Praktische Datenanalyse in der Experimentalphysik ...

4.2.2 Mittelwertbildung durch Gewichtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2.3 Fehlerfortpflanzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.2.4 Funktionen einer Veränderlichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.2.5 Funktionen mit meherern Veränderlichen . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.3 Systematische Fehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5 Monte Carlo, eine Methodik aus dem Spielkasino 34
5.1 Zufallsgeneratoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.2 Tests von Zufallsgeneratoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.3 Beliebig verteilte Zufallszahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.3.1 Umkehrfunktion der kumulativen Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.3.2 Brute Force Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.3.3 Speziell verteilte Zufallszahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.4 Praktisches Vorgehen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.5 Monte Carlo Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.5.1 Integral als Summe von Funktionswerten an zufälligen Stellen . . . . . 44
5.5.2 Varianzreduzierende Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.5.3 Vergleich mit numerischer Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6 Stichproben und Schätzungen 47
6.1 Eigenschaften von Schätzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.2 Stichprobenfunktionen für kontinuierliche Verteilungen . . . . . . . . . . . . . 47
6.2.1 Schätzung des Mittelwerts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.2.2 Schätzung der Varianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.2.3 Schätzung der Kovarianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.3 Die Maximum-Likelihood Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.3.1 Die Likelihood-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.3.2 Einfache Anwendungen der Maximum-Likelihood Methode . . . . . . 49
6.3.3 Eigenschaften der Maximum Likelihood Methode . . . . . . . . . . . . 51
6.3.4 Fehlerberechnung bei der ML Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.3.5 Erweiterte Maximum-Likelihood-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.3.6 Binned Maximum Likelihood . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.3.7 Kombination von Messungen mit der ML Methode . . . . . . . . . . . 55
7 Weitere Schätzmethoden: Kleinste Quadrate - Least Square 57
7.1 Die Least Square Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
7.1.1 Anpassen einer Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
7.1.2 Berücksichtigung von systematischen Fehlern . . . . . . . . . . . . . . 59
7.1.3 Geradenanpassung bei Fehlern in beiden Variablen . . . . . . . . . . . 60
7.2 Das Anpassen von gebinnten Daten und die χ 2 -Verteilung . . . . . . . . . . . 60
7.2.1 Lineare kleinste Quadrate und Matrix-Darstellung . . . . . . . . . . . 62
7.2.2 Nichtlineare kleinste Quadrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
7.3 Resampling-Techniken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
7.3.1 Jackknife . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7.3.2 Bootstrap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7.4 Nichtparametrische Dichteschätzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
ii