist ‖A‖ nicht negativ
0 = ‖A‖ verlangt ‖Ax‖ = 0 ∀x ∈ X
da die Vektornorm in X def. ist, folgt, daraus Ax = 0 ∀x ∈ X, d.h. A = 0 ist der bzgl. Addition
in L(X, Y ) neutrale Nulloperator
also ist ‖A‖ denit
(b) Homogenität
(c)
‖αA‖ = sup 0≠x∈X
‖αAx‖
‖x‖
sup
0≠x∈X
‖(A + B)x‖
‖x‖
} {{ }
‖A+B‖
2. erfordert rel. aufwendigen Bew.
= sup 0≠x∈X
|α|‖Ax‖
‖x‖
‖Ax+Bx‖
≤ sup 0≠x∈X
↑
△ungl in Y
= |α| sup 0≠x∈X
‖Ax‖
‖x‖
‖x‖
≤ sup
‖Ax‖
0≠x∈X ‖x‖
} {{ }
‖A‖
+ sup
= |α| ‖A‖
‖Bx‖
0≠x∈X ‖x‖
} {{ }
‖B‖
71

4.0.30 Bem
auf endlichdim euklid. Räumen R n = X ∧ R m = Y werden A ∈ L(R n , R m ) häug mit ihrer Matrixdarstellung bzgl
der nat Basen (e j ) n j=1 ⊂ Rn mit e j = (0, ..., , ..., 0) ∈ R n und (ê i ) m i=1 in R n analog , identiziert
Ae j =
⇒ A ˆ=
⇒ x =
⇒ Ax =
=
=
1
↑
j−te−Stelle
m∑
a ij e i
i=1
⎛
⎞
α 11 · · · α 1n
⎜
⎟
⎝ . . ⎠
α m1 · · · α mn
n∑
x j e j ∈ X
j=1
n∑
x j Ae j
j=1
n∑ ∑
m
x j
j=1 i=1
i=1
α ij e i
m∑ n∑
e i ( α ij x j ) Matrixvektormultiplikation
j=1
⎛ ⎞
⎛ ⎞
x 1
y 1
⎜ ⎟
⎜ ⎟
x = ⎝ . ⎠ ⇒ y = Ax = ⎝ . ⎠ mit y i = ∑ n
j=1 α ijx j
x n y m
In ∞−dim. Räumen ist es eher unüblich, Basen anzugeben, diese müssen für Hilbert-, aber nicht für alle Banachräume
ex. .
4.0.31 Def totale Dierenzierbarkeit
Eine Abbildung f : D ⊂ X → Y zwischen Banachräumen mit D oen heiÿt total oder Fréchet-Dierenzierbar an
Stelle x 0 ∈ D, wenn es einen mit F ′ (x 0 ) = A bezeichneten Operator A ∈ L(x, Y ) gibt, so dass
lim
‖v‖→0
1
‖v‖ [F (x 0 + v) − F (x 0 ) − Av] = 0
Mit anderen Worten: F (x 0 + v) − F (x 0 ) wird durch Av gut angenähert
72

4.0.32 Bem reeller und mehrdim Fall
Im reellen gilt
f ′ f(x 0 + v) − f(x 0 ) f(x 0 + v) − f(x 0 ) − f ′ (x 0 )v
(x 0 ) = lim
⇒ lim
= 0
v→0 v
|v|→0
|v|
Im mehrdim Fall ist v ∈ X ein Vektor und hat deshalb keinen Kehrwert 1 v
. Wir dürfen v nicht in den Nenner
stellen. Bequemer ist folgende Notation
o s.u.
4.0.33 Def Landausymbole
Mit p ∈ [0, ∞) und g, h : (−δ, δ) ⊂ R → X schriebt man
1. g(t) = O(t p ), falls lim sup t→0
‖g(t)‖
|t| p
2. h(t) = o(t p ), falls lim sup t→0
‖g(t)‖
|t| p
F (x 0 + v) = F (x 0 ) + Av + o(‖v‖)
< ∞. Man sagt auch: Für t → 0 geht g(t) min. so schnell gg. 0 wie |t|p
= 0. Man sagt auch: Für t → 0 geht h(t) schneller gg. 0 als |t|p
Bsp
1. sin( 1 t )tp = O(t p ), da ∣ ∣sin( 1 t )tp∣ ∣ = ∣ ∣sin 1 ∣
t
t p ≤ t p
∣ t
2. p
log(t) = o(tp ), da ∣∣ t
lim p
1
1
t→0 log(t)
∣
|t|
= lim p t→0 |log(t)| = 1 ∞ = 0
4.0.34 Lemma Rechenregeln für Landausymbole
1. O(t p ) + O(t q ) = O(t min(p,q) )
2. O(t p )O(t q ) = O(t p+q )
3. O(t p ) + o(t q ) = O(t p )
4. O(t p )o(t q ) = o(t p+q )
5. o(t p ) + (t q ) = o(t min(t,q) )
73

4.0.35 Bem
• O oder o-Terme dürfen nie im Nenner auftreten, da z.B.
sin( 1 t )tp = O(t p )
unendl. viele NSTs hat.
• p = 0 ist zulässig
• O(t 0 ) = O(1) ist Term der beschr. bleibt, wenn t → 0
• o(t 0 ) = o(1) ist Term, der gegen Null geht, wenn t → 0
• Linke Form ist eindeutiger, vor allem, wenn mehr als eine Gröÿe t variieren
74

Teil XVIII
VL 10.6.13
Ich war krank
75

Teil XIX
VL 12.6.13
Erinnerung
• Dierentialrechnung für f : R n → R
∂f
f(x+te
• part. Ableitung:
∂x j
(x) := lim j)−f(x)
t→0 t
falls DW ex.
• f dibar in x⇒alle part. Ableitungen ex. und f ′ (x)(e j ) = ∂f
∂e j
(x)
4.0.36 Def Gradient
Sei f : R n → R partiell dibar nach allen x j . Dann heiÿt
(∇ ist Nablaoperator) Gradient von f in x
∇f(x) := ( ∂f
∂x 1
(x), ..., ∂f
∂x n
(x))
4.0.37 Bem
Ist f dibar in x, dann gilt
〈·, ·〉Skalarprod.
f ′ (x)(v) = 〈∇f(x), v〉
Bew
□
• für v = (v 1 , ..., v n ) = ∑ i v ie i
• ⇒ f ′ (x)(v) = ∑ i v if ′ (x)(e i ) = ∑ i v i ∂f
∂x i
(x) = 〈∇f(x), v〉
Bsp
• Betrachte
f : R 2 → R
(x 1 , x 2 ) ↦→ min {|x 1 | , |x 2 |}
• betrachten part. Ableitung in (0, 0) =: 0
76

•
f(0) + t(e 1 ) − f(0)
t
f(t, 0) − f(0)
=
t
= 0 − 0
t
= 0
• ⇒ ∂f
∂x 1
(0) = lim t→0
f(t,0)−f(0)
t
= 0
• analog ∂f
∂x 2
(0) = 0
• aus den letzten beiden Pkten folgt: beide part Abl. existieren.
• Frage: Ist f dibar in (0)?
wäre es f, dann würde
d.h. es gilt
betrachte (t, t) → 0
⇒ f(t,t)−f(0)
t
= |t|
t
hat keinen GW⇒ Widerspruch
4.0.38 Satz
f ′ (0)(v) = 〈∇f(0), v〉 = 0
f(x + v) − f(x)
lim
= 0
v→0 ‖v‖
Sei U ⊂ R n oen und x ∈ U und f : U → R
Für alle y ∈ U ex. alle part. Abl.
∂f
∂x j
(y) und diese seien stetig. Dann gilt: f ist dibar in jedem Punkt aus U
4.0.39 Def stetig dierenzierbar
Wenn fauf U diese Voraussetzungen des Satzes erfüllt, dann nennen wir f stetig dibar und schreiben
f ∈ C 1 (U, R)
Bew
Sei y ∈ U bel. x und r > 0 so, dass B r (y) ⊂ U
• für ‖v‖ < r def. wir
• dann gilt:
y (i) = (y 1 + v 1 , ..., y i + v i , y i+1 , ..., y n ) ∈ B r (y)
f(y + v) − f(y) = f(y + v) − f(y (n−1) ) + f(y (n−1) ) + ... + f(y (1) ) − f(y)
n∑
= f(y (i) ) − f(y (i−1) )
i=1
77

• wir betrachten
• d.h. φ (i) (0) = y (i−1) und φ (i) (1) = y (i)
• nach Kettenregel gilt
φ (i) : [0, 1] → B r (y)
t ↦→ f(y (i−1) + t(0, ..., 0, v i , 0, ..., 0)
φ (i)′ (t) = v i
∂f
∂x i
(y (i−1) + t(0, ..., 0, v i , 0, ..., 0)
• Mittelwertsatz für dür Fktnen. einer Variablen⇒ ∃t ∈ [0, 1]
f(y (i) ) − f(y (i−1) ) = φ (i) (1) − φ (i) (0) = φ (i)′ (t i )(1 − 0) = v i
∂f
∂x i
(y (i−1) + t i (0, ..., v i , ..., 0)
• ⇒ f(y + v) − f(y) = ∑ n
i=1 v i ∂f
∂x i
(y (i) + t(0, ..., v i , ..., 0))
• Beh f ′ (x)(v) = ∑ n
i=1 v i ∂f
∂x i
(x)
n∑
• ⇒ f(y + v) − f(y) = f ′ (y)(v) = v i ( ∂f (y (i) + t(0, ..., v i , ..., 0) − ∂f (y))
∂x
i=1 i ∂x i
} {{ }
o(‖v‖)
• nzz.:v i ( ∂f
∂x i
(y (i) + t(0, ..., v i , ..., 0) − ∂f
∂x i
(y)) = o(‖v‖)
• n.V. sind die part Abl. stetig, d.h. ∀ε > 0∃δ > 0 :
∂f
∣ (y + v) − ∂f
(y)
∂x i ∂x i
∣ < ε ∀‖v‖ < δ
• nun ist ‖y (i−1) + t(0, ..., v i , ..., 0) − y‖ = ‖(v 1 , ..., v i−1 , tv i , 0, ..., 0)‖ ≤ ‖v‖ ∀t ∈ [0, 1]
∣ ∂f
• d.h. ∣v i ∂x i
(y (i−1) + t(0, ..., v i , ..., 0)) − ∂f
∂x i
(y) ∣ ≤ ε |v i | ≤ ε‖v‖
• ⇒ v i ( ∂f
∂x i
(...) − ∂f
∂x i
(y)) = o(‖v‖)
• ⇒ Beh.
□
4.1 Eigenschaften dibarer Fktnen.
4.1.1 Satz Mittelwertsatz
Sei U ⊂ R n und f ∈ C 1 (U, R) und x, y ∈ U, so dass X(t) = (1 − t)x + ty ∈ U ∀t ∈ [0, 1], dann ex. t o ∈ [0, 1] , so
dass für z ∈ X(t 0 ) gilt:
f(y) − f(x) = 〈∇f(z), y − x〉
78

Bew
X : [0, 1] → U ist dibar mit X(t) = y − x
• ⇒(f ◦ X) : [0, 1] → R ist stetg dibar mit (f ◦ X) ′ (t) = 〈∇f(X(t)), y − x〉 = f ′ (X(t))(X ′ (t))
• Mittelwerts. für diese Fkt. t 0 ∈ [0, 1] :
f(y) − f(x) = (f ◦ X)(1) − (f ◦ X)(0)
= (f ◦ X) ′ (t 0 )(1 − 0)
= 〈∇f(X(t 0 )), y − x〉
□
4.1.2 Kor
Seien f, x, y wie im obigen Satz, dann gilt
|f(y) − f(x)| ≤ L‖y − x‖
wobei
L = max ‖∇f((1 − t)x + ty)‖
t∈[0,1]
Bew
Mitwertsatz
|f(y) − f(x)| = |〈∇f((1 − t)x − ty), y − x〉|
=
Cauchyschwarz
‖∇f((1 − t)x + ty)‖ 2 ‖y − x‖ 2
≤ L‖y − x‖ 2
□
4.1.3 Satz Charakterisierung konstanter Fktnen.
G ⊂ R n ein Gebiet, f ∈ C 1 (G, R n ), dann gilt
Erinnerung: Gebiet= oen und wegzusammenhängend
f ist konstant⇔ ∇f ≡ 0
Bew
• ⇒ trivial
• ⇐
Fall1: G konvex
79

∗ xieren x ∈ G, dann gilt ∀y ∈ G
f(y) − f(x)
MW S
= 〈∇f((1 − t)x + ty), y − x〉 für ein t ∈ [0, 1]
n.V.
= 0
4.1.4 Satz
∗ ⇒ f(y) = f(x) ∀y ∈ G, d.h. f konst.
F2: nicht konvex
∗ Idee: teile G in lauter konvexe Teile auf
∗ xiere x ∈ G. Sei y ∈ G bel.
∗ ⇒∃ stetge Abb.
γ : [0, 1] → G
mit γ(0) = x und γ(1) = y
∗ G ist oen ⇒∀t ∈ [0, 1] ∃ε(t) > 0 : B ε(t) (γ(t)) ⊂ G
∗ γ ist stetg⇒∀ε(t) ∃δ(t) > 0 :
Sei A ⊂ X kompakte Menge und U i ⊂ X oen mit
γ((t − δ(t), t + δ(t)) ) ⊂ B
} {{ } ε(t) (γ(t))
offene Menge
A ⊂ ⋃ i∈I
U i , I bel. Indexmenge
⇒ ∃i 1 , ..., i n ∈ I : A ⊂ ⋃ n
k=1 U i k
Bew zu dem davor
• [0, 1]kompakt, [0, 1] ⊂ ⋃ δ(t)
t∈[0,1]
(t −
2 , t + δ(t)
2 )
obiger Satz
• ⇒ ∃t 1 , ..., t n−1 ∈ I, t 0 := 0, t n := 1
[0, 1] ⊂
n⋃
(t i − δ(t i)
2 , t i + δ(t i)
2 )
• ⇒ γ([0, 1]) ⊂ ⋃ n
i=0 γ((t i − δ(ti)
2 , t i + δ(ti)
2 )) ⊂ ⋃ n
i=0 B ε(t i)(γ(t i ))
• o.B.d.A. sei 0 < t 1 < ... < t n
• dann gilt für t k ∈ (t k+1 − δ k+1 , t k + δ k+1 ) oder t k+1 ∈ (t k − δ k , t k + δ k )
• ⇒ γ(t k ) ∈ B ε(tk+1 ), (γ(t k+1 )) oder γ(t k+1 ) ∈ B ε(tk )(γ(t k )),
i=0
• d.h. γ(t k ) und γ(t k+1 ) liegen immer in einer ε−Kugel
80

• ε−Kugeln sind konvex F ⇒
all1
f(γ(t k )) = f(γ(t k+1 )) ∀k
• ⇒ f(x) = f(γ(t 0 )) = f(γ(t 1 )) = ... = f(γ(t 1 )) = f(y)
• y war bel. →Behauptung
81

Teil XX
VL am 17.6.13
4.1.5 Satz partielle Ableitung stetig, dann total stetig dibar
d.h. total stetig dibar auf D ⊆ R n
4.1.6 Bem
∂f
∂x j
∈ C(D, R) für j = 1, ..., n, D ⊆ R n offen
⇒
f ∈ C 1 (D, R)
1. Gilt zunächst nur für Skalarfunktion f : D → R (Bew. siehe letzte Woche)
2. Nach dem berühmten Satz von Rademacher ist jede wie z.B. f(x) = min(|x 1 |, |x 2 |) lipschitzstetige Funktion
fast überall, d.h. an einer Menge von regulären Punkt x ∈ R total dibar. Die Menge R liegt dicht in D.
4.1.7 Satz Mittelwertsatz, Klappe die 2.
f ∈ C 1 (D, R) mit [x, y] ⊂ D
wobei
mit 0 ≤ t ≤ 1
4.1.8 Satz
f(y) − f(x) = f ′ (z)(y − x) = 〈f ′ (z), y − x〉,
z = (1 − t)x + ty
f, g ∈ C 1 (D, R),D wegzusammenhängend, f(x 0 ) = g(x 0 ) und ∇f = ∇g für x ∈ D
⇒ f(x) = g(x) x ∈ D
Bew
Wende Bew von letzter VL auf h(x) = f − g mit h(x 0 ) = 0 und ∇h = 0 für x ∈ D an.
4.1.9 Verallgemeinerung auf Vektorfktnen. f : R n → R n mit m > 1
Alle obigen Aussagen sind weiterhin gültig mit Ausnahme des MWsatzes. Insbesondere:
stetige partielle Dibarkeit⇒totale Dibarkeit
82

4.1.10 Def Jacobimatrix
1. Die m × n Matrix ( ∂fi(xj)
∂x j
) i=1,...,m
j=1,...,n heiÿt Jacobimatrix von f
⎛
∂f 1
∂x 1
· · ·
∇f(x) = f ′ (x) = ⎜ ∂f
⎝ . i
∂f m
∂x 1
· · ·
⎛
wobei ∇f hier als Zeilenvektor interpretiert wird.
=
=
⎜
⎝
Zitat: Nicht
nullige x
⎞
∂f 1
∂x n
⎟
∂x i
. ⎠
∂f m
∂x n
⎞
.
⎟
⎠
⎞
⎠
− ∇f 1 −
− ∇f m −
⎛
⎝ | |
∂ 1 f · · · ∂ n f
| |
2. Für geg. Vektornormen ‖ · ‖ x und ‖ · ‖ y auf X = R n und Y = R m ergibt sich für Matrizen A ∈ R m×n die
induzierte Norm
‖A‖ =
‖Av‖ y
sup
0≠v∈R n
4.1.11 Lemma
Für ‖ · ‖ x = ‖ · ‖ p und ‖ · ‖ y = ‖ · ‖ p mit p ∈ {1, 2, ∞} gilt
• ‖A‖ 1 = sup 0≠v∈R n
• ‖A‖ ∞ = sup 0≠v∈R n
‖Av‖ 1
‖v‖ 1
= max 1≤j≤n
∑ m
i=1 |a ij| maximale Spaltensumme einfach
‖Av‖ ∞
‖v‖ ∞
= max 1≤i≤m
∑ m
j=1 |a ij| maximale Zeilensumme einfach
• ‖A‖ 2 = sup 0≠v∈R n
‖Av‖ 2
‖v‖ 2
= √ λ max (A T A) mit λ max gröÿte Eigenwert von A T A aufwendig zu rechnen
Bew
siehe numerische lin. Algebra
Bsp
( ) a b
A =
c d
• ⇒ ‖A‖ 1 = max {|a| + |c|, |b| + |d|}
• ‖A‖ ∞ = max {|a| + |b|, |c| + |d|}
• die 2-Norm ist schwierig über Lösung quadrat Glg. zu berechnen
83

Übungsaufgabe 9.?
• Bsp einer Vektorfkt, für die auf einer Strecke [x, y] = {(1 − t)x + ty : 0 ≤ t ≤ 1} (Mittelwertglg)
• f(y) − f(x) = f ′ (z)(y − x) mit z ∈ [x, y] nicht erfüllbar ist. Stattdessen Anwendung von Schrankensatz, um
‖f(y) − f(x)‖ zun nden
4.1.12 Satz Schrankensatz
f : R n → R m , f ∈ C 1 (D), dann
[x, y] ⊂ D ⇒ ‖f(y) − f(x)‖ p ≤ γ‖y − x‖ p
mit
γ =
sup ‖∇f(z)‖ p
z∈[x,y]
Bew
durch Reduktion auf MWsatz für m = 1 nehme bel. Gewichtsvektor w ∈ R m
ϕ(x) = w T f(x) = 〈w, f(x)〉,
D → R
ϕ(x + v) = w T f(x + v)
= w T (f ′ (x)v + o(‖v‖))
= w T f ′ (x)v + o(‖v‖), da w konst.
⇒ ϕ ′ (x) = w T f ′ (x) konsistent mit Kettenregel
⇒ ϕ ∈ C 1 (D, R)
MW S
⇒ ϕ(y) − ϕ(x) = w T (f(y) − f(x))
= ϕ ′ (z)(y − x)
= w T f ′ (z)(y − x)
|w T (f(y) − f(x)| = |w T f ′ (x)(y − x)
≤
Cauchy−schwarz,wenn‖‖=‖‖ 2
‖w‖‖f ′ (x)(y − x)‖
• spezielle Wahl w = f(y) − f(x) ⇒ |w T ((f(y) − f(x)| = 〈f(y) − f(x), f(y) − f(x)〉 = ‖f(y) − f(x)‖ 2
• Einsetzen in letzte Ungl. ergibt
da γ ≥ ‖f ′ (z)‖ p.D.
• wenn f(y) = f(x), ist Beh. trivialerweise erfüllt.
‖f(y) − f(x)‖ 2 ≤ ‖f(y) − f(x)‖‖f ′ (z)‖‖y − x‖
≤
‖f(y) − f(x)‖‖y − x‖γ
84

• sonst kann man durch ‖dividieren und erhält
‖f(y) − f(x)‖ ≤ ‖y − x‖γ
für eukl. Norm: □
Da alle anderen Vektor- und damit auch Matrixnormen auf R n , R m und R m×n wg. endlicher DInmensionalität
äquivalent sind, folgt Ergebnis für generelle Normen nach Anpassung: Vergröÿerung von γ
□
4.1.13 Bem
Mit anderen Worten die Variation im Funktionswert f(x) lässt sich weiterhin durch die Gröÿe der 1. Ableitung
f ′ (x) im Sinne der Matrixnorm abschätzen.
4.1.14 Kor C 1 Eigenschaft auf kompakter Menge impliziert Lipschitzstetigkeit.
Falls f ∈ C 1 (D ⊂ R n , R m ), K ⊂ D kompakt und konvex, dann
∀x, y ∈ K : ‖f(y) − f(x)‖ ≤ L‖y − x‖
mit L = max z∈K ‖f ′ (z)‖
Bew
folgt aus Schrankensatz, da ‖∇f(z)‖als stetg. Fkt. auf Kompaktum = kompakten Menge K ein maximum annehmen
muss
4.1.15 Bem
Auf diese Weie, d.h. durch Maximierung von ‖∇f(z)‖ über geeignete K lassen sich Lipschitzkonstanten L bestimmen
und im Fall L < 1 und f : K → K der banachsche Fixpunktsatz anwenden.
4.1.16 Bem
Bei entsprechender Kompatibilität von Denitions- und Bildbereichen vererbt sich stetige (totale) Dibarkeit von
Vektorfktnen auf verknüpfungen, d.h. Summen/Dierenzen, innere Pkte., Hintereinanderausführungen.
Insbesondere gilt die Kettenregel:
f : D ⊂ R n → R m
g : E ⊂ R m → R p
f ∈ C 1 (D), g ∈ C 1 (E), E ⊃ f(D)
h ′ (x 0 ) = g ′ (f ′ (x 0 )) · f ′ (x 0 )
• h = g ◦ f : D → R n
R n R m
∪ ∪
• D → f(D) → g g(E) ⊂ R p 85

Teil XXI
VL am 19.6.13
5 Umkehrfunktion, Gleichungen und implizites Funktionentheorem
Motivation: Verallgemeinerung von linearen Gleichungssystemen bei denen für gegebenes y ∈ R n wird ein x ∈ R n
gesucht, so dass
Ax = y, A ∈ R n×n
Betrachten jetzt die nichtlineare Glg.
F (x) = y, F : R n → R n
Merke: nur lösbar,
wenn A
regulär
Ziel: bestimme x ∈ R n für geg. y ∈ R n
Bsp
Polarkoords
⎛
⎞ ⎛ ⎞
r sin(θ) cos(ϕ) y 1
F (r, ϕ, θ) = ⎝r sin(θ) sin(ϕ) ⎠ = ⎝y 2
⎠
r cos(θ) y 3
⇒r = √ y1 2 + y2 2 + y2 y3
3 , θ = arccos(
r ), ϕ =
y2
r sin θ , θ ≠ 0
5.0.17 Merke
⇒ I.A. können Systeme nichtlinearer Gleichungen nicht in geschlossener Form, d.h. Formeln, bzw. Ausdrücke
gelöst werden.
Aufgabe
1. Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen in best. Umgebungen U ⊂ R n und für best. y ∈ V ⊂ R n
2. numerische Approximation von Lsgs. mittels iterativer Verfahren bestimmen
5.0.18 Allg. Voraussetzung für Theorie und Algorithmik
∇f(x 0 ) = ( ∂f i
) j=1,...,n
i=1,..,n
∂x ∈ Rn×n
j
• Matrix muss regulär (nonsingular) sein, nahe Lösung x 0
regulär ⇔ det(∇f(x 0 )) ≠ 0
86

• numerisch aufwendig, eektiv:
∇ 2 f(x 0 )
Gauÿelimination
bzw.
=
↑
⎛ ⎞⎛
⎞
1 0 0 u 11 · · · u 1n
⎜
LU= ⎝
. ..
⎟⎜
⎟
. ⎠⎝
0 u ij . ⎠
x · · · 1 0 u mn
LL-Faktorisierung
det=1 det= ∏ Diagonale
• für moderates n kann Entwicklung nach Zeile/Spalte verwendet werden (siehe LinA2)
• Zahl der Operatoren hier: Ops(n) = Ops(n − 1)n = Ops(n − 2)(n − 1)(n − 2) = ... = n ′ ≈ ( n e )n
Auÿerdem:
regulär ⇔ ∇f(x 0 ) −1 ∈ R n×n existiert , wird fast niemals berechnet
⇔ span {∂ j f(x)} n j=1 = Rn
⇔
span {∇f i (x 0 )} n i=1 = Rn
⇔ (F ′ (x 0 )v = 0 ⇔ v = 0)
Häug hängen Gleichungen im Variablenvektor x ∈ R n nach von einem Parametervektor y ∈ R m ab, so dass
f(x, y) = 0
für verschiedene Werte von y zu lösen ist. Das resultierende Lösungsfeld x = x(y) = g(y) heiÿt auch implizite
Funktion
Bsp
f(x, y) = x 2 + y 2 − 1
• ⇒ g(y) = x = ± √ 1 − y 2 für y ∈ [−1, 1]
• Wie hier gibt es häug verschiedene, aber räumlich getrennte Lösungen x = g(y).Die meisten Betrachtungen
sind lokal.
5.1 Gleichungslösung und vereinfachtes Nwetonverfahren
Annahme: F ∈ C 1 (U ⊆ R n , R n ),d.h.einmal stetig diabr im oenen U
Gesucht: Lösung x ∗ ∈ U und konvergente Folge x k → x ∗
Ansatz: Sukzessive Linearisierung am aktuellen Punkt x k ∈ U
F (x k + v) = F (x k ) + ∇F (x k )v
} {{ }
+ o(‖v‖)
} {{ }
∀v ∈ R n
ane Approx wird 0 gesetzt unbekannt, da höhere Abl. i.A. nict ausgewertet werden
Nullstzung führt zu Schritt (Newtonschritt)
∆x k = v = −(∇F (x k )) −1 F (x k )
87

erechnet als Lsg von
∇f(x k )∆x k = −F (x k )
Vereinfachung, um Invertierung bzw. Faktorisierung von ∇F (x k ) an jedem x k zu vermeiden
∆x k = −(∇F (x 0 )) −1 F (x k ) bzw. ∇F (x 0 )∆x k + F (x k ) = 0
Dieser Vereinfachte Newton (bzw.ChordMethod) reicht für beweis von IFT
Voller Newton
x k+1 = x k + ∆x k = x k − (∇F (x k )) −1 F (x k )
Vereinfachter Newton
x k+1 = x k − (∇F (x 0 )) −1 F (x k )
In beiden Fällen x k+1 = x k ⇔ ∆x k = 0 ⇔ F (x k ) = 0 ⇔ x k = x ∗ Lösung
• solch endliche Konvergenz fast nie
Frage:
Unter welchen Voraussetzungen ist die Iterationsfunktion
G(x) = x − (∇F (x 0 )) −1 F (x)
in Umgebung von x 0 kontraktiv und erlaubt Anwendung von Banach Fixpkt.
Antwort:
∇G(x) = I n + d∆G dz
dz dx
= I − (∇F (x 0 )) −1 ∇F (x)
= I − (∇F (x 0 )) −1 ∇F (x)
= I − I = 0 an Stelle x = x 0
• da ∇G(x) stetig laut Voraussetzung und ‖∇G(x 0 )‖ = 0 ex. eine Kugel B ρ (x 0 ) ⊂ U , so dass
‖∇G(x)‖ ≤ 1 2 ∀x ∈ B ρ(x 0 ),
d.h. G : B ρ (x 0 ) → R n hat Lipschitzkonst. 1 2
nach Schrankensatz
‖G(2) − G(x)‖ ≤ ‖2 − x‖
sup
w∈B ρ(x 0)
‖∇G(w)‖ ≤
‖2 − x‖
2
für x,z∈B ρ (x)
88

so lange x k = G(x k−1 ) in B ρ (x 0 ) bleiben gilt folglich
‖x k+1 − x k ‖ = ‖G(x k ) − G(x k−1 )‖
≤
≤
1 2 ‖x k − x k−1 ‖
1
2 k ‖x 1 − x 0 ‖
= 1 2 k ‖∇F (x 0) −1 F (x 0 )‖
‖x k − x‖
γ
≤ 1 { }} {
2 k ‖∇F (x 0 ) −1 ‖‖F (x 0 )‖ = γ
1 ≠
2 k
‖∇F (x 0 )‖
k∑
k∑
≤
j=1
‖x j − x j−1 ‖ ≤
j=1
γ
n
2 j−1 ≤ 2 ∑
j=1
γ
2 j = 2γ
• falls γ < ρ 2
bleiben alle Iterierten in Kugel
• daraus folgt, nach BFT, dass G in B ρ (x 0 ) genau einen Fixpunkt x ∗ hat, der von Iterationen
x k = G(x k−1 )
mit festem x 0 als GW erreicht wird⇒ Newton-Kantorowitsch-Theorem (nächste VL)
89

Teil XXII
VL am 24.6.13
5.1.1 lokale Konvergenz des vereinfachten Newtonverfahrens
Sei x 0 ∈ U mit F ∈ C 1 (U, R n ). U oen.
• setze r ≥ 0, so dass ‖∇G(x)‖ ≤ 1 2 für x ∈ B r(x 0 ). Dann folgt aus ‖∇F (x 0 ) −1 F (x 0 )‖ < r 2 ,
dass die vereinfachte Newtoniteration x k+1 = G(x k ) innerhalb B r (x 0 ) bleibt und gegen einen Fixpunkt
x ∗ = G(x ∗ ) konvergiert. Dieser ist die einzige Lsg. von F (x ∗ ) = 0 in ¯B ρ (x 0 )
Bew
Aus schon bewiesenen Aussagen folgt, dass
‖x n − x 0 ‖ ≤ 2‖∇F (x 0 ) −1 F (x 0 )‖ < 2 · 1
2 r < r
• also bleiben alle Iteriten in der Kugel. Auÿerdem bilden die x k eine Cauchyfolge und haben somit einen
1dtg. Grenzwert x ∗ ∈ ¯B ρ (x 0 ) abgeschlossen. Wegen Stetigkeit von G folgt
G(x k ) − x k = x k+1 − x k → 0
• ⇒ G(x ∗ ) − x ∗ = lim k→∞ G(x k ) − x ∗ = 0. Falls es einen zweiten Fixpunkt ˜x ∗ gäbe, müsste gelten
‖˜x ∗ − x ∗ ‖ = ‖G(˜x ∗ ) − G(x ∗ )‖ ≤ 1 2 ‖˜x ∗ − x ∗ ‖ ⇒ ‖˜x ∗ − x ∗ ‖ = 0
5.1.2 Bezeichnung Residuum
F (x 0 ) oder auch ‖F (x 0 )‖ nennt man eine Gröÿe, die man gg. 0 drücken möchte. Residuum=Restbestand
5.1.3 Kor Existenz und Dibarkeit der Umkehrfkt. F −1
Sei x 0 ∈U, y 0 = F (x 0 ), det(∇F (x 0 )) ≠ 0, F ∈ C 1 (U, R n ), U ⊂ R n dann ex. eine Umgebung V = B ρ (y 0 ) und eine
1dtg def. Umkehrfunktion F −1 : V → U, so dass
F ◦ F −1 (y) = y,
für y ∈ V . Diese Funktion ist in V total dibar und hat an y 0 die Ableitung
∇ y F −1 (y) | y0 = (∇F (x 0 )) −1 (Inverse der Matrix)
90

5.1.4 Bem
Falls F −1 dibar, folgt unmittelbar aus Kettenregel
d
dy
= I
= d
dx F (x) · d
dx F −1 (y) mit x = F −1 (y)
= ∇F (x 0 ) ∇ y F −1 (y)
} {{ } } {{ }
Jacobimatrix Jacmatr
= I = dx
dy
Also kann Ableitung von F −1 nur die Inverse der Ableitung von F sein. Schwierige Aufgabe ist, Dibarkeit zu
zeigen.
Bew zu Satz
• für festes y ≈ y 0 betrachten wir die Vektorfkt.
da nur Wert verschoben
• dann gilt
F y (x) = F (x) − y ∈ C 1 (U, R n )
∇ x F y (x) = ∇ x F (x) − ∇ x y = ∇ x F (x)
G y (x) = x − (∇F (x 0 )) −1 F y (x) = x − (∇F (x 0 )) −1 (F (x) − y)
• auch die Iterationsfkt. nach vereinfachtem Newton aht identische Jacobimatrix
in selber Kugel B r (x 0 ) wie im vorigen Satz
∇ x G y (x) = I − ∇F (x 0 ) −1 ∇F (x) ⇒ ‖∇G y ‖ ≤ 1 2
• um diesen anzuwenden, müssen wir noch sicherstellen, dass
‖∇F y (x 0 ) −1 F y (x 0 )‖ < r 2
• da ∇F y = ∇F ist linke Seite nach oben beschränkt durch
‖∇F (x 0 ) −1 ‖‖F (x 0 ) − y‖ = ‖∇F (x 0 ) −1 ‖‖y − y 0 ‖
• die Inverse ∇F (x 0 ) −1 ex. und ist beschränkt in Norm, da det(∇F (x 0 )) ≠ 0 vorausgesetzt wurde.
• restringieren wir y ∈ B ρ (y 0 ) mit
dann folgt
ρ ≤
r
2‖∇F (x 0 ) −1 ‖ ,
‖∇Fy
−1 F y (x 0 )‖ ≤ ‖∇F (x −1
0 )‖‖y − y 0‖ < r 2
91

• Also konvergiert das vereinfachte Newtonverfahren vom selben x 0 für alle y ∈ B ρ (y 0 ) gg. einen Fixpunkt x y
von G y (x), so dass
̸ x k = G y (x)
= ̸ x k − ∇F (x 0 ) −1 (F (x y ) − y)
⇒
0 = −∇F (x 0 ) −1 (F (x y ) − y) ⇒ F (x y ) − y = 0
• diese Eigenschaft erfüllt in B r (x 0 ) nur x y , den wir somit als einzigen Funktionswert x y = F −1 (y) der Umkehrfkt.
F −1 def. können.
• damit ist
bewiesen
F (F −1 (y)) = y für y ∈ B ρ (y 0 )
• zz. bleibt noch Dibarkeit und somit Stetigkeit von F −1 : V = B ρ (y 0 ) → B r (x 0 ) ⊂ U
• aus Satz ü. Konvergenz folgt
‖x y − x 0 ‖ = ‖F −1 (y) − F −1 (y 0 )‖ ≤ 2‖∇F (x 0 ) −1 ‖‖y 0 − y‖
• Also gilt
‖F −1 (y) − F −1 (y 0 )‖ = O(‖y − y 0 ‖)
d.h. F −1 ist Lipschitzstetig am Punkt y 0
• Dibarkeit von F an Stelle x 0 ergibt für x = F −1 (y)
F (x) − F (x 0 ) = ∇F (x 0 )(x − x 0 ) + o(‖x − x 0 ‖)
∇F (x 0 ) −1 (y − y 0 ) = x − x 0 + o(‖x − x 0 ‖)
= F −1 (y) − F −1 (y 0 ) + o(‖y − y 0 ‖)
F −1 (y) − F −1 (y 0 ) = (∇F (x 0 )) −1 (y − y 0 ) + o(‖y − y 0 ‖)
⇔
(∇F (x 0 )) −1 ist tot./Fréchet-Abl. von F −1 an Stelle y 0
• um schlieÿlich Dibarkeit von F −1 an allen y ∈ B ρ (y 0 ) zu zeigen, kann Beweis in hinreichend kleiner Kugel
B r (x) um x ∈ F −1 (y) erbracht werden.
□
92

Bsp
F (x) = x 2 mit x 0 ≠ 0 erfüllt F ′ (x 0 ) = 2x 0 ≠ 0
• x 0 < 0 ⇒ F −1 (y) = − √ y
• x 0 > 0 ⇒ F −1 (y) = √ y
• d.h. ∀y>0 gibt Umkehrabbildung in die negativen und die positiven Zahlen. Welches genommen wird, hängt
von x 0
Wichtig Umkehrfunktionentheorem etabliert nur lokale Umkehrbarkeit
Bsp2
Poarkoords ⎛
⎝ x ⎞ ⎛ ⎞
r cos ϕ sin θ
y⎠ = ⎝r sin ϕ sin ϕ⎠ = F (r, ϕ, θ)
z r cos θ
• F ∈ C 1 (R 3 , R 3 ),d.h. bel. oft dibar
• Frage: An welchen Pkten. (x, y, z) können wir 1dtge dibare Umkehrfktnen. (r, ϕm) = F −1 (x, y, z)
• Warnung: Existenzaussage bedeutet nicht, dass F −1 in irgendeiner Form als Formel angegeben kann.
• Existenz gesichert, wo immer ∇F nicht regulär
⎛
⎞
cos ϕ sin θ −r sin ϕ sin θ r cos ϕ cos θ
det(∇F (r, ϕ, θ)) = ⎝sin ϕ sin θ r cos ϕ sin θ r cos θ sin ϕ⎠ = ... = −r 2 sin θ
cos θ 0 −r sin θ
(erste Spalte ∂ ∂r , zweite ∂
∂ϕ )
• det(∇F (r, ϕ, θ)) nur dann 0, wenn r = 0 oder θ = ±kπ.
• an allen anderen Pkten. ex. inv. Fkt.
93

Teil XXIII
VL am 26.6.13
Umkehrfunktion = inverse Funktion
F ∈ C 1 (D), ∇F (x 0 ) regulär⇔ det(∇F (x 0 )) ≠ 0
• ⇒ F −1 : V → B r (x 0 ) ⊂ U
• F ◦ F −1 (y) = y für y ∈ B ρ (y 0 )
5.1.5 Bem
Existenz der Werte F −1 (y) wurde mit vereinfachtem Newtonverf. gefunden. Kein expliziter Ausdruck!!
5.1.6 Konsequenz
¯F (x, y) = F (x) − y : R 2n → R n unter obiger Voraussetzung
• ∇ ¯F (x, y) = [ ∇ x ¯F (x, y), ∇y ¯F (x, y)
]
=
[
∂ ¯Fi(x,y)
∂x i
]
, ∂ ¯F i=1,...,n
i(x,y)
∂y j j=1,...,n
• Umkehrfkttheorem setzt voraus, dass ∇ x F (x) = ∇ x ¯F (x) nichtregulär ist und ergibt x = G(y) ≡ F −1 (y), so
dass:
¯F (G(y), y) = F ◦ F −1 (y) − y = y − y = 0 ∀y ∈ B ρ (y 0 )
• m.a.W. für Glg. ¯F (x, y) = 0 wurde nach x gelöst, d.h. ∀y in Nachbarschaft als Fkt. x = G(y) so gewählt,
dass Glg. exakt gilt.
• diese Aussage lässt sich verallgemeinern auf bel. Glgs.
F (x, y) = 0 ∈ R m und y ∈ R m , x ∈ R n
• daher wird Glg. benutzt, um y als Fkt. von x auszudrücken
94

Bsp
( ) ( x
F (x, y 1 , y 2 ) =
3 + y1 3 + y2 3 − 7 0
=
xy 1 + y 1 y 2 + y 2 x + 2 0)
( 0
• speziell gilt F (2, −1, 0) =
0)
• Frage: können y 1 und y 2 zwar nicht symbolisch, aber aalytisch eliminiert und somit als Fkt von x interpretiert
werden
5.1.7 Satz Implizites Funktionentheorem (IFT)
Sei F ∈ C 1 (D, R m ), D ⊂ R n×m = {(x, y) : x ∈ R n , y ∈ R m }, F = (F i ) n i=1 , det(∇ yF (x 0 , y 0 )) ≠ 0 an F (x 0 y 0 ) = 0,
dann existiert eine Kugel B ρ (x 0 ) und eine implizite Fkt. G : B ρ (x 0 ) → R m , so dass
F (x, G(x)) = 0 für x ∈ B ρ (x)
Zudem ist G ∈ C 1 (B ρ (x 0 ), R m ) mit ∇ x G(x) = ∇G(x) = −[∇ y F (x, G(x))] −1 ∇ x F (x, G(x))
Bew
• durch Rückführung auf Umkehrfkttheorem, d.h. Erweiterung von F
( ( )
x x
¯F =
: D → R
y)
n × R m = R n+m
F (x, y)
( ) ( ) ( )
x0 x0 x0
¯F =
= ∈ R n+m
y 0 F (x 0 , y 0 ) 0
( )
x0
• möchte Theorem anwenden auf B ρ
0
( ) ( )
I 0 n × n n × m
∇ x,y ¯F = =
, I = ∇
∇ x F ∇ y F m × n m × m
x x
• ⇒ det(∇ x,y ¯F ) =
5.1.8 Facts of Life of Lineare Algebra
( ) A 0
• det = det A det C, da Matrix Blockdreiecksform
B C
( ) (
)
A 0 A
• =
−1 0
B C −C −1 BA −1 C −1
( )
• jetzt liefert UFT Funktion ¯F −1 x0
: B ρ → D ⊂ R
0
n×m
( ) (
¯F ( ¯F −1 x x
) = mit 0 ≈ z ∈ R
z z)
m
95

( (
• die Komponenten von ¯F x x −1 lassen aufspalten in H → R
z)
n , Ḡ = → R
z)
m
( )
• ¯F x −1 =
z
( ) H(x, z)
. Anwendung von
Ḡ(x, z)
¯F liefert
¯F ( ¯F −1 ( x
z
)
) = ¯F
( ) (
H(x, z)
=
Ḡ(x, z)
• also ist notwendigerweise H(x, z) = x und somit F (x, Ḡ(x, z)) = z
• nun setzen wir die Hilfsvariable z zu Null und erhalten
wobei x ∈ B ρ (x 0 ).
)
H(x, z)
F (H(x, z), Ḡ(x, z)) =
F (x, G(x)) = 0 für G(x) = Ḡ(x, 0)
• Damti ist Existenz der impliziten Fkt. G(x) bewiesen.
• auch nach UFT
( ( ) ( ) −1 (
)
−1 x ∇x H ∇H I 0
I 0
∇ x,y ¯F =
=
=
z)
∇ x Ḡ ∇ z Ḡ ∇ x F ∇ y F −(∇ y F ) −1 ∇ x F (∇ y F ) −1
• also gilt
alles nicht bes. interessant
• und∇ x Ḡ(x, z)= −(∇ y F (x)) −1 ∇ x F (x) = ∇ x G(x)
∇ x H, ∇ z H = 0, ∇ z Ḡ = (∇ y F ) −1
• nach UFT gilt dies ∀ x ∈ B ρ (x 0 ) wie behauptet für IFT.
in unserem Bsp
( )
3y
2
• ∇ y F = 1 3y2
2
x + y 2 x + y 1
• ∇ x F =
( 3x
2
y 1 + y 2
)
• (2,−1,0)=(x,y1,y2)
⇒ ∇ y F =
( ) 3 0
, ∇
2 1 x F =
• da det(∇ y F ) = 3 ≠ 0 ⇒ IF T gilt
( ) 12
−1
∂y
∂x = ∇ xG(x) = −(∇ y F ) −1 ∇ x F
( ) −1 ( )
3 0 12
= −
2 1 −1
( )
−4
=
9
( x
z)
96

5.1.9 Bem
Umgekehrt kann Umkehrfkttheo aus IFT wie folgt hergeleitet werden:
F (x) = y
⇔ ˆF (x, y) = F (x) − y = 0 mit x, y, ˆF (x, y) ∈ R n
∇ x ˆF = ∇x F (x)
∇ y ˆF = −I
hier kann man also nach IFT sowohl y als Fkt. von x (nämlich trivialerweise y = F (x)) als auch x als Fkt. G(y)
erhalten letzteres vorausgesetzt
Die entsprechende Ableitung ist
det(∇ x ˆF ) = det(∇x F (x)) ≠ 0.
∇ y G(y) = ∂x
∂y = −(∇ x ˆF (x)) −1 (∇ y ˆF ) = −(∇x F (x)) −1 (−I) = (∇ x F (x)) −1
97

Index
o, 73
Überdeckungskompaktheit, 66
O, 73
abgeschlossene Kugel, 58
abgeschlossener Unterraum, 16
Abschluss, 58
Anität, 70
Banachraum, 13, 16
beschränkt, 66
bestimmtes Integral, 9
Bogenlänge, 44, 45
Cauchy, 56
Cauchy-Schwarz'sche Ungleichung, 48
Cauchyfolge, 16
Cauchyintegral, 22
closure, 19
Denitheit, 14
dicht, 62
dierenzierbar
stetig, 77
Dierenzierbarkeit
Fréchet, 72
totale, 72
Dirichletfkt, 13
diskrete Metrik, 47
Dreiecksungleichung, 14
inverse, 14
Feinheit, 23
Folgenräume, 49
Funktion
implizite, 87
rationale, 38
Funktional, 23
Funktionenräume, 49
Funktionentheorem
implizites, 95
gaussches Ausgleichsverfahren, 52
Gebiet, 79
gleichgradige Konvergenz, 20
gleichmäÿige Konvergenz, 20
Gradient, 76
Hölderungleichung, 50
Hauptsatz der Dierential- und Integralrechnung, 31
homogen, 70
Homogenität
positive, 14
IFT, 95
implizite Funktion, 87
Implizites Funktionentheorem, 95
induzierte Norm, 71
Innere, 58
innerer Punkt, 58
inneres, 48
Integral
bestimmtes, 9
unbestimmtes, 32
uneigentliches, 28
Integralkriterium
Riemannsches, 45
Integrand, 31
Integration
Lebesque, 53
partielle, 34
irreduzierbar, 39
Irreduzierbarkeit, 39
Isomorphie, 47
Jacobimatrix, 83
Kettenregel
Umkehrung der, 36
Kompakte Menge, 66
Konstant
stückweise, 10
Konvergenz, 56
gleichgradige, 20
punktweise, 20
uniforme, 20
Konvergenz
gleichmäÿige, 20
konvex, 69
98

Kugel
abgeschlossene, 58
oene, 58
L_{1} - Approximation, 52
Landausymbole, 73
Lebesqueintegration, 53
linearen Operatoren, 70
Linearität, 70
Manhattannorm, 14
Manteloberäche, 45
Matrix
Jacobi, 83
Menge
kompakt, 66
metrischer Raum, 47
Minkowskiungleichung, 52
Mittelwertsatz, 29
verallgemeinerter, 30
Mittelwertsatz, Klappe die 2., 82
Newton, 88
Newtonschritt, 87
nonsingular, 86
Norm
induzierte, 71
Operator -, 71
Obersumme, 26
oen, 58
oene Kugel, 58
Operator
linear, 70
Operatornorm, 71
p-Norm
allgemeine, 14
Paritalbruchzerlegung, 41
Partialbruchzerlegung, 38
partielle Integration, 34
positive Homogenität, 14
Prä-Hilbert-Raum, 48
präkompakt, 56
Punkt
innerer, 58
punktweise Konvergenz, 20
Quadratur, 34
Rand, 58, 59
Randpunkt, 59
rationale Funktion, 38
Raum
Prä-Hilbert-, 48
Skalarprodukt-, 48
topologischer, 63
Raum der beschränkten Funktionen, 14
Regelfunktion, 17
Residuum, 90
Riemannintegrierbarkeit, 28
Riemannsches Integralkriterium, 45
Riemannsumme, 23
Rotationskörper
Volumen von, 45
Satz von Rademacher, 82
separabel, 62
seperabel, 58
Skalarproduktraum, 48
stückweise Konstant, 10
Stammfkt.
Eigenschaften der, 32
Stammfunktion, 32
Stammfunktionen
Tabelle, 33
stetig dierenzierbar, 77
Substitution, 36
topologischer Raum, 63
Treppenfunktion, 10
Tschebytscheapproximation, 52
Umgebung, 58
Umkehrfunktionentheorem, 93
Umkehrung der Kettenregel, 36
unbestimmtes Integral, 32
uneigentliches Integral, 28
Ungleichung
Hölder, 50
Minkowski, 52
Young, 50
uniforme Konvergenz, 20
Unterraum
abgeschlossener, 16
99

Untersumme, 26
verallgemeinerter Mittelwertsatz, 30
Vererbung, 67
vollständig, 16
Vollständigkeit, 56
Wegzusammenhängend, 69
Youngungleichung, 50
100