Physik A Teil 1: Mechanik - Physik-Institut - Universität Zürich

Roland Engfer
Physik A
für Naturwissenschaftler
Teil 1: Mechanik
UNIVERSITAS
TURICENSIS
MDCCC
XXXIII
Skriptum zur Vorlesung von Andreas Schilling
WS 2004/5
Physik-Institut der Universität Zürich
September 2004

Vorwort
Das vorliegende Skript umfasst den Stoff der Vorlesung Physik A für Physiker, Chemiker
und Biochemiker, sowie für Studierende mit Nebenfach Physik. Es basiert auf dem
Skript von Prof. Roland Engfer, das später von Prof. Ulrich Straumann übernommen wurde.
Das Skript wurde nun der Übersichtlichkeit und Handlichkeit halber neu unterteilt
(Mechanik, Wärmelehre, Elektrizität und Magnetismus, Wellenlehre und Optik, Relativitätstheorie,
mathematische Hilfsmittel) und inhaltlich leicht angepasst.
Aufgabe dieses Skriptes ist es, den Stoff der Vorlesung Physik A zusammenzufassen,
sei es zum Aufarbeiten der Vorlesung zwischendurch oder zur Prüfungsvorbereitung. Dieses
Skript ist kein Lehrbuch und soll auch gar keines sein! Ich empfehle Ihnen sogar,
zunächst überhaupt kein eigentliches Physiklehrbuch zu kaufen! Ein Lehrbuch eignet sich
vielleicht zum Selbststudium, ist aber in der Regel als Begleittext zu einer Vorlesung viel
zu ausführlich. Auch ist bei Unklarheiten ein Nachfragen nicht möglich.
Die Vorlesung mit ihren Experimenten und den Diskussionen mit dem Dozenten und
den Übungsassistenten sollen das eigentliche Lehrbuch für Sie darstellen!
Erst dort erfahren Sie, welche Themen, Gedankengänge, Herleitungen und Lehrsätze
wirklich von Wichtigkeit sind, und welche vielleicht geringere Bedeutung haben. Dies
alleine aufgrund der Lektüre eines Buches und ohne Besuch der Vorlesung entscheiden zu
wollen, ist für einen Studenten im ersten Jahr fast unmöglich.
Falls Sie dennoch ein begleitendes Buch kaufen möchten, empfehle ich besonders den
Physikern, eine Art Nachschlagewerk zu erwerben. Das Buch von D. Meschede, Gerthsen
Physik, Springer Verlag, ist sicher eine Anschaffung fürs Leben. Auch fortgeschrittene
Physiker finden darin fast alles, was man braucht, von der Mechanik bis zur Kernphysik.
Als preiswerte, kompakte Formelsammlung für Physiker und andere Naturwissenschaftler
hat sich auch das Repetitorium der Physik von F. Kneubühl, Teubner Verlag, bewährt.
Als Lehrbuch (falls Sie wirklich eines erwerben möchten) eignen sich für Physiker die
Bücher von Wolfgang Demtröder, Springer-Verlag (Mechanik und Wärme, Elektrizität
und Optik). Für Naturwissenschaftler kann ich das Buch von Paul A. Tipler, Physik,
Spektrum Verlag, empfehlen - es gibt auch einen Band mit Übungsaufgaben dazu.
Im Zuge der Umstellung der Studiengänge auf das Bachelor/Masters System ist der
Umfang des Physikkurses für Physiker auf 6 Stunden Vorlesung pro Woche festgelegt worden,
für Chemiker und Biochemiker und für Studierende mit Nebenfach Physik hingegen
auf 4 Stunden pro Woche. Dies bedeutet, dass Physikstudenten parallel zur eigentlichen
Vorlesung eine Menge von Zusatzinformationen, Ergänzungen und mathematischen Anleitungen
erhalten, welche für das spätere Physikstudium von grossem Nutzen sein werden.
Trotzdem wird auch der vierstündige Kurs für Chemiker und Biochemiker das ganze Spektrum
einer einführenden Physikvorlesung abdecken. Allerdings macht diese Zweiteilung
der Vorlesung die Gestaltung eines Skriptes nicht einfacher. Im vorliegenden Skript sind
deshalb Kapitel, welche nur für Physiker von Bedeutung sind, speziell mit † gekennzeichnet.
Es kann vorkommen, dass der Inhalt der Vorlesung vom Inhalt dieses Skriptes leicht
abweicht, indem einzelne Kapitel weggelassen oder hinzugefügt werden, Themen nur summarisch
besprochen werden oder die Notation geändert wird - massgebend für die Prüfung
ist alleine der Inhalt der Vorlesung!
Zürich, September 2004
Andreas Schilling

Inhaltsverzeichnis
1 Kinematik des Massenpunktes 3
1.1 Ort und Bahn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Die Geschwindigkeit eines Massenpunktes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Die Beschleunigung eines Massenpunktes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Komponentendarstellung von Geschwindigkeit und Beschleunigung . . . . 6
1.4.1 Raumfestes kartesisches xyz-Koordinatensystem . . . . . . . . . . . 6
1.4.2 Normal- und Tangentialkomponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4.3 Ebene Kreisbewegung ⃗v, ⃗a in Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . 7
1.5 Die Winkelgeschwindigkeit als ein Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6 Berechnung von ⃗v und ⃗r aus ⃗a, ⃗r 0 und ⃗v 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Die Grundgesetze der Mechanik 11
2.1 Masse und Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Die Newtonschen Prinzipien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.1 Trägheitsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.2 Bewegungs- oder Aktionsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.3 Superpositionsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.4 Reaktionsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3 Der Schwerpunkts- oder Impulssatz für Systeme von Massenpunkten . . . . 15
2.4 Die vier fundamentalen Kräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4.1 Die Gravitationskraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4.2 Die Coulombkraft (elektromagnetische Wechselwirkung) . . . . . . 21
2.4.3 Die schwache Wechselwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4.4 Die starke Wechselwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5 Reibungskräfte, Oberflächenkräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5.1 Trockene Oberflächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.5.2 Nasse Oberflächen und viskose Reibung . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3 Anwendungsbeispiele der Newtonschen Prinzipien 27
3.1 Freier, vertikaler Fall im Vakuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Die Atwoodsche Fallmaschine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3 Der schiefe Wurf im Vakuum ohne Luftwiderstand . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4 Beispiele mit Haft- und Gleitreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.4.1 Klotz auf schiefer Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.4.2 Kind mit Schlitten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.5 Vertikaler Fall in viskosem Medium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.6 Kreisbewegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.6.1 Erdsatellit auf Kreisbahn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.6.2 Ebenes mathematisches Pendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.6.3 Kreispendel (konisches Pendel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.7 Prinzip des Raketenantriebs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4 Arbeit, Energie und Leistung; Energie- und Impulserhaltung 39
4.1 Definition von Arbeit, Leistung und kinetischer Energie . . . . . . . . . . . 39
4.2 Der Energiesatz der Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.3 Konservative Kraftfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
i

4.4 Das Potential und das Feld einer homogenen Kugel . . . . . . . . . . . . . 46
4.5 Der Fluss des Gravitationsfeldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.6 Der Energieerhaltungssatz der Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.7 Beispiele zum Energieerhaltungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.7.1 Freier Fall eines Massenpunktes im Vakuum . . . . . . . . . . . . . 50
4.7.2 Weltraumflüge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.7.3 Die Todesschleife . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.8 Der Impulserhaltungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.8.1 Elastische Stösse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.8.2 Inelastischer Stoss: Das ballistische Pendel . . . . . . . . . . . . . . 54
5 Der Drehimpulssatz für ein System von Massenpunkten 56
6 Bewegungen im Zentralfeld 58
6.1 Reduktion des Zwei-Körper- auf ein Ein-Körper-Problem . . . . . . . . . . 58
6.2 Konstanz des Drehimpulses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.3 Planetenbewegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
7 Der lineare harmonische Oszillator 64
7.1 Der ungedämpfte Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
7.2 Der gedämpfte Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
7.2.1 1. Fall: schwache Dämpfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
7.2.2 2. Fall: starke Dämpfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
7.2.3 3. Fall: kritische Dämpfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
7.3 Energie des schwach gedämpften Oszillators . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
7.4 Erzwungene Schwingungen und Resonanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
7.4.1 Vollständige Lösung der erzwungenen Schwingung † . . . . . . . . . 73
7.4.2 Energiebilanz bei erzwungener Schwingung und Resonanz † . . . . . 74
8 Relativbewegungen 77
8.1 Relativitätsprinzip der Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
8.2 Die Kinematik in einem bewegten Bezugssystem . . . . . . . . . . . . . . 78
8.3 Die Dynamik in einem bewegten Bezugssystem . . . . . . . . . . . . . . . 80
8.4 Beispiele und Spezialfälle für bewegte Systeme . . . . . . . . . . . . . . . 81
8.4.1 Gleichförmig bewegtes System S r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
8.4.2 Rein translatorisch beschleunigtes System S r . . . . . . . . . . . . . 81
8.4.3 Ein reibungsloser Massenpunkt auf einer beschleunigten Unterlage . 81
8.4.4 Mathematisches Pendel auf einer vertikal beschleunigten Plattform 81
8.4.5 Gleichförmig rotierendes System S r . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
8.5 Trägheitseffekte auf der Erde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
8.5.1 Nachweis der Erdrotation mit dem Foucaultpendel . . . . . . . . . 84
8.5.2 Eine Lotabweichung infolge der Erdrotation . . . . . . . . . . . . . 84
8.5.3 Ostabweichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
8.5.4 Ebbe und Flut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
8.6 Das Streuproblem zweier Massen † . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
8.6.1 Die reine elastische Streuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
8.6.2 Winkelverteilung bei statistischem Zielen in der Ebene . . . . . . . 88
8.6.3 Winkel- und Energieverteilung bei statistischem Zielen im Raum . 91
8.6.4 Die Streuung eines Neutrons an einem Atomkern . . . . . . . . . . 92
ii

8.6.5 Coulombpotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
9 Dynamik des starren Körpers 94
9.1 Bedeutung von Schwerpunkts- und Drehimpulssatz starrer Körper . . . . . 94
9.2 Gleichgewichte starrer Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
9.3 Drehimpuls- und Schwerpunktssatz für die ebene Bewegung starrer Körper 98
9.4 Rotation um eine raum- und körperfeste Achse (Satz von Steiner) . . . . . 99
9.5 Berechnung einiger Trägheitsmomente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
9.6 Beispiele zur ebenen Bewegung starrer Körper . . . . . . . . . . . . . . . . 101
9.6.1 Würfel auf horizontaler Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
9.6.2 Das physische Pendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
9.6.3 Die widerspenstige Fadenspule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
9.6.4 Rollen und Gleiten eines Zylinders auf schiefer Ebene . . . . . . . . 104
9.6.5 Aufsetzen eines rotierenden Zylinders auf eine schiefe Ebene . . . . 106
9.7 Die kinetische Energie bei ebener Translation und Rotation . . . . . . . . . 107
9.8 Eigenschaften des Kreisels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
9.8.1 Trägheitstensor und Eulersche Kreisel-Gleichungen † . . . . . . . . 109
9.8.2 Der kräftefreie rotationssymmetrische Kreisel . . . . . . . . . . . . 112
9.8.3 Stabilität der Drehachse für Körper ohne Rotationssymmetrie . . . 114
9.8.4 Symmetrischer Kreisel im Schwerefeld (Präzession) . . . . . . . . . 115
9.8.5 Rotationsenergie und Energiesatz für die allgemeine Drehung † . . 116
9.9 Beispiele zur Kreiselbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
9.9.1 Stabilität des Fahrrades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
9.9.2 Aufrichten der Kreiselachse infolge Reibungsmoment . . . . . . . . 117
9.9.3 Kollergang der Mühlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
9.9.4 Kreiselkompass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
9.9.5 Deviationsmomente eines nicht ausgewuchteten Rades . . . . . . . . 119
9.9.6 Der Präzessionszyklus des Mondes (Saros-Zyklus) . . . . . . . . . . 119
9.9.7 Die Präzession der Erdachse beim Umlauf um die Sonne . . . . . . 120
10 Raum-Zeit-Symmetrie und die klassischen Erhaltungssätze † 122
11 Elastizität der festen Körper † 124
11.1 Interatomare Kräfte, Elastizität und Plastizität . . . . . . . . . . . . . . . 124
11.2 Spannungen und ebene Spannungszustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
11.2.1 Beispiele ebener Spannungszustände . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
11.3 Deformation isotroper Körper, elastische Konstanten. . . . . . . . . . . . . 128
11.3.1 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
11.4 Zwei Beispiele zur Biegung und Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
11.4.1 Biegung eines Balkens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
11.4.2 Torsion eines zylindrischen Stabes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
12 Mechanik der Gase und Flüssigkeiten 137
12.1 Statik der Gase und Flüssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
12.1.1 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
12.2 Der Auftrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
12.2.1 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
12.3 Dynamik idealer Flüssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
12.3.1 Die Kontinuitätsgleichung für stationäre Strömungen . . . . . . . . 144
iii

12.3.2 Die Bewegungsgleichung von Euler und Bernoulli † . . . . . . . . . 144
12.3.3 Spezialfall der Bernoulli-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
12.3.4 Potentialströmungen † . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
12.3.5 Beispiele † . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
12.3.6 Die Berechnung einer Potentialströmung aus der Potentialgleichung † 148
12.3.7 Anwendungen der Bernoulli-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . 149
12.4 Innere Reibung der Gase und Flüssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
12.5 Viskose Widerstände und Reynoldsche Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
12.6 Der dynamische Auftrieb und Widerstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
12.7 Kohäsions- und Adhäsionseffekte bei Flüssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . 159
12.7.1 Die Differentialgleichung einer Oberfläche (Seifenblase) † . . . . . . 164
A Physikalische Konstanten Stand 1986 166
B Grössen und Einheiten der Physik 167
B.1 Grössenart, Dimension, Einheitensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
B.1.1 Grösse und Zahlenwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
B.1.2 Grössenart und Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
B.1.3 Grössengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
B.1.4 Winkel und Raumwinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
B.1.5 Wahl der Basisgrössen in Einheitensystemen . . . . . . . . . . . . . 168
B.2 SI-Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
B.2.1 Von den SI-Einheiten abgeleitete Einheiten z.T. mit speziellen Namen171
B.2.2 Verschiedene Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
B.2.3 Vorsilben der Dezimalteilung von Einheiten . . . . . . . . . . . . . 173
B.3 Astronomische Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
C Mathematische Hilfsmittel 174
C.1 Mathematische Formelsammlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
C.1.1 Trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
C.1.2 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
C.1.3 Hyperbolische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
C.1.4 Inverse Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
C.1.5 Ableitungen und unbestimmte elementare Integrale . . . . . . . . . 175
C.1.6 Einige bestimmte Integrale, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
C.1.7 Reihenentwicklungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
C.2 Zusammenstellung von Differentialgleichungen in Physik A . . . . . . . . . 177
C.3 Vektorgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
C.4 Theoreme aus der Vektorrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
C.5 Explizite Formen von Vektoroperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
iv

Mechanik
Die Mechanik ist die Lehre von den Bewegungen materieller Körper. Sie umfasst also
sowohl die Bewegungen von Atomen und Molekülen in Gasen und Flüssigkeiten und
Festkörpern als auch die Bewegungen von Fahrzeugen, Satelliten und Galaxien. Die Statik
ist die Lehre des Gleichgewichtes und die Kinematik die Lehre der Bewegung unter
dem Einfluss von Kräften. Die Physik sucht nach den Fundamentalgesetzen und prüft
sie anhand der Erfahrung d.h. durch das Experiment. Die Materialgesetze z.B. in der
Festigkeitslehre oder in der Festkörperphysik sind dabei nur beschränkt gültig 1 .
Der Begriff des Massenpunktes wird benutzt, um der Vielfalt der Bewegungen
beizukommen, d.h. für einen Körper wird die räumliche Ausdehnung klein gegenüber
allen Abmessungen, die bei der Bewegung eine Rolle spielen, angenommen. So kann in
vielen Problemen die Erde auf ihrer Bahn um die Sonne als Massenpunkt angesehen
werden. Zur Erklärung der Gezeiten dagegen müssen jedoch die räumliche Ausdehnung
und ihre Eigenrotation berücksichtigt werden. Wie gezeigt wird, greift die Schwerkraft am
Schwerpunkt eines ausgedehnten Körpers an; dieser Schwerpunkt als Massenmittelpunkt
wird somit als Massenpunkt genommen.
Als mathematischer Punkt kann der Massenpunkt im Raume durch drei Koordinaten
festgelegt werden, er führt also nur translatorische Bewegungen aus; Rotationen und
Vibrationen sind nicht im Spiel. Diese Vereinfachung erleichtert wesentlich die grundsätzliche
physikalische Beschreibung. Auf Grund unserer heutigen Erkenntnisse sind Elektronen
und Positronen sowie auch die schwereren Leptonen (Myon und Tau, siehe Anhang) O
bjekte ohne eine Ausdehnung 2 . Hadronen, wie das Proton, Neutron oder Mesonen, haben
dagegen einen Radius von ca 0.6 fm=0.6·10 −15 m.
Die Behandlung der Mechanik wird wesentlich einfacher, wenn wir mit der geometrischen
Beschreibung der Bewegung eines Massenpunktes beginnen (Kinematik), wenn
wir also die Ursachen dieser Bewegung (Dynamik) ausser acht lassen und später den
ausgedehnten Körper als eine Vielzahl (System) von Massenpunkten ansehen.
Begriffssysteme
Fundamentale Begriffe, auf die sämtliche Betrachtungen zurückgeführt werden können,
sind der Raum einschliesslich der Geometrie des Raumes, die Zeit und die Masse mit
den mechanischen Eigenschaften der Materie. Wichtig ist nicht allein die Definierbarkeit
sondern die Messbarkeit dieser Grössen. Alle weiteren Grössen lassen sich durch
Fundamentalbegriffe und Definitionsgleichungen oder physikalische Gesetze ableiten, z.B.
Druck=Kraft/Fläche, Kraft=Masse·Beschleunigung. In der Mechanik sind nur diese drei
fundamentalen Grössen notwendig, zusätzlich müssen die Temperatur und Grössen der
Elektrizitätslehre definiert werden.
Die Länge wurde früher aus subjektiven Abmessungen festgelegt: Fuss 3 , Elle, Zoll
usw. Vom Wohlfahrtsausschuss in Paris wurde am 9. Primaire VIII (Revolutionszeitrechnung)
geographisch das mètre vrai et définitif als 1m=1/40 000 000 des Meridianumfanges
1 Es werden dann häufig angenäherte Gesetzmässigkeiten oder Modelle mit freien Parametern an experimentelle
Daten angepasst, um somit bestimmte Eigenschaften beschreiben zu können.
2 In der Quantenelektrodynamik (siehe später Vorlesungen der theoretischen Physik) erhält das Elektron
durch die Vakuumpolarisation und die Massenrenormierung, d.h. durch die virtuelle Erzeugung und
Vernichtung von Elektron-Positron Paaren und Photonen in der elektromagnetischen Wechselwirkung,
eine dynamische Ausdehnung. Experimentell ist die Ausdehnung kleiner als 10 −18 m.
3 Die Länge der Schuhe von 16 Männern nach dem Kirchgang dividiert durch 16.
1

der Erde festgelegt 4 . Da eine genauere Definition notwendig wurde, diente ein in Paris aufbewahrter
Platin-Iridium Stab als Urmeter. Dieser ist jedoch Umwelteinflüssen ausgesetzt
und eine Eichung ist nur in Paris möglich. 1960 wurde 1m=1 650 763.73 Wellenlängen des
roten, ungestörten 86 Kr 5d 5 − 2p 10 Überganges definiert. Diese Definition ist auf 10 −9
genau mit Laserinterferometrie überall reproduzierbar.
Seit Oktober 1983 wird, nachdem die Lichtgeschwindigkeit als eine exakte Naturkonstante
mit c=299 792 458 m/s festgelegt wurde, definiert:
“Le mètre est la longueur du trajet parcouru dans la vide par la lumière pendant une
dureé de 1/299 792 458 de seconde.”
“Ein Meter ist die Weglänge, die Licht im Vakuum innerhalb einer 1/299 792 458 Sekunde
zurücklegt.”
Die Länge ist damit auf eine sehr genau durchführbare Frequenzmessung λ = c/ν
zurückgeführt und basiert auf einer festgelegten Naturkonstanten. Dennoch gibt es bei
der Realisierung noch eine Reihe von Problemen, wenn die Genauigkeit erhöht werden
muss 5 .
Die Zeit mit dem Herzschlag subjektiv, mit einer Sanduhr oder mit dem Pendel
festzulegen, ist zu ungenau für heutige Anforderungen. Geophysikalisch wurde ein mittlerer
Sonnentag aus dem siderischen Jahr 6 mit 1a sid = 365.25636 definiert. Infolge der
Gezeitenreibung wächst jedoch die Tageslänge um 5 · 10 −8 s/Tag und Zeiten können nur
nachträglich festgelegt werden.
Atomphysikalisch gilt seit 1967 als Standard: 1 Sekunde (s) ist die Zeitdauer von
9 192 631 770 Schwingungen des Hyperfeinüberganges des 2 s 1/2 Grundzustandes des 133 Cs
Atoms. Die Stabilität ist 3·10 −13 , die relative erreichbare Genauigkeit 7 jedoch nur 1·10 −11 .
Die Masse bestimmt den quantitativen Zusammenhang zwischen Kraft und Beschleunigung
⃗ F = m ·⃗b = d dt (m⃗v). Es kann entweder hiermit die Kraft ⃗ F aus der Masse m als
Basis (in dieser Vorlesung benutzte SI-Einheiten) oder die Masse m aus der Kraft ⃗ F als
Basis (technische Einheiten) abgeleitet werden. Die Grundeinheit Masse ist bis heute an
einen künstlichen materiellen Körper gebunden 8 :
1 Kilogramm (kg) ist die Masse des aus 90% Pt und 10% Ir bestehenden Urkilogramms
(Zylinder von 39mm ⊘ × 39mm ), das im Bureau International des Poids et Mesure in
4 Dies ist eine gute Merkzahl der Grösse der Erde. Heute ist 1m=1/40009100 des Meridianumfanges
der Erde, bei geforderter höherer Genauigkeit gibt es Probleme mit der Erdgestalt.
5 (siehe P.W. Petley Nature Vol.303 (1983) 373) Licht ist eine sichtbare elektromagnetische Welle im
Wellenlängenbereich 400-700 nm, dies ist restriktiv; theoretisch ist jedoch die Masse des Photons null
und damit ist die Definition für alle Wellenlängen gültig. In Materie muss jedoch auf die unterschiedliche
Dispersion geachtet werden.
Vakuum ist nur begrenzt ohne Materie herstellbar, es enthält jedoch auch Felder, Strahlung und Gravitationsfelder,
sie beeinflussen Raum und Zeit und damit muss eine Trajektorie nicht gerade sein.
Zeitintervalle sind nur in einem nicht beschleunigten Inertialsystem definierbar, während die Erde ein
rotierendes und damit beschleunigtes System ist.
Bei der Ausbreitung einer Welle ist die Gruppengeschwindigkeit und nicht die Phasengeschwindigkeit
massgebend (siehe später Physik A II).
Eine neue Meterdefinition ist möglich auf der Basis atomistischer Grössen, die z.B. die Feinstrukturkonstante
α mit dem klassischen Elektronenradius festlegen.
6 Die Zeit nach der die Erde bezüglich der Fixsterne nach einem Sonnenumlauf die gleiche Position hat.
Infolge der 25000 Jahre Präzession der Erdachse (Kap. 9.9.7) ist 1a sid ≠ 1a tropisch . Die relativistische
Zeitdilatation zwischen Pol und Äquator ist ≈ 100ns/Tag.
7 Wayne M. Itano, Norman F. Ramsey, “Ultragenaue Zeitmessung”, Spektr.d.Wiss. Sept.1993,S32.
8 Das Kilogramm wird in Zukunft auf der Basis der Naturkonstanten (z.B. ¯h) neu definiert werden
[E.Braun, “Hat das Ur-Kilogramm bald ausgedient?”, Phys.Blätter 54(1998)11,998]; E.O.Göbel ibid
57(2001)35.
2

Sèvres (Paris) aufbewahrt wird. Es entspricht ungefähr der Masse von 1 l Wasser bei
3.98 0 C. Die Konstanz dieser Masse z.B. durch Staub und Abrieb beeinflusst ist ca 2.5·10 −8 .
Die Basisgrössen in Einheiten-Systemen können verschieden gewählt werden 9 .
Hierbei sollten folgende Randbedingungen beachtet werden:
(i) Die Anzahl Einheiten sind auf ein Minimum beschränkt.
(ii)Die Bildung neuer Grössen (nicht Dimensionen) soll nur durch Multiplikationen und
Divisionen bestehender Grössen bestimmt werden, nicht aber durch gebrochene Exponenten.
An der 11. Generalkonferenz für Masse und Gewichte wurde 1960 ein kohärentes Einheitssystem,
das Systeme International d’Unitès (SI), für den allgemeinen Gebrauch empfohlen.
Die der Konvention angehörenden Staaten sind gehalten, das SI (siehe Anhang B)
durch Gesetz einzuführen, es ersetzt alle früheren Masssysteme, wie das cgs, das MKS
oder das technische System.
In der Atomphysik, der Astrophysik und in der theoretischen Physik ist es jedoch oft
zweckmässig, eigene Systeme einzuführen 10 .
1 Kinematik des Massenpunktes
1.1 Ort und Bahn
Der Ort eines Massenpunktes m wird relativ zu einem Bezugspunkt ○ (Origio = Ursprung)
angegeben, und zwar durch den sog. Ortsvektor ⃗r, der von ○ zum Ort des
Massenpunktes zeigt. Die Spitze dieses Ortsvektors, d.h. die Funktion ⃗r = ⃗r(t), folgt der
Bahn und beschreibt so die Bewegung im Laufe der Zeit.
Wir haben hier die geometrische Interpretation des Vektors als gerichteter Geradenabschnitt
benutzt. Der Vektor ist also durch seine Länge (Betrag) und seine Richtung
festgelegt. Da man Vektoren addieren kann (Vektorparallelogramm), kann man umgekehrt
den Ortsvektor auch in Komponenten zerlegen.
z
✻
⃗r ✟✯ m
⃗ k ✻
✟❢
✲
✟✟✟✟ ⃗i ✠ ⃗j
✠
x
✲ y
Häufig wird dazu ein kartesisches Koordinatensystem benutzt,
das durch drei aufeinander senkrecht stehende Einheitsvektoren
⃗i, ⃗j, ⃗ k aufgespannt wird. Es gilt dann
⃗r(t) = x(t)⃗i + y(t)⃗j + z(t) ⃗ k oder ⃗r(t) =
⎛
⎜
⎝
x(t)
y(t)
z(t)
Allgemein kann also ein räumlicher Vektor durch drei skalare Grössen x, y, z ersetzt
werden. Der Betrag ist r = |⃗r| = √ x 2 + y 2 + z 2 . Man beachte: In einem Experiment
können nur skalare Grössen gemessen werden.
Der Endpunkt von ⃗r(t) beschreibt die Bahn von m. Sind die Ortskoordinaten als
Funktion der Zeit t vorgegeben, so lässt sich daraus durch Elimination von t die Bahnkurve
(Parameterdarstellung einer Kurve) berechnen. Wie z.B. x = a · t, y = b · t 2 und damit
die Parabelbahn y = b · x 2 /a 2 .
9 Fleischmann Zeitschrift für Physik 129(1951)377; Kamke, Krämer Physikalische Grundlagen der
Masseinheiten 1977 S19, vgl. Zusammenfassung Anhang B.1.5.
10 z.B. c = ¯h = m e c 2 = 1 in der theoretischen Physik.
⎞
⎟
⎠
3

Statt kartesischer sind oft andere Koordinaten zweckmässiger. Für Zylinderkoordinaten
ρ, ϕ, z sind die Einheitsvektoren
x
ϕ=0
z
ϕ
r → ρ
Für Polarkoordinaten r, ϑ, ϕ ist
x
z
ϕ
ϑ
y
m
y
⃗e ρ =⃗i cos ϕ +⃗j sin ϕ, ⃗e z = ⃗ k,
⃗e ϕ = −⃗i sin ϕ +⃗j cos ϕ, ρ = √ x 2 + y 2
⃗r = ρ⃗e ρ + z ⃗ k =⃗iρ cosϕ +⃗jρ sin ϕ + ⃗ kz
⃗r =
⎛
⎜
⎝
x
y
z
⎞
⎟
⎠ =
⎛
⎜
⎝
ρ cos ϕ
ρ sin ϕ
z
oder
⎞
⎟
⎠
⃗e r =⃗i sin ϑ cos ϕ +⃗j sin ϑ sin ϕ + ⃗ k cosϑ,
⃗e ϑ =⃗i cos ϑ cos ϕ +⃗j cos ϑ sin ϕ − ⃗ k sin ϑ,
⃗e
m ϕ = −⃗i sin ϕ +⃗j cos ϕ
r → ⃗r =⃗ir sin ϑ cos ϕ +⃗jr sin ϑ sin ϕ + ⃗ kr cos ϑ
⃗r =
⎛
⎜
⎝
x
y
z
⎞
⎟
⎠ =
⎛
⎜
⎝
r sin ϑ cosϕ
r sin ϑ sin ϕ
r cos ϑ
Die Anzahl der unabhängigen Koordinaten, die den Ort eines Massenpunktes eindeutig
festlegen, nennt man die Zahl seiner Freiheitsgrade f. Aus obigen Betrachtungen ist
f = 3 für eine allgemeine räumliche Bewegung.
y
Ist die Bewegung an eine Fläche E gebunden, so ist f = 2. Es
m genügen zwei Koordinaten zur Beschreibung einer ebenen Bewegung,
entweder die kartesischen Koordinaten x, y oder die
r →
E ϕ
Polarkoordinaten r, ϕ. Bewegt sich der Massenpunkt längs einer
x
vorgegebenen Kurve, so ist f = 1, und der Ort ist durch die
Bogenlänge s eindeutig bestimmt.
1.2 Die Geschwindigkeit eines Massenpunktes
Die Geschwindigkeit ⃗v gibt an, wie schnell und in welcher Richtung
sich der Ortsvektor mit der Zeit verändert. Die sogenann-
→
∆ r
∆ t te Momentangeschwindigkeit ⃗v(t), d.h. die Geschwindigkeit in
→
∆r einem bestimmten Zeitpunkt t, wird durch folgende Operation
→
r(t)
→
r(t+∆t)
erhalten. Man bestimmt die Ortsänderung ∆⃗r während des Zeitintervalles
∆t. Dann stellt ∆⃗r/∆t die mittlere Geschwindigkeit
im Zeitintervall ∆t dar.
Wenn dieser Quotient für immer kleiner gewählte ∆t einem endlichen Grenzwert (Limes)
zustrebt, definieren wir diesen Wert als momentane Geschwindigkeit ⃗v(t) in [m/s]:
∆⃗r
⃗v(t) = lim
∆t→0 ∆t = lim ⃗r(t + ∆t) − ⃗r(t)
∆t→0 ∆t
→
r(t)
dr
→
→
r(t+∆t)
→
v
⎛
= d⃗r
dt = ⎜
⎝
⎞
v x
⎟
v y
v z
⎠ =
⎛
⎜
⎝
dx
dt
dy
dt
dz
dt
⎞
oder
⎞
⎟
⎠
⎟
⎠ = v x
⃗i + v y
⃗j + v z
⃗ k
Im Differentialquotienten d⃗r/dt sind d⃗r und dt infinitesimal kleine
Grössen und einzeln nicht definiert. Dennoch wird in der Physik
häufig das sog. Differential d⃗r benützt und als sehr kleiner
Vektor aufgefasst und sogar gezeichnet. Wir werden dies im folgenden
auch tun und dabei immer bedenken, dass geometrische
4

Beziehungen, die wir aus solchen Skizzen ablesen, nur gelten, wenn das Differential gegen
Null strebt. So ergibt sich, dass z.B. d⃗r = ⃗r(t + dt) − ⃗r(t) tangential zur Bahnkurve
steht. Daher ist auch die Geschwindigkeit ⃗v tangential zur Bahnkurve. Der Betrag
der Geschwindigkeit ist dann mit den Komponenten in kartesischen Koordinaten
v = √ v 2 x + v 2 y + v 2 z.
Wenn wir aus der Ortsfunktion ⃗r(t) durch Differenzieren die Geschwindigkeit ⃗v erhalten,
so muss sich durch die Umkehroperation, das Integrieren, aus ⃗v wiederum ⃗r berechnen
lassen. Mit 3 Integrationskonstanten ⃗r(t ◦ ) = x(t ◦ )⃗i + y(t ◦ )⃗j + z(t ◦ ) ⃗ k gilt
∫ t
⃗r(t) = ⃗v(t ′ )dt ′ +⃗r(t ◦ ) =⃗i [ ∫ t
v x (t ′ )dt ′ +x(t ◦ ) ] +⃗j [ ∫ t
v y (t ′ )dt ′ +y(t ◦ ) ] + ⃗ k [ ∫ t
v z (t ′ )dt ′ +z(t ◦ ) ]
t ◦ t ◦ t ◦ t ◦
→
r(t o )
s = ∫ √ dx 2 +dy 2 +dz 2
= ∫√ v2 x +v2
y +v2
z dt
→
r(t)
Weg s
→
→
r(t)-r(t o )
wenn zu einer bestimmten Zeit t ◦ der Ort (Anfangsort) ⃗r(t ◦ )
vorgegeben ist. Die Skizze zeigt, dass die Differenz
⃗r(t) − ⃗r(t ◦ ) =
∫t
t ◦
⃗v(t ′ )dt ′
nur im ganz speziellen Fall der geradlinigen Bewegung gleich
dem zurückgelegten Weg (Bogenlänge 11 ) s ist!
1.3 Die Beschleunigung eines Massenpunktes
Die Geschwindigkeit ⃗v eines Massenpunktes ist im allgemeinen eine Funktion der Zeit;
⃗v(t) kann sowohl den Betrag wie auch die Richtung ändern.
Während ⃗v(t) als Tangente an die Bahnkurve im Ortsraum
→
definiert ist, kann man analog die Beschleunigung ⃗a(t) als
die Tangente an die Bahnkurve im Geschwindigkeitsraum darstellen.
Wir definieren also:
v(t) ∆v → →
∆v =
→
→
a
∆t
v(t+∆t)
→
r(t)
→
a(t)
→
v(t)
→
v(t+dt)
∆⃗v
⃗a(t) = lim
∆t→0 ∆t = lim ⃗v(t + ∆t) − ⃗v(t)
∆t→0 ∆t
= d⃗v
dt .
Setzen wir die Definition für ⃗v ein, so erhalten wir nach den
Regeln der Differentialrechnung
⃗a(t) = d⃗v
dt = d dt
( ) [ ]
d⃗r
= d2 ⃗r m
,
dt dt 2 s 2
also einen direkten Zusammenhang zwischen der Ortsfunktion und der Beschleunigung.
Genau wie vorher können wir bei gegebener Beschleunigung die Geschwindigkeit durch
Integration erhalten.
⃗v(t) = ⃗v(t ◦ ) +
∫t
t ◦
⃗a(t ′ )dt ′ .
Auf Grund der Definition von ⃗a liegt ⃗a parallel zu d⃗v. Folgende Spezialfälle sind wichtig:
11 R.Rothe “Höhere Mathematik” Bd I, S.136, Teubner 1955
5

⃗v(t) ✲ ✲ d⃗v a) ⃗v ändert sich nur im Betrag und nicht in der Richtung. Dann
ist d⃗v‖⃗v, also ⃗a‖⃗v, d.h. die Beschleunigung ist auch tangential zur
⃗v(t + dt) ✲ Bahn.
b) ⃗v ändert sich nur in der Richtung und nicht im Betrag. Durch
⃗v(t) ✲ Differenzieren des Skalarproduktes ⃗v · ⃗v erhalten wir:
❳ ❳❳❳
❳ ❳ d⃗v
❳3❄
⃗v(t + dt)
d d⃗v
(⃗v · ⃗v) = ⃗v ·
dt dt + d⃗v d⃗v
· ⃗v = 2⃗v ·
dt dt = 0.
Da aber ⃗v ·⃗v = v 2 = konst, so folgt 2⃗v · d⃗v = 0, d.h. d⃗v ⊥ ⃗v. Die Beschleunigung steht
dt
also senkrecht zur Bahn. Obwohl hier der Betrag der Geschwindigkeit konstant ist, tritt
wegen der Richtungsänderung eine Beschleunigung auf. |d⃗v| ist nicht gleich d|⃗v|!
c) Im allgemeinen Fall steht ⃗a weder parallel noch senkrecht zu ⃗v und ⃗a besitzt also
eine Komponente a tang parallel zu ⃗v (tangential zur Bahn) und eine Komponente a norm
senkrecht zur Bahn.
d) Jede krummlinie Bewegung ist eine beschleunigte Bewegung.
1.4 Komponentendarstellung von Geschwindigkeit und Beschleunigung
Die Vektorschreibweise von physikalischen Beziehungen gestattet eine einfache und kompakte
Darstellung, die ferner, wie wir noch sehen werden, auch Symmetriebeziehungen und
Transformationseigenschaften besser erkennen lässt 12 . Für numerische Zwecke müssen wir
jedoch Vektoren in ihre Komponenten in einem geeigneten Koordinatensystem zerlegen.
Wir behandeln 3 Beispiele.
1.4.1 Raumfestes kartesisches xyz-Koordinatensystem
mit zeitunabhängigen Einheitsvektoren ⃗i, ⃗j, ⃗ k. Aus dem Ortsvektor
⃗r(t) = x(t)⃗i + y(t)⃗j + z(t) ⃗ k
erhält man durch Differentiation die Geschwindigkeit
⃗v(t) = d⃗r
dt = dx
dt ⃗ i + dy
dt ⃗ j + dz
dt ⃗ k = v x (t)⃗i + v y (t)⃗j + v z (t) ⃗ k
und die Beschleunigung
⃗a(t) = d⃗v
dt = dv x
dt ⃗ i + dv y
dt ⃗ j + dv z
dt ⃗ k = d2 x
dt 2⃗ i + d2 y
dt 2⃗ j + d2 z
dt 2⃗ k = a x (t)⃗i + a y (t)⃗j + a z (t) ⃗ k (1)
z
✻
⃗r ✟✯
❢ ✟ ✟✟✟✟
✠
x
✲ y
Die Beträge dieser Vektoren sind dann
√
|⃗r| = r = x 2 + y 2 + z 2 (2)
)
√ 2 ( ) 2 ( ) 2
√( dx dy dz
|⃗v| = v = + + (3)
dt dt dt
)
√ 2 ( ) 2 ( ) 2
√(
d2 x d2 y d2 z
|⃗a| = a = + + (4)
dt 2 dt 2 dt 2
12 Vektoranalysis = Differentialrechnung im 3-dimensionalen oder n-dimensionalen Raum.
6

1.4.2 Normal- und Tangentialkomponenten
Wir führen einen Einheitsvektor ⃗u ein, der in jedem Punkt tangential zur Bahn liegt: ⃗v =
v⃗u. ⃗u ist also zeitabhängig und läuft auf der Bahn mit. Dann ergibt sich als Beschleunigung
→
r
→
u
→
v
⃗u(t)
❳ ✲ ❳❳
❳ ❳❳ dϕ d⃗u
❳3❄
⃗u(t + dt)
⃗a = d⃗v
dt = d dv
(v⃗u) = ⃗u + vd⃗u
dt dt dt . (5)
Da ⃗u‖⃗v steht, stellt der erste Term die Tangentialbeschleunigung
⃗a tang = dv ⃗u dar. Da ⃗u ein Einheitsvektor ist, gilt ⃗u · ⃗u = 1
dt
und
d d⃗u
⃗u · ⃗u = 2⃗u ·
dt dt = 0,
d⃗u
also für
dt
≠ 0 ist d⃗u ⊥ ⃗u.
Als Einheitsvektor kann ⃗u nur seine Richtung, aber nicht seinen
Betrag ändern. Die durch d⃗u definierte Richtung nennen wir die
Hauptnormale der Kurve und legen sie durch den Einheitsvektor
⃗n fest: ⃗n‖d⃗u.
Wenn die Zeit um dt fortschreitet, hat sich ⃗u um den Winkel dϕ
→
u(t)
→
dr
→
u(t+dt) gedreht. Es ist also ϕ|⃗u| = |d⃗u| oder d⃗u = dϕ⃗n
→
n(t)
→
n(t+dt)
→
r(t)
im Grenzfall infinitesimal kleiner Winkel dϕ. Somit identifizieren
dϕ ρ wir vd⃗u/dt (den zweiten Term in Gl.(5) für⃗a) als die Normalbeschleunigung
⃗a
→
r(t+dt) M
norm = v dϕ ⃗n. Die durch ⃗u und ⃗n aufgespannte
dt
Ebene heisst Schmiegungsebene.
In ihr liegt der Krümmungskreis , den man zu jedem Punkt einer Bahnkurve angeben kann
und der durch drei sehr nahe benachbarte Punkte bestimmt ist, deren Abstand gegen 0
strebt. Mittels des Krümmungsradius ρ wird dr = ρdϕ und dϕ = |d⃗u| und somit
P 1
P 2 P 3
ρ
M
a norm = v |d⃗u|
dt
= v dϕ
dt = v1 |d⃗r|
ρ dt
= v2
ρ .
Zusammenfassung: ⃗v = v⃗u, ⃗a = dv v2
⃗u +
dt ρ ⃗n = a tang⃗u + a norm ⃗n
Hierbei wurde kein Koordinatensystem spezifiziert. Auf einer gekrümmten Bahn erfährt
ein Massenpunkt eine Normalbeschleunigung in Richtung der konkaven Seite. Die Richtung
von ⃗a norm zeigt gegen M (Zentripetalbeschleunigung).
1.4.3 Ebene Kreisbewegung ⃗v, ⃗a in Polarkoordinaten
⃗e ϕ(t)
⃗e ϕ(t+dt) ⃗e r(t+dt) ❆❑
❆✟ ✟✯⃗er(t)
❅■ ✒ dϕ
⃗r(t+dt) ⃗r(t)
ϕ(t+dt) ✒
✟ ✟✟✟✟✟✟✯ ϕ(t)
ϕ=0
0
Analog zu den bisherigen Betrachtungen folgt also
Der Massenpunkt wird durch die Koordinaten r und
ϕ festgelegt. Wir führen zwei zeitabhängige Einheitsvektoren
ein: ⃗e r ‖⃗r in Richtung wachsender ⃗r und
⃗e ϕ ⊥ ⃗r in Richtung wachsender ϕ. Dann ist zunächst
⃗r = r⃗e r . Als Einheitsvektoren können ⃗e ϕ und ⃗e r nur
ihre Richtungen ändern.
d⃗e r
dt ⊥ ⃗e r,
d⃗e ϕ
dt ⊥ ⃗e ϕ
oder
d⃗e r
dt = dϕ
dt ⃗e ϕ und d⃗e ϕ
dt = −dϕ dt ⃗e r.
7

Das Minuszeichen tritt auf, weil d⃗e ϕ antiparallel zu ⃗r gerichtet ist.
⃗v und ⃗a erhält man durch einfaches Differenzieren von ⃗r = r⃗e r .
⃗e r(t+dt)
✘ ✘✘ ✘ ✘✘✘✿ dϕ ✻ d⃗e r
✲
⃗e r(t)
|d⃗e r|=|⃗e r|dϕ
⃗v = d⃗r
dt = dr
dt ⃗e r + r d⃗e r
dt = dr (
dt ⃗e r + r dϕ )
⃗e ϕ = v r ⃗e r + v ϕ ⃗e ϕ .
dt
oder in Komponenten
v r = dr
dt ,
Für die Beschleunigung gilt ⃗a = d⃗v
dt = dr
(
d⃗e r
dt dt + d2 r
dt 2⃗e r + r d2 ϕ
dt + dr
2 dt
=
⎡
(
⎣ d2 r dϕ
dt − r 2 dt
Beschleunigung
in Polarkoordinaten
) ⎤ 2 [
⎦⃗e r + r d2 ϕ
dt + 2dr 2 dt
a r =
v ϕ = r dϕ
dt . (6)
)
dϕ
dt
]
dϕ
⃗e ϕ = a r ⃗e r + a ϕ ⃗e ϕ .
dt
⎡ ( ) ⎤ 2
⎣ d2 r dϕ
dt − r ⎦ a 2 ϕ =
dt
[
r d2 ϕ
dt + 2dr 2 dt
⃗e ϕ + r dϕ d⃗e ϕ
dt dt
]
dϕ
dt
Die zur Zwischenrechnung eingeführten Einheitvektoren ⃗e r und ⃗e ϕ gehen natürlich in das
Endergebnis nicht ein sondern nur die Polarkoordinaten r und ϕ sowie t.
Speziell für eine Kreisbahn (r = konst = R) erhält man v r = 0, v ϕ = R dϕ
dt = v
(7)
★✥
❍❨ ⃗v ϕ
❍❨❍ ✉
⃗a r ✁
✁☛
R
❇
✧✦ ❇
und a r = −R
⃗a ϕ
ω = dϕ
dt
( ) 2 ( ) dϕ vϕ 2
v 2
= −R = −
dt R R ,
a ϕ = R d2 ϕ
dt 2 .
ist die Winkelgeschwindigkeit und
dω
dt = d2 ϕ
dt 2 die Winkelbeschleunigung.
a r = − v2
R = −ω2 R ist die Bedingung für eine Kreisbewegung. (8)
Sie wird oft Zentripetalbeschleunigung genannt. Sie kann z.B. erzeugt werden durch eine
Fadenkraft einer rotierenden Masse, durch die Lorentzkraft eines geladenen Teilchens in
einem Magnetfeld oder die Gravitationskraft bei der Bewegung der Erde um die Sonne 13 .
1.5 Die Winkelgeschwindigkeit als ein Vektor
˙ϕ = dϕ
[ ] 1
dt = ω ist die Winkelgeschwindigkeit s
¨ϕ = d2 ϕ
dt = dω
[ ] 1 2 dt = ˙ω = β die Winkelbeschleunigung .
s 2
T = 2π
ω 0
ist die Umlaufzeit nur für ω = ω 0 =konst und ν = 1 = ω 0
die Frequenz
T 2π
(Umlaufzahl).
13 Die entsprechend bezeichnete Zentripetalkraft m⃗a r = −mω 2 R ist daher keine Kraft
sondern die geometrische Bedingung für eine Kreisbahn mit r =konst. Sie kann z.B. gebildet
werden durch eine Fadenkraft, die Gravitationskraft [Kap. 3.6.1], die Lorentz-Kraft [Phys.AII].
8

→
ω
ϕ
ϑ
→
R
→
r
→
v
In dieser Definition ist ω zunächst nur als ein Skalar gegeben.
Mit v = R · dϕ = Rω kann aber aus der Winkelgeschwindigkeit
die Geschwindigkeit berechnet werden. Damit muss
dt
ω ebenfalls Vektorcharakter besitzen abhängig von ⃗v und
⃗r. Für eine Kreisbahn mit R =konst ist ⃗v ⊥ R, ⃗ ⃗ω ⊥ R ⃗ und
⃗ω ⊥ ⃗v.
Bei einer allgemeinen ebenen Bewegung steht R ⃗ nicht senkrecht zu ⃗ω, ⃗ω ist
dann nicht konstant im Betrag. Mit dem Einheitsvektor in der Drehachse ⃗e ist
⃗ω(t) = ω(t) · ⃗e = dϕ ⃗e. dt
⃗ω ist ein axialer Vektor oder Pseudovektor , der durch seinen Drehsinn und nicht
durch eine Richtung ausgezeichnet ist während ⃗r und ⃗v als polare Vektoren eine Richtung
angeben. Für die Beträge gilt
R = r · sin ϑ und |⃗v| = r · sin ϑ · ω = |⃗ω × ⃗r|, ⇒ ⃗v = ⃗ω × ⃗r
wobei das Vektorprodukt zunächst hier formal benutzt wurde. Obwohl ⃗ω einen Drehsinn
kennzeichnet, kann in der Konvention einer rechtsdrehenden Korkenzieherregel auch eine
Richtung festgelegt werden 14
Mit dem Zusammenhang ⃗v = ⃗ω × ⃗r gilt für die Beschleunigung
ω →
Def: Rechtsschraube
⃗a = ˙⃗v = ˙⃗ω × ⃗r
} {{ }
tangential
und für die Normalkomponente der Beschleunigung:
+ ⃗ω × ˙⃗r = ⃗a
} {{ } tang +⃗a norm
normal
⃗a normal = −a normal · ⃗e R = ⃗ω × ˙⃗r = ⃗ω × ⃗v = ⃗ω × (⃗ω × ⃗r)
1.6 Berechnung von ⃗v und ⃗r aus ⃗a, ⃗r 0 und ⃗v 0
Ist der Ort ⃗r(t) eines Massenpunktes als Funktion der Zeit vorgegeben, so lassen sich
Geschwindigkeit und Beschleunigung daraus durch Differentiation berechnen:
⃗v(t) = d⃗r
dt ; d⃗v
⃗a(t) =
dt = d2 ⃗r
dt . 2
Umgekehrt können bei gegebener Beschleunigung Geschwindigkeit und Ort zu jeder
Zeit durch Integration erhalten werden:
⃗v(t) =
∫ t
t ◦
⃗a(t ′ )dt ′ + ⃗v(t ◦ ); ⃗r(t) =
∫ t
t ◦
⃗v(t ′ )dt ′ + ⃗r(t ◦ ).
14 Wir unterscheiden polare Vektoren, die eine Richtung beinhalten und axiale Vektoren (Pseudovektoren),
die durch einen Drehsinn gekennzeichnet sind. Man beachte: Es gilt in den mathematischen
Produkten von polaren Vektoren P ⃗ und axialen Vektoren A: ⃗
⃗P × P ⃗ = A, ⃗ A ⃗ × P ⃗ = P, ⃗ A ⃗ × A ⃗ = A ⃗
z
Führt man für die beiden Vektortypen eine Paritätsoperation P d.h. eine Spiegelung
am Ursprung durch, dann gilt:
✻
PP ⃗ = −P ⃗ und PA ⃗ = + A, ⃗ z.B. für den Ortsvektor P⃗r = −⃗r.
✲
✏ ✏ ✟ ✟✟ ⃗r ✟✯
✏✮ x
✟
✟
y
Die beiden Vektortypen unterscheiden sich also in ihrer Symmetrie gegenüber ✟✟✙ −⃗r=P⃗r
dem Paritätsoperator.
9

Natürlich muss diese Vektorgleichung bei einer expliziten Berechnung als drei skalare
Gleichungen für die drei räumlichen Koordinaten (z.B. x, y, z kartesische Koordinaten)
ausgeschrieben werden. Die beiden Integrationskonstanten müssen aus den Anfangsbedingungen
berechnet werden. Anschaulich bedeutet dies: Die Endlage eines Massenpunktes
bei bekannter Beschleunigung ist nur eindeutig, wenn z.B. der Anfangspunkt ⃗r ◦ = ⃗r(t ◦ )
und die Anfangsgeschwindigkeit ⃗v ◦ = ⃗v(t ◦ ) gegeben sind.
Als Beispiel betrachten wir die Bewegung eines Massenpunktes längs der x-Achse. Die
Beschleunigung a x sei konstant, wie bei der Erdbeschleunigung g mit der x-Richtung als
Fallrichtung. Aus
a x ✻
✲ t
a x = dv x
dt = konst
folgt durch einmalige Integration
v x ✻
vx(t◦) ✏✏✏✏✏
✲ t
v x (t) =
∫t
t ◦
a x dt ′ + v x (t ◦ ) = a x · (t − t ◦ ) + v x (t ◦ ).
Für t ◦ wählen wir den Zeitnullpunkt, d.h. t ◦ = 0. Mit der Anfangsbedingung
v x (t ◦ ) = v x (0) = 0 wird dann v x (t) = a x t = dx
x
t
dt .
Nochmalige Integration liefert
x(t) =
∫t
◦
v x (t ′ )dt ′ + x(0) = a x
t 2 2 + x(0).
Mit der zweiten Anfangsbedingung x(0) = 0 wird dann schliesslich x(t) = 1 2 a xt 2 .
Die Kenntnis von Ort und Geschwindigkeit nur zu einem Zeitpunkt t ◦ legt bei bekannter
Beschleunigung ⃗a den gesamten Bewegungsablauf fest.
10

2 Die Grundgesetze der Mechanik
Wir suchen jetzt nach den Ursachen der Bewegung, insbesondere wollen wir quantitative
Beziehungen aufstellen. Wir werden von Beobachtungen des Alltags ausgehen, Begriffe
wie Masse und Kraft einführen, und dann zur Formulierung der Newtonschen Prinzipien
gelangen, welche eine quantitative Erfassung aller mechanischen Vorgänge der klassischen
Physik gestatten.
2.1 Masse und Kraft
Was wir gemeinhin als Kraft bezeichnen, ist unseren alltäglichen Erfahrung entnommen:
wir müssen Muskelkräfte aufwenden, um z.B. einen Körper zu deformieren oder ihn in
Bewegung zu versetzen. Wir fragen also nach den Wirkungen einer Kraft; die Frage nach
dem Wesen der Kraft bleibt hier zunächst unbeantwortet.
1. Eine subjektive Schmerzempfindung aufgrund einer
Kraft ist eine ungenügende Definition einer Kraft.
2. Mit unserer Muskelkraft können wir einen elastischen
Körper deformieren. So wird z.B. eine ideale Feder
verlängert oder verkürzt, wobei die Deformation offenbar
umso grösser ist, je stärker die Kraft ist. Ferner
ist
die Deformation reversibel und reproduzierbar, d.h. unabhängig von der Vorgeschichte.
Insbesondere wird die Deformation bei Wegnahme der Kräfte immer wieder verschwinden.
Diese Eigenschaft können wir daher benützen, um Kräfte mit einer Standardfeder
durch Deformation zu messen (Dynamometer).
3. Kraft ist auch die Ursache einer Bewegungs-, also Geschwindigkeitsänderung einer
Masse. Insbesondere muss auf einen Körper eine Kraft wirken, um ihn aus dem Zustand
der Ruhe in denjenigen der Bewegung zu bringen. Hierbei sehen wir aus dem Experiment
schon unmittelbar, dass die Geschwindigkeitsänderung umso grösser wird, je grösser die
wirkende Kraft ist. Ferner ergibt sich ebenso unmittelbar, dass die Kraft eine vektorielle
Grösse ist, da die Richtung der eintretenden Geschwindigkeitsänderung mit der Richtung
Pre luft
Reiter
Rolle
Luftaustritt
Schiene
Gewicht
m
der Kraft variiert.
Quantitative Versuche zu einer eindimensionalen
Bewegung können wir mit der Luftkissenbahn
ausführen. Kleine Reiter gleiten fast
ungehindert d.h. reibungsfrei auf einem Luftpolster.
Mittels eines kleinen Gewichtsstückes
können wir einen Reiter mit konstanter Kraft
beschleunigen. Wir stellen fest, dass die Geschwindigkeit
linear mit der Zeit wächst.
Also ist die Beschleunigung a konstant, die wir in Abhängigkeit von der Zeit t messen,
die der Reiter zum Zurücklegen einer festen Strecke x gebraucht hat, also a = 2x/t 2 . Für
zwei verschiedene Beschleunigungen a 1 und a 2 gilt dann a 1 /a 2 = (t 2 /t 1 ) 2 .
Mit dieser Standardkraft können wir verschieden grossen Reitern unterschiedliche Beschleunigungen
a i erteilen. Offenbar hängt a i von einer Grösse ab, die wir die träge
Masse m i des Körpers nennen. Eine Masse zeigt einen Widerstand gegen eine Geschwindigkeitsänderung
- die Trägheit. Gleiche Kraft ergibt bei gleichen trägen Massen
dieselbe Geschwindigkeitsänderung. Wir können daher das Verhältnis der Massen m 1 und
11

m 2 zweier Reiter durch das Verhältnis der zugehörigen Beschleunigungen a 1 und a 2 bei
konstanter Standardkraft definieren:
m 2
m 1
= a 1
a 2
Es stellt sich heraus, dass das Massenverhältnis unabhängig davon ist, wie die gleichmässige
Beschleunigung erzeugt wird, vorausgesetzt, beide Körper werden gleich behandelt.
Wir können schliesslich die gleiche Masse mit einer doppelt so grossen Kraft beschleunigen,
indem wir zwei Gewichtsstücke verwenden. Wir beobachten dann eine doppelt so
grosse Beschleunigung. Somit können wir eine Kraft-Einheit definieren; es ist diejenige
Kraft, welche der Masse m 1 die Beschleunigung a 1 erteilt. Auf Grund unserer Experimente
erzeugt dann eine Kraft von F Einheiten, die auf eine Masse von m Einheiten wirkt,
eine Beschleunigung a = F/m. Wir haben also für die eindimensionale Bewegung das
Erfahrungsgesetz F = ma gefunden, das für den dreidimensionalen Raum erweitert
werden kann zu ⃗ F = m ·⃗a Kraft=Masse·Beschleunigung (9)
2.2 Die Newtonschen Prinzipien
Aus dem in Kap.2.1 skizzierten Tatsachenmaterial lassen sich Schlüsse ziehen, die in den
von Isaac Newton 1687 aufgestellten Prinzipien formuliert sind 15 . Diese Prinzipien, die
für Massenpunkte gelten, stellen eine Kombination von Beobachtung, Definition, Intuition
und Annahme über die Eigenschaften von Raum und Zeit dar.
2.2.1 Trägheitsprinzip
Das Trägheitsprinzip ist schon von Galilei 16 formuliert worden.
15 Im dritten Teil seiner Prinzipia antizipierte Isaac Newton (1643-1727) die Idee eines künstlichen
Satelliten als ein Wurfgeschoss, das um die Erde herumfällt, wenn nur die Anfangsgeschwindigkeit gross
genug ist. Seine mathematische Theorie der Gravitation bewies die Identität der Fallbeschleunigung auf
der Erde und der Anziehung zwischen Mond und Erde, erklärte damit auch die Gezeiten und postulierte
identische Gesetze auf der Erde und im Weltraum. Dies war die erste vereinheitlichende Theorie in der
Physik. Leibnitz kritisierte seine Begriffe des absoluten Raumes und der absoluten Zeit. Er wurde durch die
Relativitätstheorie bestätigt. Der Huygens’schen Wellenhypothese des Lichtes stand Newton ablehnend
gegenüber, dieser Konflikt wurde erst in der Quantenmechanik durch den Dualismus von Welle und
Teilchen gelöst.
16 Galileo Galilei (1564-1642) aus einer angesehenen Florentiner Kaufmannsfamilie, studierte in Pisa
Medizin, war für die Malerei begabt, las mit 20 Euklid und Archimedes, wurde mit 25 1589 Prof. für
Mathematik in Pisa: Fall-Versuche, Trägheitsgesetz, entwickelte das Fernrohr (Phasen der Venus, Jupitermonde),
1592 Padua “Discorsi”, 1610 Hofmathematiker der Medici in Florenz (Fürst Cosimo II), 1616
1.Prozess in Rom (Konflikt zwischen dem Aristotelismus und dem Kopernikanischen Weltsystem), 1633
2.Prozess (lebenslängliche Haft im Landhaus Arcetri, Arbeiten: Gesetz des freien Falls, Wurfbewegung,
schiefe Ebene, Pendelgesetz, verbotener Druck anonym in Holland), 1637 erblindet.
1992 Rehabilitation durch Papst Johannes Paul II ohne die Haltung des Vatikans gegenüber den Naturwissenschaften
zu tangieren [Phys. Blätter (1968)S.358-363, 49(1993)877-882, 1076-1077].
12

z ✻
Es ist immer möglich, ein spezielles Koordinatensystem, das
m sogenannte Inertialsystem, zu finden, in dem sich ein isolierter
Massenpunkt mit konstanter Geschwindigkeit bewegt. Wenn
3✟ ✟✟✟✟✯ ⃗v = konst.
auf einen Körper von aussen keine Kräfte wirken, beharrt er in
seinem Zustand der Bewegung, er bleibt in Ruhe, wenn er von
Anfang an in Ruhe war.
Inertialsystem ✲
x
✠
y
Dies Prinzip stellt eine Mischung von Definition und experimenteller Tatsache dar: Auf
Grund der Definition des Inertialsystems bewegen sich Massenpunkte mit konstantem ⃗v,
falls es uns gelingt, alle auf sie wirkenden Kräfte auszuschalten.
Weil das in der Praxis nur beschränkt möglich ist, ist also die Aussage, solche Inertialsysteme
würden existieren, eine geniale Extrapolation der Beobachtungen. Das Trägheitsprinzip
ist nicht einfach ein Sonderfall des gleich zu besprechenden 2. Prinzips, es definiert
vielmehr den Raum (Metrik des Raumes ), in dem die Newtonsche Mechanik gilt.
In unseren obigen Versuchen mit der Luftkissenbahn stellt ein Koordinatensystem, das
fest mit dem Profil verbunden ist, das Inertialsystem dar. Wirken längs der Bahn keine
Kräfte, so ändert sich der Bewegungszustand des Reiters nicht.
2.2.2 Bewegungs- oder Aktionsprinzip
z ✻
m 3✟ ✟✟✟✟✯ F ⃗
✟ ✟✟✯
⃗a
Wirkt auf einen Massenpunkt der Masse m eine
Kraft ⃗ F, so erfährt der Massenpunkt eine Beschleunigung
gemäss der Gleichung ⃗ F = m⃗a.
✲
x
✠
y
Dieses Prinzip ist mehr als nur eine Definitionsgleichung der Kraft! Es genügt nicht
zu sagen, dass eine Kraft F ⃗ = m⃗a existiere, wenn eine Beschleunigung ⃗a gemessen wird.
Kräfte rühren her von Wechselwirkungen zwischen Systemen (hier also zwischen Reiter
und Gewichtsstück ), und es sind diese Wechselwirkungen, welche physikalisch bedeutsam
sind und die in jedem Falle angegeben werden müssen. Andererseits wird durch das
Aktionsprinzip die Kraft definiert durch: Man nehme m, messe ⃗a und bestimme F ⃗ aus
Gl. (9).
Das Aktionsprinzip liefert auch die Masseinheit der Kraft. Im Internationalen System
ist die Einheit der Kraft 1 Newton = 1 N =
[ kg m
s
2
]
. Das ist die Kraft, die der Masse 1
kg die Beschleunigung 1 m/s 2 erteilt 17 .
Aus der Vektorschreibweise des Aktionsprinzips folgt, dass ⃗ F immer in Richtung von
⃗a zeigt. Man kann also die Kraft durch einen Vektor repräsentieren, dessen Angriffspunkt
im Massenpunkt liegt. Wenn mehrere Kräfte auf einen Massenpunkt wirken und somit
auch mehrere Wechselwirkungen vorhanden sind, so zeigt die Erfahrung, dass diese Kräfte
sich zu einer resultierenden Kraft überlagern. Es gilt das
17 Im cgs-System ist die Einheit 1 dyn diejenige Kraft, die 1 g mit 1 cm/s 2 beschleunigt. Es ist
1 N = 10 5 dyn.
13

2.2.3 Superpositionsprinzip
F ⃗
⃗F ✂ ✂✍
✂
2
✂
✂
✂
✂
✂
⃗a ✂ ✂✍ 2 ⃗a
✂
✂
✂
✚✂
3
✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚✚❃
✚✚✚✚✚❃ ✲ ✲✂
m ⃗a 1 F1 ⃗
Die Beschleunigung ⃗a, die mehrere an einem
Massenpunkt angreifende Kräfte ⃗ F i bewirken,
ist gleich der Vektorsumme ⃗a = ∑ ⃗a i der
Einzelbeschleunigungen, welche die Kräfte
verursachen würden, falls sie einzeln wirken
würden.
⃗F = ∑ ⃗ Fi = ∑ m⃗a i = m⃗a
Das Aktionsprinzip kann in einer etwas allgemeineren Form geschrieben werden, wie sie
Newton selbst benutzte, die überdies auch in der Relativitätstheorie gültig ist. Dazu
brauchen wir den Begriff des Impulses. Der Impuls ⃗p eines Massenpunktes m ist definiert
als ⃗p = . m⃗v. Dann lautet das Aktionsprinzip: F ⃗ =
d⃗p
dt
= d(m⃗v)
dt
= m⃗a (10)
Die auf einen Massenpunkt wirkende Kraft ⃗ F ist gleich der Impulsänderung pro Zeiteinheit.
Die Proportionalitätskonstante ist in Gl.(10) als 1 definiert. Gl.(10) ist eine Vektorgleichung,
die ausgeschrieben in drei räumlichen Koordinaten z.B. in kartesischen
Koordinaten lautet: F x = m d2 x
dt 2 ,
Polarkoordinaten Gl. (7)
F r = m
F y = m d2 y
dt , 2
⎡ (
⎣ d2 r dϕ
dt − r 2 dt
F z = m d2 z
dt 2
oder in ebenen
) ⎤ 2 [
⎦, F ϕ = m r d2 ϕ
dt + 2dr 2 dt
In der klassischen Physik (v ≪ Lichtgeschwindigkeit c) ist m unabhängig vom
Bewegungszustand, so dass gilt F ⃗
d⃗p =
dt = d (m⃗v) = md⃗v
dt dt .
Für Geschwindigkeiten, die nicht mehr klein gegen die Lichtgeschwindigkeit c sind, ist
m jedoch eine Funktion von v. Dabei gilt auf Grund der Einsteinschen Relativitätstheorie
]
dϕ
dt
m =
m ◦
√
1 − v 2 /c 2
wobei m ◦ die Ruhemasse ist. Trotzdem ist das Aktionsgesetz in der Form
noch gültig. Explizit erhält man
⃗F = d dt (m⃗v) =
⃗F = d⃗p
dt = d dt (m⃗v)
m ◦ d⃗v
√
1 − v 2 /c 2
dt + m ◦ v dv
√
(1 − v 2 /c 2 ) 3 c 2 dt ⃗v.
14

2.2.4 Reaktionsprinzip
Dass eine Kraft das Ergebnis einer Wechselwirkung zwischen zwei Systemem ist, wird im
3. Prinzip ausdrücklich formuliert:
Übt irgend ein Körper 1 auf einen Körper 2 eine Kraft
7
✏✮✏ ✏✏ ⃗F 12 aus, so übt der Körper 2 auf den Körper 1 auch
✏7
✏✏ ✏✶ F12 ⃗ 2 eine Kraft F ⃗ 21 aus, so dass gilt
⃗F 21
1
⃗F 12 = −F ⃗ 21 actio=reactio
Kräfte treten immer in Paaren auf, greifen jedoch an verschiedenen Körpern an. Sie
können sich also in ihrer Wirkung nicht aufheben. Für die Gültigkeit des 3. Prinzips
spielt es keine Rolle, ob die beiden Körper sich berühren oder beliebig weit voneinander
entfernt sind, ob sie gleiche oder verschiedene Masse und Form besitzen, oder von welcher
Art die Wechselwirkung ist (z.B. Gravitations- oder elektromagnetische Kraft) [Kap.10].
Was ist der Gültigkeitsbereich der Newtonschen Mechanik, also der Mechanik, welche
sich auf die Newtonschen Prinzipien stützt? Wie schon erwähnt, wird die Newtonsche
Mechanik ungültig, wenn sich die Massenpunkte mit Geschwindigkeiten bewegen, die vergleichbar
mit der Lichtgeschwindigkeit sind (c ≃ 3 × 10 8 m/s). Die Newtonsche Mechanik
versagt ebenfalls für Systeme von atomaren oder noch kleineren Dimensionen (≃ 10 −8 cm),
wo sogenannte Quanteneffekte bedeutsam werden. Der Grund für die beschränkte Gültigkeit
der Newtonschen Mechanik sind die nichtrelativistischen, klassischen Konzepte von
Raum, Zeit und die Beschränkung auf makroskopische Systeme, bei denen Effekte der
Quantenmechanik vernachlässigt werden können.
2.3 Der Schwerpunkts- oder Impulssatz für Systeme von Massenpunkten
Die Newtonschen Prinzipien beschreiben das Verhalten von Massenpunkten. Obwohl ausgedehnte
Körper zuweilen durch Massenpunkte angenähert werden können (z.B. bei der
Planetenbewegung, da die Grösse der Planeten von geringer Bedeutung bei den riesigen
Dimensionen des Sonnensystems ist), so gibt es doch genügend Fälle, in denen die endliche
Ausdehnung der Körper berücksichtigt werden muss. Deshalb wollen wir jetzt die
Newtonschen Prinzipien für ein System von vielen Massenpunkten verallgemeinern.
z ✻ ⃗F i ✐
m ✉i
Es seien N Massenpunkte m
i gegeben, z.B. die Sonne mit ihren
Planeten oder die Atome einer Billiardkugel. Diese N Mas-
✒ ✁
✁☛ ⃗ G ki senpunkte definieren jeweils das System, dessen Bewegung wir
⃗r i
untersuchen sollen. Dann sind zwei Typen von Kräften zu unterscheiden,
die auf die Massenpunkte wirken: die innere Kraft
m
✉ 1 ✁✕ Gik ⃗
✉✁
m
❢
✲
x ✉N
m k
G ik , die der Massenpunkt m i auf den Massenpunkt m k ausübt,
y
✠
und die äussere Kraft F i , die auf m i wirkt.
Im Falle der Billiardkugel ist G ik eine intermolekulare elektrische Kraft und F i umfasst
die Gravitationskraft der Erde und eventuell die von der Berührungsfläche herrührende
Kraft.
Für jeden einzelnen Massenpunkt gilt das Aktionsprinzip
⃗F 1 + G ⃗ 21 + G ⃗ 31 + ... + G ⃗ N1 = d⃗p 1
dt , F2 ⃗ + G ⃗ 12 + G ⃗ 32 + ... + G ⃗ N2 = d⃗p 2
dt
15

...
⃗F N + ⃗ G 1N + ⃗ G 2N + ... + ⃗ G N−1N = d⃗p N
dt
Addieren wir diese Gleichungen und beachten dabei, dass nach dem 3. Newtonschen
Prinzip gilt ⃗ G ik = − ⃗ G ki , so folgt
N∑
⃗F i = d N∑
⃗p i ,
i=1
dt
i=1
die inneren Kräfte fallen heraus.
Wir nennen ⃗p = ∑ i ⃗p i den totalen Impuls des Systems, ⃗ F = ∑ i ⃗ F i die resultierende
äussere Kraft, und erhalten dann
den Impulssatz
⃗ F =
d⃗p
dt . (11)
Die auf ein System von Massenpunkten wirkende resultierende äussere
Kraft ist gleich der Änderung des Gesamtimpulses pro Zeiteinheit.
Formal ist der Impulssatz identisch mit dem Reaktionsprinzip für einen Massenpunkt,
weil die inneren Kräfte nicht mehr auftreten. Diese formale Gleichheit lässt sich noch
stärker betonen, wenn wir den Begriff des Schwerpunktes einführen.
✉
z ✻
Der Schwerpunkt S (besser Massenmittelpunkt ) von N Massenpunkten
wird durch das gewichtete Mittel der Ortsvektoren
✉ M
m i ✉ ❡S
✂ ✂✍ ⃗r i ✒ ✉ der Massenpunkte definiert. Der Ortsvektor des Schwerpunktes
ist also
∑ ∑
✂
✉
✲
x ✂ ⃗r
.
S
⃗r s =
i m i ⃗r i i m i ⃗r i
=
✠
y
∑i m i M ,
wobei M = ∑ i m i die Gesamtmasse darstellt. Dann ergibt sich für den Gesamtimpuls
⃗p = ∑ i
⃗p i = ∑ i
m i ⃗v i = ∑ i
m i
d⃗r i
dt = d dt
∑
i
m i ⃗r i = d dt M⃗r s = M d⃗r s
dt = M⃗v s.
⃗v s heisst die Schwerpunktsgeschwindigkeit. Aus dem Impulssatz folgt dann:
der Schwerpunktsatz
⃗a s ist die Schwerpunktsbeschleunigung. In Worten:
∑i ⃗ F i = ⃗ F = M d2 ⃗r
dt 2 = M d⃗v s
dt = M⃗a s (12)
Der Schwerpunkt S eines Systems von Massenpunkten bewegt
sich so, als ob in ihm die gesamte Masse konzentriert wäre und
sämtliche äusseren Kräfte an ihm angreifen würden.
Für allgemeine Punktsysteme gibt der Schwerpunktssatz keine Auskunft über die detaillierte
Bewegung einzelner Teilchen. Er macht nur Aussagen über die Bewegung eines
Punktes, des Schwerpunktes S, der übrigens nicht einmal mit einem Massenpunkt des
Systems zusammenfallen muss (Fig. oben).
Der Schwerpunktssatz rechtfertigt das Konzept des Massenpunktes. Für einen starren
Körper, dessen Moleküle infolge starker interner Kräfte feste Abstände untereinander
16

haben, beschreibt der Schwerpunktssatz die Translation des Körpers. Solange wir nur
an dieser interessiert sind, können wir den Körper durch einen Massenpunkt ersetzen.
Um jedoch über Drehbewegungen etwas aussagen zu können, brauchen wir eine weitere
Bewegungsgleichung, den Drehimpulssatz (Kapitel 5).
Wir nennen ein System abgeschlossen, wenn die Summe der äusseren Kräfte
∑ ⃗ Fi = ∑ d⃗p i
dt
= 0 verschwindet. Dann bleiben auf Grund des Impulssatzes der Gesamtimpuls
und nach dem Schwerpunktssatz die Schwerpunktsgeschwindigkeit erhalten:
In einem abgeschlossenen System
ist ∑ i ⃗p i = ⃗p = konst, ⃗v s = konst.
Impulserhaltungssatz (13)
Wenn ⃗v s = konst., so sind nur relative Lageänderungen innerhalb des Systems oder
Drehungen des Gesamtsystems möglich (vgl. Kap.3.7 und 8.6).
Unsere Herleitung des Impulserhaltungssatzes basiert auf der Gültigkeit der Newtonschen
Mechanik. Es hat sich jedoch herausgestellt, dass dieser Satz auch in solchen
Gebieten der Physik gilt, wo die Newtonsche Mechanik unzulänglich ist, z.B. in der Quantenmechanik
und in der Relativitätstheorie. Deshalb wird dem Impulserhaltungssatz eine
fundamentalere Bedeutung als der Newtonschen Mechanik beigemessen. In Kap. 10 wird
die Impulserhaltung aus der Symmetrie des Raumes abgeleitet. Der Raketenantrieb ist
eine Anwendung der Impulserhaltung (Kap.3.7).
2.4 Die vier fundamentalen Kräfte
Es sind bisher nur vier fundamentale Kräfte bekannt (vgl. Anhang ??):
1. Die Gravitation,
}
2. die elektromagnetische Wechselwirkung,
elektroschwache Wechselwirkung
3. die schwache Wechselwirkung und
4. die starke Wechselwirkung der Quarks.
Andere Kräfte 18 wie van der Waals-Kräfte in der Chemie, die Kernkraft oder Reibungskräfte,
lassen sich im Prinzip alle auf die vier fundamentalen Kräfte zurückführen.
Die ersten beiden Wechselwirkungen haben eine unendliche Reichweite, da sie mit dem
inversen Quadrat des Abstandes abnehmen, die letzten beiden sind nur wirksam innerhalb
nuklearer Dimensionen (≃ 10 −15 m). Die Restwechselwirkung der starken Wechselwirkung
der Quarks (ähnlich den van der Waals-Kräften der elektomagnetischen Wechselwirkung)
verursacht die Kernkräfte zwischen den Bausteinen (Nukleonen: Protonen und Neutronen)
des Atomkerns und ist für dessen Zusammenhalt verantwortlich. Die schwache Wechselwirkung
tritt beim β-Zerfall des Atomkerns auf (z.B. Umwandlung eines Neutrons in ein
Proton unter Emission eines Elektrons und eines Neutrinos). Gegenwärtig wird sehr intensiv
untersucht, ob sich diese verschiedenen Kräfte auf eine einzige Ursache zurückführen
lassen (Vereinheitlichung der Kräfte), was bereits für die 2. und 3. der Wechselwirkungen
gelungen ist.
Wechselwirkungen werden nach dem heutigen Bild der Quantenfeldtheorie durch Austauschteilchen
vermittelt, die virtuell zwischen Materieteilchen ausgetauscht werden. Masselose
Austauschteilchen wie das Photon der elektromagnetischen Wechselwirkung und
18 Eine superschwache Wechselwirkung als Ursache der beobachteten Verletzung der Zeitumkehrinvarianz
und damit eventuell der extremen Asymmetrie von Materie und Antimaterie im Universum oder
eine fünfte Kraft in der Gravitation, wurden bisher nicht gefunden.
17

das Graviton 19 der Gravitationskraft haben eine unendliche Reichweite und damit ein
Kraftgesetz proportional zum inversen Quadrat des Abstandes, 20 während die kurzreichweitige
schwache und starke Wechselwirkung durch massive Austauschteilchen vermittelt
werden 21 .
Da die schwache und starke Wechselwirkung ausserhalb der Atome (Dimension ≃ 10 −10
m) keine merkliche Rolle spielen, sind in der alltäglichen Mechanik nur die Gravitation
und die elektromagnetischen Kräfte von Bedeutung. Mit ihnen werden wir uns etwas
näher beschäftigen, bevor wir Anwendungen der Newtonschen Prinzipien diskutieren.
2.4.1 Die Gravitationskraft
Newton entdeckte 1684 das nach ihm benannte Gravitations-Gesetz.
✎☞
m s2
✒ ✍✌
✠ G ⃗ 12
⃗r 12
★✥
✒ G21 ⃗ m s1
✧✦
m 1
Spiegel
m 2
m 2
m 1
Zwei Körper mit sphärisch-symmetrischer Massenverteilung
ziehen sich gegenseitig mit einer Kraft an,
die proportional dem Produkt der schweren Massen
und umgekehrt proportional dem Quadrat ihres Abstandes
ist.
In vektorieller Form gilt:
Schirm
⃗ G12 = −Γ m s1m s2
r 2 12
· ⃗r 12
r 12
(14)
Γ ist eine Proportionalitätskonstante, die experimentell bestimmt werden muss, indem
man die Kraft zwischen Massen in einer bekannten geometrischen Anordnung misst.
Die erste Messung wurde 1771 von Henry Cavendish
mit einer Torsionswaage ausgeführt. Der heutige
Lichtquelle
Wert der Konstanten ist
−11 Nm2
Γ = 6.67259(85) · 10
kg 2 = m3
s 2 kg .
Die Gravitationskonstante Γ ist eine der fundamentalen
Naturkonstanten. Da sie für alle Materialien
gleich ist, nennt man das Gravitationsgesetz Gl.(14)
universell.
Messung der Gravitationskonstanten im Cavendish-Experiment †
Da die Massen der Himmelskörper zuächst nicht genau bekannt sind, kann die Gravitationskonstante
Γ nicht z.B. aus der Bewegung des Mondes um die Erde mit
F = Γ m Em M
= m
rEM
2 M · r EM ωM 2 bestimmt werden. Cavendish benutzte daher bekannte
Massen in einem Laborexperiment mit der von Coulomb 1784 zur Messung der elektrostatischen
Kraft entwickelten Torsionswaage (vgl. Kap. 11.4.2 S. 136). In der gezeichneten
Anordnung herrsche ein Gleichgewicht zwischen den Momenten der Gravitationskraft und
19 Das Graviton wurde bisher nur indirekt aus der Gravitationswellenabstrahlung eines Doppelpulsarsystems
nachgewiesen. Joseph H. Taylor und Russell A. Hulse der Princeton University erhielten für
diese schon 20 Jahre laufenden Präzisionsmessungen 1993 den Nobelpreis. [Scient.Amerik. Oct.1981 p.61;
Spektrum d.Wiss. Dez.1981 S.53; Ap.J. 253(1982)908]
20 Der Kraftfluss durch eine Kugelfläche ist konstant.
21 Vergleiche Anhang ??. Ein massives Austauschteilchen mit der Masse m hat ein Potential
V ∝ 1 r e−r·mc2 /¯hc
18

dem rückstellenden Torsionsmoment:
m 2 F
x
x
S
m 1
m 1
d
Skala
L
Spiegel
Torsionsdraht
Lichtquelle
Masse die Kraft
F
m
x
1 m 1
m 2
r
d · Γ m 1m 2
r 2 · 2 = −k · ϕ ,
der Faktor 2 berücksichtigt beide Massen, k ist die
Torsionskonstante. Werden die beiden Massen m 1 in
die zweite Position verlagert, dann wirkt auf jede
Γ m 1m 2
r 2 + 1
2d k · ϕ = 2 · Γm 1m 2
r 2 = F ,
die sie um a = F/m 2 = 2Γm 1 /r 2 beschleunigen.
Bei einer Messung von a aus der Auslenkung x(t) des Spiegels mit der Zeit t gehen
die Masse m 2 und auch die Torsionskonstante k des Drahtes für die Bestimmung der
Gravitationkonstanten Γ nicht ein.
[cm]
20
x S
m 1 = 1.499 kg
r = 0.0466 m
L = 13.48 m
d = 0.05 m
nicht linear
infolge Drehung
Die Auslenkung x = at 2 /2 nach der Zeit
t wird über den Spiegel vergrössert auf der
Skala gemessen zu x S = 2xL/d. Damit ist
die Gravitationskonstante
10
Γ = x S
t · d
2 L · 2m 1
Steigung= x S /t 2
die Masse m geht nicht in das Ergebnis ein,
t 2 [s 2 ]
0
und der Faktor x S
t 2 kann aus der Steigung der
15 30 45 60 75 90 105 s
Auslenkung bei kleinen t als Funktion von t 2
bestimmt werden. Aus den Daten
der Graphik erhielt man in einem VP-Versuch Γ = 6.86 ± 0.010 · 10 −11 m 3 kg −1 s −2 .
Die träge und schwere Masse †
Prinzipiell ist zwischen der ins Gravitationsgesetz Gl.(14) eingehenden schweren Masse
m s eines Körpers und der trägen Masse m t im Aktionsprinzip Gl.(10) zu unterscheiden:
m t ·⃗a = m s · Γ Ms ⃗r
und auf der Erde m r 2 r t ·⃗a = m s · ⃗g.
Aus Symmetriegründen müssen im Gravitationsgesetz die schweren Massen beider
Körper auftreten 22 . Ob die trägen Massen und die schweren Massen ein für alle Körper
gleiches Verhältnis α = m s /m t haben, ist eine Frage, welche die Physik lange beschäftigt
hat. Nach Einsteins allgemeiner Relativitätstheorie sollte für alle Körper nach dem Äquivalenzprinzip
α = m s /m t = 1 gleich sein 23 .
Versuche, diese Gleichheit experimentell nachzuweisen, wurden 1908 von Baron R. von
Eötvös (Genauigkeit 10 −9 ) und später von R.H. Dicke und Mitarbeitern 24 (Genauigkeit
22 Newton und auch seine Kritiker Huygens und Leibnitz hatten grosse Schwierigkeiten die Fernwirkung
der Gravitation zu erklären. Newton sagte: Hypotheses non fingo - Ich mache keine Hypothesen. Er stellte
nur die Frage nach der Gesetzmässigkeit der Gravitation und nicht warum sie existiert. Heute wissen wir,
dass Kräfte durch Austauschteilchen (hier masselose Gravitonen mit einem Spin=2) vermittelt werden,
die sich mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten; die Wechselwirkung ist also nicht momentan, sondern sie
hat eine endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit.
23 α ≠ 1 könnte z.B. möglich sein, wenn die Gravitation nicht nur an der schweren Masse angreift,
sondern auch eine Gravitationskomponente existiert, die an der Zahl der Neutronen, Protonen oder
Elektronen in einem Atom angreift; die Masse eines Atoms ist wegen der Kernbindungsenergie nicht
exakt proportional zur Zahl der Nukleonen im Kern (Massenzahl A).
24 R.v. Eötvös, D. Pekár und E. Fekete, Annalen der Physik 68(1922)11-66
r 2
19

10 −11 ) mittels einer Drehwaage ausgeführt. Das Prinzip der Messung ist: Zwei Massen
verschiedenen Materials werden an einem Torsionsfaden aufgehängt. Die Schwingungsamplitude
(vgl. Kapitel 7.4) infolge der mit 24 Stunden harmonischen Anregung der
umlaufenden Sonne ist vom Verhältnis der schweren und der trägen Masse der beiden
Materialien abhängig. Aus der Schwingungsamplitude wird eine obere Grenze für die Abweichung
m t /m s − 1 bestimmt.
Sonne
m s
→
a(Al)
m s (Al)
→
a(Au)
m s (Au)
Die Sonne (Masse M s , Abstand r s ) übt auf die
beiden schweren Massen m s (Au) und m s (Al),
die aus verschiedenen Materialien bestehen (z.B.
Au=Gold und Al=Aluminium) Gravitationskräfte
aus, die zu Beschleunigungen a(Au) und a(Al)
führen. Es gilt
a(Au) = ΓMs
r 2 s
m s(Au)
m t(Au) ,
ΓMs m
a(Al) = s(Al)
. rs
2 m t(Al)
Zur Zeit ist ein Satellitenexperiment (STEP: Satellite Test of Equivalence Principle 25 )
geplant, mit dem in einem um die Erde umlaufenden Satelliten in einer mehrere Monate
dauernden Messung das Äquivalenzprinzip auf 10 −17 getestet werden soll. Ist m s /m t ≠ 1
und nicht für alle Körper gleich, dann ist auch die Schwerkraft für verschiedene Körper
verschieden
⃗G 12 (Au) = −m s (Au) Γm s(Erde)⃗r 12
= m
r12
3 t (Au) ·⃗a(Au) ≠
⃗G 12 (Al) = −m s (Al) Γm s(Erde)⃗r 12
= m
r12
3 t (Al) ·⃗a(Al)
und die beiden Körper werden verschieden schnell um die Erde fallen.
Da nach dem Äquivalenzprinzip m s /m t = 1 für alle Körper gleich ist, muss a(Au) =
a(Al) sein, was Dicke mit einer Unsicherheit von 10 −11 auch beobachtete. Wir werden also
im Gravitationsgesetz und im Aktionsprinzip in Zukunft die schwere und träge Masse als
gleich verwenden.
Kraftfeld und Feldstärke der Gravitationskraft
Wir haben die Gravitation durch ein Fernwirkungsgesetz beschrieben, d.h. die von m 1 auf
m 2 wirkende Kraft ist momentan vorhanden, die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Kraftwirkung
wäre also unendlich gross. Dies führt zu Komplikationen, wenn zeitlich veränderliche
Wechselwirkungen auftreten (z.B. Gravitationswellen). Wir beschränken uns daher auf
Geschwindigkeiten der Körper, die klein sind gegenüber der Lichtgeschwindigkeit v ≪ c
und führen den Begriff des Kraftfeldes ein.
Dazu denken wir uns einen einzelnen Körper gegeben. Durch seine Anwesenheit werden
die Eigenschaften des ihn umgebenden Raums verändert. Jedem Raumpunkt ⃗r wird eine
gewisse lokale Grösse, die Feldstärke, zugeordnet, aus der die Gravitationskraft G ⃗
Körper
G ⃗ ❳❳2 ❳ ❳
m
✉
⃗r ✒
❡
auf eine kleine, kugelförmige Probemasse (= Massenpunkt) an der
Stelle ⃗r bestimmt werden kann. Wir definieren als Feldstärke ⃗g(⃗r)
die Gravitationskraft pro Masseneinheit
⃗g(⃗r) = ⃗ G ⃗ (r)
m .
P.G. Roll, R. Krokov and R.H. Dicke, Ann. Phys. 26(1964)442, siehe auch
V.B. Braginskii and V.I.Panov, Sov. Phys. JETP 34(1972)463.
25 Phys.Blätter, April 1993,310; 1996 als “top rated” bei NASA und ESA
eingestuft[Phys.Bl.54(1998)11,997].
20

Ist der felderzeugende Körper kugelförmig mit der Masse M, so ist nach dem
m
❅
✉
✠⃗g(⃗r)
❅
Gravitationsgesetz ⃗g(r) = −Γ M M
r · ⃗r ❅
2 r = −ΓM⃗r r , 3
❅
❅
wenn ⃗r vom Mittelpunkt von M aus gerechnet wird. Das
⃗g-Feld ist ein Zentralfeld, d.h. kugelsymmetrisch.
Nach dem Aktionsprinzip ist die auf die Masseneinheit bezogene Stärke des Gravitationsfeldes
gleich der Beschleunigung eines Massenpunktes m an der Stelle ⃗r des Raumes.
Wählen wir speziell für M die Masse m E der Erde und für r den Erdradius r E , so ist
⃗G = m · ⃗g(r E ) = −Γ M⃗r E
m
rE
3
das Gewicht des Körpers und g die Fallbeschleunigung.
In Übereinstimmung mit der Beobachtung erfahren also alle Körper (unabhängig von
Form und Masse) im Vakuum an der gleichen Stelle der Erdoberfläche beim freien Fall
die gleiche Beschleunigung g ≃ 9.81ms −2 . Nach dem Reaktionsprinzip muss eine Kraft
⃗G ′ = −G ⃗ existieren, mit welcher der Körper m die Erde anzieht. Der Angriffspunkt von
⃗G ′ ist der Schwerpunkt der Erde.
Das Gewicht eines Körpers ist eine Volumenkraft. Sie wirkt
dM
auf jeden Massenpunkt m i oder jedes Massenelement dM eines
❄d G ⃗ ❡ ❄ Körpers, Gi ⃗ = m i ⃗g bzw. dG ⃗ = ⃗gdM.
S Das totale Gewicht ist demnach
❄
❄
⃗G = ∑ i
m i ⃗g = ⃗g ∑ i
m i = M⃗g
für einzelne Massen, bzw.
❄ ⃗ G
∫
⃗G =
∫
⃗gdM = ⃗g
dM = M⃗g
für eine Massenverteilung
mit dem Schwerpunkt S als effektivem Angriffspunkt.
2.4.2 Die Coulombkraft (elektromagnetische Wechselwirkung)
Gewisse Körper können in einen Zustand gebracht werden, in dem sie Kräfte aufeinander
ausüben, die viele Grössenordnungen stärker sind als die Gravitationskraft, wenn sie
geladen sind. Ladung ist eine fundamentale Eigenschaft der Materie.
Reiben wir einen Glasstab an Hirschleder, so wird der Stab geladen. Seine Ladung kann
auf einen beliebigen Körper übertragen werden. Zwei vom gleichen Stab geladene Körper
stossen sich ab. Stammt die Ladung aus zwei verschiedenen Quellen, so kann eventuell
auch eine Anziehung beobachtet werden. Es existieren offenbar zwei Ladungssorten, eine
positive und eine negative 26 .
26 Zwei verschiedene Ladungen wurden von Benjamin Franklin beobachtet. Die Kennzeichnung von
positiven und negativen Ladungen wurde von Georg Christoph Lichtenberg aus den Beobachtungen der
nach ihm benannten Entladungsfiguren eingeführt.
21

Das quantitative Kraftgesetz wurde von Coulomb (1736-1806)
⃗F ✒ 12 = ⃗ formuliert und sagt aus, dass zwei sphärisch-symmetrische Ladungsverteilungen
q und Q sich anziehen oder abstossen, je nach-
F C
✎☞
★✥ ⃗r 12 ✒ ✍✌ q dem ob sie ungleichnamig oder gleichnamig geladen sind. Die
Kraft ist dabei proportional zum Produkt der beiden Ladungen
und umgekehrt proportional zum Quadrat ihres Abstands. In
Q
vektorieller Schreibweise ist [Details siehe Phys.AII]
✧✦
✠
F ⃗ 21
⃗F C = 1 · Qq · ⃗r 12
(15)
4πε ◦ r12
2 r 12
Wir haben wiederum ein Zentralfeld. Für eine positive Punktladung Q zeigen die Feldvektoren
radial nach aussen. Die Feldlinien laufen von der Quelle weg. Für eine negative
Ladung Q weisen die Feldvektoren nach innen.
Vergleichen wir die beiden beschriebenen fundamentalen Kräfte, so finden wir gewisse
Analogien, aber auch wesentliche Unterschiede. Das Kraftgesetz ist formal gleich, da beide
Kräfte durch masselose Austauschteilchen (Photon und Graviton) dargestellt werden,
die damit eine unendliche Reichweite haben. Hingegen kann die Coulombkraft sowohl
anziehend wie abstossend sein (Elektron hat negative Ladung und sein Antiteilchen das
Positron hat positive Ladung), während die Gravitationskraft immer anziehend ist sowohl
für Massen, Antimassen (Antiteilchen) als auch Kombinationen von Teilchen und Antiteilchen.
Diese Eigenschaften werden in der Quantenfeldtheorie begründet durch den Vektorcharakter
(Spin=1) des Photons und den Tensorcharakter (Spin=2) des Gravitons 27 .
Ladung ist immer an Masse gekoppelt; es gibt keine masselosen Elementarteilchen, die eine
Ladung besitzen, Gründe sind bisher nicht bekannt. Massive, neutrale Teilchen (Neutron,
π 0 ) haben jedoch eine Ladungsverteilung, die sie im Unendlichen als neutral erscheinen
lässt und die sich im Falle des z.B. Neutrons (Spin=1/2) auch durch ein magnetisches
Moment äussert. Ferner ist die Ladung mit der Elementarladung e diskret d.h. quantisiert,
während die schwere Masse in der Gravitationskraft kontinuierlich jeden beliebigen
Wert annehmen kann. Die Quantisierung der Gravitation und der Ursprung der Massen
der Teilchen ist eines der noch ungelösten Probleme der theoretischen Physik.
Im Bereich der Elementarteilchen und Atome überwiegt die Coulombkraft bei weitem.
Betrachten wir z.B. zwei Protonen und vergleichen die anziehende Gravitationskraft
zwischen ihnen mit der abstossenden Coulombkraft, so finden wir für das
Verhältnis der Beträge
F C
F G
= Q2 p
4πε ◦
1
Γm 2 p
≃ 10 36 .
In Anbetracht dieser enorm grossen Zahl ist es nicht verwunderlich, dass die Wirkung der
Gravitationskraft auf geladene Elementarteilchen experimentell bisher nicht nachweisbar
ist. Die Wirkung der Gravitationskraft auf ein neutrales Neutron ist dagegen beobachtbar.
Dass zwischen Erde und Sonne nur die Gravitationskraft wirkt, beruht offenbar darauf,
dass jeder der beiden Körper genau gleich viel positive und negative Ladung enthält. Es
muss demnach die negative Ladung des Elektrons dem Betrag nach identisch sein zur
positiven Ladung des Protons, der Grund dieses tieferen Zusammenhanges zwischen dem
27 Die Aussage, dass Masse=Antimasse sein muss und dass die Gravitationskraft für Materie und Antimaterie
identisch ist, wird z.B. am CERN mit Neutronen und Antineutronen versucht, experimentell zu
bestätigen.
22

Elektron und dem Proton und damit den Quarks ist in der Teilchenphysik noch nicht
bekannt.
2.4.3 Die schwache Wechselwirkung
Die schwache Wechselwirkung, wie sie z.B. im β-Zerfall radioaktiver Kerne oder im Zerfall
des Myons (schweres Elektron) oder Pions beobachtet wird, hat eine sehr kurze Reichweite
von nur ca. 2 · 10 −17 m bedingt durch die schweren Austauschteilchen, den W ± und
Z 0 Bosonen mit m(W)c 2 = 80.22 GeV und m(Z)c 2 = 91.17 GeV. Die schwache und
elektromagnetische Wechselwirkung sind in der elektroschwachen Wechselwirkung zu einer
gemeinsamen Theorie der Teilchenphysik vereinigt 28 .
2.4.4 Die starke Wechselwirkung
Die starke Wechselwirkung wird durch den Austausch von 8 Gluonen zwischen den Quarks
vermittelt. Die nur so zu Hadronen (Proton, Neutron oder Mesonen) gebunden auftretenden
Quarks zeigen eine kurze Reichweite von ca 10 −15 m, da sich die Quarkkräfte
gegenseitig absättigen (Confinement). Die Kernkraft zwischen den Nukleonen im Kern
(Neutronen und Protonen) ist dann nur eine kurzreichweitige Restwechselwirkung der
fundamentalen starken Wechselwirkung.
2.5 Reibungskräfte, Oberflächenkräfte
Heuristische Kraftarten wie Reibungskräfte, Normalkräfte, Fadenkräfte, elastische Kräfte,
Federkraft, Schubkraft, van der Waals Kraft, Oberflächenspannung etc. sowie auch chemische
Bindungen können prinzipiell durch die fundamentalen Kräfte erklärt werden. Die
Gesetze sind oft empirisch, materialabhängig und in engen Grenzen gültig. Die Kräfte
treten z.T. auf, wenn Körper sich sehr nahe kommen, d.h. sich berühren. Zwei elektrisch
neutrale Atome üben abstossende Kräfte aufeinander aus, wenn sich die Atome so stark
nähern, dass sich die Elektronenhüllen überlappen. Bei grösserem Abstand ziehen sich
die Atome leicht an mit der sogenannten van der Waals-Kraft, welche wie r −7 mit dem
Abstand stark abnimmt. Es handelt es sich hier um Coulombkräfte, also nicht um eine
weitere Fundamentalkraft. Bei der Wechselwirkung zwischen makroskopischen Körperoberflächen
sind jedoch wegen der riesigen Zahl der beteiligten Atome die Zusammenhänge
so kompliziert, dass wir diese Kräfte nicht aus dem Coulombschen Fundamentalgesetz herleiten,
sondern uns auf eine Beschreibung ihrer empirischen Eigenschaften beschränken 29 .
An der Berührungsstelle zweier Körper 1 und 2 treten somit zwei Kräfte auf, nämlich ⃗ F 12
an der Oberfläche des Körpers 2 und ⃗ F 21 an der Oberfläche des Körpers 1, wobei nach
dem Reaktionsprinzip gilt ⃗ F 12 = − ⃗ F 21 .
28 Mit den Maxwell-Gleichungen (siehe Pysik AII) wurde schon die Optik, die Elektrizitätslehre und
der Magnetismus zu einer vereinigten elektromagnetischen Wechselwirkung zusammengeführt. Eine Vereinigung
aller vier Wechselwirkung zu einer Weltformel steht noch aus.
29 Achtung: Die Zentripetalkraft ist keine Kraftart sondern eine kinematische Bedingung für eine
kreisförmige Bewegung; sie kann gebildet werden durch die Gravitation, Lorentz-Kraft, Auftrieb (Flugzeug),
Reibungskraft usw.
Trägheitskräfte (Zentrifugalkraft, Führungskraft, Corioliskraft) treten nur in beschleunigten Systemen
auf, für sie gilt das 3. Newtonsche Prinzip nicht (siehe Kap. 8), da für die Newtonschen Bewegungsgleichungen
ein Inertialsystem als Bezugssystem verlangt wird. Im beschleunigten System müssen sie mit
den Trägheits- oder Scheinkräften korrigierend ergänzt werden.
23

⃗F 12
✁
❍ ⃗
✻ ❍❍N12
✁
✁ ✁ ✁✕
✁ ✁
✁ ✁
✁
❍❨
❍
❍✁ ✁ 2
⃗R 12
✁
❍ ❍❍❥ R21 ⃗
1 ✁
✁ ✁ ✁
✁ ✁
✁ ✁
⃗N 21
✁☛
❍
❍
❍❄✁ ✁ F21 ⃗
Es ist zweckmässig, diese Kräfte in Komponenten normal
und tangential zur Berührungsebene zu zerlegen. Wir nennen
diese Komponenten Normalkraft ⃗ N und Reibung
⃗R. Es ist also
⃗F = ⃗ N + ⃗ R und nach dem Reaktionsprinzip
⃗N 12 = − ⃗ N 21 sowie ⃗ R12 = − ⃗ R 21 .
Meistens berühren sich zwei Körper nicht nur in einem
Punkt, sondern in einer Fläche. Die Kräfte sind über diese
Fläche verteilt. An jedem differentiellen Flächenelement
dA greift dann die Oberflächenkraft d ⃗ F an.
Dabei ist wieder d ⃗ F = d ⃗ N + d ⃗ R.
Die Kraft pro Flächeneinheit dF/dA heisst die Spannung in
❏❪ dF ✻
❏dA
σ dA.
❏
Insbesondere ist
❏
dN
dR
= σ die Normalspannung und = τ die Schubspannung.
✛τ ❏
❏
dA
dA dA
Schub- und Normalspannungen spielen u.a. in der Festigkeitsund
Elastizitätslehre (Kap.11), sowie in der Dynamik der Gase
und Flüssigkeiten (Kap.12) eine bedeutsame Rolle .
Unter Umständen können die über eine Fläche verteilten
Oberflächenkräfte zu einer Resultierenden zusammengefasst
werden, indem man sie über die Berührungsfläche B
✟
❆❑ ⃗
❆
❆
✟ ✟✟✟✟✟✟ ❆ N
F
❆ ❆
✟ integriert.
❆
❆ dN
⃗ ❆
⃗N ❆ ✟✯
❆
✯ ⃗
❆ ✟✯ R
❆ ❆❑
❆✟✟✟✯ ✟✟✟✟✟✟ ❆❆
❆❑ ❆ ❆❑ ❆❑ ❑ = ∫ dN ⃗ ist die totale Normalkraft,
B F
✟✯ ✟ ✟✟✟✟✟✯ ⃗R = ∫ dR ⃗ ist die totale Reibungskraft.
✟ ✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟ dR
⃗ B F
Der effektive Angriffspunkt muss dabei von Fall zu Fall aus
zusätzlichen Bedingungen bestimmt werden. Für Translationen
spielt seine Lage keine Rolle.
Im Beispiel des ruhenden Würfels auf schiefer Ebene wird der
✟ ✟✟✟✟ ❆ Angriffspunkt von R ⃗ und N ⃗ aus der Drehmomentenbedin-
❆ gung (Seite 96) bestimmt. Damit der Würfel nicht umkippt,
❆
⃗N ❆ ✟
müssen G, ⃗ R ⃗ und N ⃗ sich in einem Punkt schneiden. Die Summe
der Drehwirkungen der Kräfte ist dann Null, wie wir später
❆ ❆
❆❆❑
❆
❆ ✟✟✯
❆
✟ ✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟ ⃗G
❄ ⃗R einsehen werden. Wir werden jetzt N und R für die beiden Fälle
der trockenen und viskosen Reibung ausführlicher diskutieren.
2.5.1 Trockene Oberflächen
Die Anziehungskraft an den Berührungsflächen zweier trockener Körper ist im allgemeinen
so schwach, dass sie vernachlässigt werden kann.
Dies beruht darauf, dass die Oberflächen sich infolge ihrer
Rauhigkeit nur an wenigen mikroskopisch kleinen Stellen
wirklich nahe kommen (mikroskopische Kontaktfläche).
Nur in höchstpolierten, hochreinen Berührungsflächen befindet sich ein grosser Teil der
24

Oberflächenatome gleichzeitig im Bereich der gegenseitigen Anziehung. Nur in diesem
speziellen Fall können die Anziehungskräfte sich stark auswirken (Kaltverschweissung).
Im allgemeinen werden wir sie vernachlässigen und annehmen, dass die Normalkraft immer
abstossend ist, d.h. N ≥ 0.
Eine weitere empirische Beziehung besteht zwischen den Komponenten ⃗ N und ⃗ R. Die
Erfahrung zeigt, dass ⃗ R mit zunehmender Normalkraft N wächst, weil durch den erhöhten
Druck (= Kraft pro Flächeneinheit) auf die Berührungsfläche die Grösse der mikroskopischen
Kontaktfläche und damit die Verhakung der beiden Oberflächen zunimmt.
Für die weitere Diskussion sind zwei Fälle zu unterscheiden, nämlich
a) Haftreibung bei relativ zueinander ruhenden Oberflächen,
b) Gleitreibung bei bewegten Oberflächen.
z ✻
a) Haftreibung
✲
x
⃗ N
✛ ⃗ R H
✻
⃗F
✲ a
Wir betrachten einen ruhenden, haftenden Klotz auf einer
horizontalen Unterlage, an welchem die veränderliche horizontale
Kraft ⃗ F a angreift. Aus dem Trägheitsprinzip folgt:
⃗F tot = ⃗ G + ⃗ F a + ⃗ N + ⃗ R H = 0.
⃗G und F ⃗ a seien gegeben, wie gross sind N ⃗ und R ⃗ H ?
❄G
⃗ Wir führen ein rechtwinkliges Koordinatensystem ein und
zerlegen die obige Vektorgleichung in Komponenten
F tot,z = N + G = 0 ⇒ N = −G, F tot,x = F a + R H = 0 ⇒ −R H = F a .
Während N hier wie das Gewicht konstant ist, ändert sich R H , wenn wir F a ändern.
Allerdings existiert für R H eine obere Grenze, welche von der Normalkraft abhängt. Empirisch
findet man:
0 ≤ R H ≤ µ H N.
Die obere Grenze der Haftreibung ist proportional zur Normalkraft. Für R H selber haben
wir nur eine Ungleichung. Der Proportionalitätsfaktor µ H heisst Haftreibungskoeffizient,
er gibt an, bis zu welchem Anteil von N R H gültig ist.
b) Gleitreibung
Überschreitet die äussere Kraft F a im obigen Beispiel den maximalen Wert von R H , so
resultiert eine Kraft in x-Richtung, der Klotz setzt sich in Bewegung, er gleitet. Wieder aus
der Erfahrung wissen wir, dass in diesem Fall die Reibungskraft R G direkt proportional
zur Normalkraft ist. Es gilt
R G = µ G N.
Der Gleitreibungskoeffizient µ G ist meistens etwas kleiner als µ H für die gleichen Oberflächen.
Zusammengefasst ergibt sich folgender Sachverhalt:
Sowohl µ H wie auch µ G hängen sehr kritisch von Form
R
R G
= µ G
N und Beschaffenheit der beiden sich berührenden Oberflächen
ab, sie sind also nur als Mittelwerte zu betrach-
R H
= F a
ten. Die Coulombschen Reibungsgesetze
0 ≤ R H ≤ µ H N und R G = µ G N
µ H N F a
sind Material-Gesetze, die nicht die strenge Gültigkeit wie andere physikalische Gesetze
(z.B. das Gravitationsgesetz) beanspruchen. Eine atomare mikroskopische Theorie der
Reibung wäre als ein Problem unendlich vieler Körper unlösbar.
25

Die Reibungskräfte R H und R G sind annähernd unabhängig von der Grösse der
Berührungsfläche. Wird nämlich bei gleichbleibender Normalkraft die Berührungsfläche
z.B. vergrössert, so bleibt die mikroskopische Kontaktfläche wegen des verkleinerten
Drucks jedoch praktisch konstant und somit auch die Reibungskraft. Dieser Sachverhalt
gilt natürlich nicht mehr, wenn die Oberflächen deformiert werden (wie z.B. bei einem
Autoreifen). In guter Näherung ist die gleitende Reibung R G unabhängig von der relativen
Geschwindigkeit der Körper.
2.5.2 Nasse Oberflächen und viskose Reibung
Ganz anders als im vorigen Fall verhalten sich die Kräfte zwischen zwei Berührungsflächen,
wenn die Zwischenräume ganz mit Flüssigkeit ausgefüllt sind.
a) Normalkraft
Die Anziehungskräfte zwischen den Atomen oder Molekülen kommen voll zur Wirkung,
d.h. die Normalkraft kann jetzt auch anziehend sein. Sorgen wir dafür, dass
die Flüssigkeit sehr zäh ist oder sich verfestigt und somit nicht wegfliessen kann, so
kleben die Körper aneinander: Die Flüssigkeit wirkt als Klebstoff.
b) Reibung
Bewegt sich ein Körper in einer Flüssigkeit, so gelten die folgenden Beziehungen für
die sog. viskose Reibung:
1. Haftreibung existiert nicht.
2. Bei genügend kleinen Geschwindigkeiten gilt für die viskose Reibung
⃗R vis = −β⃗v.
Die Proportionalitätskonstante β [kg/s] hängt von der Form und Grösse der
Oberfläche und der Zähigkeit (Viskosität
η) der Flüssigkeit ab. Speziell für eine Kugel mit dem Radius r in einer laminaren
(=wirbelfreien) Strömung gilt das Reibungsgesetz von Stokes Gl. (163)
R vis ≃ 6π · η · r · v.
3. Bei grösseren Geschwindigkeiten nimmt die Reibung infolge einer Wirbelbildung
mit der Geschwindigkeit quadratisch zu und es gilt genähert für den
dynamischen Reibungswiderstand
R vis ∼ v 2 .
4. Bei sehr grossen Geschwindigkeiten (vergleichbar mit der Schallgeschwindigkeit)
bei Gasen hängt die dynamische, viskose Reibung von einer höheren Potenz
von v ab R vis ∼ v n mit n > 2.
Füllen wir den Zwischenraum zwischen zwei Körpern so mit einer Flüssigkeit aus,
dass sie sich nicht mehr direkt berühren, so gelten ebenfalls die obigen Beziehungen.
Insbesondere verschwindet die Haftreibung. Für kleine Geschwindigkeiten ist die viskose
Gleitreibung gegenüber der trockenen Reibung stark reduziert: Die Flüssigkeit ist ein
Schmiermittel.
26

3 Anwendungsbeispiele der Newtonschen Prinzipien
Wir werden jetzt anhand einiger quantitativer Beispiele zeigen, wie bei vorgegebenen
Kräften der zeitliche Verlauf des Ortsvektors ⃗r(t) eines Massenpunktes (bzw. des Schwerpunktes
eines Systems von Massenpunkten) berechnet werden kann. Auf Grund des Aktionsprinzips
Gl.(10) (oder des Impulssatzes Gl.(11)) ist die Beschleunigung ⃗a(t) in geeigneten
Koordinaten gegeben, und durch zweimalige Integration gewinnt man ⃗r(t).
Bei der Lösung dieses mechanischen Problems ist es empfehlenswert, sich an folgendes
Rezept zu halten:
1. Bestimmung der Zahl f der Freiheitsgrade der unabhängigen skalaren Gleichungen,
die das System beschreiben.
2. Wahl eines geeigneten Koordinatensystems mit f Koordinaten. Eine falsche Wahl
führt zu mathematischen Schwierigkeiten jedoch zum richtigen Ergebnis.
3. Auffinden und zeichnen aller auf das System wirkenden Kräfte.
4. Aufstellen des Aktionsprinzips für diese Kräfte und Zerlegung der Vektorgleichung
in die f skalaren Komponentengleichungen, d.h. in f Bewegungsgleichungen (Differentialgleichungen
2. Ordnung).
5. Zweimalige Integration jeder Differentialgleichung, wobei insgesamt 2f frei wählbare
Integrationskonstanten auftreten müssen, liefert die sogenannte allgemeine Lösung.
6. Festlegung dieser Integrationskonstanten durch die physikalischen Anfangsbedingungen,
d.h. durch vorgegebene Werte von Ort und Geschwindigkeit zu einem bestimmten
Zeitpunkt t ◦ .
Das mechanische Problem ist nach diesen sechs Schritten gelöst und der Ort ⃗r(t) des
Massenpunktes zu einer beliebigen Zeit t kann vorhergesagt werden.
3.1 Freier, vertikaler Fall im Vakuum
0
x ◦
x(t)
Mit unserem Rezept ist:
1. Zahl der Freiheitsgrade f = 1.
2. eindimensionales Problem: x-Achse in vertikale Richtung legen.
3. Es wirkt nur das Gewicht ⃗ G = m s ⃗g, bzw. G x = m s g
✗✔ m d
4. m 2 x
t = m
dt 2 s g, mit m s = m t ⇒ ẍ = d2 x
= g = konst.
dt 2
x = x(t) ist zeitabhängig 30 . Mit m s = m t fällt die Masse heraus.
✖✕ 5. Integration: v = dx = ∫ d
dt dt (dx)dt
+ C dt 1 = ∫ g dt = gt + C 1 ,
❄G
⃗ x = ∫ v dt + C 2 = ∫ gt dt + ∫ C 1 dt + C 2 = g 2 t2 + C 1 t + C 2
6. Anfangsbedingungen: Zur Zeit t = 0 wird im Punkte x = x
❄x
◦ die
Masse mit der Geschwindigkeit v ◦ senkrecht nach unten geworfen.
Das Fallgesetz ist eine Differentialgleichung, die hier einfach integriert werden kann.
Damit gilt: x(t = 0) = x ◦ = C 2 , v(t = 0) = v ◦ = C 1
x o t
Resultat: x(t) = g 2 t2 + v ◦ t + x ◦
x
Spezialfall: x ◦ = 0, v ◦ = 0, x(t) = g 2 t2 , v(t) = gt.
( )
30 Definition der Schreibweise: d2 x(t)
dt
= d dx(t)
2 dt dt
= ẍ ,deshalb steht 2 an verschiedenen Stellen.
27

v
v o
t
Ist die Fallhöhe h, so beträgt die Fallzeit T = √ 2h
g .
T ist unabhängig vom Material und der Masse des frei fallenden
Körpers. Dies ist die Folge der Gleichheit von schwerer und träger
Masse.
3.2 Die Atwoodsche Fallmaschine
Im Vergleich zum freien Fall kann mit dieser Maschine der Bewegungsablauf
verlangsamt werden, die Resultate lassen sich deshalb
leichter quantitativ beobachten und prüfen.
Annahmen: Das die beiden Massen m 1 und m 2 verbindende Seil
sei völlig flexibel, habe eine konstante Länge und eine gegenüber
|m 1 − m 2 | vernachlässigbare Fadenmasse m F . Es wird über die
sich reibungsfrei drehende Rolle gelegt, deren Masse ebenfalls vernachlässigt
wird. Nach unserem Rezept zerlegen wir das gesamte
System in die drei Teilsysteme mit den Massen m 1 , m 2 und m F .
1. Da die Fadenlänge konstant ist, ist f = 1.
✛✘
⃗F 1
′ ⃗F
✚✙2
′
❄ ❄
✻ F2 ⃗ ⃗F ✻ 1
z ❄
❄
❄ m 2⃗g
m 1 ⃗g
h
❄ ❄x 1 ❄x 2
2. Wir legen die x-Achse in vertikale Richtung. Sind x 1 und x 2 die Koordinaten der
beiden Massen, so gilt offenbar dx 1 = −dx 2 und folglich d2 x 1
dt 2 = − d2 x 2
dt 2 .
3. Auf m 1 und m 2 wirken die Gewichte ⃗ G 1 und ⃗ G 2 und die vom Faden ausgeübten
Oberflächenkräfte ⃗ F 1 und ⃗ F 2 .
Nach dem Reaktionsprinzip wirken dann auf den Faden die Kräfte ⃗ F ′ 1 = − ⃗ F 1 und
⃗F ′ 2 = − ⃗ F 2 . Diese Kräfte wirken beschleunigend in der x-Richtung, im Gegensatz zu
den von der Rolle ausgeübten Normalkräften.
4. Bewegungsgleichung für den Faden: m F a x = F ′ 1 − F ′ 2.
Weil wir m F = 0 annehmen, muss F ′ 1 = F ′ 2 und somit F 1 = F 2 = F sein.
Folglich lauten die Bewegungsgleichungen für die beiden Massen in den beiden
Koordinatensystemen: m 1
d 2 x 1
dt 2 = m 1 g − F und m 2
d 2 x 2
dt 2 = m 2 g − F. (16)
Hieraus folgt durch Subtraktion, wenn wir noch d2 x 1
= − d2 x 2
dt 2 dt 2
beachten:
d 2 x 1
dt 2 = m 1 − m 2
m 1 + m 2
g. (17)
Die effektiv beschleunigende Kraft ist die Differenz der beiden Gewichte, welche die
totale Masse m 1 + m 2 in Bewegung versetzt.
5. Integration: x 1 (t) = g 2 m 1 − m 2
m 1 + m t 2 + C 1 t + C 2 , Dies ist das Fallgesetz mit der
2
reduzierten Beschleunigung g eff = g · m1−m 2
m 1 +m 2
6. Anfangsbedingungen: x 1 (t = 0) = x 10 = C 2 , v 1 (t = 0) = v 10 = C 1
Endresultat: x 1 (t) = g 2 m 1 − m 2
m 1 + m 2
t 2 + v 10 t + x 10
28

Wir bestimmen die Erdbeschleunigung g für den Spezialfall x 10 = 0,v 10 = 0.
Dann gilt x 1 (t) = g m 1 − m 2
t 2 .
2 m 1 + m 2
Durchfällt m 1 die Höhe h, so ist die Fallzeit (aus technischen Gründen könnte auch v(h+
z) = 0, v(h) ≠ 0 mit Zeitmessung bei h gewählt werden)
T = √ 2h(m 1 + m 2 )
und somit für eine g-Messung g = 2h(m 1 + m 2 )
g(m 1 − m 2 )
T 2 (m 1 − m 2 ) .
Aus Gleichung (16) bestimmen wir die resultierende Kraft 2F des Fadens auf die Rolle:
(
2F = 2m 1 (g − d2 x 1
dt ) = 2m 1g 1 − m )
1 − m 2
= 4m 1m 2
g = (m 2 1 +m 2 )g − (m 1 − m 2 ) 2
g.
m 1 + m 2 m 1 + m 2 m 1 + m 2
2F ist also kleiner als das gesamte Gewicht der beiden Massen! Dies ist im Einklang
mit dem Schwerpunktssatz, den wir auf das System der beiden Massen und des Fadens
anwenden wollen. Jetzt sind das Gewicht (m 1 +m 2 )g und die von der Rolle auf den Faden
ausgeübte Kraft 2F die äusseren Kräfte, und der Schwerpunktssatz besagt:
(m 1 + m 2 ) a s = (m 1 + m 2 ) g − 2F = (m 1 − m 2 ) 2
m 1 + m 2
g Andererseits ist die
Schwerpunktsbeschleunigung definiert als a s = m 1 d2 x 1 d
+ m 2 x 2
( )
dt 2 2 dt 2 m1 − m 2 2
= g,
m 1 + m 2 m 1 + m 2
wenn wir das Resultat der Gleichung (17) benutzen. Beide Ergebnisse stimmen überein.
3.3 Der schiefe Wurf im Vakuum ohne Luftwiderstand
Ein Massenpunkt m wird mit einer beliebigen Anfangsgeschwindigkeit ⃗v ◦ weggeschossen.
Falls nur das Gewicht wirkt, liegt die Bahnkurve in einer Ebene. Nach dem Rezept ist:
1. Es gibt immer eine Ebene gebildet aus den zwei Vektoren ⃗v ◦ und m⃗g. f = 2.
y
2. x-Achse horizontal, y-Achse vertikal nach oben.
→
v o 3. F x = 0,F y = −mg.
4. m
→
Gm
d2 x
= 0, m d2 y
= −mg ⇒ d2 x d
= 0,
2 y
= −g.
dt 2 dt 2 dt 2 dt 2
5. Integration: x(t) = C 1 t + C 2 , y(t) = − g
α
x
2 t2 + C 3 t + C 4 .
6. Anfangsbedingungen: x(0) = y(0) = 0 ⇒ C 2 = C 4 = 0,
v x (0) = v ◦ cosα ⇒ C 1 = v ◦ cos α und v y (0) = v ◦ sin α ⇒ C 3 = v ◦ sin α.
Endresultat: x(t) = (v ◦ cos α) t, y(t) = − g 2 t2 + (v ◦ sin α) t
Eliminieren wir noch die Zeit t aus diesen Gleichungen, so erhalten wir eine Parabel
als Bahnkurve (vgl. Figur) y = x tan α − g ( )
x 2
.
2 v ◦ cos α
Zur Bestimmung der absoluten Erdbeschleunigung werden von den Geologen Geräte
auf der Basis des freien Falles angewendet. Für Relativmessungen wird oft das LaCoste-
Romberg Gravimeter auf der Basis einer Federauslenkung einer Masse an einem Hebelarm
eingesetzt. Eine genaue Vermessung von g auf der Erdoberfläche liefert Informationen über
die Struktur und Zusammensetzung der Erdkruste.
Analog sind die Bewegung und die Bahnkurve einer Ladung q im homogenen elektrischen
Feld.
29

3.4 Beispiele mit Haft- und Gleitreibung
3.4.1 Klotz auf schiefer Ebene
Auf den Klotz mit Masse m wirken die Kräfte ⃗ G, ⃗ N und ⃗ R.
(i) Falls ⃗ G + ⃗ N + ⃗ R = 0 gilt, befindet sich der Klotz in Ruhe, und R ist eine Haftreibung.
Wählen wir die x-Achse parallel und die y-Achse senkrecht zur schiefen Ebene, so gilt für
die Kraftkomponenten:
F x = G sin α − R H = 0 ⇒ R H = G sin α,
F y = N − G cos α = 0 ⇒ N = G cos α
oder R H /N = tanα.
Da für R H die Ungleichung 0 ≤ R H ≤ µ H N existiert, haftet der
Klotz, so lange gilt tanα ≤ µ H .
❍❍
❍
✁ ❍
⃗N
✁✕
❍ y
❍
❍
✁
❍❨
✁ ✁ ✁✕
❍
✁ ✁ ❍✁
✁
R ⃗
❍
❄G
⃗
❍
❍ ❍❍❥
❍ x
α ❍
❍
(ii) Wird die Ebene stärker geneigt, beginnt der Klotz zu gleiten und es ist R = R G =
µ G N.
Die Bewegungsgleichungen heissen jetzt
m d2 x
dt = G sin α − R 2 G = G sin α − µ G N und m d2 y
= N − G cos α = 0 ⇒ N = G cos α
dt2 also wird m d2 x
dt = G sin α − µ GG cos α = G(sin α − µ 2 G cos α) einfach integrierbar.
Der Körper gleitet gleichförmig beschleunigt. Wenn tanα = µ G wird, so verschwindet
die Beschleunigung und der Klotz rutscht mit konstanter Geschwindigkeit. Auf diese Weise
kann µ G gemessen werden.
3.4.2 Kind mit Schlitten
✛
⃗RG
⃗N S
✻
❄ ⃗ G S
⃗F ′
✛✤ ✲
✢✙
⃗N ❥ K ✻
✡
✛F
⃗ ✡ ❇
✄❅ ✄ ❅ ✁❇
✲ ✁
⃗G ⃗RH
K
❄
Mit welcher Beschleunigung kann das Kind den
Schlitten anziehen ohne auszurutschen? Damit das
Kind sich überhaupt bewegen kann, muss nach dem
Aktionsprinzip an ihm eine äusere Kraft angreifen,
in diesem Fall kann es nur die nach vorn gerichtete
Haftreibung R H zwischen Schuh und Erdboden sein.
R H ist die Reaktionskraft zu der Kraft, mit der das
Kind auf die Unterlage wirkt.
Nach diesem Prinzip bewegen sich auch Automobil, Lokomotive etc. Ohne Haftreibung ist
eine Fortbewegung nicht möglich (wenn wir vom Raketenantrieb absehen). Wir nehmen
also an, die Schuhe des Kindes würden haften und der Schlitten würde gleiten. Die Schwerpunkte
von Kind und Schlitten sollen sich mit der gleichen, horizontalen Beschleunigung
a x bewegen, es ist also f = 1. Somit gilt:
m K a x = R H − F, m S a x = F ′ − R G .
Wir nehmen wieder das Seil als masselos an, so dass F = F ′ ist. Addition beider
Gleichungen ergibt dann:
a x = R H − R G
m K + m S
≤ a x (max) = µ H m K − µ G m S
m K + m S
g.
Je grösser die Masse des Kindes relativ zum Schlitten ist, umso mehr kann es ihn beschleunigen
ohne auszugleiten.
30

3.5 Vertikaler Fall in viskosem Medium
0
x ◦
x(t)
Diese Betrachtung stellt eine Erweiterung des Beispiels Kap.3.1 dar,
indem wir noch eine der Geschwindigkeit proportionale viskose Reibung
R ⃗ v = −β⃗v berücksichtigen, die vom umgebenden Medium (Luft,
Wasser, Öl etc.) herrührt. Vom Auftrieb werden wir absehen.
⃗R vis
✻
✗✔ m Also lautet die erweiterte Bewegungsgleichung m⃗a = G ⃗ + R ⃗ vis oder
✖✕ m d2 x
dv x
= mg − βdx bzw.
❄⃗v x
dt2 dt dt = g − β m v x. (18)
❄G
❄x
⃗ Diese lineare, inhomogene Differentialgleichung kann zur Berechnung
von v x nicht einfach integriert werden 31 .
Die Mathematik lehrt, dass wegen der Linearität der Differentialgleichung die allgemeine
Lösung v als Summe v = v h + v p angesetzt werden kann, hierbei ist v h die Lösung der
homogenen Gleichung
dv h
dt = − β m v h (19)
dv p
und v p eine partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung
dt = g − β m v p. (20)
Durch Addition von Gl. (19) und (20) erhält man wieder die ursprüngliche Gleichung (18).
Die partikuläre Lösung, welche keine Integrationskonstante enthält, kann meist auf Grund
physikalischer Argumente erraten werden 32 .
In unserem Fall wird sich für t → ∞ eine konstante Geschwindigkeit v p einstellen
(stationärer Fall v p = v ∞ =konst), wenn die Reibungskraft βv p gleich dem Gewicht mg
geworden ist, also: v p = mg/β.
Zur Lösung von Gleichung (19) trennen wir die Variablen:
und integrieren:
∫ dvh
v h
= − β m
∫
dv h
v h
= − β m dt
dt oder lnv h = − β m t + ln v ho, wobei
v
v p
ln v ho eine Integrationskonstante ist. Also ln v h
v ho
= − β m t oder
v p
e
t=m/β
t
v h = v ho e − β m t
und das Ergebnis lautet v = v ho e − β m t + mg
β .
Mit der speziellen Anfangsbedingung v(0) = 0 wird
v ho = −mg/β und folglich (Probe: Einsetzen Gl. 18)
31 Es gibt verschiedene Lösungswege: 1. Suche einen Lösungsweg in der Mathematik, 2. Finde einen
gangbaren Ansatz durch Nachdenken, 3. siehe im Anhang nach.
32 Man kann auch für die Differentialgleichung (18) den Ansatz v x = v = c 2 e −c1t + c 0 versuchen. Eine
Exponentialfunktion ergibt durch Differenzieren wieder eine Exponentialfunktion (die Differentialgleichung
enthält v- und ˙v-Terme) und c 0 soll den konstanten Term darstellen. Durch Einsetzen ist
−c 1 c 2 e −c1t + β m c 2 e −c1t + c 0
β
m
= g. Diese Gleichung muss für alle t gelten, dies ist erfüllt für
. Die Lösung ist dann
g = c 0
β
m und −c 1c 2 + β m c 2 = 0 und damit c 0 = g m β und c 1 = β m
v = c 2 e − β m t + g m β , wobei die Konstante c 2 aus den Anfangsbedingungen bestimmmt wird in Übereinstimmung
mit der ersten obigen Lösungsmethode.
31

v(t) = mg (
β 1 − e
− β t) m . ≈ gt − 1 2 g β m t2 + · · · für 33 β
m t ≪ 1
Für Kugeln mit dem Radius r und der Dichte ρ gilt nach dem Stokesschen Reibungsgesetz
Gl. (163) für laminare Strömungen β = 6πηr, wobei η die Zähigkeit (Viskosität) 34
der Flüssigkeit ist. Die stationäre Geschwindigkeit ist dann
v p = 2 ρ g
9 η r2 ; die Fallzeit ist proportional zu 1/r 2 .
Mit der allgemeineren Anfangsbedingung v(t = 0) = v ◦ ≠ 0 ist die Lösung
v(t) = (v ◦ − v ∞ ) e − β m t + v ∞
und es wird für v ◦ > v ∞ der Körper bis auf v ∞ abgebremst, mit v ◦ = v ∞ bleibt die
Geschwindigkeit konstant erhalten und für v ◦ < 0 steigt der Körper erst an, bis er auf
v = 0 abgebremst ist und fällt dann wie im ersten Beispiel.
Die Lösung x(t) kann durch einfache Integration gewonnen werden
≈ mg
β
[
t + m β
x(t) − x(t = 0) =
∫ t
0
v(t)dt = mg
β
[
t − m β
(
e − β m t − 1) ] ≈
(
1 − β m t + 1 ( ) 2 β
2 m t − 1 ( ) 3 β
6 m t + − · · · − 1)]
= 1 2 gt2 − g β
6 m t3 + O(t 4 )
Auch hier ist durch die Näherung für β mt ≪ 1 der Übergang zum Ergebnis des freien Falls ohne Reibung
gezeigt, und es heben sich die Terme bis zur Ordnung t auf.
3.6 Kreisbewegungen
Aus Kapitel 1.4 wissen wir, dass bei einer Kreisbewegung zwei Beschleunigungen auftreten:
die zum Zentrum des Kreises gerichtete Radialbeschleunigung a r = v2
R
und die Azimutal- (oder Tangential-)Beschleunigung a ϕ = R d2 ϕ
dt 2 .
33 Für x ≪ 1 kann entwickelt werden (Anhang C.1.7) e x = 1 + x + x 2 /2! + x 3 /3! + · · ·, es gilt dann
v(t) ≈ mg
β
(1 − 1 + β )
m t − β2
2m 2 t2 + β3
6m 3 t3 − + · · · = gt − 1 2 g β m t2 + · · ·
Der erste Term ist in Übereinstimmung mit dem freien Fall ohne viskose Reibung, der zweite Term ist
die erste Korrektur für Reibung. Man beachte, die ersten beiden 1-Terme heben sich in der Näherung
heraus, bei numerischen Rechnungen mit der exakten Formel ist also erst der dritte Term dominant für
x ≪ 1, was zu Rundungsfehlern führen kann. Dieser Übergang eines neuen Ergebnisses in ein bekanntes
Ergebnis, das in einem Grenzbereich gültig ist, kann als Kontrolle der Rechnung dienen, und es fördert
auch das physikalische Verständnis.
34 z.B.: η(Luft) = 1.8·10 −5 kg/m s, β/m(Feder) ≈ 30 s −1 , β/m(Kugel) ≈ 10 −5 s −1 , η(Wasser) = 1·10 −3
kg/m s
32

F t
F n
m
Also müssen auf Grund des Aktionsprinzips auch zwei Kraftkomponenten
vorhanden sein:
F n = m a r = m R( dϕ
dt )2 = mRω 2 = m v2 = R
Normal- oder Zentripetalkraft,
F t = m a ϕ = m R d2 ϕ
= mR dω = Tangentialkraft, die von den früher
dt 2 dt
diskutierten Kräften (Gravitation, Coulombkraft, Oberflächenkräfte)
herrühren. Wir diskutieren 3 Beispiele.
3.6.1 Erdsatellit auf Kreisbahn
Die Ebene der Bewegung wird durch den Vektor F ⃗ G und die Anfangsgeschwindigkeit ⃗v ◦
aufgespannt. Die Zentripetalkraft [vgl. Kap. 1.4.3] wird durch die Gravitationskraft der
Erde dargestellt:
r
R E
M
→
F G
m
h
→
v o
F t = m a ϕ = 0, F n = F G = Γ mM
r 2
Damit ist
Nach der Figur ist r = h + R E , ferner gilt ΓM
R 2 E
Γ mM
r 2
= m · v2
r
= g (Kapitel 2.4.1)
(M = Erdmasse).
(Kreisbedingung).
√ √
gR
2 √√√
Damit erhält man v und die Umlaufszeit T: v = E
R E + h , T = 2π (R E + h) 3
.
g RE
2
So steht ein geostationärer Satellit über dem Äquator (warum dort?) mit T = 24 Std in
einer Höhe von 35800 km.
√
√ RE
Speziell für erdnahe Satelliten, d.h. h ≪ R E : v ≃ gR E ,T ≃ 2π vgl. Gl. (23).
g
Alle diese Beziehungen sind infolge der Gleichheit von träger und schwerer Masse unabhängig
von m.
3.6.2 Ebenes mathematisches Pendel
Darunter versteht man einen Massenpunkt, der an einem masselos gedachten Faden hängt
und in einer vorgegebenen Ebene Schwingungen ausführt, d.h. der Bewegungsvorgang
wiederholt sich in regelmässigen Zeitabschnitten. Nach dem Rezept
ist:
ϕ
l
m
G →
F →
1. Es ist f = 1, weil die Pendellänge l = konstant und die Schwingungsebene
vorgegeben ist. Als Koordinate wird der Winkel ϕ
zwischen der Vertikalen und dem Faden gewählt, und zwar wird
ϕ positiv im Gegenuhrzeigersinn gerechnet.
2. Es wirken ⃗ G = m⃗g und die Fadenkraft ⃗ F.
3. Zwei Bewegungsgleichungen mit zwei Unbekannten ϕ und F:
m v2
l
= F N = F − mg cos ϕ und
ml d2 ϕ
dt 2 = F T = −mg sin ϕ
33

4. Lösen der Bewegungsgleichung für kleine Winkel (ϕ ≪ 1) der tangentialen Bewegung:
d 2 ϕ
dt = −g sin ϕ. Dann ist sin ϕ ≃ ϕ und die Differentialgleichung wird
2 l
d 2 ϕ
dt = −g ϕ. (21)
2 l
Diese Gleichung kann nicht direkt integriert werden, da sie die unbekannte Funktion ϕ(t)
und deren 2. Ableitung enthält. Die Lösung muss so beschaffen sein, dass ihre zweite
Ableitung proportional zur Funktion selber ist. Als mögliche Lösung kommen sin-, cosoder
eine Exponential-Funktion in Frage. Man muss deshalb einen Ansatz 35 machen und
zeigen, dass mit ihm die Differentialgleichung erfüllt werden kann 36 . Wir setzen an:
ϕ
T
ϕ(t) = ϕ ◦ cos(ωt − δ) (22)
ϕο
in Gl. (21): −ϕ ◦ ω 2 cos(ωt−δ) = − g l ϕ ◦ cos(ωt−δ)
δ
ω
t
√ g
und damit ω =
l
(23)
Der Ansatz (22) erfüllt dann und nur dann die Gleichung (21), falls ω, welches die Bedeutung
einer Kreisfrequenz hat, die Bedingung (23) erfüllt. Wir nennen ω die Eigenfrequenz
des Pendels und die Bewegung harmonisch, weil sie durch eine cos-Funktion (oder
sin-Funktion) beschrieben werden kann. ϕ ◦ ist die Amplitude und δ die Phasenkonstante
der Schwingung; beide sind Integrationskonstanten und werden durch die Anfangsbedingungen
festgelegt. Die Schwingungsdauer T ist durch die Bedingung ϕ(t + T) = ϕ(t)
bestimmt. Es muss ωT = 2π gelten und damit ist
T = 2π ω = 1 ν = 2π √
l
g , ν nennt man die Frequenz [ 1
s
5. Mit den Anfangsbedingungen:
( ) dϕ
ϕ(t = 0) = α ◦ ,
dt
t=0
= v ◦
l
wird α ◦ = ϕ ◦ cos δ,
]
.
v ◦
l = ωϕ ◦ sin δ.
35 Jeder Ansatz ist mit genügend Freiheitsgraden richtig, jedoch nur Ansätze, die die Lösung wenigstens
teilweise erraten, führen zu einem gangbaren Lösungsweg. Vgl. auch die Fussnote S.31.
36 Man kann auch mit einem Trick (analog zum Energietrick) die Differentialgleichung (21) lösen, indem
man sie mit 2 · dϕ
dt multipliziert:
˙ϕ 2 + g l ϕ2 = konst 2 ⇒ dϕ
dt = √
c 2 − g l ϕ2
mit
√ (√ )
l g/l
t =
g arcsin ϕ
c
2¨ϕ ˙ϕ + 2g l ˙ϕϕ = 0 ⇒ d dt ( ˙ϕ)2 + g d
l dt (ϕ)2 = 0
∫
Variable separieren ⇒
∫
dx
√
a2 − b 2 x 2 = 1 b arcsin b a x + c
wird
[√ ] √ g g
+ t ◦ ⇒ sin
l (t − t ϕ
◦) =
l c
ϕ(t) = ϕ ◦ sin(ωt − δ), mit ω =
√ g
l , δ = t ◦√ g
l , ϕ ◦ =
sie ist nun integrierbar
∫
dϕ
√
c2 − g = l ϕ2
und damit
√
l
g c
dt = t
und mit den Anfangsbedingungen ϕ(t = 0) = ϕ ◦ , ˙ϕ(t = 0) = 0 ist ˙ϕ(t = 0) = ϕ ◦ ω cos(ωt − δ) = 0
⇒ δ = +π/2 ⇒ ϕ(t) = ϕ ◦ cos ωt in Übereinstimmung mit dem Ergebnis aus dem Ansatz.
34

( )
Aus diesen beiden Gleichungen folgt: ϕ 2 ◦ = α◦ 2 v◦ 2
v ◦
+ , tanδ = .
lω lωα ◦
Damit sind die Integrationskonstanten ϕ ◦ und δ und folglich auch ϕ(t) bestimmt.
Also können wir nun die zweite Unbekannte, die Fadenkraft F, berechnen. Aus der
Bewegungsgleichung für die radiale Bewegung mv 2 /l = F − mg cos ϕ folgt mit der Näherung
cosϕ ≃ 1 (äquivalent der Näherung sin ϕ ≃ ϕ) ⇒ F = mg + mlω 2 ϕ 2 ◦ sin 2 (ωt − δ).
Die Fadenkraft wird also für ϕ = 0, d.h. sin(ωt − δ) = 1, grösser als mg, weil ja F − mg
die notwendige Zentripetalkraft [vgl. Kap. 1.4.3] liefern muss.
Vergleichen wir die Periode des mathematischen Pendels mit der Schwingungsdauer
√
T ≃ 2π R E /g
für einen erdnahen Satelliten, so sehen wir, dass die Satellitenbewegung als eine Pendelschwingung
mit dem Erdradius als Fadenlänge aufgefasst werden kann.
Die harmonische Lösung Gl. (22) der Bewegungsgleichung gilt nur für genügend kleine
Amplituden ϕ ◦ . Für beliebige Amplituden mit einer masselosen Stange statt eines Fadens
müssen wir einen anderen Lösungsweg einschlagen. Wir multiplizieren die Bewegungsgleichung
für die tangentiale Bewegung mit 2dϕ/dt und erhalten (suche einen Ausdruck, der
auf beiden Seiten d dt (...) enthält, um zu integrieren, vgl. Fussnote 36 )
2 dϕ d 2 ϕ
dt dt = −g 2 l 2dϕ dt
sin ϕ oder
d
( ) 2
dϕ
= 2g dt dt l
d
(cos ϕ).
dt
Die Integration nach der Zeit liefert
( ) 2
dϕ
= 2g dt l cos ϕ+C 1 (C 1 = − 2g l cos ϕ ◦ Integrationskonstante aus dϕ
dt (ϕ = ϕ ◦) = 0)
⇒ dϕ
dt = √
2g
l cos ϕ + C 1 bzw.
∫
∫
dt =
dϕ
√ 2g
l cosϕ + C 1
∫
= t = t ◦ +
dϕ
√ 2g cos ϕ + C .
l 1
T
√
2π lg
Die Schwingungsdauer T für die Amplitude ϕ ◦ (ϕ ◦ ≤ π) ist T = 4
o
o
o
ϕ ο
0 90 180
∫ϕ ◦
dϕ
◦
√C 1 + 2g l
cos ϕ,
wobei C 1 selbst noch von ϕ ◦ abhängt. Das Integral ist
ein elliptisches Integral 1. Art, dessen Werte tabelliert
sind oder das mit einer Reihenentwicklung 37 oder auch
numerisch, wie im Bild, gelöst werden kann. Die Schwingungsdauer
hängt von der Amplitude ab. Die Bewegung
ist periodisch, aber nicht mehr harmonisch.
√
37
T = 2π
l
g
[
1 +
(
∑∞
n=1
( 2n−1
2n
)
sin
n ϕ ◦
2
) 2
]
mit schlechter Konvergenz bei ϕ ◦ → 180 ◦ .
35

Phasenraumdarstellung der Pendelbewegung †
Der Phasenraum 38 ist ein fiktiver Raum der Bewegung eines Systems mit den Basisvektoren
z.B. Ort ⃗r und Geschwindigkeit ⃗v oder Winkel ϕ und Winkelgeschwindigkeit ˙ϕ. Im
Allgemeinen sind dies 6 Dimensionen; das ebene Pendel kann mit nur zwei Variablen ϕ(t)
und ˙ϕ(t) beschrieben werden, die in Abhängigkeit von der Zeit eine Bahn im Phasenraum
beschreiben.
Für das Pendel gilt allgemein auch für grosse Winkel [S.35]
˙ϕ 2 = 2 g l cosϕ + C 1 mit C 1 = −2 g l cos ϕ ◦ aus ˙ϕ[ϕ(t = 0) = ϕ ◦ ] = 0 . (24)
Der Phasenraum ist damit mit Gl. (24) beschrieben
√
˙ϕ(ϕ) = 2c(cos ϕ − cosϕ ◦ ) mit c = g l = ω2 .
Für kleine Winkel 1 ≫ ϕ ◦ ≥ ϕ gilt mit einer Reihenentwicklung von cosϕ
˙ϕ = √ 2c √ cos ϕ − cos ϕ ◦ ≈ √ √
2c 1 − ϕ2
2 ... − 1 + ϕ2 ◦
2 ... = √ √
c ϕ 2 ◦ − ϕ 2 .
Dies ist im Phasenraum ˙ϕ, ϕ eine Kreisgleichung mit dem Radius ϕ ◦
˙ϕ/ √ c
2
π
4
π
2
Rotation
Pendelbewegung
π
ϕ
˙ϕ 2
c + ϕ2 = ϕ 2 ◦ .
In der Figur ist der Phasenraum
für kleine Winkel
mit den Anfangsbedingungen
ϕ ◦ = π/4, π/8 dargestellt
(Kreise). Für grössere
Winkel ϕ ◦ = π, π/2 ist
Gl. (24) benutzt worden; im
Extrempunkt ϕ = ϕ ◦ = π,
˙ϕ = 0 steht das Pendel still.
Die Pendelbewegung wird
im Phasenraum als eine Rotation
dargestellt.
Für eine Anfangsbedingung ˙ϕ(ϕ ◦ = 0)/ √ c > 2 geht die Pendelbewegung in eine Rotation
über, die im Phasenraum durch eine Oszillation mit fortschreitendem ϕ dargestellt
ist.
Der Phasenraum eines Systems ist eine Konstante, hier die durch ˙ϕ und ϕ aufgespannte
Fläche, so kann ϕ nur auf Kosten von ˙ϕ verändert werden. In der Optik von Licht oder
der Optik von Teilchenstrahlen wird dieser Sachverhalt durch den Liouvilleschen Satz
formuliert: In einem optischen System ist der Phasenraum konstant. So kann z.B. ein
Brennfleck nur auf Kosten einer vergrösserten Divergenz verkleinert werden.
3.6.3 Kreispendel (konisches Pendel)
Der Pendelfaden beschreibt den Mantel eines Kreiskegels, die Masse m soll sich auf einer
Kreisbahn um die z-Achse mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω bewegen.
38 S.Brandt, H.D.Dahmen, Physik Bd.1 Mechanik, Springer 1977 S.83
36

m
→
mg
F →
l
α
ρ
z
→
ω
Für welche Winkel α ist eine solche Bewegung möglich?
Wiederum wirken nur die Kräfte ⃗ G und ⃗ F, welche folgende Bedingungen
erfüllen müssen:
Tangentialkraft: F T = 0 weil ω = konst,
Zentripetalkraft (Bedingung mρω 2 für die Kreisbahn):
F N = F sin α = mρω 2 = mlω 2 sin α,
Kraft parallel zur z-Achse: F z = F cos α − mg = 0.
α erfüllt also die Bedingung tanα = l g ω2 sin α.
Die Lösungen sind 39 α = 0 (25) und cos α = g
lω 2 für α ≠ 0. (26)
π/2
α
Da cosα ≤ 1, gilt die Lösung (26) nur dann, wenn
stabil
√
g
g
lω ≤ 1 bzw. ω ≥ ω 2 kritisch = ω k =
l .
stabil labil Es gibt also für ω ≤ ω k nur eine Lösung: α = 0.
0
Für ω ≥ ω k sind 2 Lösungen möglich, von denen
0 1 2 3 ω
ω jedoch α = 0 instabil ist.
k
Falls sich das Pendel im Zustand α = 0 mit ω > ω k befindet, wird es durch eine kleine
Störung in den stabilen Zustand α > 0 gebracht.
Der unstetige Übergang von der 1. stabilen Lösung zur 2. stabilen Lösung bei der
kritischen Winkelgeschwindigkeit ω k ist ein mechanisches Beispiel für einen Phasenübergang
1. Ordnung (vgl. S. 83). Andere Beispiele für Phasenübergänge 1. Ordnung sind:
Aggregatzustände Wasser-Eis, Metallstrukturen, Ordnung-Unordnungübergänge im Magnetismus,
Supraleitung, Flüssigkristalle (LCD) u.a. Bei Phasenübergängen 2. Ordnung
beobachtet man stetige Übergänge bei Änderung eines Parameters (z.B. Temperatur).
3.7 Prinzip des Raketenantriebs
Wir betrachten eine Rakete, die sich durch Ausstossen von Masse beschleunigen kann.
Um die Bewegung der Rakete, speziell die Zeitabhängigkeit ihrer Geschwindigkeit ⃗v(t) zu
untersuchen, gehen wir nicht vom Aktionsprinzip, sondern vom Impulssatz für ein System
von Massenpunkten aus: F ⃗
d⃗p =
dt .
⃗F ist eine äussere Kraft (z.B. Gravitationskraft) auf das System, das aus der Rakete
und den ausgestossenen Gasen besteht, und ⃗p(t) ist der Gesamtimpuls dieses Systems.
Wir betrachten das System zu zwei aufeinander folgenden
✲ ⃗v
Zeitpunkten t und t + dt. Im Zeitintervall dt wurde die
◗
t dm M
✑ Gasmenge dm mit einer Relativgeschwindigkeit ⃗u bezüglich
der Rakete ausgestossen, in der Rakete bleibt die Masse
M. Die Geschwindigkeit der Rakete selbst wird von ⃗v auf
◗
t+dt dm M
✑ ⃗v + d⃗v erhöht, gemessen in einem Inertialsystem. Somit ist
der Impuls zur Zeit t : ⃗p(t) = (M + dm)⃗v,
⃗v + d⃗v + ⃗u ⃗v + d⃗v und t + dt : ⃗p(t + dt) = M(⃗v + d⃗v) + dm(⃗v + d⃗v + ⃗u).
39 Vorsicht: Wenn man in sinα/cos α = l g ω2 sinα den Term sin α “kürzt”, verliert man diese Lösung
α = 0.
37

Die Impulsänderung ist also
d⃗p = ⃗p(t + dt) − ⃗p(t) = Md⃗v + dm ⃗u + dm } {{ d⃗v }.
≈0
dm d⃗v ist, da von höherer Ordnung, vernachlässigbar. Mit der äusseren Kraft ⃗ F ist
⃗F = d⃗p
dt = M d⃗v dm
+ ⃗u
dt dt = M d⃗v
dt − ⃗u dM dt , denn es ist dm
dt = −dM dt , (27)
da die ausgestossene Masse von der Rakete kommt.
Wir diskutieren Gleichung (27) an zwei Beispielen. Falls sich die Rakete weit weg von
irgendwelchen Gravitationszentren befindet, können wir ⃗ F = 0 setzen und erhalten
M d⃗v
dt = ⃗u dM dt
oder
d⃗v
dt = ⃗u M
dM
. Wenn ⃗u ‖ ⃗v unabhängig von der Zeit ist,
dt
lässt sich die Integration leicht ausführen:
∫ ⃗v
⃗v ◦
d⃗v = ⃗u
∫ M
M ◦
dM
M oder ⃗v = ⃗v ◦ + ⃗u ln M M ◦
.
⃗v ◦ ist die Anfangsgeschwindigkeit, wenn die Rakete die Masse M ◦ hat. Die Endgeschwindigkeit
ist also unabhängig davon, wie schnell der Brennstoff verbraucht wird 40 .
Das wird anders, wenn wir die Rakete in einem Gravitationsfeld betrachten, z.B. beim
Start, wo wir ⃗ F = M⃗g annehmen wollen. Es gilt also mit Gl. (27)
M ⃗g = M d⃗v
dt − ⃗u dM dt
oder
d⃗v
dt = ⃗u M
∫⃗v
dM
dt + ⃗g ⇒
M∫
dM
d⃗v = ⃗u
⃗v ◦ M ◦
∫t
M + ⃗g
t ◦
dt.
Die Integration ergibt: ⃗v = ⃗v ◦ + ⃗u ln M M ◦
+ ⃗g(t − t ◦ ).
Mit den Anfangsbedingungen t ◦ = 0, ⃗v ◦ = 0 und ⃗v positiv
nach oben sowie ⃗u und ⃗g negativ nach unten gerichtet gilt:
v(t) = +u ln M ◦
M − gt.
Jetzt ist v(t) umso grösser, je kleiner die Zeitspanne von 0 bis t ist, in welcher der
Brennstoff verbrannt wird.
Anschaulich kann eine Rakete nicht von der Erde abgeschossen werden, wenn der sonst
ausreichende Brennstoff zu langsam abgebrannt wird und extrem noch nicht einmal die
Schwerkraft der Rakete überwunden werden kann.
40 ⃗u ↑↑ ⃗v Abbremsen, ⃗u ↓↑ ⃗v Beschleunigen der Rakete M.
38

4 Arbeit, Energie und Leistung; Energie- und Impulserhaltung
Im Kapitel 3 haben wir mit Hilfe der Newtonschen Prinzipien mechanische Probleme
gelöst, d.h. es war der zeitliche Verlauf des Ortsvektors ⃗r(t) eines Massenpunktes gesucht,
wenn die wirkende resultierende Kraft ⃗ F bekannt ist. Der Lösungsablauf lässt sich durch
die Sequenz ⃗ F → ⃗a → ⃗v → ⃗r beschreiben.
Um die Integrationen nach der Zeit ausführen zu können, müssen wir ⃗ F(t) kennen; oft
ist jedoch nur ⃗ F(⃗r) (z.B. beim Gravitationsgesetz) gegeben. Das Problem ist also, ⃗v(t)
bzw. ⃗r(t) aus m · d⃗v/dt = ⃗ F(⃗r) zu bestimmen. ⃗ F(t) erhält man dann aus der berechneten
Bahn ⃗ F(t) = ⃗ F(⃗r(t)). Die Lösung dieser Aufgabe führt zum Energiesatz der Mechanik,
der eine Folgerung darstellt, die aus den Newtonschen Prinzipien gezogen werden kann
und mit dem in vielen Fällen eine elegantere Lösung von Problemen gefunden werden
kann. Zunächst müssen wir jedoch einige neue Begriffe einführen.
Newtons
Prinzipien
❳ ❳ ❳ ❳❳❳
❳ ❳❳3
prinzipiell
Lösungen möglich
allgemeingültige
Folgerungen
✲ mechanische
Probleme
✘ ✘✘ ✘ ✘✘✘ ✘ ✘✿
eventuell
elegante Lösung
4.1 Definition von Arbeit, Leistung und kinetischer Energie
Die Arbeit
Wir betrachten einen Massenpunkt m, der sich unter der Wirkung einer beliebigen
Kraft ⃗ F von einem Ort 1 zu einem Ort 2 bewegt. Wir denken uns die Bahnkurve in
kleine, vektorielle Bahnelemente d⃗r (= Linienelemente) zerlegt.
→
F
dr →
ϕ 2
1
→
m
→
r 2
r 1
Innerhalb einer Zeit dt wird m unter dem Einfluss von ⃗ F um d⃗r verschoben.
Dann definieren wir
dW . = ⃗ F · d⃗r = | ⃗ F | · |d⃗r| cos ϕ = F dr cos ϕ
als die Arbeit, welche die Kraft verrichtet, um die Masse längs eines
Weges zu verschieben. Bei einem ausgedehnten Körper ist unter d⃗r die
Verschiebung des Schwerpunktes zu verstehen.
dW ist also als Skalarprodukt von ⃗ F und d⃗r definiert und kann somit auch als Produkt
aus der Verschiebung und der Kraftkomponente längs der Verschiebung definiert werden.
Die total geleistete Arbeit erhalten wir durch Integration von dW längs der Bahn
W 1→2 = 2 ∫
1
⃗F · d⃗r
Wir nennen dieses bestimmte Integral das Linienintegral der Kraft F. ⃗ Die Einheit der
Arbeit in SI-Einheiten ist 41 1 Joule = 1 Nm = 1 Watt · Sekunde = 1 Ws.
41 James Prescott Joule (1818-1889), englischer Physiker, er schrieb 1843 ein Werk über das mechanische
Wärmeäquivalent, begründete den Energiesatz und entwickelte die (Reibungs-) Wärmemenge proportional
zur aufgewendeten Kraft (längs des Weges).
39

Leistung nennen wir die pro Zeiteinheit geleistete Arbeit
P . = dW dt
= ⃗ F · d⃗r
dt = ⃗ F · ⃗v.
Die Einheit ist 1 Watt = 1 Joule ·s −1 [alt: 1 PS = 735.5 W,
1 hp (horse power) = 550 ft lb/s = 745.69987 W].
Aus der Definition geht hervor, dass keine Arbeit geleistet wird von einer Kraft, die an
einem ruhenden Körper angreift (d⃗r = 0) oder die senkrecht auf seiner Verschiebung d⃗r
steht. Normalkräfte, die immer während des Bewegungsablaufes senkrecht
auf der Bewegungsrichtung stehen, leisten also keine Arbeit.
N ✲v
✻
Wenn ein Klotz reibungsfrei mit R G = 0 auf einer horizontalen Unterlage
gleitet, stehen Gewicht und Normalkraft senkrecht auf ⃗v und damit auf
❄mg d⃗r; es ist also dW = 0.
Auf einen Massenpunkt m, der sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit
auf einem Kreise bewegt, wirkt die Zentripetalkraft F n = m v 2 /r,
★✥ ⃗v
❅■ m
✠ die senkrecht zu d⃗r steht. Die Zentripetalkraft leistet also keine Arbeit,
F ⃗ n
✧✦ z.B. bei der Bewegung der Erde um die Sonne mit F n = Γ m Sm E
.
rSE
2
4.2 Der Energiesatz der Mechanik
Wir betrachten wiederum einen Massenpunkt, der sich unter der Wirkung einer beliebigen
Kraft ⃗ F bewegt. Nach dem Aktionsprinzip ist
d⃗p
dt = F ⃗ bzw. m d⃗v
dt = F. ⃗
Als mathematischen Trick (Energietrick, vgl. S.34 Fussnote), um eine skalare Grösse zu
erhalten, multiplizieren wir diese Gleichung skalar mit ⃗v:
m⃗v · d⃗v
dt = ⃗ F · ⃗v = P = dW dt
also die linke Seite der obigen Gleichung
. Nun ist aber
d
m⃗v · d⃗v
dt = m 2
dt (⃗v2 ) = 2⃗v · d⃗v
dt ,
d(v 2 )
dt
= d dt
( ) mv
2
2
= dT
dt .
Die kinetische Energie T eines Massenpunktes, der sich mit der Geschwindigkeit v
bewegt, definieren wir als die Grösse
T . = m 2 v2
Wir sehen, dass T und W die gleiche Dimension haben und somit auch in gleichen Einheiten
angegeben werden können. Damit gilt
dT
dt = dW dt
bzw. dT = dW und integriert
T 2 − T 1 = W 1→2 =
∫2
1
⃗F · d⃗r der Energiesatz der Mechanik. (28)
40

Wenn eine Kraft ⃗ F einen Massenpunkt längs eines Weges vom Ort
1 zum Ort 2 verschiebt, so ist die von der Kraft geleistete Arbeit
längs dieses Weges gleich der Zunahme der kinetischen Energie.
Dieser Satz, der eine direkte Folgerung aus dem Aktionsprinzip darstellt und somit
keine neue physikalische Idee enthält, verknüpft also zwei Arten von Grössen: die kinetische
Energie, welche nur vom Anfangs- und Endpunkt der Bahn abhängt, und die Arbeit,
welche durch den eigentlichen Weg bestimmt ist. Dieser Energiesatz gilt für jede Art von
Kraft, er ist nicht mit dem Energie-Erhaltungs-Satz Gl. (33) zu verwechseln!
Welche Vorteile bringt uns der Energiesatz? Um ihn anwenden zu können, müssen
W 1→2 und damit der Weg 1 → 2 bekannt sein. Müssen wir also doch mittels der Newtonschen
Prinzipien den Weg berechnen? Es gibt 2 Fälle von beträchtlichem praktischen
Wert, für die das nicht nötig ist und der Energiesatz seine grosse Nützlichkeit beweist:
a) wenn die Arbeit nicht vom eingeschlagenen Wege abhängt, sondern nur durch
Anfangs- und Endpunkt bestimmt ist, so dass also der Weg keine Rolle spielt,
b) wenn der Weg im voraus bekannt ist, weil die Bewegung durch Nebenbedingungen
beschränkt ist (z.B. bei Bewegungen auf einer Schiene).
Wir wollen zunächst vier Beispiele zum Fall b) besprechen.
1. Freier Fall im Vakuum:
⃗F = m⃗g = G ⃗ =konst. Durchfällt der Massenpunkt die Höhe h, so ist
✻
h
1m
❄mg
1
T 2 − T 1 = W 1→2 =
∫ 2
1
⃗F · d⃗r =
Lässt man den Körper mit v 1 = 0 fallen, so wird
∫ 2
1
mg dr = mg h.
❄
2
T 2 = 1 2 m (v 2) 2 = mg h, also v 2 =
√
2gh.
⃗N
✻
❄⃗ G
✲⃗v
❍❨ N ⃗
❍❍ l
❍
❍
❍
✁ ✁ ❍
✻
❍
✁ ✁✕ ❍
❍
✁
❍✁ ✁ ❍
h
❍❍❍❍ ❍
❍ ❍❥
❍ ⃗r
❄G
⃗ ❍ ❍❥
α ❍
❄
❍
In Übereinstimmung mit dem Ergebnis aus der Bewegungsgleichung.
2. Reibungsloses Gleiten auf horizontaler Ebene:
⃗F = ⃗ G + ⃗ N = ⃗0, dW = ⃗ F · d⃗r = dT = 0
T = konst.,
v = konst.
3. Reibungsloses Gleiten auf schiefer Ebene:
⃗F = G+ ⃗ N ⃗ = G d⃗r
dr sin α − G cos α N ⃗ N + N ⃗ = G
dr d⃗r sin α ≠ 0
} {{ }
in Komponenten zerlegt
und dW = F ⃗ · d⃗r = G ⃗ d⃗r = G sin α dr = dT,
T 2 − T 1 = Gl sin α = mg h = 1 2 mv2 − 0.
41

⃗v ✲ ◦ ⃗N ✲⃗v
✻
✛ v = 0✲ ⃗r
0 R ⃗ G ❄G
⃗ l
4. Länge des Bremsweges l auf horizontaler Ebene:
T 2 −T 1 = − m 2 v2 ◦ =
∫l
0
∫l
⃗R G·d⃗r = −
m
2 v2 ◦ = mg lµ G , l = v2 ◦
2g µ G
.
0
∫l
µ G N dr = −mg µ G
D.h. der Bremsweg mit blockierten Rädern ist unabhängig von der Masse des Fahrzeuges.
Da i.a. µ H > µ G gilt, ist bei nicht blockierten Rädern der Bremsweg kürzer jedoch
schwerer zu dosieren (ABS-System vermindert das Ausbrechen des Autos).
4.3 Konservative Kraftfelder
Im Abschnitt 2.4.1 wurde der Begriff des Kraftfeldes und der
→
F Feldstärke eingeführt. Jedem Raumpunkt ⃗r wird eine Kraft F(r) ⃗ bzw.
→
r eine Feldstärke F/m ⃗ zugeordnet. Die Gesamtheit aller F ⃗ nennen wir
das Kraftfeld, das im Gegensatz zu skalaren Feldern ein Vektorfeld ist.
Zur Veranschaulichung des Kraftfeldes zeichnet man Feldlinien , die nach Definition Kurven
sind, die durch die Tangenten der Kraftvektoren gegeben werden (vgl. Figur S. 44).
Die Kräfte, die auf Massenpunkte wirken, lassen sich in drei Gruppen einteilen:
(i) Hängt F(⃗r,t) ⃗ = F(⃗r) ⃗ nicht von der Zeit ab, so sprechen wir von einem stationären
Kraftfeld (Federkraft, Gewicht);
(ii) ändert sich F ⃗ an jedem Raumpunkt auch im Laufe der Zeit, so stellt F(⃗r,t) ⃗ ein
nicht-stationäres Feld dar.
(iii) Wenn dagegen die Kräfte F(⃗r,t,⃗v) ⃗ auch von der Geschwindigkeit der betreffenden
Masse abhängen, wie es bei Reibungs- und Normalkräften möglich sein kann, kann kein
Kraftfeld definiert werden.
Unter den stationären Kraftfeldern sind die sogenannten konservativen Kraftfelder
von besonderem Interesse. Sie sind wie folgt definiert:
Falls ∫ 2
1 F ⃗ ·d⃗r nur von den Endpunkten 1 und 2, nicht aber
C 2
2
vom Weg zwischen den Endpunkten abhängt, nennt man
C
⃗F eine konservative Kraft. die Arbeit W 1→2 ist also für die
n
C 1
verschiedenen Wege C 1 ,C 2 · · ·C n die gleiche:
∫ ∫
∫
F ⃗ · d⃗r = F ⃗ · d⃗r = · · · = F ⃗ · d⃗r.
1
C 1 C 2
Aus dieser Eigenschaft folgt sofort, dass das Linienintegral der Kraft über einen geschlossenen
Weg verschwinden muss. Ein solches Integral kennzeichnen wir durch das Symbol
∮ · · ·. Das Integral soll z.B. von 1 nach 2 über den Weg Ca und dann zurück von 2 nach
1 über den Weg C b integriert werden:
C
∮ ∫2
∫1
∫2
∫2
a
2 ⃗F ·d⃗r = F ⃗ ·d⃗r+ F ⃗ ·d⃗r = F ⃗ ·d⃗r− F ⃗ ·d⃗r = 0.
C 1,C b a 2,C b 1,C a 1,C b
1
Im letzten Integral wurden die Grenzen vertauscht, beide Integrale sind dann gleich,
und das Linienintegral über den geschlossenen Weg verschwindet.
C n
0
dr.
42

Ein bekanntes Beispiel für eine konservative Kraft ist das Gewicht ⃗ G = m⃗g, allgemein
also eine konstante Kraft. Da die Komponenten von g nicht vom Wege abhängen, ist also
→
m
r 2
r 12
r 1
→
→
→
G=mg →
∫ ⃗r 2 ∫
W 1→2 = m⃗g · d⃗r = m (g x dx + g y dy + g z dz)
⃗r 1
[
]
x∫
2 ∫y 2 ∫z 2
= m g x dx + g y dy + g z dz
x 1 y 1 z 1
= m [g x (x 2 − x 1 ) + g y (y 2 − y 1 ) + g z (z 2 − z 1 )] = m⃗g · (⃗r 2 − ⃗r 1 ) = m⃗g · ⃗r 12
Die Arbeit hängt nur von der Nettoverschiebung ⃗r 12 der Masse ab d.h. nur von den
Endpunkten und nicht vom Weg.
Wie dieses Beispiel zeigt, kann das Linienintegral einer konservativen Kraft als Differenz
zweier skalarer Grössen V (⃗r 2 ) −V (⃗r 1 ) geschrieben werden, die selber Funktionen des
Ortes ⃗r sind. Wir definieren deshalb allgemein:
Ist ⃗ F eine konservative Kraft, so wird definiert durch
∫
W 1→2 = ⃗r 2
⃗r 1
⃗ F · d⃗r
. = − [V (⃗r2 ) − V (⃗r 1 )]
die potentielle Energie V (⃗r).
In differentieller Schreibweise lautet die Definitionsgleichung für die potentielle Energie
−dV = ⃗ F · d⃗r. (29)
Bei gegebenem Kraftfeld ist die potentielle Energie nur bis auf eine willkürliche Konstante
bestimmt, da in der Definitionsgleichung (29) von V (⃗r) nur eine Differenz auftritt. Sobald
irgendeinem Punkt ⃗r ◦ ein bestimmter Wert V (⃗r ◦ ) zugeordnet ist, ist die
potentielle Energie für jedes ⃗r eindeutig durch
V (⃗r) = V (⃗r ◦ ) −
∫⃗r
⃗r ◦
⃗ F · d⃗r
festgelegt. Jedem Raumpunkt ist also sowohl eine vektorielle Grösse, die konservative
Kraft, als auch eine skalare Grösse, die potentielle Energie, zugeordnet.
Wie erhält man aus einem gegebenen skalaren Feld V (⃗r) das vektorielle Feld ⃗ F(⃗r)?
Wenn wir im Raum um d⃗r =⃗idx +⃗jdy + ⃗ kdz fortschreiten, so ändert sich V (⃗r) um
dV = − ⃗ F · d⃗r = −(F x dx + F y dy + F z dz).
Andererseits ist dV das vollständige (oder totale) Differential der Ortsfunktion V (x,y,z)
(anschaulich die maximale Änderung von V im 3-dimensionalen Raum):
dV =
∂V (x,y,z)
dx +
∂x
∂V (x,y,z)
dy +
∂y
∂V (x,y,z)
dz.
∂z
Vergleich der beiden Ausdrücke für dV in kartesischen Koordinaten liefert 42
42 ∂
∂x (bzw. ∂
∂y und ∂ ∂z
) ist die partielle Ableitung nach der Variablen x (bzw. y ,z), alle anderen Variablen
werden konstant gehalten. Die Einführung der partiellen Ableitung ist nötig für die Differentiation
von Funktionen mit mehreren Variablen, hier V (x,y,z).
43

F x = − ∂V
∂x ;
F y = − ∂V
∂y ;
F z = − ∂V
∂z ,
die Komponenten der Kraft.
Hierfür schreibt man
(
F ⃗ = −gradV = −∇V ⃗ ∂V = −
∂x ⃗ i + ∂V
∂y ⃗ j + ∂V )
∂z ⃗ k
und nennt ⃗ ∇V = ∇V = gradV den Gradienten 43 . Er ist ein Vektor, dessen Komponenten
aus den Ableitungen der skalaren Funktion V gebildet werden. Mit dem Gradienten
V3
V2
V1
.
. .
−∇ . V
.
.
Potentialflache "
.
Feldlinie
F →
lässt sich dV auch als skalares Produkt dV = ⃗ ∇V · d⃗r =
gradV · d⃗r interpretieren. Diese Beziehung liefert eine anschauliche
Bedeutung des Gradienten ⃗ ∇V . Wir denken uns
diejenigen Punkte des Raumes, in denen die potentielle
Energie den gleichen Wert hat, zu einer Äquipotentialfläche
zusammengefasst. Schreitet man auf einer solchen Fläche
V = konst um d⃗r vorwärts, so ist nach Definition dV = 0.
Da aber dV = ⃗ ∇V ·d⃗r, so muss ⃗ ∇V senkrecht auf der Äquipotentialfläche
stehen. Dann erhalten wir aber die grösste
Änderung dV , wenn d⃗r || ⃗ ∇V steht.
Der Gradient gibt also die Richtung der grössten Änderung einer skalaren Ortsfunktion
an; mit andern Worten: die Feldlinien der Kraft schneiden die Äquipotentialflächen unter
einem rechten Winkel.
Schliesslich wollen wir noch eine weitere äquivalente Formulierung für die Bedingung
aufstellen, dass ein Kraftfeld konservativ ist. In der Vektoranalysis wird die Vektoroperation
Rotation durch folgende Gleichung definiert:
rotF ⃗ = ∇ ⃗ × F ⃗ =
∣
⃗i ⃗j ⃗ k
∣ ∣∣∣∣∣∣
∂ ∂ ∂
=⃗i
∂x ∂y ∂z
F x F y F z
( ∂Fz
∂y − ∂F ) (
y ∂Fx
+⃗j
∂z ∂z − ∂F ) (
z
+
∂x
⃗ ∂Fy
k
∂x − ∂F )
x
.
∂y
Da jedoch für ein konservative Kraft ⃗ F = − ⃗ ∇ V ist, so folgt für die x-Komponente
von ⃗ ∇ × ⃗ F:
∂F z
∂y − ∂F y
∂z = ∂ (
− ∂V )
− ∂ (
− ∂V )
= − ∂2 V
∂y ∂z ∂z ∂y ∂y∂z + ∂2 V
∂z∂y = 0 (30)
und entsprechend für die anderen Komponenten. Für die skalare Funktion V können die
partiellen Differentiationen ∂ und ∂ vertauscht werden. Es gilt damit ∇ ⃗ × F ⃗ = 0. Ein
∂x ∂y
Kraftfeld, das diese Bedingung erfüllt, nennt man wirbelfrei. Die Rotation ∇ ⃗ × F ⃗ ist ein
axialer oder Pseudo-Vektor.
43 Der Gradient wird oft und auch in dieser Vorlesung durch den Nabla Operator ∇ dargestellt.
Er hat also Vektorcharakter und kann zum Angewöhnen in der Schreibweise
⃗ ∇ benutzt werden, später wird das Vektorzeichen weggelassen.
∇ . = ∂
∂x ⃗ i + ∂ ∂y ⃗ j + ∂ ∂z ⃗ k
Für den Nabla-Operator gelten damit die bekannten Regeln für das Produkt mit einem Skalar (Gradient
eines skalaren Feldes ⃗ ∇V = ⃗ F ergibt ein Vektorfeld), das Skalarprodukt mit einem Vektor (Divergenz
eines Vektorfeldes ⃗ ∇ · ⃗F ergibt ein skalares Feld) und das Vektorprodukt mit einem Vektor (Rotation
eines Vektorfeldes ⃗ ∇ × ⃗ F ergibt ein Wirbelfeld). Die Schreibweise mit dem Nablaoperator ⃗ ∇ ist koordinatenunabhängig.
Darstellungen in verschiedenen Koordinatensystemen siehe Anhang C.5.
44

Zusammenfassung: Eine Kraft ⃗ F ist konservativ, wenn eine der folgenden gleichwertigen
Bedingungen erfüllt ist:
∫ 2
1
⃗F · d⃗r = W 1→2
ist unabhängig vom Weg
∮
⃗F · d⃗r = 0,
⃗ F = −gradV = − ⃗ ∇V
(31)
∫r
V (⃗r) − V ◦ = −
0
⃗F · d⃗r = W 0→r , rot ⃗ F = ⃗ ∇ × ⃗ F = 0
Wir haben schon bemerkt, dass eine konstante Kraft immer konservativ
ist. Wir beweisen jetzt, dass jedes Zentralfeld konservativ ist. Das
y ✻ ⃗F(⃗r)
✻
✁✕
V ✬✩ (r)
✁ ✒
✓✏
✟ ✟✯ sind radial-symmetrische Felder, die in der Form
✲
✒✑ x
⃗F(⃗r) = f(r)⃗r = f(r) · (x⃗i + y⃗j + z ⃗ k)
✫✪
geschrieben werden können, hierbei ist f(r) eine Funktion des Betrages von ⃗r unabhängig
von ϑ und ϕ. Die Feldlinien sind offen. Die Äquipotentialflächen V (⃗r) = V (r) für r =konst.
sind Kugelflächen.
Man überzeugt sich sofort, dass ∇ ⃗ × F ⃗ = 0 ist, weil mit r = √ x 2 + y 2 + z 2 gilt
∂r
∂x = x r ,
∂r
∂y = y r
und
∂F x
∂y = x df
dr
∂r
∂y = x df
dr
y
r ,
∂F y
∂x = y df
dr
∂r
∂x = y df
dr
x
r = ∂F x
∂y
und analog für die anderen Ableitungen. Das Feld ist also wirbelfrei und besitzt eine
potentielle Energie
∫⃗r
⃗r
❝✟ ✟ ✟✯ d⃗s V (⃗r) = V (⃗r ◦ ) −
⃗r ◦
f(r)⃗r · d⃗r = V (⃗r ◦ ) −
∫⃗r
⃗r ◦
f(r)r dr.
Wir haben hier in Radialrichtung integriert, d.h. d⃗r || ⃗r. Das Ergebnis ist jedoch, wie
es sein muss, unabhängig vom gewählten Weg. Denn für ein beliebiges Linienelement
d⃗s ist ⃗r · d⃗s proportional zur Komponente in Radialrichtung, Elemente senkrecht zur
Radialrichtung liefern keinen Beitrag zum Linienintegral. Es ist also V (⃗r) = V (r), die
potentielle Energie ist kugel-symmetrisch, die Äquipotentialflächen sind Kugelflächen.
Die Gravitations- und Coulomb-Kraft stellen Zentralfelder dar, in denen f(r) ∼ r −3
ist. Zur Berechnung der potentiellen Energie wählt man als Bezugspunkt ⃗r ◦ = ∞ und
setzt V (⃗r ◦ → ∞) = 0. Für das Newtonsche Gravitationskraftfeld
⃗G = −Γ Mm ⃗r ist f(r) = −ΓMmr−3
r3 und wir erhalten für die potentielle Energie
∫r
V (r) = +ΓMm
∞
dr
r = −ΓMm .
2 r
45

Die potentielle Energie pro Masseneinheit (bzw. pro Ladungseinheit im elektrischen
Falle vgl. Phys.AII) ist unabhängig von der Probemasse, man nennt sie das
Potential
Φ(⃗r) = V (⃗r)
m
unabhängig von der Probemasse.
Das Gravitationspotential ist
Φ(r) = −Γ M r
[ m
2
s 2 ]
unabhängig von m.
Φ(r) beschreibt eine skalare Eigenschaft des eine Masse M umgebenden Raumes.
Die Gravitationskraft ist damit durch das Potential ausgedrückt
V(r)Coul. od.V(r)Gravit.
F G = −m∇Φ(r) ⃗ = m⃗g. Die potentielle Energie ist mit
r
V (⃗r ◦ → ∞) = 0 immer negativ. Dagegen kann die potentielle Energie
des Coulombfeldes sowohl positiv wie auch negativ sein, da elek-
∝ - 1/r
trische Kräfte sowohl abstossend wie auch anziehend sein können.
Ein Sonderfall des Gravitationsfeldes ist das Schwerefeld der Erdoberfläche.
x ✻
⃗ V 3 Da die von der Schwerkraft m⃗g geleistete Arbeit
F = m⃗g
❄ W 1→2 = m⃗g · (⃗r 2 − ⃗r 1 ) ist, so wird die potentielle Energie
V 2
V (⃗r) = −m⃗g·⃗r = +mg x = V (x), wenn wir die x-Achse in Richtung
V 1 =0 der Vertikalen nach oben und V (x = 0) = 0 wählen.
Abschliessend ein Beispiel für eine nicht-konservative Kraft (vgl. die
✻y
✬✩ ✲ Strömungslehre): F ⃗ = ⃗iay −⃗jax mit | ⃗ √
F | = a 2 (y 2 + x 2 ) = ar.
✒
✻✓✏ ✲
✻ ❅❘ ✲ x
❅■ ✒✑ ✛ ❄
∂F x
Da = +a und
∂F y
✫✪
✛ ❄ ∂y ∂x = −a gilt, ist (⃗ ∇ × F) ⃗ z = −2a ≠ 0.
✠
Das Kraftfeld ⃗ F ist ein Wirbelfeld, es hat kein Potential und die
Feldlinien sind geschlossen. Man überzeuge sich, dass das Feld ⃗ F =⃗iay +⃗jax ein wirbelfreies,
konservatives Kraftfeld mit einem Potential und mit offenen Feldlinien (Hyperbeln)
ist.
4.4 Das Potential und das Feld einer homogenen Kugel
In vielen Problemen z.B. in der Atom- oder Kernphysik ist es notwendig das Feld und das
Potential einer homogenen Kugel zu kennen (z.B. Coulombpotential eines ausgedehnten
Atomkernes). Diese Aufgabe kann mit dem Gaussschen Satz einfach gelöst werden. Es ist
jedoch zum physikalischen Verständnis nützlich, sich diese Rechnung mit einer einfachen,
geometrischen Überlegung für das Gravitationspotential Φ(r) einer homogen mit Masse
verteilten Kugel, wie es näherungsweise für die Erde gültig ist, zu überlegen.
46

2
m 2
→
F 2
m
→
F 1
R s
m
sinϑ dϑ dϕ
1
r 1
Im Innern einer homogen mit Masse belegten Kugelschale
mit dem Radius R s ist die Gravitationskraft auf eine Probemasse
m in jedem Punkt innerhalb der Kugelschale null.
Um dies zu zeigen, genügt es, wie in der Figur angedeutet,
zwei Massenelemente unter entgegengesetzten gleichen
Raumwinkeln Ω 1 = Ω 2 = sinϑdϑ dϕ zu berücksichtigen
sowie die Kräfte F ⃗ 1 und F ⃗ 2 zu berechnen. Für die Flächendichte
der Kugelschale gilt ρ F = M
4πRs
2
und für die Massenelemente m 1 und m 2 unter den zwei entgegengesetzten Raumwinkeln
Ω 1 und Ω 2 gilt m 1 = ρ F Ω 1
r 2 1
cos α , m 2 = ρ F Ω 1
r 2 2
cos α .
Die beiden Massenelemente haben den gleichen Neigungungswinkel α gegenüber dem
infinitesimalen Raumwinkelelement. Die Kugeloberflächenelemente sind Ω 1 r 2 1 und Ω 2 r 2 2.
Damit ist die Kraft auf die Probemasse m
F 1 = Γ m m 1
r 2 1
= Γmρ F Ω 1 r1
2 1
r1 2 cosα = Γmρ 1
FΩ 1
cos α = −F 2
unabhängig von r 1 und r 2 , d.h.überall innerhalb der Hohlkugel ist die Summe aller Kräfte
der Flächenelemente über 2π summiert ∑ F i = 0 (Gaussscher Satz).
★✥
Eine homogen mit Masse verteilte Kugel kann für einen Punkt im Innern
M i
✲r m bei dem Radius r in eine innere Kugel mit der Masse M i mit Radius r
❆
M ✧✦
a
❆ und in eine äussere Kugelschale mit der Masse M a und den Radien r und
R R aufgeteilt werden mit M = M i + M a . M a trägt nach obiger Rechnung
❆❆ ❆❯ nicht zur Kraft im Innern ≤ r bei. Die Masse M i kann nach dem Schwerpunktsatz
Gl. (12) im Schwerpunkt konzentriert angenommen werden 44 ,
1
damit ist F(r) = ΓmM i
r = Γm M 4
2 4 · 3 πr3 = Γ Mmr für r ≤ R
3 πR3 r 2 R 3
F(r) = Γ Mm
r 2 für r ≥ R
Das Gravitationspotential ist dann mit der Wahl Φ(r → ∞) = 0 : Φ(r) = −
Φ(r) = −Γ M R 3 ⎡
∫R
⎣
r
∫∞
r dr + R 3
Φ(r) = −ΓM
R
⎤
dr
⎦ = −Γ M [ 3
r 2 R 2 − 1 ( ] r 2
, für r ≤ R
2 R)
∫∞
r
dr
r 2 = −ΓM r
; für r ≥ R.
∫∞
r
F
m dr ⇒
44 wobei nur für eine kugelsymmetrische Massenverteilung der Schwerpunkt für alle r bei r = 0 liegt
47

Φ(r)
−Γ R
M
R
∝ r 2 - 1/r
r
F(r)
r
R
1/r 2
r
Bei r = R sind beide
Funktionen auch
in den Ableitungen
stetig. Die potentielle
Energie einer Probemasse
m ist
V (r) = mΦ(r).
4.5 Der Fluss des Gravitationsfeldes
Das Newtonsche Gravitationsgesetz wie auch das Coulomb-Gesetz gelten eigentlich nur
für punktförmige Massen bzw. Ladungen. Wie aber schon auf Seite 18 und 21 vermerkt
wurde, lässt sich die Gültigkeit auch auf kugelsymmetrisch verteilte Massen (bzw. Ladungen)
ausdehnen. Diesen Beweis wollen wir jetzt nachholen. Er beruht entscheidend auf
der 1 -Abhängigkeit der Kräfte.
r 2
Wir bedienen uns eines neuen Begriffes und definieren 45 : den Fluss Φ der Gravitations-
Feldstärke ⃗g(⃗r) = G(⃗r)/m ⃗ eines Massenpunktes m i durch eine zu m i konzentrische Kugel
B mit dem Kugeloberflächenintegral
B★✥
m i ⃗g
✛
r✂
dA
✧✦ ✂
dA →
B
→
r
→
r o
α
g n
g →
m i
A
∮ ∮
.
Φ B = g n dA = ⃗g · dA
⃗
B
B
[ m
3
s 2 ]
.
g n ist die auf dem Flächenelement senkrecht stehende Komponente
der Feldstärke.
Aus Symmetriegründen (Kugel) folgt dann
∮
Φ B = g
dA = −Γ m i
r 2 4πr2 = −4π Γm i unabhängig von r.
Nun berechnen wir den Fluss Φ A durch eine beliebige, aber geschlossene
Fläche A, welche m i umschliesst. Es gilt:
∮
Φ A = ⃗g · dA ⃗ ∮ ∮
= g n dA = g cos α dA.
A
A
Es ist dA cos α = dA ′ , wobei der Ortsvektor r, der von m i zum Element
dA führt, senkrecht auf dem Flächenelement dA ′ steht (bzw.
der Flächenvektor d ⃗ A steht parallel zum Ortsvektor ⃗r).
★✥
m
i✘ ✘ ✘✘ ✘ ✘✘ ✘
dA ′
Da = r2
,
r ◦ ❳ ❳❳❳ dA ′
dA ◦ r◦
2
✂
✧✦ ✂
❳
dA ❳❳ wobei r
◦ ❳ ◦ der Radius einer zu m i konzentrischen Kugel ist, so
folgt
∮ ∮
Φ A = g dA ′ r 2 ∮
= g dA ◦ = −Γm i
r 2 ◦
B
r 2 dA ◦
r 2 r 2 ◦
= − Γm i
r 2 ◦
∮
B
A
dA ◦ = −4π Γm i = Φ B .
45 In diesem Kapitel ist der Fluss Φ [ m3
s ] zur Unterscheidung vom mechanischen Potential Φ [ m2
2 s ] kursiv 2
geschrieben.
48

m i
negat. Fluss
m
A
pos. Fluss
Der Feldfluss ist also derselbe für eine zu m i konzentrische
Kugel oder eine beliebige Fläche, er hängt nur von der eingeschlossenen
Masse m i ab. Die gleiche Überlegung führt
zum Schluss, dass der Fluss durch eine beliebige geschlossene
Fläche, welche die Masse m i nicht enthält, verschwindet.
Da der Fluss nur von allen eingeschlossenen Massen
m = ∑ m i abhängt, erhalten wir die Beziehung:
∮
Φ A = ⃗g · dA ⃗ ∮
= g n dA = −4π Γm (32)
A
A
Der Fluss der Gravitationsfeldstärke durch eine
geschlossene Fläche A hängt nur von der eingeschlossenen
Masse m ab, die beliebig innerhalb
der Fläche A angeordnet sein darf.
★✥
✎☞
♣
✍✌
r
✧✦
m1
A
Jetzt wählen wir für m eine kugelsymmetrische Masse m 1 und für A
eine zu m 1 konzentrische Kugel mit dem Radius r:
∮
Φ A = g n dA = −4π Γm 1 .
A
Also gilt:
Aus Symmetriegründen muss g n auf der Kugeloberfläche konstant sein.
Φ A = g n
∫
dA = g n 4π r 2 = −4π Γm 1 . Daraus folgt g n = −Γ m 1
r 2
und damit das Gravitationsgesetz für kugelsymmetrische Massen.
Die Fluss-Regel Gl. (32) ist ein Sonderfall des für jeden Vektor gültigen Satzes von
Gauss der Vektoranalysis. Sie gilt auch für das elektrische Feld (Phys.AII).
4.6 Der Energieerhaltungssatz der Mechanik
Für konservative Kraftfelder ⃗ F gilt ein Energieerhaltungssatz, der direkt aus dem Energiesatz
der Mechanik Gl. (28) folgt, indem wir die von der Kraft ⃗ F geleistete Arbeit der
Änderung der potentiellen Energie gleichsetzen:
T 2 − T 1 = W 1→2 =
∫2
1
⃗F · d⃗r = V 1 − V 2 . Also gilt T 1 + V 1 = T 2 + V 2 .
Da die Punkte 1 und 2 ganz beliebig gewählt werden können, gilt diese Gleichung für alle
Punkte des Feldes. Man nennt deshalb E tot = T + V die totale mechanische Energie
des Massenpunktes im konservativen Kraftfeld. Es gilt also
E tot = T + V = konst der Energieerhaltungssatz 46 . (33)
46 Die Bezeichnung konservativ für ein Kraftfeld bezieht sich auf den Energieerhaltungssatz.
49

In einem konservativen Kraftfeld bleibt die gesamte mechanische Energie,
d.h. die Summe von potentieller und kinetischer Energie erhalten.
In differentieller Form lautet der Erhaltungssatz dE tot = dT + dV = 0
Der Energieerhaltungssatz gilt auch dann noch, wenn bei einer Bewegung Führungskräfte
vorkommen, die senkrecht zur Geschwindigkeit (also Normalkräfte) stehen und
folglich keine Arbeit leisten. Treten dagegen Reibungskräfte auf, deren Arbeit ja vom
Wege abhängt, so gilt der Erhaltungssatz in der obigen einfachen Form nicht mehr (z.B.
wenn mechanische Energie irreversibel in Wärmeenergie umgewandelt wird).
Ebenfalls kann der Energieerhaltungssatz in dieser einfachen Form nicht angewandt
werden, wenn das Potential von der Zeit abhängt, wenn also V = V (x,y,z,t). Dann wird
dV = ∂V ∂V ∂V ∂V
dx + dy + dz +
∂x ∂y ∂z ∂t dt = −⃗ F · d⃗r + ∂V ∂V
dt = −dT +
∂t ∂t dt
oder dE = dV + dT = ∂V
∂t dt ≠ 0 für eine nicht konservative Kraft.
Der Erhaltungssatz stellt ein erstes Integral der Bewegungsgleichung dar, da er nicht
mehr die Beschleunigung, sondern nur noch die Geschwindigkeiten enthält. Dagegen
enthält er als skalare Gleichung keine Information über die Richtung einer Bewegung. In
vielen Fällen lassen sich mechanische Probleme mit dem Energieerhaltungssatz einfacher
als mit den Newtonschen Gleichungen lösen.
Obgleich der Erhaltungssatz der mechanischen Energie aus den Newtonschen Prinzipien
hergeleitet wurde, stellt er eine andere Betrachtungsweise physikalischer Prozesse
dar, so dass er einem neuen Werkzeug gleichkommt. Insbesondere ist er ein Sonderfall des
viel allgemeineren Erhaltungssatzes aller Energien, der unabhängig von den Newtonschen
Prinzipien gilt (vgl. Kapitel 10).
4.7 Beispiele zum Energieerhaltungssatz
4.7.1 Freier Fall eines Massenpunktes im Vakuum
✻x V (x)
1m
❄⃗v(x)
0 V (0) = 0
Setzt man V (x = 0) = 0, so ist die potentielle Energie V (x) = mg x
und die Gesamtenergie
E = T + V = m 2 v2 + mg x = m 2
( ) 2
dx
+ mg x. (34)
dt
Da E konstant ist, wird es aus den Anfangsbedingungen x ◦ und v ◦ für
den Zeitpunkt t = 0 bestimmt: E = m 2 v2 ◦ + mgx ◦ .
√ dx
2E
∫
Aus Gl. (34) folgt v =
∣ dt ∣ = m − 2gx oder t =
√ 2E
m
dx
+ C.
− 2gx.
Mit der Substitution z = 2E/m − 2gx und dz = −2g dx erhält man für das Integral
− 1 ∫ dz
√ = − 1
2g z 2g 2√ z = −
g√ 1 √
2E 2E
m − 2gx. Also wird t = −1 g m
− 2gx + C.
50

Aus der Bedingung x(t = 0) = x ◦ ergibt sich für die Integrationskonstante C = ±v ◦ /g.
Das Minuszeichen ist durch die Wahl von ⃗g zu ⃗v ◦ bestimmt.
Somit lautet das Ergebnis x(t) = E mg − 1
2g (gt ± v ◦) 2 oder E = mgx ◦ + 1 2 mv2 ◦
mit + für den Wurf nach unten und − nach oben (vgl. Kap. 3.1).
4.7.2 Weltraumflüge
Die potentielle Energie einer Raumkapsel mit der Masse m im Gravitationsfeld der Erde
(Masse M) ist nach Kapitel 4.3: V (r) = − ΓmM , wenn wir V (r = ∞) = 0 setzen.
r
Die konstante Gesamtenergie der Kapsel ist
E = T ◦ +V ◦ = m 2 v2 ◦−Γ mM
r ◦
= T(r)+V (r),
hierbei sind T ◦ = mv◦/2 2 die kinetische und V ◦ = −ΓmM/r E die potentielle Energie an
der Erdoberfläche r ◦ = r E .
Die Kapsel kann auf ihrem Raumfluge all diejenigen Punkte
V(r)
erreichen, die mit der Bedingung E = konst. verträglich
r E r max
sind. Ist E ≥ 0, so spricht man von ungebundener Bewegung,
die Kapsel kann das Schwerefeld der Erde verlassen.
r
E
Ist jedoch E < 0, so ist die Bewegung gebunden ; es ist
T o
1/r
T ◦ < Γ mM
r E
.
Wird die Kapsel radial nach aussen abgeschossen (eindimensionaler
Fall), so kehrt sie am Punkt r max um, in dem
T = 0 geworden ist, und fällt auf die Erde zurück.
Damit (für E > 0) die Kapsel das Erdfeld verlassen kann, muss ihre Startgeschwindigkeit
v ◦ grösser sein als die sogenannte Fluchtgeschwindigkeit v F , welche sich mit E = 0 und
damit
T ◦ = m v2 F
2
= Γ Mm
√
2ΓM √
ergibt zu v F = = 2r E g = 11.2 km/s.
r E r E
V(r)
r s
m E =81⋅ m M
Erde Mond
r
Um aus dem Sonnensystem entweichen zu können, muss
statt der Masse der Erde die Masse der Sonne und der Planeten
berücksichtigt werden. Für einen Flug zum Mond
ist die minimale Startgeschwindigkeit etwas kleiner, da das
Potentialmaximum durch das Gravitationsfeld des Mondes
reduziert wird. Startet die Sonde allerdings exakt mit dieser
minimalen kinetischen Energie, so kommt sie an der
Stelle r s zum Stillstand. Da dort die Anziehung des Mondes
gerade entgegengesetzt gleich zur Anziehung der Erde
ist, ist die Sonde schwerelos und im labilen Gleichgewicht.
Sie kann zum Mond, aber auch zurück zur Erde fallen.
51

4.7.3 Die Todesschleife
Ein Massenpunkt gleite, von einer schiefen Ebene kommend, längs der Innenseite eines
vertikal gestellten Kreisringes. Wie hoch muss der Start gelegt werden, damit sicher kein
Absprung erfolgt? Die Bewegung sei reibungsfrei. Die Bewegungsgleichung für die Normalund
Tangentialbeschleunigung ist ma n = mρ ˙ϕ 2 = G n + N und
❅ ❡ ✻
❅
h
❄
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
ma t = mρ¨ϕ = G t = −mg sin ϕ ⇒ ¨ϕ + g ρ sin ϕ = 0
ein elliptisches Integral.
Die Lösung ist einfacher mit dem Energieerhaltungssatz:
Die Bedingung für die Kreisbahn am höchsten Punkt ist
mv 2
✛⃗v ✤✜ ✉❄ N
ρ
= N + mg
❄ mg hierbei ist N > 0. Für N = 0 stürzt der Massenpunkt mit
◗
✣✢ ρ einer Wurfparabel ab bei der kritischen Geschwindigkeit
v k = √ ρg (Vgl. Bild S.7 Parabel mit Schmiegekreis).
Der Massenpunkt muss mindestens in einer solchen Höhe h k gestartet werden, dass v k
erreicht wird. Wird aus der Ruhelage gestartet, so gilt nach dem Energieerhaltungssatz 47
V (h k ) = T k + V (2ρ) = mgh k = m 2 v2 k + 2mgρ, v 2 k = 2gh k − 4ρg, h k = 5 2 ρ.
4.8 Der Impulserhaltungssatz
4.8.1 Elastische Stösse
Unter Stössen verstehen wir in der Physik die Wechselwirkung zwischen zwei Körpern
während einer kurzen Zeit, wobei Impuls und Energie ausgetauscht werden. Ein Grossteil
unserer Kenntnisse über Atome, Kerne und Elementarteilchen stammt aus Stossexperimenten
(Streuexperimenten). Auch eine mikroskopische Untersuchung ist ein Streuexperiment
mit Licht. Während des Stosses wirken für eine sehr kurze Zeit innere Kräfte, die wir
meist nicht genau kennen. Mit den Erhaltungssätzen von Impuls und Energie, die beide
nicht eine Kenntnis der inneren Kräfte verlangen, können wir jedoch etliche Ergebnisse
voraussagen. Dazu ist jeweils das System zweckmässig zu definieren.
Wir betrachten z.B. zwei Massenpunkte m ⃗F 1 und m 2 , auf die keine
21 ❅■ ✓✏
❅ m1 äusseren Kräfte wirken. Die Impulse ⃗p 1 und ⃗p 2 sind konstant, sofern
sich die Punkte unabhängig voneinander bewegen. Stossen sie
❅✤✜
✒✑
m
❅ 2 ❅ zusammen, so wirken während des Stosses innere Kräfte F
✣✢ ❅❘ F12 ⃗ ⃗ 12 und
⃗F 21 , die die Einzelimpulse verändern.
Der Gesamtimpuls aber bleibt erhalten. Dies ist der Impulserhaltungssatz [Gl. (13)]:
In einem abgeschlossenen System, auf das keine äusseren Kräfte wirken,
⃗Fäussere = d⃗p
dt = 0,
bleibt der Gesamtimpuls unabhängig von inneren Kräften erhalten
⃗p = konstant.
47 Die Rotationsenergie von Rädern eines Fahrzeuges oder die einer Kugel sind hier nicht berücksichtigt.
52

Die Änderung eines Einzelimpulses, z.B. ∆⃗p 1 = ⃗p ′ 1 − ⃗p 1 (mit ⃗p vor und ⃗p ′ nach
dem Stoss), hängt ab von der Stärke und der Richtung der inneren Kraft F ⃗ 21 sowie der
Stossdauer τ. Ist z.B. die Richtung von F ⃗ 21 konstant und der Betrag aus nebenstehender
Darstellung ersichtlich, so folgt aus dem Aktionsprinzip
✻ F 21
★ ✥
¯F
¯Fτ ✲ t
t 1 t 1 + τ
∆⃗p 1 = ⃗p ′ 1 − ⃗p 1 =
t∫
1 +τ
t 1
⃗ F21 dt, |∆⃗p 1 | = ¯Fτ.
¯Fτ nennt man den Kraftstoss (Dimension: Kraft·Zeit). ¯F
ist eine mittlere Kraft, die während der Stossdauer τ wirkt.
Wir unterscheiden nun zwei Typen von Stössen. Beim elastischen Stoss bleibt die totale
mechanische Energie erhalten, beim inelastischen Stoss (mit z.B. Deformation oder Anregung)
ist das nicht der Fall. Die elastischen Stösse werden jetzt ausführlicher behandelt.
Für den vollkommen elastischen Stoss zweier Kugeln, auf die keine äusseren Kräfte
wirken (d.h. V = konst), gelten die Beziehungen:
✗✔ a) Impulserhaltungssatz: ⃗p 1 + ⃗p 2 = ⃗p ′
⃗p2
✲✎☞ ✂ ✂✍ 1 + ⃗p ′ 2
⃗p 1
b) Energieerhaltungssatz: T 1 + T 2 = T ′ 1 + T ′ 2, dabei ist
✖✕✂
✍✌
T i = m ivi
2 = (m iv i ) 2
= p2 i p 2 1
, also + p2 2
= p′ 2
1
2 2m i 2m i 2m 1 2m 2
✎☞ ✏ ✏✶ ⃗p 1
′
✍✌
✗✔
⃗p 2
′
✒
✖✕
+ p′ 2
2
.
2m 1 2m 2
c) ⃗p 1 −⃗p ′ 1 = −⃗p 2 +⃗p ′ 2 = ∆⃗p 1 = −∆⃗p 2 , beide Impulsänderungen haben
die Richtung der Stosszentralen, also der Wirkungslinie der Kraft F 12 .
Bezüglich der gegenseitigen Orientierung von ⃗p 1 und ⃗p 2 lassen
sich gerader und nicht-gerader Stoss unterscheiden. Wir werden
von den geraden Stössen den eindimensionalen Sonder-
nicht-gerade
fall des geraden-zentralen Stosses weiterverfolgen (vgl. auch
❅■ ⃗p
★✥
2
Kap. 8.6). Impuls- und Energie-Erhaltungssatz vereinfachen
⃗p 1 ❅
✗✔
✒ ❅ sich dann zu
✧✦
✖✕
p 1 + p 2 = p ′ 1 + p ′ 2 → p 1 − p ′ 1 = p ′ 2 − p 2 (35)
p 2 1 − p ′2
1
gerade, nicht-zentral
= p′2 2 − p 2 2
. (36)
2m 1 2m 2
★✥
⃗p Dividiert man Gleichung (35) durch (36), so ergibt sich
✗✔ ✛ 2
✲
✧✦ p 1 + p ′ 1
✖✕⃗p 1 = p′ 2 + p 2
, und mit Gl. (35) ist
2m 1 2m 2
p 1 + p ′ 1
= p 1 − p ′ 1 + p 2 + p 2
= p 1 − p ′ 1 + 2p 2
, also
gerade, zentral
2m 1 2m 2 2m 2
★✥
✗✔
✲ ✛
✖✕⃗p 1 ⃗p 2 ✧✦p ′ 1 = p 1(m 1 − m 2 ) + 2m 1 p 2
, p ′ 2 = p 2(m 2 − m 1 ) + 2m 2 p 1
.
m 1 + m 2 m 1 + m 2
53

Die Formeln sind symmetrisch in den Indizes 1 und 2.
✗✔ ✗✔
Spezialfälle:
✲
✖✕⃗p 1 ⃗p 2 = 0 ✖✕(i) Ist speziell m 1 = m 2 , so folgt p ′ 1 = p 2 , p ′ 2 = p 1 ,
die Impulse werden vertauscht. Für den Sonderfall 48 p 2 = 0
erhalten wir p ′ ✗✔ ✗✔
1 = 0, p ′ 2 = p 1 .
✲ ✛ Die stossende Kugel bleibt stehen, die gestossene fliegt weg.
✖✕⃗p 1 −⃗p 1 ✖✕Im Falle p 1 = −p 2 wird p ′ 1 = −p 1 und p ′ 2 = p 1 . Die Kugeln
kehren um.
(ii) Ist m 1 ≪ m 2 , so gilt näherungsweise
★✥
✎☞
✲
✍✌
p ′ 1 ≈ −m 2p 1 + 2m 1 p 2
= −p 1 + 2m 1
p 2 , p ′ 2 ≈ p 2 + 2p 1 .
⃗p 1
m
✧✦
2 m 2
★✥⃗p 2 = 0
✎☞ Beispiel: p 1 = p; p 2 = 0; p ′ 1 = −p; p ′ 2 = 2p.
✲
Die stossende Kugel prallt ab. Wird z.B. eine Kugel an einer
Wand (m 2 ≃ ∞) reflektiert, so nimmt die Wand keine
✍✌
✧✦⃗p 1 ⃗p 2 = 0
kinetische Energie sondern nur Impuls mit v ≈ 0 auf.
Ist m 1 ≫ m 2 , so gilt näherungsweise p ′ 1 ≈ p 1 + 2p 2
p ′ 2 ≈ −p 2m 1 + 2m 2 p 1
m 1
= −p 2 + 2m 2
m 1
p 1 .
Beispiel: p 1 = p; p 2 = 0; p ′ 1 = p; p ′ 2 = 2m 2
m 1
p.
m
❆1
❆
❆ ❆❯ p1
❆
❆
α❆
✁
✁β
❆✁
p ′ ✁ 1
✁1m
✁✕
✁
Die stossende Kugel stösst durch.
(iii) Für den nicht-garaden elastischen Stoss einer Kugel gegen
eine Wand, bei der die stossende (kleine) Kugel reflektiert
wird, gilt:
Wenn der Stoss elastisch sein soll, dürfen keine tangentialen
Reibungskräfte auftreten. Die Impulserhaltung parallel zur
Wand verlangt also p 1 cos α = p ′ 1 cos β.
Die Erhaltung der Energie bedeutet p2 1
= p′2 1
2m
Damit gilt das Reflexionsgesetz: p 1 = p ′ 1, α = β. Treten beim Stoss Reibungskräfte
auf, wird zusätzlich Drehimpuls übertragen (Tennis, Experimente mit dem Superball).
2m .
4.8.2 Inelastischer Stoss: Das ballistische Pendel
Makroskopische Körper führen eigentlich immer inelastische Stösse aus. Stösse zwischen
atomaren und subatomaren Teilchen sind die einzigen, die rein elastisch sein
können. Nur hier können die Kräfte (z.B. Zentralkräfte) wirklich konservativ sein, so
dass ein Potential definiert werden kann und der Energieerhaltungssatz der Mechanik
gilt. Wir besprechen nun inelastische Stösse am Beispiel des ballistischen Pendels: Eine
Kugel mit der Masse m trifft auf ein ruhendes Pendel der Masse M und bleibt in
ihm stecken. Gesucht ist die Geschwindigkeit v ◦ der Kugel bei bekannter Auslenkung
des Pendels. Während des Stosses ist der Energieerhaltungssatz sicher ungültig, denn
48 Dieser Sonderfall kann beim 2-Körper-Stossproblem als Trick angewendet werden: Man wählt ein
Inertialsystem mit ⃗v 1 , dann ist m 1 in Ruhe und ⃗v ′ 2 = ⃗v 2 + ⃗v 1 . Die Streuebene ist gegeben durch ⃗v ′ 2 und
die Wirkungslinie.
54

1
m
1
M+m
v ◦ ✲
✲
p1
M
✲ v ′ 1 = v ′ 2 = v ′
✲ p ′
Kugel und Pendelmasse werden bleibend verformt. Diese plastischen
Deformationen können nicht rückgängig gemacht
werden. Dagegen gilt während des Stosses der Impulssatz, da
in horizontaler Richtung keine äusseren Kräfte auf das System
Kugel + Pendel wirken.
Wir haben also m v ◦ = (m + M)v ′ . (37)
Dies ist bereits das allgemeine Resultat für vollkommen inelastische Stösse zweier Körper.
Zuück zur etwas komplizierteren Pendelaufgabe: Für die nach dem Stoss einsetzende Pendelbewegung
gilt der Energieerhaltungssatz, da nur die konservative Schwerkraft Arbeit
leistet. Jedoch bleibt jetzt der Impuls nicht mehr erhalten, die äussere Schwerkraft wirkt.
❆
❆
Somit gilt:
m + M
v ′2 = (m+M)gh = (m+M)gl (1 −cosϕ ◦ )
2
ϕ ❆ ◦ ❆ ❆
M+m
✛
x◦
l
❆
❆
❆
❆
❆
✟ ✟ ❆ ❆
✟ ✟
✲
✻❄h
Aus Gl.(37) folgt
= (m + M)gl 2 sin 2 ϕ ◦
2 .
v ◦ = m + M
m
= 2 sin ϕ ◦
2 (1 + M m ) √
gl.
v′ = m + M √
4gl sin 2 ϕ ◦
m 2
Statt des Winkels ϕ ◦ ist es zweckmässiger, den horizontalen Ausschlag x ◦ = l sin ϕ ◦
zu messen. Beschränkt man sich auf ϕ ◦ ≪ 1, so ist
x ◦ ≃ l 2 sin ϕ ◦
2
und somit v ◦ ≃ x ◦ (1 + M m ) √ g
l .
55

5 Der Drehimpulssatz für ein System von Massenpunkten
Neben dem Schwerpunktssatz lässt sich noch ein weiteres fundamentales Gesetz der Mechanik
zur Beschreibung der Bewegung eines Systems von Massenpunkten herleiten, der
Drehimpuls- oder Drallsatz. Er wird seine Nützlichkeit in solchen physikalischen Problemen
erweisen, in denen ein Punkt des Raumes vor anderen ausgezeichnet ist.
Wir müssen zunächst zwei neue Begriffe einführen. Wenn ein Massenpunkt m mit
Impuls ⃗p durch den Ortsvektor ⃗r beschrieben wird und auf
→
p
m eine Kraft F ⃗ wirkt, so definieren wir in einem Bezugssystem
als
α
→
m
L
→ o
→ Drehimpuls: ⃗ . L◦ = ⃗r × ⃗p auch Drall genannt (38)
p . . r
Drehmoment: M◦ ⃗ . = ⃗r × F. ⃗ (39)
⃗r, ⃗p und ⃗ L ◦ wie auch ⃗r, ⃗ F und ⃗ M ◦ bilden je ein Rechtssystem.
Die Beträge von L ◦ und M ◦ werden durch
m
L
→
◦ = r · p · sin α, α = ̸ (⃗r, ⃗p)
→ r
M o
. .
→
und M ◦ = r · F · sin β, β = ̸ (⃗r, F) ⃗
β F
festgelegt. Der Index ◦ soll andeuten, dass diese Grössen
bezüglich eines gemeinsamen Bezugspunktes ◦ definiert
werden. M◦ ⃗ und L ⃗ ◦ sind axiale Vektoren.
Der Drehimpulssatz formuliert den Zusammenhang zwischen M ⃗ und der zeitlichen
Änderung von L. ⃗ Zur Herleitung dieses Satzes gehen wir von den gleichen Voraussetzungen
aus wie im Kapitel 2.3 Seite 15. Wir denken uns jede der dort aufgestellten N
Bewegungsgleichungen der N Massenpunkte mit dem entsprechenden Ortsvektor ⃗r i des
Massenpunktes vektoriell multipliziert. Wir erhalten:
m i ✉
✁ ✁✕ ❅ ⃗G ki ⃗r 1 × F
❅❅■
⃗ 1 + ⃗r 1 × G ⃗ 21 + ⃗r 1 × G ⃗ 31 + ... + ⃗r 1 × G ⃗ N 1 = ⃗r 1 × d⃗p 1
❅ dt
✁ ❅❘
❅
✁
❅
✁ ⃗r ❅■ G ⃗ ik ⃗r 2 × F ⃗ 2 + ⃗r 2 × G ⃗ 12 + ⃗r 2 × G ⃗ 32 + ... + ⃗r 2 × G ⃗ N 2 = ⃗r 2 × d⃗p 2
ki
⃗r ❅
dt
i ✁
✘ ✘✘✘ ✘✘✿ ✉
✁ ✁ ❅
...
m k
❝✘ ✁ ✘✘✘✘ ⃗r k ⃗r N × F ⃗ N +⃗r N × G ⃗ 1 N +⃗r N × G ⃗ 2 N +...+⃗r N × G ⃗ N−1 N = ⃗r N × d⃗p N
dt .
Addieren wir diese Gleichungen, so treten paarweise Terme der folgenden Form auf
⃗r k × ⃗ G ik und ⃗r i × ⃗ G ki . Da aber gilt ⃗r i = ⃗r k +⃗r ki und nach dem Reaktionsprinzip ⃗ G ik = − ⃗ G ki ,
so folgt ⃗r i × ⃗ G ki = (⃗r k +⃗r ki )× ⃗ G ki = ⃗r k × ⃗ G ki +⃗r ki × ⃗ G ki = −⃗r k × ⃗ G ik mit ⃗r ki × ⃗ G ki = 0
In der obigen Summe heben sich also sämtliche Terme mit den inneren Kräften auf.
Wie beim Schwerpunktssatz beruht dieses Ergebnis auf der Gültigkeit des Reaktionsprinzips.
Zur Behandlung der Terme der rechten Seite nehmen wir noch an, dass die ⃗ G ik
Zentralkräfte sind (siehe Seite 18), also in Richtung des Vektors ⃗r ki zeigen.
Bilden wir
d
dt (⃗r i × ⃗p i ) = d⃗r i
dt × ⃗p i + ⃗r i × d⃗p i
dt = ⃗r i × d⃗p i
dt ,
56

so verschwindet rechts der 1. Term, da ⃗v i ‖⃗p i und somit, ⃗v i × ⃗p i = 0, und wir erhalten aus
der Summation des obigen Gleichungssystems auf der rechten Seite
N∑
i=1
r i × d⃗p i
dt = ∑ i
d
dt (⃗r i × ⃗p i ) = d dt
∑
⃗r i × ⃗p i = d ∑
L ◦i
i
dt
i
und auf der linken Seite
N∑
i=1⃗r i × ⃗ F i = ∑ i
⃗M ◦i . Setzt man
∑
⃗L ◦i = L ⃗ ◦ ,
i
∑
i
⃗M ◦i = ⃗ M ◦
und nennt ⃗ L ◦ den totalen Drehimpuls des Systems der N Massenpunkte bezüglich ◦, und
⃗M ◦ das totale Drehmoment der äusseren Kräfte bezüglich ◦, so gilt
d ⃗ L ◦
dt
= ⃗ M ◦ der Drehimpulssatz (Drallsatz). (40)
Das totale Drehmoment der äusseren Kräfte in bezug auf einen
raumfesten Bezugspunkt ◦ ist gleich der zeitlichen Ableitung
des totalen Drehimpulses bezüglich des gleichen Punktes.
Natürlich gilt unsere Herleitung des Drehimpulssatzes auch für einen einzelnen Massenpunkt
(N = 1), L ⃗ ◦ steht dann für den Drehimpuls dieses Massenpunktes und M ⃗ ◦ ist
das auf ihn wirkende Drehmoment. Auch in diesem Falle müssen L ⃗ ◦ und M ⃗ ◦ auf den
gleichen Punkt ◦ bezogen werden, da ja beide Grössen den Ortsvektor enthalten, der erst
definiert ist, wenn ein Bezugspunkt ◦ festgelegt ist.
Allgemein für ein System von Massenpunkten formulieren wir den
Drehimpulserhaltungssatz
⃗L ◦ = konst, wenn
∑
i
⃗M ◦i = 0 oder ⃗ L
Anfang
◦ = ⃗ L Ende
◦ (41)
Der Drehimpuls eines Systems von Massenpunkten bleibt erhalten,
wenn die Summe der äusseren Drehmomente verschwindet.
Insbesondere bleibt der Drehimpuls eines isolierten Systems erhalten.
Der Drehimpuls bleibt bei einer Reaktion erhalten.
Es ist zu beachten, dass dieser Erhaltungssatz nicht allein aus den Newtonschen Prinzipien
folgt, da wir ja annehmen mussten, dass die inneren Kräfte Zentralkräfte sind. Wenn
diese Annahme auch naheliegend ist, so wird sie doch nicht explizit im Reaktionsprinzip
verlangt.
Der Drallsatz ist das Analogon zum Newtonschen Gesetz (aus F ⃗ = d⃗p abgeleitet)
dt
für Drehbewegungen. Der Drehimpuls steht für den Impuls und das Drehmoment für die
Kraft. L ⃗ steht senkrecht zu ⃗r und ⃗p, M ⃗ senkrecht zu ⃗r und F. ⃗ L ⃗ und M ⃗ sind Axialvektoren
(Pseudovektoren), sie beinhalten einen Drehsinn. Da L ⃗ und M ⃗ den Ortsvektor
enthalten, muss für ihre Festlegung immer ein Bezugspunkt ◦ gewählt werden.
57

6 Bewegungen im Zentralfeld
Zentralfelder haben wir schon mehrfach kennengelernt, u.a. in Kapitel 4.3. Wir wollen
jetzt einige allgemeine Eigenschaften der Bewegung eines Massenpunktes unter dem Einfluss
einer Zentralkraft untersuchen. Danach soll der spezielle Fall der Planetenbewegung
behandelt werden, der historisch eines der Hauptprobleme der Mechanik und speziell der
Himmelsmechanik war. Zentralbewegungen spielen jedoch in vielen Zweigen der Physik
eine Rolle, so z.B. bei Streuprozessen atomarer oder subatomarer Teilchen.
6.1 Reduktion des Zwei-Körper- auf ein Ein-Körper-Problem
Zentralfelder (siehe Kapitel 4.3) und das Zentralkraftproblem mit zwei Körpern ist eines
der wichtigen Probleme der Physik, wie z.B. in der Himmelsmechanik das Problem Erde -
Sonne, in der Atomphysik das klassische Atommodell mit zwei endlichen Massen oder in
der Quantenmechanik Streuprozesse atomarer Teilchen oder Elementarteilchen. Es wird
angenommen, dass die zwei Massenpunkte in gegenseitiger Wechselwirkung aufeinander
Zentralkräfte ausüben (z.B. Gravitations- oder Coulombkräfte), die nur von den Relativkoordinaten
⃗r = ⃗r 2 −⃗r 1 oder auch von deren zeitlichen Ableitungen ˙⃗r 2 , ˙⃗r1 abhängen. Die
kinetischen Energien und die Bewegungsgleichungen der beiden Massen sind
E kin
1 = 1 2 m 1˙⃗r 2 1 und ⃗ F21 = +f(r)⃗r = m 1¨⃗r1 (42)
E kin
2 = 1 2 m 2˙⃗r 2 2 und ⃗ F12 = −f(r)⃗r = m 2¨⃗r2 (43)
Die Kraft ist anziehend, wenn f(r) > 0 ist und abstossend,
wenn f(r) < 0 gilt. Die Kraft kann durch ein Potential,
das nur von den Relativkoordinaten ⃗r = ⃗r 2 − ⃗r 1 abhängt
dargestellt werden ( Gl. (31) ⃗ F = −∇V od. Kap. 10) mit:
∂V (⃗r)
∂⃗r 1
=
∂V (⃗r) ∂(⃗r 2 − ⃗r 1 )
= −
∂(⃗r 2 − ⃗r 1 ) ∂⃗r 1
∂V (⃗r)
∂(⃗r 2 − ⃗r 1 ) , ∂V (⃗r)
=
∂⃗r 2
✻y
❍
m 1 ✇ ❍❍❍❍❍❍
✁ ✁✕ ❍❍❨ ⃗r
❍ ❣ S
⃗r ′ 1
✁ ✒ ❍ ❍❍❥ ❍❥
⃗r ′ 2 ✇
⃗r ✁ ✟✯ m 2
1
✁ ✁ ⃗R
✁ ⃗r 2
✁
✁
✟ ✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟ x ✲
∂V (⃗r) ∂(⃗r 2 − ⃗r 1 )
=
∂(⃗r 2 − ⃗r 1 ) ∂⃗r 2
∂V (⃗r)
∂(⃗r 2 − ⃗r 1 )
ist ⃗ F 12 = −
∂V (⃗r)
, ⃗
∂V (⃗r)
F21 = −
∂⃗r 1 ∂⃗r 2
und ⃗ F 12 = − ⃗ F 21 actio=reactio Kap.2.2.4
✉ ⃗F 12
m 1
m 2
F21 ⃗ ✐ ✉
Das System hat f = 6 Freiheitsgrade, z.B. 3 Komponenten für die Koordinate
⃗R = (m 1 ⃗r 1 + m 2 ⃗r 2 )/(m 1 + m 2 ) des Schwerpunktes S und 3 Komponenten für die Relativkoordinate
⃗r = ⃗r 2 −⃗r 1 . Die kinetische Energie und die Kräfte können nun nur mit den
Relativ- und Schwerpunktskoordinaten ⃗r und ⃗ R statt mit den Koordinaten ⃗r 1 , ⃗r 2
ausgedrückt werden:
m 2
⃗r 1 = R−⃗r ⃗ ,
m 1 + m 2
(44)
m 1
⃗r 2 = R ⃗ + ⃗r (45)
m 1 + m 2
mit der Summe ⃗ F12 + ⃗ F 21 = 0 = m 1¨⃗r1 + m 2¨⃗r2 folgt 49 ⇒ M ¨⃗ R = ˙⃗p = 0 mit
M = m 1 + m 2 Gesamtmasse und ⃗ R = m 1⃗r 1 + m 2 ⃗r 2
M
Schwerpunktskoordinate. Aus ˙⃗p = 0
folgt für den Gesamtimpuls ⃗p = m 1˙⃗r1 + m 2˙⃗r2 = konst. Multiplikation der Gleichungen
49 ⃗ R ist separiert, unabhängig von ⃗r.
58

(42) und (43) mit m 2 bzw. m 1 sowie Subtraktion und ⃗ F 12 + ⃗ F 21 = 0 ergibt
m 1 m 2 (¨⃗r 2 − ¨⃗r 1 )
} {{ }
¨⃗r
= m 1F12 ⃗ − m 2F21 ⃗ = (m 1 + m 2 ) ⃗F 12 ⇒ m 1 · m 2
} {{ } m 1 + m
} {{ 2
}
M
µ
¨⃗r = ⃗ F(⃗r) = µ¨⃗r (46)
Diese Gleichung hat die Form des Newtonschen Gesetzes mit der Relativkoordinate ⃗r der
beiden Körper mit der reduzierten Masse µ = m 1 · m 2
m 1 + m 2
(47)
des Systems. Die Lösung der Gleichung (46) beschreibt also das System in den Relativkoordinaten
⃗r. Mit den Gleichungen (44) und (45) können sie in die ursprünglichen Koordinaten
transformiert werden. Ist der Impuls des Schwerpunktes zeitlich konstant und
bewegt sich gleichförmig, kann er für die weitere Behandlung weggelassen werden 50 und
nur die von ⃗r abhängigen Terme der Bewegungsgleichung müssen gelöst werden. Natürlich
muss dabei die spezielle Form von f(r) bekannt sein. Diese Separation der Schwerpunktsund
Relativkoordinaten kann auch in der Quantenmechanik für die nichtrelativistische
Schrödingergleichung exakt gelöst werden, nicht jedoch für die relativistische Dirac Gleichung.
Mit der reduzierten Masse wird das Zweikörperproblem auf ein einfacheres Einkörperproblem
zurückgeführt. Mehrkörperprobleme mit mehr als zwei Massen können nur noch
iterativ näherungsweise mit z.B. S als Koordinatenursprung gelöst werden.
6.2 Konstanz des Drehimpulses
Mit der Gleichung (46) gilt
µ d2 ⃗r
dt 2 = ⃗ F(⃗r) = f(r) · ⃗r.
Da die Zentralkraft ⃗ F = f(r)⃗r in Richtung des Ortsvektors weist ( ⃗ F ‖ ⃗r), übt sie kein
Drehmoment auf den Massenpunkt aus:
⃗ M◦ = d⃗ L ◦
dt
= ⃗r × ⃗ F = 0.
Nach dem Drehimpulssatz folgt dann ohne äussere Kräfte ⃗ L ◦ = konst.
Bei einer Zentralbewegung ist der Drehimpuls konstant.
✡ ϕ ✉m ✲
d
✒ ⃗p =konst
⃗r
❝
Auch für eine gleichförmige Bewegung mit ⃗ F = 0 und ⃗ M ◦ = 0
gilt
d ⃗ L ◦
dt
= ⃗r × ⃗ F = 0 ⇒ ⃗ L ◦ = konst
Impuls und Drehimpuls sind erhalten.
Der Betrag ist | ⃗ L ◦ | = L ◦ = |⃗r × ⃗p| = r · mv · sin ϕ = d · m · v, er hängt von der Wahl des
Bezugspunktes ◦ ab, liegt er auf der Bahn, ist d = 0 und damit ist ⃗ L ◦ = 0.
⃗L ◦ ist also eine Konstante der Bewegung. Da ⃗ L ◦ nach Grösse und Richtung konstant
sein muss, ergeben sich zwei Konsequenzen.
50 Man wählt häufig als Anfangsbedingungen für die Schwerpunktskoordinate d ⃗ R/dt = 0 und ⃗ R = 0,
d.h. ein Inertialsystem, in dem der Schwerpunkt ruht.
59

⃗L ◦
✻
✏✶ ✉µ
❝✏ ✏✏ ⃗r
⃗r(t + dt)
✄ ✄✗
✟ ✟✟✟✟✟✟✯ dA
⃗ ✄ d⃗r
✲✄
⃗r(t)
Da ⃗ L ◦ = µ(⃗r × ⃗v) = µ⃗r × d⃗r/dt und ⃗r ⊥ ⃗ L ◦ nach Definition des
Vektorproduktes ist, kann sich ⃗r nur in einer Ebene senkrecht zu ⃗ L ◦
bewegen. Da aber ⃗ L ◦ raumfest ist, hat auch die Bewegungsebene (mit
2 Freiheitsgraden) eine feste Orientierung im Raum.
Die von ⃗r in der Zeit dt überstrichene infinitesimal kleine Dreiecksfläche
ist | dA ⃗ |= dA = 1 | ⃗r × d⃗r | da | ⃗r × d⃗r | die Fläche des
2
von ⃗r und d⃗r aufgespannten Parallelogramms darstellt.
dA1
Also folgt der Keplersche Flächensatz: | L ⃗ ◦ | = µ|⃗r × d⃗r dA
| = 2µ
dt dt
dA2
dA4
dA3
= konst. (48)
Die pro Zeiteinheit überstrichene Fläche ist konstant.
Bei der Zentralbewegung liegt der Ortsvektor
des Massenpunktes in einer raumfesten
Ebene und überstreicht in gleichen Zeiten
gleiche Flächen.
Bei der Herleitung des Flächensatzes ist allgemein eine Zentralkraft vorausgesetzt
worden und nicht speziell die Gravitationskraft, er gilt also für alle Zentralkräfte.
Obwohl wir die Bahnkurve des Massenpunktes auf Grund der Bewegungsgleichung aus
Gl. (46) für die Relativkoordinaten berechnen könnten, ist es leichter, durch Kombination
des Flächensatzes mit dem Energieerhaltungssatz (der ja für Zentralkräfte gültig ist) das
Problem zu lösen.
Der Energieerhaltungssatz lautet
wobei die potentielle Energie V durch
µ
2 v2 + V = E ◦ = konst.
∫r
V (r) = −
∞
f(r)r dr
gegeben ist, falls wir V (r → ∞) = 0 wählen. Da die Bahnkurve eben ist ( L ⃗ ◦ -Erhaltung),
drücken wir die Geschwindigkeit v durch ebene Polarkoordinaten (Gl. (6), S. 8) aus:
⎡
y
( ) 2 ( ) ⎤ 2
µ
✻
⎣ dr dϕ
+ r 2 ⎦ + V = E ◦ .
✏✶
2 dt dt
♣✏✏✏ ϕ
✉µ✲x
√ √√√ ( ) 2
dr
Daraus folgt
dt = 2
dϕ
µ (E ◦ − V ) − r 2 . Aus L ◦ = µ | ⃗r × ⃗v |= µr 2dϕ
dt
dt ,
wobei für |⃗r × ⃗v| nur die Komponente von ⃗v ⊥ ⃗r genommen werden muss mit v ϕ = r dϕ
dt
in Polarkoordinaten,
ergibt sich
dϕ
dt = L ◦
µr 2, (49) und somit
√ √√√
dr
dt = 2
µ (E ◦ − V ) −
( ) 2
L◦
. (50)
µr
Dividieren wir die Gleichungen (49) und (50), um t zu eliminieren, so erhalten wir
einen Zusammenhang zwischen r und ϕ mit ( dϕ dt
)( ) = dt dr (dϕ dt )/(dr)
= dϕ : dt dr
60

dϕ
dr =
L ◦
√
µr 2 2
(E µ ◦ − V ) − ( ) die Differentialgleichung der Bahnkurve. (51)
2
L ◦
µr
Für eine Berechnung von r(ϕ) muss die Funktion V (r) bekannt sein, z.B. V (r) = −Γ Mm
r
.
6.3 Planetenbewegungen
Wir werden jetzt Gleichung (51) für den Fall einer idealisierten Planetenbewegung lösen:
M und m seien die Massen der Sonne und eines Planeten.
✎☞ Die Verteilung der Massen in beiden Körpern sei kugelsymmetrisch 51 .
✍✌ m
✻
★✥ ⃗r
Die reduzierte Masse ist µ = mM
m + M .
M Die Bewegung dieses speziellen Planeten soll nicht durch die Anwesenheit
✧✦anderer Planeten gestört werden 52 .
Mit dem Gravitationspotential V (r) = −Γ mM r
Gleichung (51):
dϕ
dr =
µr 2 √
2
µ
L ◦
(
E◦ + ΓmM
r
für die potentielle Energie wird die
) ( ) , Dgl. der Bahnkurve.
2
−
L◦
µr
Wir führen 1/r = x als neue Variable ein, so dass dr = −dx/x 2 gilt und erhalten
dϕ =
−L ◦ /µ
√
dx =
2E ◦
+ 2ΓmM x − L2 ◦x µ µ µ 2 2
−L ◦ /µ
√
− ( ) 2
L ◦
µ
x − ΓmM
L ◦
+
2E ◦
+ ( ) dx
2
ΓmM
µ L ◦
=
−L ◦ /µ
√
2E ◦
+ ( ) 2 √
ΓmM −(L◦x/µ−ΓmM/L ◦) 2
µ L ◦
+ 1
2E◦
µ +(ΓmM L◦ )2
wenn wir nochmals eine neue Variable einführen: u =
dx oder dϕ = −du √
1 − u
2 , (52)
L ◦
µ
x − ΓmM
L √ ◦
2E ◦
+ ( ) .
2
ΓmM
µ L ◦
Integration von Gl. (52) liefert ϕ − ϕ ◦ = arccosu oder wenn wir ϕ ◦ = 0 setzen
cos(ϕ − ϕ ◦ ) = cosϕ = u. (53)
Kehren wir in Gl. (53) wieder zur ursprünglichen Variablen r zurück, dann erhält man
L ◦
µr = cos ϕ √ √√√
2E ◦
µ + ( ΓmM
L ◦
) 2
+ ΓmM
L ◦
. Daraus kann r berechnet werden,
51 Abweichungen von einer exakten Kugelsymmetrie z.B. von der Sonne und Erde führen zu r, ϑ, ϕ
abhängigen Korrekturen (Quadrupol-Terme).
52 In vielen Fällen ist m ≪ M und man kann für die reduzierte Masse µ ≃ m setzen. Sind jedoch
beide Massen gleich, wie in einigen Doppelsternsystemen oder beim Positronium dem e − e + -Atom, dann
rotieren beide Massen um ihren gemeinsamen Schwerpunkt; es ist dann µ = m/2.
61

a
F 2
e
r =
r'
L2 ◦
ΓmMµ ·
1
√ , die Bahnkurve des Planeten. (54)
1 + cosϕ 1 + 2E◦L2 ◦
Γ 2 µm 2 M 2
Mit den Abkürzungen p = L2 ◦
ΓmMµ ,
P
b
r
F 1
ϕ
erhalten wir aus Gl. (54) r =
√
ε = 1 + 2E ◦L 2 ◦
(55)
Γ 2 µm 2 M 2
p
1 + ε cos ϕ . (56)
Dies ist die Gleichung eines Kegelschnittes in Polarkoordinaten
(Polargleichung), wenn der eine Brennpunkt
der Pol ist, von dem aus r gemessen wird, und
ϕ von dem Scheitel aus gerechnet wird, der dem Pol
am nächsten liegt.
Mit der Definitionsgleichung der Ellipse folgt aus Gl. (56) r + r ′ = konst. = 2a und
aus dem Kosinussatz r ′2 = r 2 + 4e 2 + 4er cos ϕ. Indem man r ′ eliminiert, ergibt sich 53
r =
b 2 /a
1 + e/a cos ϕ
mit e 2 = a 2 − b 2
b 2 /a = p nennt man den Parameter oder Scheitelkrümmungsradius und e/a = ε die
numerische Exzentrizität der Ellipse und es gilt ε = √ a 2 − b 2 /a.
Die einzelnen Kegelschnitte werden durch die Werte von ε unterschieden. Aus Gl. (55)
folgt der zugehörige Wert der Gesamtenergie E ◦ . Wir erhalten folgenden Zusammenhang:
53 Mit etwas mehr Aufwand kann die Bahnkurve auch direkt aus der Bewegungsgleichung durch Integration
bestimmt werden.
m 1¨⃗r = ˙⃗p = −Γ
m 1 m 2
r 3 ⃗r multipliziert mit × ⃗ L und berücksichtigt das dreifache Vektorprodukt
und mit
˙⃗p × ⃗ L
} {{ }
= d dt (⃗p × ⃗ L)
= −Γ m 1m 2
r 3
⃗r × L
} {{ ⃗ = −Γ m 1m 2
} r 3 [⃗r · (⃗r · ⃗p) − ⃗p · r 2 ]
} {{ }
⃗r × (⃗r × ⃗p) ⃗r · (⃗r · m˙⃗r) − m˙⃗r · r 2
( )
d ⃗r
= ˙⃗r
dt r r + ⃗r d ( ) 1
√ = ˙⃗r · ˙⃗r
− ⃗r⃗r
dt ⃗r
2 r r 3 = 1 r 3 [˙⃗rr 2 − ⃗r · (⃗r · ˙⃗r)] für das Dreifachprodukt
⇒
d dt (⃗p × ⃗ L) = Γm 2 1m 2
d
dt
( ⃗r
r
)
⇒ ⃗p × ⃗ L = Γm 2 1m 2
⃗r
r + ⃗ C
⃗C ist als Integrationskonstante der Lenzsche Vektor, der in der festen Bewegungsebene liegt. Multipliziert
man die Gleichung mit ⃗r und setzt p = L 2 /Γm 2 1m 2 und ε = C/Γm 2 1m 2 , erhält man:
⃗r · (⃗p × ⃗ L) = ⃗ L · (⃗r × ⃗p) = ⃗ L · ⃗L = L 2 = Γm 2 1m 2 r
} {{ }
⃗r · ⃗r
r
= r2
r
+ ⃗r · ⃗C }{{}
rC cos ϕ
⇒ r =
p
1 + ε cos ϕ .
in Übereinstimmung die Fokaldarstellung der Kegelschnitte Gl. (56).
62

ε = e/a E ◦
( )
Kreis 0 − µ ΓmM 2
2 L ◦
Ellipse < 1 < 0
Parabel = 1 0
Hyperbel > 1 > 0
Wie auf Seite 51 entsprechen die Fälle
E ◦ ≥ 0 der ungebundenen Bewegung:
der Himmelskörper kann das Sonnensystem
verlassen.
Der Fall E ◦ < 0 entspricht der eigentlichen
gebundenen Planetenbewegung.
In der Atomphysik mit der Coulombkraft beschreibt klassisch und quantenmechanisch
E ◦ < 0 ein im Coulombfeld gebundenes Elektron und mit E ◦ > 0 ein am Atomkern
gestreutes freies Elektron.
Wir haben somit aus dem Gravitationsgesetz hergeleitet:
Das 1. Keplersche Gesetz
Die Planeten bewegen sich auf Ellipsen, in
deren einem Brennpunkt die Sonne steht.
Das 2. Keplersche Gesetz ist der schon mit Gl. (48) formulierte Flächensatz.
Das 3. Keplersche Gesetz besagt:
Die Quadrate der Umlaufszeiten der Planeten
verhalten sich zueinander wie die Kuben
der grossen Achsen ihrer Bahnellipsen.
Zum Beweis führen wir im Flächensatz
dA
dt = L ◦
2µ
Ist T die Umlaufszeit, so gilt
die Ellipsenfläche A = πab ein.
πab
T = L ◦
2µ
und deshalb T 2 =
( ) 2
2πabµ
= 4π2 a 2 µ 2 aL 2 ◦
L ◦ L 2 ◦ ΓmMµ = 4π2 µ
ΓmM a3 ,
wenn wir noch b auf Grund der Gl. (55) p = b2
a =
L2 ◦
ΓmMµ
eliminieren.
Johannes Kepler (1571-1630) leitete seine empirischen Gesetze aus den Daten von
Tycho Brahe (1546-1601) ab, bevor das Newtonsche Gravitationsgesetz bekannt war 54 .
Eine empirische Beschreibung gefolgt von einer Parametrisierung der Daten und erst
später eine Erklärung durch physikalische Gesetze ist eine gängige Methode in der Physik.
54 Es wird empfohlen, die ausgezeichnete Geschichte der Astronomie “Die Nachtwandler” von Arthur
Köstler, die eine Biographie von Kepler enthält, zu lesen.
63

7 Der lineare harmonische Oszillator
Auf Seite 33 haben wir das mathematische Pendel als Beispiel für ein schwingungsfähiges
System kennengelernt. Der Auslenkwinkel ϕ des Pendels schwingt harmonisch um einen
Gleichgewichtswert ϕ = 0. Schwingungen ähnlicher Art treten in vielen Bereichen der
Physik auf und sind von grundlegender Bedeutung für das Verhalten der Materie. Zum
Beispiel führen Atome und Moleküle im Festkörper um eine Gleichgewichtslage Schwingungen
aus, die in erster Näherung als harmonisch angesehen werden können. Wir werden
deshalb jetzt die Dynamik solcher harmonischer Oszillatoren genau untersuchen und als
Modellsystem eine lineare Feder wählen.
7.1 Der ungedämpfte Oszillator
Ein Massenpunkt m wird an einer masselos gedachten Feder befestigt. Wir interessieren
uns für die Bewegung längs der Federachse. In der Vertikalen sei stets mg = N. Wir legen
also die x-Achse in Richtung der Federachse mit dem Freiheitsgrad f = 1 und wählen
x = 0 als die Gleichgewichtslage. Wir wollen alle Reibungskräfte vernachlässigen und
annehmen, in x-Richtung werde nur von der Feder die Federkraft F = F(x) ausgeübt.
Diese Bewegung kann z.B. mit einem Luftkissenfahrzeug realisiert werden.
Die Bewegungsgleichung ist m d2 x
∼∼∼∼∼ k/2 ∼∼∼∼∼ k/2
✛
✻ ⃗N
dt = F(x) 2
Wie hängt die Federkraft F(x) reversibel von der Auslenkung
ab? Da F(x → 0) = 0 gelten soll, entwickeln wir F(x)
⃗F ❄⃗G
✲x
für kleine x in eine Taylor-Reihe um den Nullpunkt:
( ) dF
F(x) = F(0) + x + 1 ( d 2 )
F
x 2 + ... = F(0) +
} {{ } dx 2 dx
x=0 2 } {{ }
x=0
=0
=0
∞∑
n=1
( d n )
F
dx n
Wir nennen die Feder linear, wenn der quadratische und alle höheren Terme genügend
klein sind, so dass F(x) =
x=0
x n
n! .
( ) dF
x = −kx mit (k > 0) geschrieben werden kann.
dx
x=0
Zur Abkürzung haben wir die Federkonstante k = k/2 + k/2 eingeführt (siehe Figur).
Wenn die Gleichgewichtslage stabil sein soll, muss bei einer Auslenkung die Kraft F in
Richtung Gleichgewichtslage zeigen, also
( ) dF
< 0
dx
x=0
gelten. Offenbar lässt sich dieser lineare Ansatz F(x) = −kx bei allen Kräften anwenden,
die von einem Abstand abhängen, wenn man sich auf kleine Auslenkungen aus der
Gleichgewichtslage beschränkt. Für eine mechanische Feder ist die Linearität mit x in
guter Näherung erfüllt. Die Bewegungsgleichung für m lautet dann
m d2 x
d
= −kx oder
dt2 2 x
dt 2 = − k m x (57)
und ist somit formal identisch mit der Gleichung
d 2 ϕ
dt 2 = −g l ϕ
64

für das mathematische Pendel bei kleinen Auslenkungen ϕ (Kap. 3.6.2). Gleichung (57)
kann also für alle x durch den harmonischen Ansatz
x(t) = A cos(ω ◦ t − δ) mit der Kreisfrequenz ω ◦ =
√k/m = 2πν ◦ = 2π
T
(58)
gelöst werden. ν ◦ ist die Frequenz und T die Schwingungsdauer der harmonischen Schwingung.
Amplitude A und Phasenkonstante δ sind wie beim Pendel durch die
x
T
Anfangsbedingungen z.B.
( ) dx
A
x(t = 0) = x ◦ , = v ◦ festgelegt.
dt
t=0
t
√
δ
( ) v◦ 2, v
ωο
Man erhält A = x 2 ◦
◦ + tanδ = .
ω ◦ x ◦ ω ◦
Im Hinblick auf eine mathematisch vereinfachende Behandlung [vgl. Kap.7.2 Gl.(62),
Kap.7.4 Gl.(76) und Anhang C.1.2] wollen wir uns überzeugen, dass die Gleichung (57)
auch mit einer Exponentialfunktion
z = x + iy = C e iωt = C(cosωt + i sin ωt) (59)
gelöst werden kann, in der z eine komplexe Grösse ist. Selbstverständlich ist die gemessene
Auslenkung des Oszillators eine reelle Grösse nämlich der Realteil von z:
R(z) = R(Ce iωt ) = x.
Der Imaginärteil I(z) = y ist nur eine mathematische Hilfsgrösse, die hier ohne physikalische
Bedeutung ist und nur der einfacheren komplexen Schreibweise von z dient. Wir
setzen den Ansatz Gl. (59) in Gl. (57) ein und erhalten:
−ω 2 Ce iωt = − k √
m Ceiωt oder ω = ± k/m = ±ω ◦ .
Es gibt also zwei Lösungen: z 1 = C 1 e iω◦t und z 2 = C 2 e −iω◦t .
Da die Gleichung (57) linear ist, ist ihre allgemeine Lösung die Linearkombination
z = z 1 + z 2 = C 1 e iω◦t + C 2 e −iω◦t (60)
mit den beiden Integrationskonstanten C 1 und C 2 . Diese werden durch die
Anfangsbedingungen festgelegt, für welche wir wieder x(t = 0) = x ◦ ,
( ) dx
= v ◦
dt
t=0
wählen. Die Grössen C 1 und C 2 sind jetzt allerdings komplex! Einsetzen in Gl. (60) ergibt
C 1 + C 2 = x ◦ und iω ◦ C 1 − iω ◦ C 2 = v ◦ . Daraus berechnet man 55
C 1 = 1 2
(
x ◦ − i v ◦
ω ◦
)
und als komplexe Lösung von Gl. (57) z = 1 2
und C 2 = 1 2
(
x ◦ + i v ◦
ω ◦
)
= C ∗ 1
{(
x ◦ − i v ◦
ω ◦
)
e iω◦t +
55 C ∗ 1 = a − ib ist das konjugiert komplexe von C 1 = a + ib [Anhang C.1.2].
(
x ◦ + i v ◦
ω ◦
)
e −iω◦t }
=
65

= 1 {
(
x ◦ e
iω ◦t + e −iω◦t) −i v }
(
◦ e
iω ◦t − e −iω◦t) = x ◦ cosω ◦ t + v ◦
sin ω ◦ t.
2 } {{ } ω ◦ } {{ }
ω ◦
2 cos ω ◦t
2i sin ω ◦t
Dieser jetzt reelle Ausdruck stimmt mit dem Lösungsansatz
x = A cos(ω ◦ t − δ) = A[cos δ cos ω ◦ t + sinδ sin ω ◦ t] überein,
wenn man berücksichtigt, dass gilt x ◦ = A cos δ und
Beide Lösungswege führen, wie es auch sein muss, zum gleichen Ergebnis.
7.2 Der gedämpfte Oszillator
v ◦
ω ◦
= A sin δ.
Wir passen die Bewegungsgleichung unseres Oszillators etwas mehr der Wirklichkeit an,
indem wir noch eine geschwindigkeitsabhängige, viskose Reibungskraft −βdx/dt berücksichtigen
(siehe Seite 23 und Kapitel 3.5). Die Bewegungsgleichung heisst dann
m d2 x
= −kx − βdx
dt2 dt
∼∼∼∼∼ k/2 ⃗F
∼∼∼∼∼ k/2
✻ ⃗N
. (61)
✛
Diese Gleichung kann nicht einfach integriert werden. Die
⃗R ❄ Lösung muss die Eigenschaft haben, dass ihre zweite Ableitung
sowohl der ersten Ableitung wie auch der Funktion
⃗G
✲x
selbst proportional ist.
Wir setzen deshalb eine komplexe Exponentialfunktion als Lösung an:
z = C e rt , (62)
wobei r jetzt einen Real- und einen Imaginärteil hat. Einsetzen von Gl. (62) in Gl. (61),
die zu allen Zeiten erfüllt sein muss, ergibt
mCr 2 e rt = −kC e rt − βCr e rt und mit ω 2 ◦ = k m folgt r2 + β m r + ω2 ◦ = 0, (63)
die charakter. Gleichung (63) hat 2 Lösungen: r 1,2 = − β
2m ± √
β
2
4m 2 − ω2 ◦. (64)
Mit den Abkürzungen
β
2m = 1 √
τ ; und ω◦ 2 − β2
4m = ω, wird r 2 1,2 = − 1 τ
± iω. (65)
Die Bewegungsgleichung hat die beiden Lösungen z 1 = C 1 e r 1t und z 2 = C 2 e r 2t , die beide
für sich Gleichung (61) befriedigen. Da Gl. (61) linear ist, ist ihre allgemeine Lösung
wieder eine Linearkombination von z 1 und z 2 :
z = z 1 + z 2 = C 1 e r 1t + C 2 e r 2t . (66)
Die Integrationskonstanten C 1 und C 2 werden mit Gl. (66) (wie im vorigen Abschnitt)
durch die Anfangsbedingungen festgelegt:
( ) dx
x(t = 0) = x ◦ und = v ◦ ⇒ x ◦ = C 1 + C 2 und v ◦ = C 1 r 1 + C 2 r 2 ,
dt
t=0
⇒ C 1 = v ◦ − x ◦ r 2
r 1 − r 2
und C 2 = − v ◦ − x ◦ r 1
r 1 − r 2
66

Damit ist als Lösung der Gl. (66): z = v ◦ − x ◦ r 2
e (− 1 τ +iω)t − v ◦ − x ◦ r 1
e (− 1 τ −iω)t oder
r 1 − r 2 r 1 − r 2
{
mit Gl. (65) r 1 −r 2 = 2iω : z = e − t v◦ − x ◦ (− 1 − iω)
τ
τ
e iωt − v ◦ − x ◦ (− 1 + iω) }
τ
e −iωt
2iω
2iω
mit
= 1 2 e− t τ
{[
und schliesslich
B = x ◦ − i v ◦ + x◦
τ
ω
x ◦ − i v ◦ + x◦
τ
ω
]
e iωt +
[
z(t) = 1 2 e− t τ
und ω =
√
x ◦ + i v ◦ + x◦
τ
ω
]
e −iωt }
{
B e iωt + B ∗ e −iωt} (67)
ω 2 ◦ − β2
4m 2
sowie
1
τ = β
2m .
Die Faktoren B und B ∗ sind zueinander konjugiert komplex (2 Integrationskonstanten).
Bei der physikalischen Interpretation dieses Ergebnisses sind je nach Grösse der Reibungskonstanten
β drei Fälle zu unterscheiden:
1. Fall:
2. Fall:
3. Fall:
β 2
4m 2 < ω 2 ◦, d.h. ω ist reell, schwache Dämpfung,
β 2
> ω
4m ◦, 2 d.h. ω ist imaginär, starke Dämpfung,
2
β 2
= ω
4m ◦, 2 ω = 0 kritische Dämpfung.
2
7.2.1 1. Fall: schwache Dämpfung
Wir schreiben die komplexen Amplituden B und B ∗ in Gleichung (67) in der Form
R: Realteil
B = A e iδ und B ∗ = A e −iδ ,
(
I: Imaginärteil
I ✻
so dass A 2 = x 2 v◦ + x◦
τ
◦ +
ω
Dann erhalten wir als Lösung
A
✑ ✑✑✑✑✑✑♣ δ ✲ z(t) = A [ 2 e−t/τ e i(ωt+δ) + e −i(ωt+δ)] = A e −t/τ cos(ωt + δ)
R
⎛ √
z(t) = A e −βt/2m cos ⎝t ·
) 2
und cos δ = x ◦
A . (68)
oder
ω 2 ◦ − β2
4m 2 + δ ⎞
⎠ . (69)
Diese Gleichung ähnelt der Schwingungsgleichung des ungedämpften Oszillators β → 0.
x(t)
Ae -t/τ
-Ae -t/τ
x(t=0)=xo
v(t=0)=0
t
Mit β > 0 nimmt die Amplitude mit der Zeit exponentiell
ab. Obwohl nur im Falle einer reinen sin- oder
cos-Funktion von einer definierten Frequenz gesprochen
werden kann, nennt man doch ω die Kreisfrequenz
dieser gedämpften Schwingung. ω ist kleiner
als die Frequenz ω ◦ des ungedämpften Oszillators.
Die Nullstellen von x(t) haben gleiche Abstände
T = 2π/ω, jedoch liegen die Extrema nicht mehr wie
bei der ungedämpften Schwingung in der Mitte zwischen
diesen Nullstellen.
67

Man überzeuge sich, dass man aus Gl. (69) mit den Ausdrücken Gl. (68) für die
Integrationskonstanten A und δ wieder die Anfangswerte
7.2.2 2. Fall: starke Dämpfung
x(t = 0) = x ◦ und v(t = 0) = v ◦ erhält.
ω ist jetzt imaginär. Wir setzen deshalb ω = iω ′ mit ω ′ = reell
√
β
ω ′ 2
=
4m − 2 ω2 ◦ und erhalten aus Gl. (67) die Lösung
x(t) = 1 2 e−t/τ { B e −ω′t + B ∗ e ω′ t } , B = x ◦ − v ◦ + x ◦ /τ
ω ′ ,B ∗ = x ◦ + v ◦ + x ◦ /τ
ω ′ (70)
Wie die Exponentialfunktionen sind auch die Amplituden B und B ∗ reell geworden. Die
Bewegung ist nicht mehr periodisch. Sowohl
x(t)
~ e -r 1 t x(t=0)=0
v(t=0)=vo
t
~ - e -r 2 t
r2 > r1 , e -r 2 t stirbt schneller aus
e −(ω′ +1/τ)t = e −r 2t
wie auch
e ( ω′ −1/τ)t = e −r 1t
nehmen mit der Zeit ab, da ja 1/τ > ω ′ ist. Für den
Spezialfall x(t = 0) = x ◦ = 0, v(t = 0) = v ◦ erhalten
wir B = −v ◦ /ω ′ , B ∗ = v ◦ /ω ′ und folglich
x(t) = v ◦
2ω ′ {
e
(ω ′ −1/τ)t − e −(ω′ +1/τ)t } = v ◦
2ω ′ {
e
−r 1 t − e −r 2t } .
Mit r 2 > r 1 wird e −r 2t schneller gedämpft.
7.2.3 3. Fall: kritische Dämpfung
die allgemeine Lösung Gl. (67) kann für ω = ω◦ 2 − β2
4m = 0 2
nur einen Sinn haben, wenn wir zunächst in den Faktoren B und B ∗ den Grenzübergang
ω → 0 ausführen. Wir fassen deswegen die ω enthaltenden Terme zweckmässiger
zusammen:
z = 1 (
{x
2 e−t/τ ◦ e iωt + e −iωt) (
− i v ◦ + x )
◦ e iωt − e −iωt }
.
τ ω
Mit der Definition des Differentialquotienten gilt dann
lim
ω→0
e iωt − e −iωt
ω
√
[ e iωt − e ◦
= lim + e◦ − e −iωt ]
ω→0 ω ω
[ e iωt − e ◦
= lim + e−iωt − e ◦ ] [ ] d e
iωt
= 2 = 2 [ it e iωt]
ω→0 ω −ω dω
= 2it.
ω=0
ω=0
Damit erhalten wir lim z(t) = 1 { (
ω→0 2 e−t/τ 2x ◦ − i v ◦ + x ) }
◦
2it
τ
(
nur reell und damit x(t) = e
{x −t/τ ◦ + v ◦ + x ) }
◦
t .
τ
68

Auch hier ergeben sich zwei einander überlagerte Lösungen, wie es für eine lineare Differentialgleichung
2. Ordnung der Fall sein muss 56 .
Wie im Falle der starken Dämpfung ist auch diese Bewegung nicht periodisch; sie stellt
den Übergang von der periodischen zur nicht-periodischen Bewegung dar. Deshalb nennt
man den Fall der kritischen Dämpfung (ω◦ 2 = β 2 /4m 2 ) auch den aperiodischen Grenzfall.
Dieser Fall spielt eine grosse Rolle beim Bau von Messinstrumenten, deren wesentliche
Teile in vielen Fällen (z.B. beim Galvanometer) gedämpfte, schwingungsfähige Systeme
sind, deren Auslenkung aus der Ruhelage zur gewünschten Anzeige führt. Wie schnell
kehrt der Oszillator in die Ruhelage zurück? Mit der Anfangsbedingung x ◦ ≠ 0 und
v ◦ = 0 erhalten wir
1.0
x(t)
x(t=0)=xo
v(t=0)=0
(
x(t) = e −t/τ x ◦ + x )
◦t
= x ◦ e −t/τ (1 + t τ
τ ).
xoe -t/τ
0.5
(xot/τ) e -t/τ
0.0
0 2 4
t
Hier dominiert der zweite Term x ◦ e −t/τ t/τ für Zeiten
t ≫ τ. Der Oszillator kehrt schneller in die Ruhelage
x = 0 zurück als der stark gedämpfte und
schwingt nicht über die Ruhelage hinaus wie der
schwach gedämpfte.
7.3 Energie des schwach gedämpften Oszillators
Die totale mechanische Energie E = T + V des schwingungsfähigen Systems muss mit
der Zeit abnehmen, da die Reibungskraft −βv ständig Wärme erzeugt. Wir werden die
Zeitabhängigkeit E(t) für den schwach gedämpften Oszillator berechnen, also für
x(t) = A e −t/τ cos(ωt − δ). Nach dem Energiesatz T 2 − T 1 = W 1→2 (71)
führt die von der Federkraft und der Reibungskraft geleistete Arbeit W 1→2 zu einer Änderung
T 2 −T 1 der kinetischen Energie des Oszillators. Wir berechnen zunächst diese beiden
Arbeiten.
56 Im aperiodischen Grenzfall ist in Gl. (64) der Term unter der Wurzel null, d.h. ω 2 ◦ = β2
4m 2 und es geht
formal eine Integrationskonstante verloren.
Mit der Methode der Variation der Konstanten C = C(t) macht man den Ansatz x = C(t)e rt und
erhält damit für die Differentialgleichung (61) mit r = −β/2m = −1/τ und ω 2 ◦ = r 2
ẍ + β mẋ + ω2 ◦x = 0 = ẍ − 2rẋ + r 2 x und ẋ = Ċ ert + Cr e rt , ẍ = ¨C e rt + 2Ċr ert + Cr 2 e rt .
einsetzen in die Dgl. ergibt
¨C e rt + 2Ċr ert + Cr 2 e rt − 2rĊ ert − 2r 2 C e rt + r 2 C e rt = 0 = ¨C e rt
und für die Funktion C(t) für alle t: ¨C = 0 ⇒ Ċ = C 1 und C = C 1 t + C 2 .
Damit ist die vollständige Lösung
x = (C 1 t + C 2 )e rt = (C 1 t + C 2 )e − β
2m t
in Übereinstimmung mit der obigen etwas komplizierteren Rechnung, wenn die Anfangsbedingungen die
beiden Integrationskonstanten festlegen; z.B. sind mit x(t = 0) = x ◦ , ẋ(t = 0) = v ◦ die Integrationskonstanten
C 2 = x ◦ und C 1 = v ◦ − x ◦ r und damit x(t) = [(v ◦ − x ◦ r)t + x ◦ ]e −rt .
Die Methode der Variation der Konstanten führt zu einer neuen Differentialgleichung, die, wenn man
Glück hat, eine bekannte Lösung besitzt oder die gelöst werden kann.
69

Da die Federkraft eine Zentralkraft ist, kann ihr eine potentielle Energie zugeordnet
werden:
∫ ⃗r 2
V (⃗r 2 ) − V (⃗r 1 ) = − (−k⃗r)d⃗r = +k
⃗r 1
∫x 2
x 1
xdx = k 2 (x2 2 − x 2 1).
Wählen wir als x 1 die Ruhelage x = 0 und setzen V (x 1 ) = 0, so wird
die potentielle Energie der linearen Feder V (x) = k 2 x2 .
Für die geschwindigkeitsabhängige, nicht-konservative Reibungskraft kann keine potentielle
Energie berechnet werden. Die von ihr geleistete Arbeit ist
W R =
∫2
1
∫
(−βv)dx = −β v 2 dt.
Gleichung (71) lässt sich jetzt in der Form
T 2 + V 2 − (T 1 + V 1 ) = E 2 − E 1 = W R schreiben. (72)
Die Geschwindigkeit des Massenpunktes ist mit x(t) = A e −t/τ cos(ωt − δ)
v = dx
dt = −1 τ A e−t/τ cos(ωt − δ) + A e −t/τ (−ω) sin(ωt − δ)
= −A e −t/τ [
ω sin(ωt − δ) + 1 τ cos(ωt − δ) ]
.
Ist die Dämpfung sehr schwach, also 1/τ ≪ ω, so kann der zweite Term in der eckigen
Klammer vernachlässigt werden, und als kinetische Energie ergibt sich
Für die totale Energie folgt dann
T = m 2 v2 ≃ 1 2 mA2 · e −2t/τ (ω) 2 sin 2 (ωt − δ).
E = T + V = 1 2 mv2 + 1 2 kx2 ≃ 1 2 mA2 e −2t/τ (ω) 2 sin 2 (ωt − δ) + 1 2 kA2 e −2t/τ cos 2 (ωt − δ).
Da wir 1/τ ≪ ω angenommen haben, vereinfachen wir den letzen Ausdruck, indem wir
den Faktor (ω) 2 durch ω 2 ◦ = k/m ersetzen.
E ≃ 1 2 A2 e −2t/τ [ mω 2 ◦ sin 2 (ωt − δ) + k cos 2 (ωt − δ) ] = 1 2 kA2 e −2t/τ . (73)
Die totale mechanische Energie nimmt also exponentiell mit der Zeit ab. Nach Gl. (72)
ist diese Abnahme gleich der von der Reibung geleisteten Arbeit W R (vgl. ψ 2 in QM).
Den Grad der Dämpfung eines Oszillators beschreibt man durch den Güte- oder Q-
Faktor, der durch den folgenden Quotienten definiert ist:
Im Oszillator gespeicherte Energie E
Q = .
Energieverlust ∆E pro Radiant
Ist T die Schwingungsdauer des Oszillators, so wird für 1 Radiant die Zeit T/2π = 1/ω
gebraucht. Nach Gl. (73) ist die zeitliche Änderung der Energie
dE
dt = −k τ A2 e −2t/τ = − 2 E. Pro Radiant wird die Energie
τ ∆E
abgegeben, also wird der Gütefaktor
= +2 τ E 1 ω ≃ 2E
τω ◦
Q = E
∆E = τω ◦
2 = mω ◦
β .
Je kleiner die Reibungskonstante β, desto grösser der Gütefaktor (z.B. Pendel 10 2 , Quarz
10 4 , Laser 10 9 ).
70

7.4 Erzwungene Schwingungen und Resonanz
Bei den bisherigen Betrachtungen wurden die Anfangsbedingungen x ◦ und v ◦ zur Zeit
t = 0 gewählt und dann das System sich selbst überlassen. In vielen Fällen werden schwingungsfähige
Systeme jedoch ständig von aussen beeinflusst. Welche Bewegung resultiert?
Wir nehmen an, dass die äussere Kraft von der Form F = F ◦ cos ωt ist, wobei ω eine
beliebige Kreisfrequenz ist. Eine beliebige, aber periodische
Kraft kann nach dem Fourier-Theorem in sin- und
⃗F = −kx ✻
⃗N F◦ ⃗ cos ωt
∼∼∼∼∼ ✛ ✲
✛
cos-Terme zerlegt werden, so dass wir mit dem Ansatz
k ⃗R ❄⃗G
F = F ◦ cosωt die Grundlage für den allgemeinen Fall erarbeiten.
Die Bewegungsgleichung unseres Oszillators mit
✲x
R = −β · v lautet jetzt m d2 x
= −kx − βdx
dt2 dt + F ◦ cos ωt. (74)
Dies ist eine lineare, inhomogene Differentialgleichung, deren Lösung auf Grund der Betrachtungen
in Kapitel 3.5 von der Form x inh. = x hom. + x part. ist.
Die homogene Lösung erhalten wir, wenn wir in Gl. (74) die äussere Kraft F ◦ cos ωt streichen.
Es resultiert die in Kapitel 7.2 behandelte Differentialgleichung des freien Oszillators,
dessen Bewegung für grosse Zeiten ausstirbt. Somit bleibt die partikuläre Lösung x part. ,
die man beobachtet, wenn man nach Einschalten der Störung genügend lange wartet. Wir
interessieren uns nun für diese stationäre Lösung.
Um x part. zu erhalten, schreiben wir analog zu den Betrachtungen in Kapitel 7.1 die
Bewegungsgleichung mit der komplexen Variablen z:
m d2 z
= −kz − βdz
dt2 dt + F ◦ e iωt (75)
und verstehen unter R(z) die gesuchte reelle Lösung x part. . Offenbar muss z(t) wie
e iωt variieren, wir versuchen also den Lösungsansatz z(t) = C e iωt . (76)
Einsetzen in Gl. (75) ergibt
− ω 2 Cm e iωt = −kC e iωt − iβωC e iωt + F ◦ e iωt
und für C die Beziehung C =
F ◦
m ( ω 2 ◦ − ω 2 + i βω m
), (77)
wenn wir wieder ω◦ 2 = k/m beachten. Die komplexe Lösung Gl. (76) lautet also
( )
F ◦ e iωt
z(t) =
m ( ) = F ◦ ω
2
ω◦ 2 − ω 2 + i βω m ·
◦ − ω 2 − i βω m
[
m (ω◦ 2 − ω 2 ) 2 + ( ) ]
βω 2
(cos ωt + i sin ωt).
m
Daraus folgt als reelle Koordinate x(t) = R[z(t)] = F ◦ (ω◦ 2 − ω2 ) cos ωt + βω sin ωt
[
m
m
(ω◦ 2 − ω 2 ) 2 + ( ) ]
βω 2
.
m
Dies kann auch in der Form x(t) = A(ω) cos(ωt − δ) = A(ω)(cosωt cosδ + sin ωt sin δ)
geschrieben werden. Aus dem Vergleich beider Ausdrücke erhält man dann A und δ und
somit das folgende Ergebnis für die stationäre Lösung (vgl. Anhang C.1.1):
x(t) = A cos(ωt − δ), A =
F ◦
√
m (ω◦ 2 − ω 2 ) 2 + ( ) , tanδ =
βω 2
m
βω
m (ω 2 ◦ − ω 2 )
(78)
71

Sowohl die Amplitude wie auch die Phasenkonstante der stationären, erzwungenen
Schwingung hängen von β, ω ◦ und ω ab. Wir werden zunächst A diskutieren.
Für gegebene Werte von β und ω ◦ ist A eine Funktion von ω. A strebt gegen Null für
ω → ∞, erreicht einen endlichen Wert F ◦ /mω◦ 2 bei ω = 0 und hat ein Maximum bei der
Frequenz ω = ω R . Diese Erscheinung nennen wir Resonanz:
unter dem Einfluss einer periodischen
A(ω) 3
Störung erreicht die Amplitude eines schwingungsfähigen
Systems sehr hohe Werte.
Fo
ωo 2 m
2
1
∆ω
A max
β klein
1
A
2 max
β groβ
0 ωR ωο 2 4 ω
Die Resonanzfrequenz ω R bestimmt man aus
der Bedingung dA = 0, dass der Nenner von
dω
A minimal werden muss:
ω R =
√
ω◦ 2 − β2
2m2. (79)
Ein sehr schwach gedämpftes System (β 2 /2m 2 ≪ ω◦) 2 schwingt bei Resonanz praktisch
mit der Frequenz ω ◦ , also der Eigenfrequenz des ungedämpften Oszillators, es ist jedoch
immer ω R < ω ◦ . Die Resonanzamplitude A max erhält man, indem Gl. (79) in Gl. (78)
eingesetzt wird:
A max =
F ◦
√ ≃ F ◦
(80)
β ω◦ 2 − β2 βω ◦
4m 2
Die maximale Amplitude hängt also von der Eigenfrequenz des gedämpften Oszillators ab.
Der Resonanzeffekt ist umso schwächer, je stärker das System gedämpft ist (grosse Werte
von β).
Neben dem Maximalwert ist die Breite ∆ω (siehe Figur) eine charakteristische Grösse
der Resonanzkurve A(ω). ∆ω wird als die volle Breite der Kurve bei halbem Maximalwert
definiert. Setzen wir
ω1
2
= ω R + ∆ω
2 , es soll also ) = A max
A(ω1
2 2
:
Mit Gl. (80) und Gl. (78) erhalten wir als Bestimmungsgleichung für ω1
2
sein.
oder
2β
F ◦
√
ω 2 ◦ − β2
4m 2 =
( 2β
m
) 2 (
m
√ (
ω 2 ◦ − ω 2 1
2
ω 2 ◦ − β2
4m 2 )
F ◦
) 2 ( βω12
) 2
+
= ( ω 2 ◦ − ω 2 1
2
m
) 2
+
( βω1
2
m
) 2
. (81)
Wir wollen ∆ω explizit für schwache Dämpfung berechnen, so dass wir in Gl. (81) die
Näherungen
( βω1
2
m
) 2
≃
( ) 2
βω◦
und ω◦ 2 − ω 2 1
m
2
= ( ω ◦ + ω1
2
) (
ω◦ − ω1
2
) ( ) −∆ω
≃ 2ω◦ = −ω ◦ ∆ω
2
einführen dürfen. Dann folgt aus Gl. (81) ω 2 ◦ (∆ω) 2 = 3β2 ω 2 ◦
m 2
− β4
m 4.
72

Wenn wir den sehr kleinen Term β 4 /m 4 vernachlässigen, erhalten wir die Näherungsformel
für die Resonanzbreite
√
3β
∆ω ≃
m = 2√ 3
(82)
τ
Bei abnehmender Dämpfungskonstante β wird die Resonanzkurve schmaler und höher,
es ist
A max ∆ω ≃ √ 3 F ◦
mω ◦
≃ √ 3 F ◦
√
mk
= konst.
Bei kleinem β ist der Frequenzbereich, in welchem das System auf die äussere Störung
nennenswert anspricht, sehr schmal.
Diese Frequenz-Selektivität des Oszillators ist eng verknüpft mit dem in Kapitel 7.3
eingeführten Q-Faktor. Für den schwach gedämpften Oszillator hatten wir das Ergebnis
Q = mω ◦
β
erhalten. Mit der Beziehung Gl. (82) ergibt sich dann
Q = √ 3 ω ◦
∆ω .
Grosse Q-Werte entsprechen also einer hohen Frequenzselektivität. Dieser Zusammenhang
spielt eine Rolle bei der Stabilisierung schwingungsfähiger Systeme (Quarzuhr, Atomuhr).
Abweichungen von der Sollfrequenz können umso besser korrigiert werden, je schmaler die
Resonanzkurve, je höher der Q-Wert ist.
Die Phasenverschiebung δ [Gl. (78)] zwischen der äusseren Kraft und der stationären
Schwingung hängt wie A ebenfalls stark von β,
δ
ω
π
◦ und ω ab. Kraft und Erregung sind nahezu in
β klein
Phase (δ klein) für niedrige ω. Für ω → ∞ sind
beide um π phasenverschoben, die äussere Kraft
π
wirkt bremsend. Für ω = ω ◦ , also in der Nähe
β
2
groβ
der Resonanzfrequenz, beträgt die Verschiebung
π/2, die äussere Kraft schaukelt das System auf
zu maximalen Schwingungsamplituden. Je kleiner
β ist, umso abrupter erfolgt der Übergang
0 ω ο 2 ω
von kleiner zu grosser Phasenverschiebung.
7.4.1 Vollständige Lösung der erzwungenen Schwingung †
Wie zu Beginn des Kapitels 7.4 angegeben, ist die vollständige Lösung der inhomogenen
Differentialgleichung der erzwungenen Schwingung x inh. = x hom. + x part. .
Die partikuläre, stationäre Lösung x part. Gl. (78) ist unabhängig von den Anfangsbedingungen,
da die Eigenfrequenz ω ◦ nach langen Zeiten t ausgestorben ist. Die beiden
Integrationskonstanten A h und δ h der homogenen Lösung [z.B. Gl. (69) für den schwach
gedämpften Oszillator] müssen aus den Anfangsbedingungen der vollständigen Lösung
bestimmt werden. Mit z.B. x(t = 0) = 0 und v(t = 0) = 0 gilt dann für die schwache
Dämpfung
mit τ = 2m β , ω2 ◦ = k m , A p =
√
x(t) = A h e −t/τ cos(t ω◦ 2 − (1/τ) 2 − δ h ) + A p cos(ωt − δ) (83)
F ◦
√
m (ω◦ 2 − ω 2 ) 2 + (2ω/τ) 2, tan δ = 2ω
τ(ω◦ 2 − ω 2 )
73

und mit Gl. (83) ist
0 = A h cos(δ h ) + A p cos δ, 0 = −A h
1
τ cosδ h + A h
√
ω 2 ◦ − (1/τ) 2 sin δ h + A p ω sin δ
und damit A h = −A p
cos δ
cos δ h
,
tanδ h = β
2m
[ ]
1 + 2ω2 √
/ ω
ω◦ 2 − ω 2 2 ◦ − (1/τ) 2
Drei Beispiele mit ω ≪ ω ◦ , ω = ω ◦ und ω ≫ ω ◦ sind in den Figuren dargestellt.
Mit starker Dämpfung sowie für die kritische Dämpfung müssen die Integrationskonstanten
analog aus den Anfangsbedingungen festgelegt werden.
2 x(t) ω = 0.15 ω ο ,
1
1/τ=0.1
40 x(t)
ω=ω ο
1/τ=0.015
0.2
x(t)
ω = 3 ω ο ,
1/τ=0.1
0
0
0.0
-1
-2
0 50 100
t
-40
0 100 200 300
t
-0.2
0 50 100
t
7.4.2 Energiebilanz bei erzwungener Schwingung und Resonanz †
[vgl. Brandt, Dahmen S.282] Die Bewegungsgleichung der erzwungenen Schwingung mit
Reibung β⃗v sowie ω 2 ◦ = k/m und der potentiellen Energie der Feder V = 1 2 kx2 = ∫ x
0 kxdx
ist
d 2 x
dt + β dx
2 m dt + ω2 ◦x − F(t)
m = 0
∣ ∣∣ · dx
dt m
⎛
d
⎝ m
dt 2
m dx d 2 x
+β
} dt {{ dt 2 }
( ) ⎞ 2
dx
⎠ = d dt dt T
( ) 2
dx
+ mω 2
dt
◦x dx
} {{ dt}
( mω
2
◦
d
dt
− dx
dt F(t) = 0
)
2 x2 = d dt V
⇒ d ( ) 2
dx
dt (T + V ) = −β + F(t) dx
dt dt = dE
dt ; E = T + V Gesamtenergie
Die zeitliche Änderung der Gesamtenergie ist bestimmt durch die negativen Reibungsverluste
und die positive aufgenommene Energie.
Die Änderung der Gesamtenergie über eine Periode ist:
E(t + T) − E(t) =
t+T ∫
t
dE
dt ′ dt′ =
t+T ∫
t
[
−βẋ 2 + F(t ′ )ẋ ] dt ′
Im stationären Gleichgewichtszustand des eingeschwungenen Systems ist
E(t + T) = E(t)
und damit
t+T ∫
βẋ 2 dt ′ =
t+T ∫
F(t ′ )ẋdt ′ = ¯P · T (84)
t
t
hierbei ist ¯P die mittlere Verlustleistung, die von aussen zugeführte Energie wird
vollständig in Reibungswärme umgewandelt. Es gilt mit dem komplexen Ansatz
z(t) = C e −iωt = |C| e −i(ωt−δ) = |C|[cos(ωt − δ) − i sin(ωt − δ)] mit C = |C| e iδ komplex,
74

R{z(t)} = x(t) = |C| · cos(ωt − δ), ẋ(t) = −|C|ω · sin(ωt − δ) und T = 2π und nach einer
ω
kurzen Rechnung für das erste Integral der Gl.(84) sowie der Substitution ωt ′ − δ = v ′ :
¯P = 1 T
t+T ∫
t
βẋ 2 dt ′ = βω
2π
t+T ∫
t
|C| 2 ω 2 sin 2 (ωt ′ − δ)dt ′ = βω2
v+2π ∫
2π |C|2
sin 2 v ′ dv ′
v
} {{ }
π
= βω2
2 |C|2 .
Für das zweite Integral der Gl.(84) gilt mit F(t) = F ◦ cos ωt, cos 2 (ωt ′ )ωdt ′ = π
und ∫ t+T
t [cos ωt ′ sin ωt ′ ]ωdt ′ = 0 sowie ẋ(t) = R{ż(t)} = R{−iωC e −iωt } =
= R{−iωC(cosωt − i sin ωt)} = −ωR{C} sin ωt + ωI{C} cos ωt ⇒
∫ t+T
t
¯P = 1 T
t+T ∫
t
F(t ′ )ẋdt ′ = − F ◦
T
t+T ∫
t
cos ωt ′[ − R(C) sin ωt ′ + I(C) cos ωt ′] ωdt ′ = ω 2 F ◦I(C)
Mit beiden Integralen erhält man die Unitaritätsrelation für die komplexe Amplitude C
ω
2 F ◦I(C) = βω2
2 |C|2 ⇒ I(C) = βω
F ◦
|C| 2
d.h. eine Relation zwischen dem Imaginärteil und dem Betrag von |C|. Mit der neuen
komplexen Funktion Z = βω
F ◦
C und der bekannten Lösung für die Amplitude C [Gl. (77)
und (78)] erhält man für diese Unitaritätsrelation eine besonders einfache Form:
C =
F ◦
m ( ω 2 ◦ − ω 2 + i βω m
) = F ◦
m
ω 2 ◦ − ω 2
(ω 2 ◦ − ω 2 ) 2 + ( βω
m
) 2
− i F ◦
m 2
βω
(ω 2 ◦ − ω 2 ) 2 + ( βω
m
) 2
Z = βω m
I(C) = − F ◦
m 2
ω 2 ◦ − ω 2
(ω 2 ◦ − ω 2 ) 2 + ( βω
m
βω
(ω 2 ◦ − ω 2 ) 2 + ( βω
m
( βω
) 2
− i
m
) 2
1
(ω◦ 2 − ω 2 ) 2 + ( )
βω 2
m
) 2
= βω
F ◦
|C| 2 multipliziert mit · βω
F ◦
ergibt:
I(Z) = |Z| 2 = [R(Z)] 2 + [I(Z)] 2 ⇒ [R(Z)] 2 + [I(Z)] 2 − I(Z) + 1 4 = 1 4 .
Dies ist eine Kreisgleichung [R(Z)] 2 + [ ] 2
I(Z) − 1 2 =
1
mit dem Radius 1 und dem
4 2
Mittelpunkt bei (0, i ) in der komplexen Ebene. Diese Darstellung von Resonanzen wird in
2
der Teilchenphysik als Argand-Diagramm zur Analyse von angeregten Teilchenzuständen
d.h. sehr kurzlebigen Teilchenresonanzen benutzt.
Wegen der Unitaritätsrelation hat die komplexe Zahl Z und damit C nur ein unabhängiges
Bestimmungsstück. ¯P =
ω
2 F ◦I(C) ist die abgegebene Leistung bestimmt
durch den Imaginärteil (siehe Figuren S. 76).
Aus dem Argand-Diagramm sieht man, dass vier äquivalente Bedingungen die Resonanz
ω = ω ◦ bestimmen: δ = π/2; |Z| = max; I(Z) = max; R(Z) = 0.
Das Maximum der Schwingungsamplitude liegt stets unterhalb der Resonanzfrequenz. Die
Verlustleistung ¯P erreicht im Gegensatz zur Amplitude |C| bei ω = ω ◦ ihr Maximum.
75

(Re Z) 2 +(Im Z-1/2) 2 =1/4
Im Z
Z
ω 2 2δ ω 1
δ
Re Z
1
1
2
2
Re Z
ω 1
π
3
ω ο
4
π
1
π
2
1
π
4
ω 2
Re Z=
2γω(ω2
ο −ω 2 )
Im Z= |Z| 2
(ω 2 −ω 2 ο ) 2 +4γ 2 ω 2
Im Z=
ω 1 ω ο ω 2
δ=arc cotan ω ο 2 −ω 2
2γω
ω 1
ω ο
ω 2
4γ 2 ω 2
(ω 2 −ω 2 ο ) 2 +4γ 2 ω 2
Groβe Dampfung " γ=1, ω ο =1
ω
ω
Argand-Diagramm. Verlauf
von I(Z), R(Z) und der
Phase δ = η als Funktion
der Erregerfrequenz ω.
γ = 2β/m.
Auf dem Kreis wird der
stationäre Gleichgewichtszustand
beschrieben.
Innerhalb des Kreises wird
zusätzlich zu den Reibungsverlusten
Energie durch hier
nicht berücksichtigte Prozesse
verloren.
Ausserhalb des Kreises erzeugt
das System als ein
perpetuum mobile Energie.
ω
1.00 IM (D13)
N (1700)
N (1520)
N (2080)
0.75
0.50
0.25
-0.50 -0.25 0 0.25 -0.25 0 0.25 0.50
1100
N (1700)
RE (D13)
1100
N (1520)
N (2080)
0.75
0.50
0.25
1400 1700 2000 2300
1100 1400 1700 2000 2300
ENERGY (MeV)
Argand-Diagramm der elastischen
π-N Streuamlitude
bei 1500 MeV [Particle
Data Physcis Letters
B204(1988)368].
1400
1400
1700
1700
N ELASTIC D13 AMPLITUDE
2000
2000
2300
2300
ENERGY (MeV)
ENERGY (MeV)
76

8 Relativbewegungen
Bei der Diskussion der Newtonschen Prinzipien haben wir betont, dass sie nur in einem Inertialsystem
gültig sind. Nach dem 1. Newtonschen Prinzip (Trägheitsprinzip Kap. 2.2.1)
ist das ein solches Koordinatensystem, in dem ein isolierter, also keinen Kräften unterworfener
Massenpunkt sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegt. Als Inertialsystem haben
wir meist ein auf der Erdoberfläche verankertes Koordinatensystem benutzt 57 , oder auch
im Fall der Planetenbewegung ein im Schwerpunkt der Sonne ruhendes System. Die mit
der Newtonschen Mechanik berechneten Bewegungen stimmten ausgezeichnet mit den
Messungen überein.
Es stellen sich dann die Fragen: wie kann man verschiedene Inertialsysteme unterscheiden?
Wie lauten die Bewegungsgleichungen in Nicht-Inertialsystemen? Insbesondere
die Beantwortung der zweiten Frage ist von grosser praktischer Bedeutung, da wir sehen
werden, dass Rechnungen oft vereinfacht werden können, wenn man sie in einem
beschleunigten Nicht-Inertialsystem ausführt.
8.1 Relativitätsprinzip der Mechanik
Ein Koordinatensystem können wir uns immer durch Vektoren in einem starren Körper
realisiert denken. In einem solchen Körper bleiben per definitionem die Abstände beliebiger
Punktepaare konstant. Wir betrachten zwei Systeme dieser Art, das S-System (z.B.
Laborsystem) mit den xyz-Achsen und das relative S r -System mit den x r y r z r -Achsen
(Abb. Seite 78). Der Ort eines Massenpunktes m wird durch die Ortsvektoren ⃗r und ⃗r r
festgelegt.
Dann gilt ⃗r = ⃗r ◦ + ⃗r r . (85)
Wir setzen voraus, dass in beiden Systemen die klassische, nicht-relativistische Mechanik
gilt, d.h. alle Geschwindigkeiten sind klein gegenüber der Lichtgeschwindigkeit (v ≪ c).
Dann gelten bis zu einer hohen Genauigkeit die klassischen Vorstellungen von Raum, Zeit
und Masse:
a) In beiden Systemen werden die gleichen Massstäbe zur Längenmessung verwendet.
Das impliziert, dass die Standard-Massstäbe von S und S r verglichen werden
können.
b) Beide Systeme benutzen die gleiche Zeit. Wenn in S eine Zeit ∆t zwischen zwei
Ereignissen beobachtet wird, so wird in S r das gleiche Intevall ∆t r = ∆t gemesen.
c) Der Massenpunkt hat in beiden Systemen die gleiche Masse.
In der Relativitätstheorie sind diese drei Annahmen nicht mehr haltbar, sobald die
Geschwindigkeiten vergleichbar mit c werden.
Wir wollen nun annehmen, durch Versuche habe sich erwiesen, dass S ein Inertialsystem
sei. Dann lässt sich sofort zeigen, dass auch S r ein Inertialsystem ist, falls es sich
gleichförmig
gradlinig gegenüber S bewegt, d.h. wenn gilt
d⃗r ◦
dt = ⃗v ◦ = konst. (86)
57 dabei jedoch die Rotation der Erde als kleinen Effekt vernachlässigt. Ein Labor auf der Erde ist bei
genauer Messung ein beschleunigtes Nicht-Inertialsystem mit den entsprechenden Schein- oder Trägheitskräften
(Kapitel 8.5).
77

Denn zweimalige Differentiation von Gl. (85) liefert
d⃗r
dt = ⃗v = d⃗r ◦
dt + d⃗r r
dt = ⃗v ◦ + ⃗v r
und
d 2 ⃗r
dt 2 = ⃗a = d2 ⃗r r
dt 2 = ⃗a r.
Aus ⃗a = ⃗a r folgt aber, dass auch die Kräfte ⃗ F = m⃗a und ⃗ F r = m⃗a r in beiden Systemen die
gleichen sind, also gilt auch in S r die Newtonsche Mechanik, S r ist auch ein Inertialsystem.
Alle Koordinatensysteme, die sich gleichförmig geradlinig gegenüber einem Inertialsystem
bewegen, sind also ebenfalls Inertialsysteme. Sie lassen sich nicht unterscheiden,
und es ist deshalb unmöglich festzustellen, ob eines dieser Systeme “absolut in Ruhe” ist.
Dies ist das Relativitätsprinzip der Mechanik.
Wenn Gl. (86) gilt, so lässt sich Gl. (85) auch in der Form
⃗r = ⃗r r + ⃗v ◦ t
der Galilei-Transformation
schreiben. Wenn diese Transformationsgleichung zwischen den Systemen S und S r gültig
ist, gilt das Relativitätsprinzip der Mechanik, in anderen Worten formuliert:
Es ist einem Beobachter unmöglich, mit Hilfe von mechanischen
Experimenten herauszufinden, ob sein Bezugssystem
in Ruhe oder in gleichförmiger Bewegung ist.
Auch mit anderen Wechselwirkungen wie z.B. elektrodynamischen oder optischen Versuchen
ist eine solche Unterscheidung nicht möglich.
8.2 Die Kinematik in einem bewegten Bezugssystem
Wir behandeln jetzt eine beliebige Bewegung (auch Rotationen und damit beschleunigte
Systeme) des Systems S r gegenüber dem Inertialsystem S im folgenden Ruhesystem oder
Laborsystem genannt. Ein ausgedehnter Körper mit einer allgemeinen Bewegung hat sechs
Freiheitsgrade, 3 der Translation und 3 der Rotation. Es gelte wie in Kapitel 8.1 die
klassische Mechanik.
z r ✻
Das bewegte Bezugssystem sei ein starrer Raum S r (x r ,y r ,z r ) z ✻ m ⃗ω
✡ ✡✣
S r
✉
(Fahrzeug), der vom ruhenden System S(x,y,z) aus beschrieben
wird mit ⃗r ◦ , ⃗v ◦ (Ortsvektor und Geschwindigkeit des Ursprungs
von S r ) und ⃗ω (Winkelgeschwindigkeit von S r um ✓ ✒ x r
✡✏ ✏✏✏✏✶ y r
✓✓ ✓✼ ✂✍
⃗r r
⃗r
✂ ✲
⃗r
✓
◦
eine Achse durch den Ursprung von S r ). Im relativen System
S ✓ y
S r (x r ,y r ,z r ) wird eine Masse m mit ⃗r r , ⃗v r und ⃗a r gekennzeichnet.
Im ruhenden System beschreiben ⃗r, ⃗v, ⃗a die Masse m.
x
✏ ✏✏✏✏✏✏✶
✓
✲
Für eine reine Translation von S r gilt: ⃗v = ⃗v ◦ . Für eine reine Rotation von S r gilt für einen
Massenpunkt: ⃗v = ⃗ω × ⃗r r . Der Koordinatenursprung von S r liegt auf der Drehachse. Die
Winkelgeschwindigkeit ist (im Gegensatz zu L ⃗ ◦ und M ⃗ ◦ ) unabhängig von der Wahl des
Bezugspunktes 58 . Für eine allgemeine Bewegung des Fahrzeuges ist die Geschwindigkeit
58 Beweis: P ◦ und P ′ ◦ seien zwei beliebige Bezugspunkte mit dem relativen
Verbindungsvektor ⃗s. Die Führungsgeschwindigkeit des Fahrzeuges ist
⃗v F = ⃗v ◦ +⃗ω ×⃗r r bzw. ⃗v F = ⃗v ′ ◦ + ⃗ω ′ × ⃗r ′ r weiter ist ⃗v ′ ◦ = ⃗v ◦ +⃗ω ×⃗s; ⃗r r = ⃗s+ ⃗r ′ r
⇒
⃗v F = ⃗v ◦ + ⃗ω × ⃗r r = ⃗v ◦ + ⃗ω × ⃗s + ⃗ω ′ × ⃗r r − ⃗ω ′ × ⃗s ⇒ (⃗ω − ⃗ω ′ ) × ⃗r r = (⃗ω − ⃗ω ′ ) × ⃗s.
Diese Vektorgleichung kann für alle ⃗r r nur erfüllt werden, wenn ⃗ω = ⃗ω ′ gilt, qed.
z r
✻ m ⃗ω
✡
✡✣
S r
⃗r r ✡
✡✂ ✂✍
⃗r ′
✘ ✘✿❅❅■ ♣ P ′ ◦
⃗s ✲
P ◦
x r
78

eines beliebigen Punktes beschrieben durch die Addition 59 der beiden obigen Terme:
⃗v F = ⃗v ◦ + ⃗ω × ⃗r r .
Mit der absoluten Zeit 60 t = t r und unter Beachtung, dass infolge der Drehung
d r ⃗r r
dt
≠ d⃗r r
dt
ist 61 , gilt in den beiden Systemen für den Ortsvektor, die Geschwindigkeit
und den Beschleunigungsvektor eines Punktes:
S(x,y,z) S r (x r ,y r ,z r )
Ort: ⃗r(t) = ⃗r ◦ + ⃗r r ⃗r r (t r ) = ⃗r r (t)
Relativbewegung
Geschwindigkeit:
Beschleuigung:
⃗v = d⃗r
dt
⃗a = d⃗v
dt = d2 ⃗r
dt 2
⃗v r = d r⃗r r
dt r
⃗a r = d r⃗v r
dt
= d r⃗r r
dt
= d2 r⃗r r
dt 2
Spezialfall: nur Führungsgeschwindigkeit m mit Fahrzeug verbunden
⃗v F = ⃗v ◦ + ⃗ω × ⃗r r
⃗r r = konst
⃗a F = d⃗v F
∣
dt
⃗v r = ⃗a r = 0
⃗vr=0
Gefragt wird nach den Beziehungen zwischen den beiden Systemen. Für den allgemeinen
Fall mit der Masse m und ⃗v r ≠ 0 gilt:
⃗v = ⃗v F + ⃗v r = ⃗v ◦ + ⃗ω × ⃗r r + ⃗v r = ⃗v ◦ + ⃗ω × ⃗r r + d r⃗r r
dt
= d dt (⃗r ◦ + ⃗r r ) = ⃗v ◦ + d⃗r r
dt
(87)
Mit diesen beiden Gleichungen kann die gesuchte Beziehungen d
dt
= d r
dt + ⃗ω×
als Transformation vom System S in das System S r z.B. für ⃗r r aufgestellt werden:
d⃗r r
dt = d r⃗r r
dt
+ ⃗ω × ⃗r r und mit allgemeinem Vektor ⃗ A :
d ⃗ A
dt = d r ⃗ A
dt + ⃗ω × ⃗ A (88)
Anschaulich fehlt in S r die Drehbewegung ⃗ω × ⃗r r . Für die Beschleunigungen gilt:
Absolutbeschleunigung: ⃗a = d⃗v
dt = d2 ⃗r
dt ,
Relativbeschleunigung: ⃗a r = d r⃗v r
dt
= d2 r⃗r r
dt 2
Führungsbeschleunigung: ⃗a F = d⃗v F
∣
dt
dr⃗rr
dt =⃗vr=0
Mit den Gleichungen (87) kann ein Zusammenhang zwischen den Beschleunigungen gefunden
werden.
Es ist
d⃗ω
dt = d r⃗ω
dt
+ ⃗ω × ⃗ω = d r⃗ω
} {{ } dt
=0
und ⃗a = d⃗v
dt = d⃗v ◦
dt + d dt (⃗ω × ⃗r r) + d dt
( )
dr ⃗r r
.
dt
59 Beachte, dass ⃗v F , ⃗v ◦ und ⃗ω × ⃗r r alle drei normale polare Vektoren sind, die addiert werden können.
Axiale Vektoren wie ⃗ω können nicht so einfach addiert werden.
60 Dies gilt für v ≪ c der Lichtgeschwindigkeit; sonst muss die Relativitätstheorie bemüht werden.
61 d⃗r r
dt
differenziert im ruhenden und dr⃗rr
dt
im bewegten System. Wegen der relativen Bewegung und der
Drehung können diese beiden Ableitungen nicht identisch sein, und wir müssen eine Beziehung zwischen
beiden suchen.
79

Der Operator d dt von Gl.(88) auf d r⃗r r
dt
⃗a F =
⇒
angewandt:
d
dt
( )
dr ⃗r r
= d r
dt dt
⃗a = d⃗v ◦
dt + d⃗ω
dt × ⃗r r + ⃗ω × d⃗r r
dt + d2 r⃗r r
dt + ⃗ω × d r⃗r r
2 dt
und mit Gl.(88) ⃗a = d⃗v ◦
dt + d⃗ω
dt × ⃗r r + ⃗ω × d r⃗r r
dt
⃗a = d⃗v ◦
dt + d⃗ω
dt × ⃗r r + ⃗ω × (⃗ω × ⃗r r )
} {{ }
⃗a F
( )
dr ⃗r r
+ ⃗ω × d r⃗r r
dt dt
+ ⃗ω × (⃗ω × ⃗r r ) + d2 r⃗r r
dt + ⃗ω × d r⃗r r
2 dt
+ 2 · ⃗ω × d r⃗r r
+ d2 r⃗r r
(89)
} {{ dt } } dt {{ 2 }
⃗a = ⃗a F
+ ⃗a C
+ ⃗a r
kann identifiziert werden zu ⃗a F = d⃗v F
∣
dt
= d ⃗vr= dr⃗rr
dt =0 dt [⃗v ◦ + ⃗ω × ⃗r r ] ∣ ∣⃗vr=0 =
]
[ d⃗v◦
dt + d⃗ω
dt × ⃗r r + ⃗ω × d⃗r ] [
r d⃗v◦
=
dt
⃗v r=0
dt + d⃗ω
dt × ⃗r r + ⃗ω × d r⃗r r
dt
und damit wird mit ⃗v r = d r⃗r r
dt
+ ⃗ω × (⃗ω × ⃗r r )
⃗v r=0
= 0 ⃗a F = d⃗v ◦
dt + d⃗ω
dt × ⃗r r + ⃗ω × (⃗ω × ⃗r r ) (90)
⃗a = ⃗a F +⃗a r + 2 · ⃗ω × ⃗v r = ⃗a F +⃗a r +⃗a C (91)
⃗a C = 2 · ⃗ω × ⃗v r die Coriolisbeschleunigung (92)
Eine Coriolisbeschleunigung⃗a C tritt nur dann auf, wenn das bewegte System eine Drehung
⃗ω ausführt und der Massenpunkt eine Relativgeschwindigkeit ⃗v r ≠ 0 hat sowie ⃗v r nicht
parallel zu ⃗ω liegt. ⃗a r ist die Relativbeschleunigung und ⃗a F die Führungsbeschleunigung.
8.3 Die Dynamik in einem bewegten Bezugssystem
Das Aktionsprinzip der Bewegung eines Körpers mit der Masse m im System S ist
m⃗a =
n∑
⃗F i = F ⃗
i=1
mit ⃗ F den resultierenden äusseren Kräften.
Dann gilt auch mit Gl.(91) m⃗a = m(⃗a r +⃗a F +⃗a C ) = ⃗ F.
Ein in S r mitbewegter Beobachter registriert nur die Relativbeschleunigung ⃗a r und findet
deshalb für das Aktionsprinzip m⃗a r = ⃗ F − m⃗a F − m⃗a C
und mit − m⃗a F = ⃗ Z sowie − m⃗a C = −2 · m(⃗ω × ⃗v r ) = ⃗ C = 2 · m(⃗v r × ⃗ω)
⇒ m⃗a r = ⃗ F + ⃗ Z + ⃗ C das Aktionsprinzip im bewegten System. (93)
⃗Z die Führungskraft, in der die Zentrifugalkraft −m⃗ω×(⃗ω×⃗r r ) enthalten ist, und ⃗ C die
Corioliskraft haben die Dimension einer Kraft; sie sind in S keine wahrhaft existierenden
Kräfte sondern Schein- oder Trägheitskräfte, die ein bewegter Beobachter als Korrektur in
die Newtonsche Bewegungsgleichung einführen muss, wenn er dort an Stelle der Beschleunigung
⃗a die Relativbeschleunigung ⃗a r einsetzt. Sie haben keine Reaktionskräfte. Obwohl
sie nur Schein- oder Trägheitskräfte sind, existieren sie als reale Kraft im bewegten System
S r . Ein beschleunigtes Bezugssystem ist kein in sich abgeschlossenes Inertialsystem,
es müssen von aussen Kräfte wirken, um das System mit Massen zu beschleunigen.
80

8.4 Beispiele und Spezialfälle für bewegte Systeme
8.4.1 Gleichförmig bewegtes System S r
Es ist ⃗v F = ⃗v ◦ = konst, folglich ⃗a F = ⃗a C = 0 und somit ⃗a r = ⃗a.
Auch S r ist dann ein Inertialsystem, wie wir schon in Kapitel 8.1 diskutiert haben.
8.4.2 Rein translatorisch beschleunigtes System S r
In einem rein translatorisch beschleunigten Bezugssystem ist ⃗ω = 0, ⃗ C = 0 und damit
m⃗a r = ⃗ F + ⃗ Z. Mit ⃗ Z = −m⃗a F sowie mit ⃗v F = ⃗v ◦ (t) folgt ⃗a F = ˙⃗v ◦ = ⃗a ◦ . Damit spürt z.B.
der Insasse eines mit ⃗a ◦ beschleunigten Fahrzeuges die Kraft m⃗a r = ⃗ F − m⃗a ◦ . Wenn die
auf ihn wirkende Kraft ⃗ F = 0 ist, erfährt er die beschleunigende Trägheitskraft
m⃗a r = −m⃗a ◦ .
S und S r sind nicht mehr äquivalent, es werden verschiedene Beschleunigungen in
beiden Systemen gemessen.
8.4.3 Ein reibungsloser Massenpunkt auf einer beschleunigten Unterlage
Die Geschwindigkeit des reibungslosen Massenpunktes relativ zum Hörsaal sei Null.
✛Z ✻N
✉ ✲ x r
❄G ✲ a ◦
❜ ♠ ❜ ♠
✲x
Es ist N = mg und ⃗ Z = −m⃗a ◦ sowie m⃗a r = −m⃗a F und
m d2 rx r
dt 2 = −ma F .
Spezialfälle (die Konstanten C 1 und C 2 werde durch die Anfangsbedingungen bestimmt):
(1) a F = konst. = a ◦ → v r (t) = −a ◦ t + C 1
x r (t) = − a◦
2 t2 + C 1 t + C 2 .
(2) a F = a ◦ cos ωt → d2 rx r
= −a
dt 2
◦ cos ωt
x r (t) = a◦ cos ωt + C
ω 2 1 t + C 2 .
Ein Beobachter im Laborsystem beschreibt den Massenpunkt in Ruhe und bestimmt
die Relativkoordinaten aus der beschleunigten Bewegung des Tisches.
8.4.4 Mathematisches Pendel auf einer vertikal beschleunigten Plattform
✻z
❆
Es ist Z ⃗ = −m⃗a
❆
◦ = −ma ◦
⃗ k und damit die Bewegungsgleichung
für die Tangentialkomponente
ϕ❆
l
❆❑ ❆
❆
F
∗
❆✉ ❆
ml d2 rϕ
a ◦ ❄G
dt = −(mg + ma ◦) sin ϕ.
2
✻
Für kleine Ausschläge ist sinϕ ≃ ϕ, also
❄Z
d 2 ( )
rϕ g +
✲x
dt + a◦
ϕ = 0. Mit dem Ansatz
2 l
ϕ(t) = ϕ ◦ cos(Ωt − δ) ist Ω =
√
g + a◦
l
die Kreisfrequenz des Pendels.
Fällt die Plattform frei, so ist g = −a ◦ , also Ω = 0, d.h. die Schwingungsdauer ist
unendlich. Der freie Fall merkt keine Gravitationskraft.
81

8.4.5 Gleichförmig rotierendes System S r
Die translatorische Bewegung verschwindet. Wir behandeln verschiedene Experimente auf
dem Drehtisch.
a) Ein Massenpunkt m sei auf einer mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ⃗ω sich drehenden,
horizontalen Unterlage durch eine Feder mit der Drehachse verbunden. m
sei relativ zur Unterlage in Ruhe. Es herrscht scheinbares Gleichgewicht. Im ruhenden
System beschreibt m eine Kreisbahn. Die wahren Kräfte sind, wenn keine
Reibungen vorhanden sind
✻ ⃗ω
G = N und F F = m v2
r = mr rω 2 .
Ein mitbewegter Beobachter hat eine Scheinkraft einzuführen,
um die relative Ruhe erklären zu können. Es
⃗N ⃗r r ✲
∼∼∼∼∼ ✛
✻ ✉ ✲ Z ⃗ ist
⃗F F ❄⃗G
⃗v F = ⃗ω × ⃗r r , ⃗v r = 0, also C ⃗ = 0
sowie ˙⃗v ◦ = 0 und d⃗ω
dt
= 0 und die Führungskraft ist:
⃗Z = −m⃗a F = −m[⃗ω × (⃗ω × ⃗r r )] die Zentrifugalkraft. (94)
Der Betrag der Zentrifugalkraft ist mit ⃗ω ⊥ ⃗r r Z = mr r ω 2 . ⃗ Z und ⃗ F F erfüllen die
Gleichgewichtsbedingung im beschleunigten Relativsystem.
b) Vom Ursprung des ruhenden Systems S bewegt sich eine Masse m mit konstanter
Geschwindigkeit v ◦ , es wirken keine äusseren Kräfte. Der Beobachter in S r sieht
eine spiralförmig nach aussen bewegte Masse, für die die Geschwindigkeit direkt
angegeben werden kann mit den Komponenten in Polarkoordinaten v rr = drrr = v
dt ◦
d
und v rϕ = r rϕ r r = −ωr
dt r sowie nach einfacher Integration für die Ortskoordinaten
r r = v ◦ t und ϕ r = −ωt. Nach Gl.(93) gilt für ihn das Aktionsprinzip
m⃗a r = ⃗ Z + ⃗ C = −m⃗a F − m⃗a C = −m · ⃗ω × (⃗ω × ⃗r r ) − 2m · ⃗ω × ⃗v r ,
d.h. er beobachtet eine Zentrifugalkraft und eine Corioliskraft 62 . Die Corioliskraft
sucht die Richtung der Geschwindigkeit dauernd zu ändern ohne den Betrag zu
beeinflussen, wie dies auf der Erde bei den Monsunen, Passatwinden und dem Golfstrom
auch beobachtet wird. Versucht der Beobachter in S r die Masse festzuhalten,
dann muss er eine Reaktionskraft zu ⃗ Z + ⃗ C aufbringen.
c) Relatives Gleichgewicht eines Schwerelots auf dem Drehtisch
62 Setzt man die oben gefundene Lösung r r = v ◦ t und ϕ r = −ωt in die allgemeinen Gleichungen für die
Beschleunigung in Polarkoordinaten ein
a rr = d2 rr r
dt 2 − r r
( ) 2 dr ϕ r
= −r r ω 2 d 2
und a rϕ = r
rϕ r
r
dt
dt 2 + 2dr r d r ϕ r
dt dt
= −2v ◦ ω
dann erhält man in Übereinstimmung die oben angegebene Zentrifugal- und Coriolisbeschleunigung.
82

◦
❆
❆
ϕ❆
l
❆❑ ❆
❆
r r ✲
F
∗
❆ ❆✉ ✲Z
❄G
ω
Ein rotierender Beobachter findet das Lot in Ruhe, wenn
⃗v r = 0, also C = 0 ist. Die Gleichgewichtsbedingungen
sind
F sin ϕ = mr r ω 2 = m(r ◦ +lsin ϕ)ω 2 und F cos ϕ = mg.
Durch Division der beiden
ϕ
Gleichungen erhalten wir
π/2
(vgl. Kap. 3.6.3)
r◦/l=1
tanϕ = (r ◦ + l sin ϕ)ω 2
.
g
1
r◦/l=0.01
ω 2 k =g/l
ω/ω κ
0
0 1 2 3 4
d) Ein ruhender Massenpunkt werde vom gleichmässig drehenden (⃗ω =konst.) Bezugssystem
S r aus beobachtet. Die Summe der wahren Kräfte ist Null, weil gilt
⃗v = konst. = 0. Relativ zum System S r beschreibt m eine Kreisbahn mit dem Radius
ρ.
Es ist ⃗v F = ⃗ω × ⃗r r und ⃗v = ⃗v r + ⃗ω × ⃗r r = 0, also ⃗v r = −⃗ω × ⃗r r , ⃗a F = ⃗ω × (⃗ω × ⃗r r )
und mit Gl. (92) ⃗a C = −2⃗ω × (⃗ω × ⃗r r ) = −2⃗a F ; ⃗ Z = −m⃗ω × (⃗ω × ⃗r r ); ⃗ C = −2 ⃗ Z.
Die resultierende Scheinkraft ist mit Gl. (93) − ⃗ Z und stellt eine scheinbare Zentripetalkraft
mit dem Betrag mρω 2 dar.
e) Schwingendes Pendel auf dem Drehtisch. Damit im System S r die Bewegung eben
bleibt, ist m durch eine Stange mit dem Aufhängepunkt verbunden. Die in ihm
auftretende Führungskraft kompensiert die Corioliskraft. Die Bewegungsgleichung
in Tangentialrichtung lautet
❆
❆
ϕ❆
l
❆❑ ❆
❆ F ⃗ m❆
❆✉
⃗Z ✲
⃗G
✻
⃗ω
❄
ml d2 rϕ
= −mg sin ϕ + Z cos ϕ =
dt2 = −mg sin ϕ + lω 2 m sin ϕ cos ϕ.
Für kleine ϕ gilt genähert sinϕ ≈ ϕ, cos ϕ ≈ 1
d 2 ( )
rϕ g
dt + 2 l − ω2 ϕ = 0 mit der Lösung
√ √ g g
ϕ(t) = ϕ ◦ cos(Ωt − δ) mit Ω =
l − ω2 für ω ≤
l
Die Schwingungsdauer nimmt mit zunehmender Drehgeschwindigkeit ω zu und für
ω = ω ◦ = √ g
wird sie T = ∞.
l
Schwingt das Pendel frei, d.h. ist die Bewegung nicht auf eine mitrotierende Ebene
beschränkt, so muss die Corioliskraft berücksichtigt werden. Am einfachsten betrachten
wir dann das Pendel vom ruhenden Beobachter aus. Für diesen schwingt
es in einer Ebene, die rotierende Plattform dreht sich einfach unter dem Pendel weg,
und wir erhalten mit x = x ◦ cos ω ◦ t, y = 0 im ruhenden System und α = ωt für
die Drehung im Relativsystem: x r = x cos α = x ◦ cos ωt cos ω ◦ t
und y r = −x sin α = −x ◦ sin ωt cos ω ◦ t die Bahn einer Hypozykloide.
83

8.5 Trägheitseffekte auf der Erde
In den vorausgegangenen Beispielen spielte der Hörsaal und damit die Erde die Rolle des
ruhenden Systems. Diese Wahl führte zu keinen Widersprüchen mit der Erfahrung, obwohl
die Erde ein bewegtes Bezugssystem ist. Der Grund liegt darin, dass auf der Erde Z und
C viel kleiner als mg sind. Es können aber terrestrische Versuche ausgeführt werden, die
eindeutig die Trägheitseffekte als Folge des Bewegungszustandes der Erde zeigen.
8.5.1 Nachweis der Erdrotation mit dem Foucaultpendel
N
Ein schwingendes Pendel behält infolge der Trägheit seine
Schwingungsebene im Raum bei. Dieses eigentümliche
m
Verhalten offenbart sich beim Foucault-Versuch (1850/51
ω → ω →
S
β
in Paris). Ein Ort auf der Erde mit der geographischen
Breite β rotiert mit der Winkelgeschwindigkeit ω ·sin β um
eine zur Erdoberfläche senkrechte Achse; mit dieser Winkelgeschwindigkeit
dreht sich die Erde unter dem schwingenden
Pendel hinweg. Die effektive Umlaufszeit der Horizontalebene
relativ zur Schwingungsebene des Pendels in
der geographischen Breite β ist
T = 2π/ω sin β mit ω = 2π/24 Stunden.
Zur Berechnung wurde hier der axiale Vektor ⃗ω in die Komponenten senkrecht ω ⊥ und
parallel ω ‖ zur Erdoberfläche bei der geographischen Breite β zerlegt 63 .
Für Zürich mit β ≈ 47 ◦ ist T = 34 h, am Pol: T = 24 h und am Äquator: T = ∞.
8.5.2 Eine Lotabweichung infolge der Erdrotation
erfährt eine Masse m auf der Erde durch eine von der Erdachse fortgerichtete Zentrifugalkraft
⃗ Z vom Betrage Z = mω 2 R cos β.
Zusammen mit dem Gewicht G ◦ = mg ◦ , das m bei nicht rotierender Erde hätte, ergibt
sich ein effektives Gewicht ⃗ Geff = ⃗ G ◦ + ⃗ Z, das nicht zum Erdmittelpunkt zeigt.
R
N
→
ω
→
G o
β
m
δ
Daraus folgt
→
Z
→
G eff
Der Kosinussatz liefert G eff = mg eff =
=
√
(mg ◦ ) 2 + (mω 2 R cos β) 2 − 2mg ◦ mω 2 R cos 2 β
oder g eff =
√
≃ g ◦
√
g 2 ◦ + (cos 2 β)(ω 4 R 2 − 2g ◦ ω 2 R)
(
1 − 2ω2 R cos 2 β
≃ g ◦ 1 − ω2 R cos 2 )
β
g ◦ g ◦
da gilt ω 2 R = 0.034m/s 2 ≪ g = 10m/s 2 .
∆g
g ◦
= g ◦ − g eff
g ◦
= ω2 R cos 2 β
g ◦
= 3.43 × 10 −3 cos 2 β.
63 Man beachte, dass ⃗ω als axialer Vektor in eine Horizontal- und eine Vertikalkomponente zerlegt werden
kann. Die Pendelebene bleibt bei der Drehung im Raum S erhalten, es gilt die Drehimpulserhaltung und
die Drehung ist direkt durch ω ⊥ gegeben. Es gilt für die Corioliskraft
⃗C = 2m(⃗v r × ⃗ω) = 2m(⃗v r × ω ⊥ + ⃗v r × ω ‖ ) wobei nur der erste Term zu einer Auslenkung führt.
Ein Drehwinkel könnte nur bei infinitesimal kleinen Drehungen und nicht bei endlichen Drehungen in
Komponenten zerlegt werden.
84

Für Zürich erhalten wir ∆g/g ◦ = 0.17 %. Die Lotabweichung δ folgt aus dem Sinussatz:
sin δ
sin[π − (δ + β)] = Z
mg ◦
= ω2 R cos β
g ◦
. Man erhält für Zürich δ ≃ 0.1 ◦ .
8.5.3 Ostabweichung
Fällt ein Massenpunkt frei auf der rotierenden Erde, so wirkt ausser dem effektiven Gewicht
noch die Corioliskraft ⃗ C = −2m(⃗ω × ⃗v r ) auf ihn, wenn v r zum Erdzentrum weist.
Auf beiden Hemisphären zeigt ⃗v r × ⃗ω nach Osten. Bezeichnen wir diese Ostrichtung mit
x r und die effektive Lotrichtung mit z r , so gelten die Bewegungsgleichungen
→
→
ω N m C
m d2 rz r
dt 2 = −mg eff (95)
m d2 rx r
dt 2 = −2mωv r cos β. (96)
→
v r
Bahn
Aus Gl. (95) folgt
d r z r
dt
= v r = −g eff t und
x r
z r = h ◦ − 1 2 g eff t 2 und damit aus Gl. (96)
z r
h o
x r
d 2 rx r
= 2ω cosβg
dt 2 eff t und x r = 1 3 ω cosβg eff t 3 .
√
2h◦
Die Höhe h ◦ wird in der Zeit T =
g eff
durchfallen, und die zugehörige Ostabweichung beträgt
x r◦ = 1 3 ω cos βg eff T 3 = 1 √
8h
3 ω cos β 3
◦
.
g eff
x ro
Für Zürich: h ◦ = 50 m erhält man x r◦ ≃ 0.55 cm.
8.5.4 Ebbe und Flut
Die Gezeiten entstehen, weil die Gravitationskräfte von
Sonne und Mond an verschiedenen Punkten der Erde verschieden
sind. Obwohl der Effekt der Sonne der kleinere
ist, behandeln wir ihn wegen der einfacheren Darstellung
zuerst.
Wir nehmen an, die Erde bewege sich auf einer Kreisbahn
um die Sonne. Dann erfüllt die Gravitationskraft G der
Sonne die Kreisbedingung Z = mω 2 R ES :
Sonne
m S
G →
R ES
m
→
Z
R ES
R ES
G = Γ mM s
= Z = mω 2 R
RES
2 ES (97)
mit m = Masse der Erde, M S = Masse der Sonne, ω = Winkelgeschwindigkeit
der Erde auf ihrer Bahn um die Sonne,
R ES = Radius der Erdbahn.
Wenn wir für den Augenblick auch die Eigenrotation der
Erde ausser acht lassen, ist ihre Bewegung rein translato-
85

isch. Jede bezüglich der Erde feste Richtung behält auch im Raum ihre Richtung bei.
Jeder Punkt der Erde bewegt sich auf einem Kreis
dZ
mit dem gleichen Radius R ES aber verschiedenen
Mittelpunkten. Daher ist die Zentrifugalkraft
A
überall auf der Erde gleich gross, für ein Massenelement
dm also dZ = dmω
dZ C dZ
D dZ
2 R ES .
Dagegen ist die Anziehungskraft der Sonne nach
R E
Betrag und Richtung an verschiedenen Punkten
Erdbahn
der Erde (Radius R E ) verschieden gross. Die resultierenden
Kräfte sind in den Punkten A und B
dZ B
dG
radial nach aussen, in C und D nach innen gerichtet,
so dass in A und B Wasserwülste entstehen,
RES
unter denen sich die Erde einmal täglich wegdreht.
Sonne
Es entstehen 2 Fluten und 2 Ebben pro Tag.
Wir berechnen die Gezeitenkraft dF S für ein Massenelement
dm im Punkt B:
dmM S
dF S = dG − dZ = Γ
(R ES − R E ) − 2 dmω2 R ES . Aus
der Gleichgewichtsbedingung Gl. (97) folgt
(
1
Also wird: dF S = ΓdmM S
(R ES − R E ) − 1
2
= ΓdmM S
R 2 ES
ω 2 R ES = ΓM S
.
R 2 ES
RES
2 )
(
)
1
(1 − R E /R ES ) − 1 ≃ ΓdmM S 2R E
.
2 RES
2 R ES
Die letzte Näherung ergibt sich, da R E ≪ R ES ist 64 . Benutzen wir noch M S = 4π 3 ρ SR 3 S
für die Masse der Sonne (ρ S = Dichte, R S = Radius der Sonne), so erhalten wir
für die Gezeitenkraft der Sonne dF S = 8π 3 dmΓR ρ S RS
3
E
RES
3
. Analog ist
R
✘ ✘✘ ✘ ✘✘✘ ★✥
S
✘ ✘ R M
✎☞ ❈
α ❳❳
✲ ✲❈
die Gezeitenkraft des Mondes dF M = 8π
❳❳❳ ✍✌R ES
3 dmΓR ρ M RM
3
E .
REM
3
R EM ❳ ✧✦ ❳❳❳
❳ Da Sonne und Mond am Himmel fast gleich gross erscheinen,
Mond
❤
Vollmond
Erde
Sonne ist tanα ≃ R M
≃ R S
dF S
und damit ≃ ρ S
.
✎☞
❧
R EM R ES
dF M ρ M
✍✌
Da gilt ρ
Neumond
M ≃ 2ρ S , ist die Wirkung der Sonne etwa halb
so gross wie die des Mondes. Beide Kräfte summieren sich
Erde Mond Sonne ✎☞
❧ ❤ (Springflut!), wenn Erde, Mond und Sonne nahezu kollinear
✍✌zueinander stehen.
64 Reihenentwicklung: (1 − x) −2 = 1 + 2x · · · vgl. Anhang Kap. C.1.7
=
86

8.6 Das Streuproblem zweier Massen †
Im Kapitel 6.1 wurde die Separation der Schwerpunkts- und der Relativkoordinaten für
ein Zweikörperproblem behandelt. Die relative Bewegung von zwei Körpern kann damit
sehr einfach mit der reduzierten Masse Gl. (47) als ein Ein-Körperproblem berechnet werden.
Im folgenden werden die reine klassische Streuung diskutiert, um damit schon die
wesentlichsten kinematischen Bedingungen und Eigenschaften des Streuproblems kennenzulernen,
da Streuexperimente in allen Bereichen der Physik eine grosse Rolle spielen.
8.6.1 Die reine elastische Streuung
Es soll die rein elastische Streuung (keine Reibungs-, Deformations- oder Anregungsverluste)
von zwei Massen m und M mit kurzer Reichweite beim Stoss (z.B. Billardkugeln,
Streuung von Neutronen an Atomkernen über die kurzreichweitige Kernkraft = Neutronenmoderation)
klassisch, nichtrelativistisch berechnet werden. Gefragt ist nach dem
Energieverlust des stossenden Teilchens und dem Streuwinkel. Für die Streuung zweier
Teilchen mit m ≠ 0 und M ≠ ∞ muss die Mitbewegung des Streuzentrums berücksichtigt
werden. Man betrachtet daher das Problem im Labor- und im Schwerpunktsystem
(Inertialsysteme).
Laborsystem LS: Im einfachen Fall vM L = 0 (Target in Ruhe), vm L ≠ 0 ist
m ✉
m ⃗v L M nach dem Stoss:
m ✻y
✉
✲ 1
ϑ
gestrichene
′ L
✲ ✟ ✟✟✟✟✟✟✯
x
vor dem Stoss vM L ϕ
= 0 Grössen
′ L
❆
❆
M 1
❆ ❆❯ ⃗v ′L M
ϑ ′L ist der Streuwinkel von m, ϕ ′L der Streuwinkel von M nach dem Stoss.
Schwerpunktsystem SS: Der Gesamtimpuls ⃗p S ist Null; damit müssen die Beträge
aller vier Impulse gleich sein nicht jedoch die Geschwindigkeiten, wenn m ≠ M ist.
⃗v ′L m
Def.: ∑ ⃗p S vor
i
= ∑ ⃗p S nach
i = ⃗p S = 0
⇒ −⃗p S m = ⃗p S M
m v S m = M v S M
✉
m
⃗v ′S ✉
⃗v m
S ⃗v M
S 1
M
1✟ ✟ ✟ ✟ ✟ ✟✟✟✟✯ ✟ m
✲ ϑ ✛
′ S
✟ ϕ ′ S
✟
✟
✟✙
✟ ⃗v ′S M
Der Winkel zwischen ⃗v S m und ⃗v S M ist wegen der Impulserhaltung im Schwerpunktsystem
vor und nach dem Stoss 180 0 (ϑ ′S + ϕ ′S = π).
Im Laborsystem gilt die Energie- und Impulserhaltung vor und nach dem Stoss. Die
potentielle Energie ist überall E pot = 0 (sehr kurze Reichweite der Wechselwirkung).
(p L m) 2
2m = (p′ L
m) 2
2m + (p′ L
M) 2
2M , ⃗pL m = ⃗p ′L m + ⃗p ′L M (98)
Die Impulse müssen infolge der Impulserhaltung immer in einer Ebene (z.B. x-y) liegen,
die durch die Vektoren des Anfangsimpulses und des gestreuten Impulses gegeben ist. Aus
der 2. Gleichung Gl.(98) folgt mit dem Cosinus-Satz
(p ′ L
m) 2 = (p L m) 2 + (p ′ L
M) 2 − 2p L mp ′ L
M cosϕ ′ L
(99)
87

Auflösen der 1. Gleichung (98) und (99) ergibt nach elementarer Rechnung
p ′ L
M = 2MpL m cos ϕ ′ L
m + M ⇒ die kinetische Energie T ′ L
M = (p′ L
M) 2
2M
= 2M(pL m) 2 cos 2 ϕ ′ L
(m + M) 2 (100)
Der maximale Impulsübertrag p ′ L
M(max) = 2MpL m
m + M gilt für ϕ′L = 0 0
und ϑ ′L = 0 0 oder 180 0 für m > M oder m < M.
Für m = M ist p ′ L
M(max) = p L m, die stossende Masse m überträgt den gesamten
Impuls auf M und bleibt liegen; weiter gilt 65
.
,
ϕ L
ϑ , L
bei m = M für alle Streuwinkel ϕ ′L + ϑ ′L = π/2. (101)
Für m < M kann das Geschoss zurückgestreut werden und für m > M fliegen beide
Massen nur nach vorne.
Die kinetischen Energien nach dem Stoss lassen sich mit Gl.(98) und (100) leicht
ausrechnen.
8.6.2 Winkelverteilung bei statistischem Zielen in der Ebene
Dies ist das Problem eines Billardspielers, der nicht zielen kann. Quantenmechanisch ist
dies die Streuung von Teilchen an einem Target (Elektronenmikroskop, Streuexperimente
in der Kern- und Teilchenphysik).
Detektor
Wenn eine rein elastische Streuung an der Kugeloberfläche
d.h. in der Ebene an dem Kreisradius R
α ϑ
angenommen wird mit 2α + ϑ = π (Ein- und Ausfallswinkel
sind gleich), dann gelten für die Streuung
m α
M y
b
R
der kleinen Masse m an der harten Kugel mit dem
Radius R und M = ∞ (festgenagelt) folgende geometrische
Beziehungen:
x
Stossparameter b = R sin α ⇒ b = R cos ϑ/2. Für b > R ist ϑ immer Null.
Wie gross ist nun die Zahl der unter dem Winkel ϑ gestreuten Geschosse m, wenn sie
parallel zur x-Achse aber mit dem Stossparameter b statistisch in der xy-Ebene verteilt
dN
einfallen, d.h. = const = N
db
b = N◦.
Der 2R Billardspieler66 schiesst zwar exakt in x-
Richtung, kann aber die y-Koordinate nicht einstellen. N ◦ ist die totale Zahl aller Teilchen,
die in dieser ebenen Geometrie gesteut werden können.
In Schussrichtung wird jedes Element db der Projektion des Kreises in x-Richtung
gleich häufig getroffen. Damit ist die Zahl der Teilchen, die bei N ◦ einfallenden Teilchen
eine Streuung im Intervall ϑ → (ϑ + dϑ) erleiden
dN = N b · db, mit db = −R sin ϑ 2 · 1
2 dϑ ⇒ dN = −N 1
◦
4 sin ϑ dϑ (102)
2
65 Multipliziert man die beiden Komponentengleichungen von Gl.(98)
x-Komp: p L m = p ′ L
m cos ϑ ′L + p ′ L
m cos ϕ ′L , y-Komp: 0 = p ′ L
m sin ϑ ′L − p ′ L
M sin ϕ ′L geschickt miteinander
und berücksichtigt sin(ϕ ′L + ϑ ′L ) = sin ϕ ′L cos ϑ ′L + sin ϑ ′L cos ϕ ′L sowie Gl.(100) mit m = M, dann
erhält man sin(ϕ ′L + ϑ ′L ) = 1, d.h. ϕ ′L + ϑ ′L = π/2.
66 Es wird angenommen, dass die Kugel ohne Reibung und damit ohne Drehimpuls auf dem Billardtisch
gleitet.
88

dN ist die Abnahme der Teilchen im primären Fluss. In einem Detektor werden unter
dem Winkel ϑ im Winkelbereich ϑ → (ϑ + dϑ) nach Gl.(102) dN Teilchen gemessen.
dN
dϑ = N 1
◦
4 sin ϑ ist die Winkelverteilung (103)
2
dN
dϑ ϑ der unter dem Winkel ϑ in das Winkelelement dϑ gestreuten Teilchen.
Die gesamte Zahl der gestreuten Teilchen ist
4 2 0
∫
dN =
+180 ∫
0
−180 0 dN = 2
+180 ∫
0
0
dN = 2
+180 ∫
0
0
N ◦
1
4 sin ϑ 2 dϑ = N ◦
in Übereinstimmung mit unserer obigen Definition von N ◦ .
Diese Winkelverteilung gilt für eine unendlich schwere Masse M, für die Schwerpunktsystem
und Laborsystem identisch sind. Um vom Schwerpunktsystem in ein Laborsystem
mit endlichen Massen zu transformieren, muss eine Beziehung zwischen einem Streuwinkel
in den beiden Systemen aufgestellt werden, z.B. ϕ ′S = f(ϕ ′L ) dem Streuwinkel von M.
In unserer Rechnung ist ϑ = ϑ ′S der Streuwinkel von m. Als Lösung hilft eine einfache
geometrische Überlegung in den beiden Systemen SS und LS:
Im Schwerpunktsystem sind wegen der Impulserhaltung die Beträge aller Impulse
gleich, und damit ist v ′ S
M = v S M und v ′ S
m = vm S , und es bewegt sich mit der Schwerpunktsgeschwindigkeit
⃗v ◦ gegenüber dem Laborsystem in negativer x-Richtung. Da im
Laborsystem ⃗v M L = 0 ist, müssen beim Übergang vom Schwerpunktsystem zum Labor-
→
-v S →
M = v o
system nur alle Geschwindigkeiten im Schwerpunktsystem
vektoriell mit ⃗v ◦ = −⃗v
→ L
v M
ϕ S M S addiert werden. Es gilt
→
ϕ L ϑ S
→
v S m
m
→ S
v M
→
v S m
v M
S
M
dann (siehe Figur und untere geometrische Darstellung):
ϕ ′S + ϑ ′S = π und ϕ ′L = 1 2 ϕ′S = 1 2 (π − ϑ′S ) (104)
89

Schwerpunktsystem
b
.
→
vm
S
→
vm+M
L
→
vm
S
→
v S m
m
v m
α
α
M=2.5 m
v m
ϑm
S →
v
M
S
v M
ϕ S M v M
→
v
M
S v m v M
v m v M
→
v S m
→
v L m
ϑ L m
→
v o
ϕ L M
→
vM
L
ϑ S m
ϕ S M
M
Transformation
SS → LS
→
v
M
S
→
v
M
S
→
v
M=m
L
→
v
M=m
S
Billardkugel-Streuung
Schwerpunktsystem (oberes Bild):
Geschwindigkeiten und Winkel nach
dem Stoss sind durch gestrichene Grössen
gekennzeichnet. b ist der Stossparameter.
Bei der Berührung der Kugeln
gibt es keine Haftreibung µ H = 0 und
damit ist ⃗v ‖ = ⃗v ′ ‖, ⃗v ⊥ = −⃗v ′ ⊥.
Impulserhaltung:
m⃗v m S = −M⃗v M, S m⃗v ′S m = −M⃗v ′S M
Winkelbeziehungen:
2α + ϑ ′ S
m = π, ϑ ′ S
m + ϕ ′ S
M = π
Transformation
Schwerpunktsystem →
Laborsystem (unteres Bild) Bei der
Transformation
vom Schwerpunktsystem in das Laborsystem
muss nur vektoriell die Geschwindigkeit
⃗v ◦ = −⃗v M S zu allen Geschwindigkeiten
des Schwerpunktsystemes
addiert werden. Es ist dann ⃗v M L =
0, die Masse M ist im Laborsystem in
Ruhe, und es gilt
⃗v ◦ + ⃗v ′S m = ⃗v ′L m, ⃗v ◦ + ⃗v ′S M = ⃗v ′L M, wobei
die Spitzen von ⃗v ′L m und ⃗v ′L M auf den
zwei Kreisen liegen. Jeder Streuwinkel
ϑ ′ S
m und ϕ ′ S
M ist geometrisch mit den
beiden Kreisen einfach in das Laborsystem
transformiert.
Im Spezialfall M = m (gestrichelte Geschwindigkeiten)
gilt |⃗v m| S = |⃗v M| S und
ϑ ′ L
m + ϕ ′ L
M = π/2, die Kugeln laufen
im LS nach dem Stoss immer unter 90 ◦
auseinander. Aus der Winkelverteilung
dN
von Gl.(103) sowie Gl.(104) erhält
dϑ
man ′S mit Gl.(101) und
ϑ ′ S
m = π − ϕ ′ S
M = π − 2ϕ ′ L
M = 2ϑ ′ L
m
90

die Winkelverteilung von m im Laborsystem zu (ohne Indizes m, M):
dN
= N◦ sin dϑ
✜
′L 2 ϑ′ L
✁ ✁✕
✢✜ ϑ ′ L
✁ ϑ ′L = 0
✢
−π/2 ≤ ϑ ′L ≤ +π/2
dN
=
★✥
N◦
dϕ ′L 2 cosϕ′ L
✟ ✟✟✯ ϕ ′ L
ϕ ′L = 0
✧✦
−π/2 ≤ ϕ ′L ≤ +π/2
dN
dϑ ′ L = dN
dϑ ′ S
dϑ ′ S
dϑ ′ L
= N ◦
2 sin ϑ′ L
} {{ }
= 2
(105)
Im Polardiagramm wird die Winkelverteilung von m im
Laborsystem für m = M durch zwei Halbkreise rechts
der y-Achse dargestellt.
Für die Winkelverteilung von M im Laborsystem für
m = M bestimmt man in einer analogen Rechnung
dN
dϕ ′ L = dN dϑ ′ S
dϑ ′ S
dϕ ′ L
= N ◦
2 sin( π − 2 ϕ′L ) = N ◦
2 cos ϕ′ L
} {{ }
= 2
(106)
Dies ist im Polardiagramm ein Kreis rechts der y-Achse.
8.6.3 Winkel- und Energieverteilung bei statistischem Zielen im Raum
Die statistisch verteilte Streuung im Raum, wie sie z.B. bei der Streuung von Neutronen
in Atomkernen auftritt (Moderation von Neutronen in einem Reaktor), kann analog zum
ebenen Fall berechnet werden. Es wird dann nur angenommen, dass die Teilchen m in
einer Richtung parallel ausgerichtet jedoch statistisch im Raum verteilt auf die Masse M
treffen, d.h. dN = N
ds s = N◦ = const (ds: Flächenelement). Statt des Winkelbereiches
πR 2
in der Ebene muss der Raumwinkelbereich dΩ = sin ϑdϑdφ für die Streuung unter dem
Winkel ϑ eingesetzt werden (ϑ = ϑ ′S ).
In Schussrichtung wird jedes Flächenelement der Projektion der Kugel gleich häufig
getroffen. Damit ist 67 die Zahl der in das Intervall ϑ → (ϑ + dϑ) gestreuten Teilchen m
von den N s einfallenden Teilchen/Fläche
dϕ
b db
dN = N s
∫ 2π
0
dϕ · b · db = N s · 2πb · db. Mit db = −R sin ϑ 2 · 1
2 dϑ
⇒ dN = −N s
1
2 πR2 sin ϑdϑ (107)
dN ist die Abnahme der Teilchen im primären Fluss. In einem Detektor werden unter
dem Winkel ϑ im Raumwinkel dΩ = 2π sin ϑdϑ nach Gl.(107)
dN = N s
R 2
4 dΩ Teilchen gemessen. dN
dΩ = N ◦
4π
ist die Winkelverteilung
der unter dem Winkel ϑ in das Raumwinkelelement dΩ gestreuten Teilchen. Diese Verteilung
ist unabhängig von ϑ d.h. isotrop, man beobachtet in allen ϑ-Richtungen die gleiche
Intensität. Die Gesamtzahl der gestreuten Teilchen ist
∫
N = dN = N ∫
◦
dΩ = N ◦
4π
Wie oben für N ◦ vorausgesetzt war.
67 Mit b = R cos ϑ/2 und sinϑ/2 · cos ϑ/2 = 1 2
sin ϑ.
dN
dΩ
✻
✲
0 ◦ 180 ◦ ϑ
91

Diese Aussage der Isotropie der Streuung gilt für eine unendlich schwere Masse M, für
die Schwerpunktsystem und Laborsystem identisch sind. Für die Transformation in das
Laborsystem können dieselben Beziehungen, wie im ebenen Fall berücksichtigt werden.
Aus der isotropen Raumwinkelverteilung
dN
dΩ S =
dN
2π sin ϑ ′S dϑ ′ S = N ◦
4π
im Schwerpunktsystem erhält man mit ϑ ′S = π−2ϕ ′L die Verteilung der Rückstossenergie
der Masse M im Laborsystem 68 :
dN
dT ′ L
= dN ·dϑ′ S
M
dϑ ′ S dϕ ′ L · dϕ′ L
dT ′ L
= N ◦
M
2
1
sin ϑ′S·2·
T ′ L
M (max) sin ϑ ′ S = T ′ L
M (max)
✲
völlig unabhängig von den Winkeln und der Energie der Teilchen
nach dem Stoss. Die Energieverteilung ist eine Kastenverteilung.
Viele Charakteristika eines Streuprozesses wie z.B. die Winkelabhängigkeit sind allein
durch die Kinematik gegeben und erst aus Abweichungen von dieser lernt man etwas über
Eigenschaften des Targets und des Projektils.
8.6.4 Die Streuung eines Neutrons an einem Atomkern
N ◦
✻ dN
dT ′L M
T ′L M
0 T ′L M (max)
Die Wechselwirkung des neutralen Neutrons bei einer Streuung mit einem Atomkern 69
(z.B. das Proton im Wasserstoffatom oder ein Bleikern) ist die kurzreichweitige (ca. 1 fm)
Kernkraft. Die rein elastische Neutronenstreuung kann daher in sehr guter Näherung mit
der klassischen Streuung beschrieben werden 70 .
Fall 1 m = M die Neutron - Proton Streuung n+p→ n’+ p’
dN ✻
dT ′L M
Energieverteilung
von M
n+C
Mit Gl.(100) wird mit m = M die maximale Energieübertragung
T ′ L
M(max) = (p′ L
M) 2
2M = 2M(pL m) 2
(m + M) = T L 2 m
d.h. die gesamte Energie des Neutrons im zentralen Stoss
wird auf das Proton übertragen. Der minimale Energieübertrag
ist Null. Da die Energieverteilung der Rück-
n+p
✲ T ′L M
stossprotonen konstant mit der Energie ist, erhält man eine
0 T ′L M=m (max)=T m
L Kastenverteilung von 0 → T ′ L
M(max).
Fall 2 M( 12 C)=12·m für die Neutron - Kohlenstoffstreuung
Die maximale Energieübertragung ist T ′ L
M( C)(max) = 2M(pL m) 2
= 0.28 · T L 12 (m+M) 2 m mit der in
der Figur eingezeichneten schmäleren Energieverteilung jedoch bei gleichem totalen N ◦
68 Der Zusammenhang der kinetischen Energie des Rückstosstargets M mit dem Streuwinkel ergibt sich
= T ′ L
M(max)2cos ϕ ′L sin ϕ ′L =
aus Gl.(100) zu T ′ L
M = 1 p ′2 M
2 M
T ′ L
M(max) · sin 2ϕ ′L = T ′ L
= T ′ L
M(max)cos 2 ϕ ′L und damit
M(max) · sin ϑ ′ S mit 2ϕ ′L = π − ϑ ′ S siehe Gl. (104).
69 m(Proton) = 938.272 MeV/c 2 = 1.67263 · 10 −31 kg, m(Neutron) = 939.567 MeV/c 2 ,
d.h. m(Proton) ≈ m(Neutron), m(Kern) ≈ A · m(Neutron), A: Massenzahl des Kerns,
A( 12 C)=12, A( 208 Pb)=208. Die Bindungsenergie der Kerne wird hier vernachlässigt.
70 Bei einigen Kernen z.B. Cd und B treten bei bestimmten Energien sehr starke Absorptionsresonanzen
auf, bei denen dann das Neuton vom Kern eingefangen wird. Bor-Paraffin oder boriertes Polyäthylen
dienen deshalb zur Neutronenabschirmung.
dT ′L M
dϕ L
92

für die gesamte Zahl der gestreuten Neutronen 71 .
dN ✻
dT ′L m
Energieverteilung
von m
n+p
n+C
0 T L m
T ′L m
✲
Die Energieverteilung der Neutronen nach der Streuung dN
T ′L m
ist wegen der Energieerhaltung ebenfalls eine Kastenverteilung
mit der maximalen Energie Tm L und der minimalen Energie
T ′ L
m(min) = Tm L − T ′ L
M(A)(max).
Für m = M ist T ′ L
m(min) = 0 und für m = m(A) = 12 gilt
T ′ L
m(min) = (1 − 0.28)Tm.
L
Bei der Streuung an Bleikernen ist
T ′ L
M(Pb)(max) = 0.019 · Tm,
L d.h. es wird bei einer Streuung
kaum Energie übertragen und Blei ist ein ungeeignetes Material,
um Neutronen abzubremsen und damit abzuschirmen.
Zur Moderation und damit auch Abschirmung müssen deshalb Materialien mit einem
grossen Protonenanteil benutzt werden, wie Wasser oder Kohlenwasserstoffverbindungen.
Moderierte und damit niederenergetische Neutronen lassen sich leicht in Kernen, die eine
starke Resonanzabsorption (wie Cadmium) haben, absorbieren und damit abschirmen 70 .
8.6.5 Coulombpotential
b
.
einfallende Intensitat " I
=Teilchen / Flache " . Zeit
db
Periapsis
Streuzentrum Z', M=∞
10 7 dN(ϑ)
10 6 dΩ
10 5 α-Au Streuung , Geiger et al.
Quelle RaC E α =7.69 MeV
10 4
1
10 3
Fit ∝
sin 4 ϑ/2
10 2
10 1
ϑ
0 60 120 180
Die elastische Streuung eines
geladenen Teilchens Z
Detektor mit ∆Ω mit der Energie E im Coulombpotential
eines zweiten
Teilchens Z ′ kann klassisch
Asymptote völlig analog zur Billardkugelstreuung
behandelt werden.
Bei einem vorgegebe-
ϑ
nen Stossparameter b ist die
dϑ
Trajektorie des gestreuten
Teilchens und damit auch
der Streuwinkel ϑ = f(b) fest durch eine Hyperbel Gl. (56)
gegeben, die Exzentrizität ǫ und der Parameter p müssen
nur mit den Werten der Coulombwechselwirkung identifiziert
werden. Man erhält dann mit einer kurzen Rechnung
(Details vgl. Physik III) für die Winkelverteilung im
Schwerpunktsystem in exzellenter Übereinstimmung mit
dem Experiment 72
dN(ϑ)
dΩ
= N ◦
( ZZ ′ e 2
2E
) 2
1
4 sin 4 (ϑ/2)
Rutherford’s Streuformel.
Das Experiment von H.Geiger und E.Marsdon mit Rutherford’s Interpretation war die
Geburtsstunde der Kernphysik. Es zeigte, dass das Atom aus einem schweren aber sehr
kleinen Kern besteht und nicht nur aus einer Wolke von Elektronen, da die α-Teilchen bis
zu 180 ◦ zurückgestreut werden.
71 Dies ist das Integral
T ′L M(A) (max) ∫
72 H.Geiger, E.Marsdon, Phil.Mag. 25(1913)604
0
=
N ◦
T ′L (max)dT ′ L
M(A) = N ◦
M(A)
93

9 Dynamik des starren Körpers
Bei der Mehrzahl der von uns bislang behandelten mechanischen Probleme haben wir uns
nur für die translatorische Bewegung der Körper interessiert. Zur Lösung verwendeten
wir die Newtonschen Prinzipien bzw. den Schwerpunktssatz. Der Drehimpulssatz kam
nur bei der Zentralfeldbewegung ins Spiel. Jetzt wollen wir auch Rotationen untersuchen
und uns der Einfachheit halber zunächst auf starre Körper beschränken. In ihnen sind
die relativen Abstände der Atome und Moleküle konstant.
9.1 Bedeutung von Schwerpunkts- und Drehimpulssatz starrer
Körper
Bei der Behandlung der Relativbewegungen haben wir in Kapitel 8.2 gezeigt, dass der
allgemeine Bewegungszustand eines starren Körpers die Superposition einer Translation
und einer Rotation ist. Zur Beschreibung dieser allgemeinen Bewegung muss man die
Bahngeschwindigkeit ⃗v ◦ eines speziellen Punktes, z.B. des Schwerpunktes, und die Winkelgeschwindigkeit
⃗ω kennen. Diese beiden Vektoren haben zusammen 6 Komponenten,
die Zahl der Freiheitsgrade eines starren Körpers ist also sechs. Dies ist in folgender Weise
einzusehen. Die Lage aller Punkte ist bestimmt, wenn 3 Punkte festgelegt sind, d.h. durch
9 skalare Zahlenangaben. Da aber die Abstände der 3 Punkte untereinander fest vorgegeben
sind, ist die Zahl der Freiheitsgrade 9 - 3 = 6. Diese Freiheitsgrade werden vollständig
erfasst durch die 3 skalaren Gleichungen des Schwerpunktssatzes (zur Berechnung von ⃗v ◦ )
und die 3 Gleichungen des Drehimpulssatzes (für ⃗ω).
Da die Anzahl der Atome in einem makroskopischen
Körper sehr gross ist, darf man die Masse als kontinuierlich
verteilt ansehen. Anstelle der Atome übernehmen klei-
z
F →
S
ne Massenelemente dM, in die ein Körper zerlegt werden
dM
kann, die Rolle von Massenpunkten. dM ist allerdings noch
→
r dV s so gross zu wählen, dass darin eine grosse Anzahl von Atomen
enthalten ist. Dann definieren wir für einen
→
r
Körper
x
y
die Dichte:
ρ = dM
dV ,
wobei dV ein Volumenelement der Masse dM ist. Im allgemeinen ist ρ = ρ(⃗r) eine Funktion
von ⃗r. Ist ρ konstant, so ist der Körper homogen.
Bei der Herleitung des Schwerpunkts- und des Drehimpulssatzes tritt für kontinuierliche
Massenverteilung dM an Stelle von m i bei Massepunkten und statt der Summation
werden Integrationen über den gesamten Körper K ausgeführt. Es gelten dann die Beziehungen
für die
∫ ∫
∫
⃗r
totale Masse: M = dM = ρ(⃗r)dV, Schwerpunktsvektor: ⃗r s =
M dM
K
K
K
∫
totaler Impuls: ⃗p =
K
∫
⃗v dM, totaler Drehimpuls: L◦ ⃗ = (⃗r × ⃗v)dM.
K
Wirken auf den Körper die Kräfte ⃗ F 1 , ⃗ F 2 ,... ⃗ F n , die in den Punkten ⃗r 1 ,⃗r 2 ,...⃗r n
94

angreifen, so lauten die fundamentalen Bewegungsgesetze
F 3
→
→
F i
F 2
→
F 1
→
r i
→
d⃗p ∑
dt
= n ⃗F i Impulssatz [vgl. Gl. (11)]
i=1
M d2 ⃗r s
∑
dt 2 = n ⃗F i Schwerpunktssatz [Gl. (12)]
i=1
d ⃗ L ◦
dt
∑
= n ⃗r i × F ⃗ i = M ⃗ ◦ Drehimpulssatz oder Drallsatz. [Gl. (40)]
i=1
Befindet sich ein starrer Körper in einem Kraftfeld, so gehen die Summen in den obigen
Gleichungen ebenfalls in Integrale über. Für einen Körper im Gravitationsfeld der Erde,
das über diesen konstant ist, gilt z.B. 73
S dM
M d2 ∫ ∫
⃗r s
dt = ⃗g dM = ⃗g dM = M⃗g = G ⃗ 2
→
K
K
r S
r
→
raumfest
→
gdM
d ⃗ L ◦
dt
∫
∫
= (⃗r × ⃗g)dM = −⃗g ×
K
K
⃗r dM = −⃗g × M⃗r s = ⃗r s × ⃗ G.
Die Schwerkraft oder das Gewicht kann als im Schwerpunkt angreifend angesehen
werden. In bezug auf den Schwerpunkt ⃗r s = 0 besitzt das Gewicht kein Drehmoment.
Wir beweisen noch, dass der Drehimpulssatz in der oben formulierten Weise nicht nur für
raumfeste Punkte ◦, sondern noch für drei weitere Arten von Bezugspunkten ◦ ′ Gültigkeit
hat. Es soll also gelten:
d ⃗ L ◦
dt
= ⃗ M ◦ und
d ⃗ L ◦ ′
dt
= ⃗ M ◦ ′
r
→
→
r o
r
→
∫
wobei L◦ ⃗
′ =
K
⃗r ′ × ⃗v dM,
⃗ M◦ ′ = ∑ i
⃗r ′ i × ⃗ F i .
∫
⃗L ◦ =
∫
⃗r ×⃗v dM =
Wir ersetzen ⃗r in ⃗ L ◦ und ⃗ M ◦ durch ⃗r = ⃗r ′ + ⃗r ◦ :
∫ ∫
(⃗r ′ +⃗r ◦ ) ×⃗v dM = r ⃗ ′ ×⃗v dM + ⃗r ◦ ×⃗v dM = L ⃗ ◦ ′ +⃗r ◦ ×⃗p. (108)
⃗L ◦ kann also in einen translatorischen Anteil ⃗r ◦ × ⃗p und einem rotatorischen Anteil ⃗ L ◦ ′
zerlegt werden.
⃗M ◦ = ∑ i
⃗r i × ⃗ F i = ∑ i
(⃗r ′ i + ⃗r ◦ ) × ⃗ F i = ∑ i
⃗r ′ i × ⃗ F i + ∑ i
⃗r ◦ × ⃗ F i = ⃗ M ◦ ′ + ⃗r ◦ × ∑ i
⃗F i
73 Man beachte hier, dass die Masse M [kg] und das Drehmoment ⃗ M ◦ [Nm] verschiedene Grössen sind.
95

mit dem Drehimpulssatz ist ⃗ M ◦ = d⃗ L ◦
dt
= d⃗ L ◦ ′
dt
+ d⃗r ◦
dt × ⃗p + ⃗r ◦ × d⃗p
dt = ⃗ M ◦ ′ + ⃗r ◦ × ∑ i
d⃗p
Da aber gilt
dt = ∑ dL ⃗F i , bleibt davon übrig
⃗ ◦ ′
+ d⃗r ◦
i
dt dt × ⃗p = M ⃗ ◦ ′.
Der Drehimpulssatz gilt in der obigen Form nur, wenn der 2. Zusatzterm verschwindet,
⃗F i .
a) ⃗r ◦ = konst.;
d.h. wenn gilt:
d⃗r ◦
dt = 0
d⃗r ◦
dt
× ⃗p = 0,
also wenn
, d.h. der Bezugspunkt ist raumfest,
b) d⃗r ◦
dt steht parallel zu ⃗p, bzw. zu d⃗r s
dt . Insbesondere kann ⃗r ◦ = ⃗r s sein.
Der Drehimpulssatz gilt in bezug auf jeden raumfesten Punkt,
auf den Schwerpunkt und auf jeden beweglichen Punkt, der die
gleiche Geschwindigkeit wie der Schwerpunkt hat.
9.2 Gleichgewichte starrer Körper
Greifen an einem Körper die äusseren Kräfte ⃗ F 1 , ⃗ F 2 ,... ⃗ F n mit den Angriffspunkten
⃗r 1 ,⃗r 2 ,...⃗r n an, so kann er nur dann in Ruhe sein, d.h. ⃗p = 0 und ⃗ L ◦ = 0, wenn folgende
Gleichgewichtsbedingungen erfüllt sind:
∑
⃗F i = 0
i
und
∑
⃗r i × F ⃗ i = ∑
i
i
⃗M ◦i = 0,
wobei ◦ ein beliebiger Bezugspunkt ist, da im Gleichgewicht alle Punkte in Ruhe, d.h.
raumfest sind.
Für nicht-starre Körper sind diese Bedingungen nur notwendig aber nicht hinreichend
für das Gleichgewicht, da trotz interner Bewegungen der Massenpunkte sowohl ⃗p wie auch
⃗L ◦ verschwinden können.
Beispiele:
a) Bestimmung des Schwerpunktes eines starren Körpers:
F ⃗ ∗
✻
❅
◦ ′ ❅ ◦
S
❅
⃗G
❅ ❄
⃗F ∗
✻
◦
◦
′
S
⃗G
❄
b) Bestimmung des Schwerpunktes eines langen Stabes:
N ✛ x 1✲✛ x 2
1 ✻
✲ N 2
✻
✛ ❡S
✲
A❥
B❥
R 1 R 2
❄G
◦ und ◦ ′ seien zwei Punkte, in denen der Körper
frei drehbar aufgehängt werden kann. Verglichen
werden die beiden möglichen Gleichgewichtslagen.
G muss in der Lotlinie, die entweder durch ◦ oder
◦ ′ geht, liegen, damit die Gleichgewichtsbedingungen
erfüllt sind. S ist damit der Schnittpunkt der
beiden Lotlinien.
Der Stab wird auf zwei bewegliche Lager A und
B aufgelegt. Die beiden Auflager können dann gegeneinander
verschoben werden, ohne dass Kippen
eintritt. Schliesslich treffen sie im Schwerpunkt S
zusammen.
S soll sich nicht in vertikaler Richtung bewegen,
also ist N 1 + N 2 = G.
96

Die Drehmomente werden auf den Punkt 0 bezogen, den Schnittpunkt der Wirkungslinien
von R 1 ,R 2 und G, der sich parallel zu S bewegt. Dann gilt
N 1 x 1 = N 2 x 2 und es folgt
N 2
x 2
x 1
+ N 2 = G → N 2 = G x 1
x 1 + x 2
und N 1
x 1
x 2
+ N 1 = G → N 1 = G x 2
x 1 + x 2
.
Die beiden Kräfte R 1 und R 2 können entweder Haft- oder Gleitreibungskräfte sein.
Nimmt man an, dass gilt µ G ≈ µ H = µ, dann folgt
R 1 ≤ µN 1 = µG x 2
x 1 + x 2
, R 2 ≤ µN 2 = µG x 1
x 1 + x 2
.
Ist z.B. am Anfang x 1 < x 2 , so ist im Lager B der Kraftwert, bei dem Gleiten
einsetzen kann, niedriger als im Lager A. Also wird der Stab zunächst bei B gleiten
und bei A haften, und zwar so lange, bis bei B die Gleitreibung grösser als bei A
die Haftreibung geworden ist und der Stab bei A gleitet. Beide Lager treffen mit
wechselndem Gleiten und Haften im Schwerpunkt S zusammen.
c) Gleichgewicht einer schräg angestellten Leiter:
✻ R Es sei µ 1 der Haftreibungskoeffizient des Bodens, µ 2
2
◗
✲ derjenige
N ∑ der Wand. Die Gleichgewichtsbedingungen
◗ 2 Fi ⃗ = 0 und ∑ Mi◦ ⃗ = 0 sind (Bezugspunkt R 1 , N 1 )
◗
◗
◗ l
(1) N 1 + R 2 = G (2) N 2 − R 1 = 0
◗
◗
(3) N 2 l sin α + R 2 l cosα − Gl
◗
2 cos α = 0
◗
G ◗
❄
◗
✻
R 1 α N 1
✛ wobei gilt R 1 ≤ µ 1 N 1 ; R 2 ≤ µ 2 N 2 .
Den kritischen Anstellwinkel α k , bei dem Gleiten auftreten kann, bestimmt man aus
den Bedingungen R 1 = µ 1 N 1 und R 2 = µ 2 N 2 .
Aus (1) und (2) folgt dann N 1 + µ 2 N 2 = G; N 2 = µ 1 N 1 also N 2 = Gµ 1
1 + µ 1 µ 2
.
Aus (3) berechnet man N 2 l sin α k + µ 2 N 2 l cos α k = Gl
2 cos α k,
µ 1 G
also l sin α k + µ 1µ 2 G
l cosα k = Gl
1 + µ 1 µ 2 1 + µ 1 µ 2 2 cos α k.
µ 1 sin α k + µ 1 µ 2 cos α k = (1 + µ 1 µ 2 ) cosα k
2
und tanα k = 1 − µ 1µ 2
2µ 1
hängt nur von den Haftreibungskoeffizienten und nicht vom Gewicht G ab.
97

9.3 Drehimpuls- und Schwerpunktssatz für die ebene Bewegung
starrer Körper
Bei einer ebenen Bewegung bewegen sich alle Massenpunkte
y
y s
S ϕ
parallel zu einer Ebene, z.B. (x, y)-Ebene. Es gilt für alle:
v iz = 0. Die Zahl der Freiheitsgrade beträgt 3, nämlich z.B.
2 Koordinaten des Schwerpunktes und ein Drehwinkel ϕ für
die Drehung um die z-Achse durch S. Wir interessieren uns
daher nur für die x- und y-Komponenten der Kräfte, welche
die x- und y-Bewegung des Schwerpunktes beschreiben
x s x und die z-Komponente der Drehimpulsänderung ergeben.
Man beachte, dass L x als auch L y von Null verschieden sind und sich auch ändern
können. Sie interessieren uns aber nicht, weil Führungskräfte dafür sorgen, dass die Bewegung
eben bleibt, d.h. v iz = 0.
Wir brauchen also die x- und y-Komponente der Vektorgleichung des Schwerpunktssatzes
und die z-Komponente des auf den Schwerpunkt bezogenen Drehimpulssatzes.
Während der Schwerpunktssatz direkt aus Kapitel 9.1 übernommen
werden kann, lässt sich die z-Komponente des Drehimpulssatzes
→ → →
ω r v
noch in eine spezielle, nur bei der ebenen Bewegung gülti-
S →
v s
gen Form bringen. Dazu berechnen wir zunächst
∫
∫
L sz = [⃗r ′ × ⃗v ′ ] z dM = [⃗r ′ × (⃗ω × ⃗r ′ )] z dM.
dM
ω
F → →
Da ⃗ω = ω ⃗ k, gilt ⃗ω × ⃗r ′ = −ωy ′ ⃗i + ωx ′ ⃗j
[
und somit r ⃗ ′ × ( ⃗ω × ⃗r
)]z ′ = ω ( x ′2 + y ′ 2 )
y
→
r
d
Damit wird L sz = ω
∫ (x ′2 + y ′ 2 ) dM. (109)
y s
x s
S
x
Es ist d 2 = x ′2 + y ′2 die kürzeste Entfernung, also
der Abstand des Massenelements dM von der durch
S führenden Drehachse. Wir definieren deshalb
I s
. =
∫
d 2 dM das Trägheitsmoment (110)
des Körpers bezüglich der Drehachse durch S. I s ist ein Geometriefaktor, der für
einen homogenen Körper von dessen Form und der Lage der Drehachse bezüglich des
Körpers abhängt. Mit Gl. (110) wird 74 aus Gl. (109)
L sz = I s ω = I s · dϕ
dt
z-Komponente des Drehimpulses bei ebenen Bewegungen.
(111)
74 In Analogie zum Impuls p z = m · v z .
Vorsicht: Die Gleichung (111) gilt nur für die starre z-Komponente. In einer allgemeinen Vektorform von
Gl. (111) ⃗ L s = I s ⃗ω ist das Trägheitsmoment I ein Tensor und ⃗ L s steht i.a. nicht parallel zu ⃗ω (vgl.
Kap.9.8.1).
98

Zur Berechnung der z-Komponente des totalen Drehmoments bezüglich S ist es
zweckmässig, die Kräfte F ⃗ i in Komponenten zu zerlegen, die parallel und senkrecht zur
Drehachse stehen, also Fi ⃗ = F ⃗ i|| + F ⃗ i⊥ .
Wird ferner auf der Drehachse ein Punkt Q i eingeführt, der
→
→
relativ zu S durch den Vektor ⃗q i gegeben ist, so dass der Vektor
d ⃗ i , der von Q i aus zum Angriffspunkt der Kraft F ⃗ F i
i
F
i weist,
senkrecht auf der Achse steht, so gilt ⃗r ′ i = ⃗q i + d ⃗ i .
Dann wird das auf S bezogene Drehmoment der Kraft F ⃗ i : Q i
.
→
di
⃗M si = ⃗r ′ i × ⃗ F i = ( ⃗q i + ⃗ d i
)
×
(
⃗Fi‖ + ⃗ F i⊥
)
= ⃗q i × ⃗ F i‖ + ⃗q i × ⃗ F i⊥ + ⃗ d i × ⃗ F i‖ + ⃗ d i × ⃗ F i⊥
= ⃗q i × ⃗ F i⊥ + ⃗ d i × ⃗ F i‖ + ⃗ d i × ⃗ F i⊥ ,
denn wegen ⃗q i ‖ F ⃗ i‖ ist ⃗q i × F ⃗ i‖ = 0.
Da die ersten beiden Drehmomente senkrecht zur z-Achse stehen, liefert nur der letzte
Term einen Beitrag zur z-Komponente von M ⃗ si :
→
q i
S
→
ω
→
r i
→
F i
Wirkungslinie
M siz = ( ⃗ di × ⃗ F i⊥
)z = d i⊥F i⊥ . (112)
d i⊥ ist also der Abstand der Wirkungslinie der Kraft F i⊥ von der Drehachse.
Setzen wir Gl. (111) und Gl. (112) in
dL sz
= ∑ M siz ein und beachten noch,
dt
i
dass gilt ω = dϕ/dt, so erhalten wir als z-Komponente des Drehimpulssatzes
dω
I s
dt = I d 2 ϕ
s
dt = ∑ 2 i
d i⊥ F i⊥
die Bewegungsgleichung für ebene Drehungen
um eine Schwerpunktsachse.
Nur Kraftkomponenten ⊥ zur Drehachse ergeben Drehmomente. Zusammen mit der x-
und y-Komponente des Schwerpunktssatzes der translatorischen Bewegung
M d2 x s
dt 2 = F x und M d2 y s
dt 2 = F y
haben wir damit alle drei Gleichungen, die zur Beschreibung einer allgemeinen ebenen
Bewegung (parallel zur xy-Ebene) notwendig sind. Das Trägheitsmoment ist hier eine
Konstante und nicht von der Zeit oder von ω abhängig.
9.4 Rotation um eine raum- und körperfeste Achse (Satz von
Steiner)
ω
→
B
.
d o
→
r
→
r s
r
S
dM
→
Wir behandeln noch den Spezialfall einer Rotation um eine
körper- und raumfeste Achse AB, die nicht durch den Schwerpunkt
geht. ⃗r und ⃗r s werden vom Punkt ◦, der auf AB liegt,
aus gerechnet.
Die Geschwindigkeit eines Massenelementes dM ist
⃗v = ⃗ω × ⃗r = ⃗v s + ⃗ω × ⃗r ′ ,
A
wobei gilt ⃗r = ⃗r s + ⃗r ′ und ⃗v s = ⃗ω × ⃗r s .
99

Die reine Rotation um AB kann also auch als Translation mit der Geschwindigkeit ⃗v s
und eine Rotation mit der Winkelgeschwindigkeit ⃗ω um eine zu AB parallele Achse, die
durch S geht, aufgefasst werden.
∫
Der Drehimpuls bezüglich ◦ ist einerseits L◦ ⃗ = ⃗r × (⃗ω × ⃗r)dM.
. ∫
Dessen Komponente parallel zu AB beträgt L ◦z = I ◦ ω, wobei I ◦ = d 2 ◦ dM als das
Trägheitsmoment bezüglich AB definiert ist und d ◦ der Abstand des Massenelements dM
von der Achse AB ist. Andererseits können wir den Drehimpuls bezüglich ◦ nach Gl. (108)
in zwei Anteile zerlegen: ⃗ L◦ = ⃗r s × ⃗v s M + ⃗ L s = ⃗r s × (⃗ω × ⃗r s )M + ⃗ L s .
Die z-Komponente von ⃗ L ◦ ist so L ◦z = I ◦ ω = (I s + Md 2 s)ω, mit d s = √ x 2 s + y 2 s dem
senkrechten Abstand des Schwerpunkts von der Drehachse ◦ [vgl Gl. 109)]. Es gilt also:
I ◦ = I s + M d 2 s Satz von Steiner 75 . (113)
Von allen Trägheitsmomenten für eine gegebene Achsenrichtung ist dasjenige bezüglich
der Achse durch den Schwerpunkt am kleinsten.
9.5 Berechnung einiger Trägheitsmomente
Bei der Anwendung der Formel I s = ∫ d 2 dM versucht man solche Massenelemente dM
zusammenzufassen, die den gleichen Abstand d von der durch S gehenden Achse haben.
1. Homogener Zylinder bezüglich der Zylinderachse dM = ρdV = ρ2πr · dr · h
K
K
R
dI s = 2πrhρr 2 dr.
∫R
I s = 2πhρ r 3 dr = 2πhρR4
4
◦
= 1 2 MR2 , M = πR 2 hρ.
2. Homogener Hohlzylinder bezüglich der Zylinderachse
I s
∫R 2
= 2πhρ r 3 dr = πhρ
2 (R4 2 − R1)
4
R 1
I s = 1 2 M(R2 1 + R 2 2), M = πhρ(R 2 2 − R 2 1).
R 2 R 1
75 Jakob Steiner 1796-1863 als Bauernsohn in Utzenstorf bei Bern geboren lernte erst mit 14 Jahren
schreiben, verlässt mit 18 trotz Protest der Eltern den Hof, geht zu Pestalozzi nach Yverdon und unterrichtet
nach 1 1 2
Jahren selbst Mathematik, studiert mit 22 in Heidelberg und ist dann Lehrer in Berlin
an Privat-, Hilfs-, Ober- und Gewerbeschulen. 1832 erhält er den Dr.h.c. der Univ. Königsberg und wird
1834 a.o. Professor an der neugegründeten Univ. Bern für Mathematik, Geometrie und Kinematik.
100

3. Dünner homogener Stab in bezug auf eine Achse durch S, die senkrecht zum Stab
steht
✛
l
S
dx
x
✲
✲x
I s = 2qρ
l/2 ∫
◦
x 2 dx = 2qρ
3
dI s = qρx 2 dx
( l
2
) 3
= Ml2
12 , M = qlρ.
4. Dünne homogene Platte bezüglich einer Achse durch S, die senkrecht zur Platte
steht
✁ ✁
✁
b ✁
✁
✁
✁
✁
a
S
✁ ✁
✁ ✁
✁ ✁
✁✁
dI s ′ = dxcρ b3
12
S ′ ✁
✁
✁ ✁
✲x
✁✁
dI s = dxcρ b3
✁
12 + dxcρbx2
✁✁
✁
✁✁
✁
∫a/2
✁✁dx✁
I c
s = 2 dI s = M 12 (a2 + b 2 ),
◦
M = abcρ.
5. Homogene Kugel mit dem Radius R bezüglich einer Achse durch den Mittelpunkt
z
∫
∫
∫
✬✩ ✻ I x = (y 2 + z 2 )dM ; I y = (x 2 + z 2 )dM ; I z = (x 2 + y 2 )dM ;
❅
S❅
R dm
⃗r
✟✯ ✲
y
✫✪
✠
∫ R
3I s = 2ρ r 2 4πr 2 dr = 8πρ R5
x
5 = 6R2
5 M; I x = I y = I z = I s ; I s = 2 5 MR2 .
◦
9.6 Beispiele zur ebenen Bewegung starrer Körper
9.6.1 Würfel auf horizontaler Ebene
Greift an der oberen Kante eines Würfels der Kantenlänge a eine horizontale
Kraft F an, so sind folgende Bewegungszustände möglich:
Haften, Gleiten, Kippen.
a
a
N ⃗
S ✻
e
✛
⃗R ❄G
⃗
✲
⃗ F
✲
a) Damit der Würfel haftet, müssen folgende Gleichgewichtsbedingungen erfüllt sein:
F = R; N = Mg; Ne = (R + F) a 2 → R = F = N e a .
Die Wirkungslinie der Normalkraft geht also nicht durch den Schwerpunkt. Da
R ≤ µ H N = µ H Mg,
ist der maximale Wert, den F = N e = Mg e a a
gerade noch haftet, gegeben durch
annehmen kann, so dass der Würfel
F max = µ H Mg = e a Mg für µ H ≤ 0.5 und F max = 1 2 Mg für µ H > 0.5,
denn e kann den Maximalwert a/2 nur erreichen, bevor der Würfel kippt.
101

) Reines Gleiten (ohne Kippen) ist nur möglich, wenn N nicht schon am äussersten
rechten Rand angreift, also nur für µ H < 0.5. Dabei gilt wie im Fall a):
N = Mg, Ne = Mge = (F + R) a 2Mge
, also F = − R.
2 a
Andererseits ist jetzt R = µ G N = µ G Mg. Die Bewegungsgleichung des Schwerpunktes
für die x-Richtung ist:
M d2 x s
dt 2 = F − R.
M
( d 2 )
x s
dt 2
max
Die maximale Beschleunigung folgt mit e = a/2 aus
( 2Mga
= F max − R =
2a
)
− R − R = Mg(1 − 2µ G ).
F
✻
Mg ❍ F = Mg(1 − µ G)
❍
Kippen
❍
❍
❍
1
Mg Gleiten ❍ F = 1 ❍
Mg 2
2
F = Mg µ H
Haften
✟ ✟✟✟✟✟✟
✲
0.5 1 µ
Die drei Bereiche der Bewegungen des
Würfels auf einer horizontalen Ebene.
Beim Kippen ist der Stützpunkt e = a/2
nicht raumfest und es gilt bezüglich dieses
Punktes keine Drehimpulserhaltung.
9.6.2 Das physische Pendel
Während das mathematische Pendel mit den Newtonschen Prinzipien allein behandelt
werden konnte, würde diese Methode bei einem beliebig gestalteten starren Körper, der
L
um eine horizontale Achse sich drehen kann, zu kompliziert werden.
Wir benutzen stattdessen den Drehimpulssatz. Es genügt
s
ϕ
die z-Komponente dieses Satzes, da die Bewegung wegen des festgehaltenen
Aufhängepunktes nur einen Freiheitsgrad hat. Wir
S
s sinϕ wählen den Auslenkwinkel ϕ als Koordinate.
Die Bewegungsgleichung lautet also
Mg
d 2 ϕ
I ◦ = −Mg s sin ϕ.
dt2 Das Minuszeichen erscheint, weil Drehmoment und Winkel ϕ entgegengesetzten Drehsinn
haben. Für |ϕ| ≪ 1 gilt näherungsweise
I ◦
d 2 ϕ
dt 2 + Mgsϕ = 0. Die Lösung ist ϕ(t) = ϕ ◦ cos(ωt − δ),
wobei ω =
√ √
Mgs
I◦
bzw. T = 2π
I ◦ Mgs .
Nach dem Satz von Steiner gilt
I ◦ = I s + Ms 2 , also T = 2π
√
Is + Ms 2
Mgs
√
s
= 2π
g + I √
s 1
Mgs = 2π g
(
s + I )
s
.
Ms
102

Vergleicht man T mit der Schwingungsdauer eines mathematischen Pendels
T math. = 2π√
l
g , so kann man für ein physisches Pendel setzen T phys. = 2π
√
leff
Dabei heisst l eff. = s + I s
die effektive Länge des physischen Pendels.
Ms
Will man mit einem Pendel die Erdbeschleunigung messen, so muss l eff. bekannt sein. Mit
Hilfe eines Reversionspendels kann diese auf elegante Weise bestimmt werden.
Ein physisches Pendel habe zwei mögliche Aufhängepunkte O 1 und O 2 , deren Verbindungsgerade
durch den Schwerpunkt S geht. Die entsprechenden Schwingungsdauern
sind
√
s1
O 2 T1 = 2π
g + I √
s
s2
und T 2 = 2π
Mgs 1 g + I s
.
Mgs 2
S s 2
O 1
s 1
g = 4π 2 s 2 1 − s 2 2
kann unabhängig von I
T1 2 s 1 − T2 2 s /M gemessen werden
s 2
(Vergleiche die Analogie zum mathematischen Pendel). Wird s 1 oder s 2 so variiert, bis
g .
T 1 = T 2 = T, ⇒ g = 4π2
T 2 (s 1+s 2 ) = 4π2
T 2 l eff., l eff. = s 1 +s 2 ,
√ √√√
s 1,2 = l ( ) 2
eff.
2 ± leff.
− I s
2 M ,
T 2 = 4π2
g
(
s + I )
s
.
Ms
T 2
T 1 =T 2
s 1 s 2
s
Ein physikalisches Pendel hat zwei verschiedene Abstände vom Schwerpunkt zum
Aufhängepunkt ◦, die auf Kreisen um S liegen, mit jeweils gleicher Periode T (Satz von
Viëta).
Da sowohl der Abstand s 1 + s 2 der beiden Aufhängepunkte wie auch die Schwingungsdauer
sehr genau gemessen werden können, kann mit dem Reversionspendel die
Fallbeschleunigung präzise bestimmt werden.
9.6.3 Die widerspenstige Fadenspule
Am inneren Zylinder der Spule greift die Kraft F des Fadens an. Je nach Neigung α des
Fadens entfernt oder nähert sich die Spule. Es gelten folgende Bewegungsgleichungen:
b
Schwerpunktssatz 0 = Mg − F sin α − N (114)
α
a
ϕ
R
Mg
N
F
x
M d2 x s
= F cos α − R (115)
dt2 d 2 ϕ
Drehimpulssatz bezüglich S I s = Rb−Fa. (116)
dt2 103

Hier wie auch in den folgenden Beispielen vernachlässigen wir
ω N die beim Rollen immer auftretende, jedoch kleine Rollreibung.
µ Durch Unebenheiten und elastische Deformation der Unterlage
Ro
entsteht ein Rollreibmoment M r , das die Drehung des rollenden
Körpers verzögert. Empirisch findet man M r = µ R0 N,
wobei µ R0 , der Koeffizient der Rollreibung, im Gegensatz zu den dimensionslosen Zahlen
µ H und µ G , die Dimension einer Länge hat.
Bei der Lösung der Gleichungen (114)-(116) sind 3 Fälle zu unterscheiden: a) die
Spule rollt ohne zu gleiten, b) die Spule gleitet ohne zu rollen, c) die Spule rollt und
gleitet gleichzeitig.
Fall a): Reines Rollen
Der Auflagepunkt haftet für kurze Zeit, dann übernimmt ein Nachbarpunkt diese
Funktion. Es ist R H ≤ µ H N, also eine Ungleichung, so dass R H nicht durch N allein
bestimmt wird. Dafür ist aber jetzt die Zahl der Freiheitsgrade gegenüber dem Fall b) um
1 erniedrigt, denn Drehwinkel dϕ und Verschiebung dx s des Schwerpunktes sind durch
die
Rollbedingung x s = b · ϕ ⇒ dx s = bdϕ (117)
miteinander verknüpft. Da aus Gl. (117) auch d2 x s
dt 2 = b d2 ϕ
dt 2 folgt, enthalten die Gleichungen
(114)-(116) nur die drei Unbekannten d 2 x s /dt 2 , N und R. Das Problem hat nur einen
Freiheitsgrad. Aus Gl. (115) und Gl. (116) ergibt sich dann
d 2 x s F(cos α − a/b)
= . (118)
dt2 M + I s /b 2
Dabei muss F so gewählt werden, dass immer R H ≤ µ H N gewährleistet ist. In Gl. (118)
bestimmt cos α das Vorzeichen von d 2 x s /dt 2 .
F ⃗ Fall b): Reines Gleiten
★✥
✓✏
✒✑
✧✦ ✡✡ ✡ ✡ ✡✡✣ Ist speziell cos α = a/b, so verläuft die Wirkungslinie von F durch den
Auflagepunkt; es wirkt daher kein Drehmoment auf die Spule, sie kann sich
α nur gleitend bewegen, ohne zu rollen.
9.6.4 Rollen und Gleiten eines Zylinders auf schiefer Ebene
Schwerpunkts- und Drehimpulssatz bezüglich S liefern die Bewegungsgleichungen
★✥
a ✄ ✄✗ y
✄ ✄✗ N
✄
❳❳ ❳2❳ ✧✦
❳❳ ✄
❳ ✄ ❳❳❳ ❳
R ❳ ❳3 ❄Mg
x
❳
α ❳❳❳
y-Komponente: 0 = Mg cos α − N (119)
M d2 x s
dt = Mg sin α − R (120) I d 2 ϕ
2 s = Ra. (121)
dt2 Ohne Reibung R ist kein Rollen mit ⃗ L s = 0 am Anfang möglich. Wir diskutieren wieder
2 Fälle:
a) Reines Rollen Wir haben die Bedingung R ≤ µ H N
und die Rollbedingung x s = aϕ ⇒ d2 x s
dt 2 = a d2 ϕ
dt 2 ,
so dass R aus Gl. (120) und (121) eliminiert werden kann:
104
d 2 x s
dt 2 =
g sin α
1 + I s /Ma 2.

Das Problem hat nur einen Freiheitsgrad. Mit den Anfangsbedingungen
x s (0) = 0,v s (0) = 0 lautet die Lösung der Bewegungsgleichung [vgl. freier Fall]
x s (t) =
g sin α
2(1 + I s /Ma 2 ) t2 .
Aus der Gleichung (120) oder (121) ergibt sich für die Haftreibungskraft
1 d 2 (
)
x s
I s
a 2 dt = R = Mg sin α 1
I s
1 − = Mg sin α
2 1 + I s /Ma 2 I s + Ma 2.
Handelt es sich speziell um einen Vollzylinder, so ist I s = M a 2 /2, also
R = 1Mg sin α, wobei R ≤ µ 3 HMg cos α sein muss. Reines Rollen ist somit nur
dann möglich, wenn 1 3 Mg sin α ≤ µ HMg cos α, also tanα ≤ 3µ H .
Die Rollzeit T, während der sich die Höhe des Schwerpunkts um den Betrag h
ändert, ergibt sich aus h/ sin α = x s (t) zu
h = x s (T) sin α = g sin2 αT 2
2(1 + I s /Ma 2 ) , und T = 1
sin α√
2h
g
(
1 + I s
Ma 2 )
. (122)
Die Rollzeit ist somit länger als die entsprechende Gleitzeit für einen Massenpunkt,
welche aus Gl. (122) für I s = 0 folgt. Die Ursache für diesen Unterschied werden wir
mit der kinetischen Energie in Kapitel 9.7 diskutieren.
Gleich schwere und gleich grosse Zylinder mit verschiedenen Trägheitsmomenten
(z.B. Hohlzylinder T ′ und Vollzylinder T ′′ aus verschiedenen Materialien) haben
verschiedene Rollzeiten
√
T ′ ( ) )
= 1 + I′ s
/
(1 + I′′ s
. (123)
T ′′ Ma 2 Ma 2
Ähnliche Hohlzylinder, d.h. solche, deren innerer und äusserer Radius dasselbe
Verhältnis besitzen, haben die gleiche Rollzeit. Für einen Hohlzylinder gilt nämlich
( )
I s = M 2 (a2 1 + a 2 2) = Ma2 2
2
Einsetzen in Gl. (123) ergibt T ′ = T ′′ .
b) Rollen und Gleiten
1 + a2 1
a 2 2
Ist der Neigungswinkel α der schiefen Ebene genügend gross, so wird die durch die
Kraft Mg sin α − R erzeugte Beschleunigung d 2 x s /dt 2 so gross, dass die durch das
Drehmoment von R hervorgerufene Winkelbeschleunigung d 2 ϕ/dt 2 zu klein ist, um
die Rollbedingung zu erfüllen. Der Zylinder gleitet und beginnt sich dabei zu drehen.
Die Bewegung hat nun 2 Freiheitsgrade. Die Reibungskraft ist mit
R = µ G N = µ G Mg cos α bestimmt.
.
Aus Gl. (120) und (121) folgt
d 2 x s
dt 2 = g(sinα − µ G cos α),
105
d 2 ϕ
dt = µ GMga cosα
.
2 I s

Unter Erfüllung der Anfangsbedingungen: x s (0) = 0; v s (0) = 0; ϕ(0) = 0; ω(0) = 0
lauten die Lösungen v s (t) = g(sinα − µ G cos α)t, x s (t) = g 2 (sin α − µ G cosα)t 2
ω(t) = µ GMga cos α
I s
t, ϕ(t) = µ GMga cos α
2I s
t 2 .
Speziell für einen Vollzylinder mit I s = Ma 2 /2 wird ω(t) = 2µ Gg cos α
a t.
Würde dieser Zylinder rollen ohne zu gleiten, würde die Rollbedingung
ω ′ (t) = v s(t)
a
= g(sinα − µ G cos α)t
a
verlangen, dann wäre
ω ′
ω = 1 (tanα−µ G ).
2µ G
Da tanα > 3µ G , so ist ω ′ > ω, d.h. der Zylinder dreht sich zu langsam, um rein
rollen zu können.
9.6.5 Aufsetzen eines rotierenden Zylinders auf eine schiefe Ebene
★✥ N
❏❪ x Die Bewegungsgleichungen lauten 0 = Mg cos α − N (124)
❅❘
a❏
ϕ
❏
✧✦ ❏✑ ✑✑✸ R
✑ ✑✑✑✑✑✑✑✑✑✸ ❄ Mg M d2x s = R−Mg sin α (125)
dt I d 2 ϕ
2 s = −Ra. (126)
dt2 α
Wird der Zylinder zur Zeit t = 0 so aufgesetzt,
dass die Anfangsbedingungen v s (0) = 0, ω(0) = ω ◦ gelten, so wird er zunächst gleiten, es
gilt also R = µ G N = µ G Mg cosα. Aus Gl. (125) und Gl. (126) folgt dann
d 2 x s
dt 2 = g(µ G cosα − sin α),
d 2 ϕ
dt = −µ GMga cosα
.
2 I s
Unter Berücksichtigung der Anfangsbedingungen liefert die Integration:
v s (t) = g(µ G cosα − sin α)t,
ω = ω ◦ − µ GMga cosα
I s
t.
Wenn µ G > tanα, so bewegt sich der Zylinder die schiefe Ebene hinauf; im Falle µ G <
tanα bewegt er sich abwärts. Für den speziellen Fall tanα = µ G verschwindet v s . Der
Zylinder rotiert an der Aufsatzstelle, ohne sich fortzubewegen.
Diese Lösungen sind nur bis zum kritischen Zeitpunkt T k gültig, wenn der Zylinder
so stark abgebremst wurde, dass die Rollbedingung v s (T k ) = aω(T k ) erfüllt werden kann
und der Zylinder danach nur noch rollt ohne zu gleiten, wie im vorigen Beispiel diskutiert
wurde. Setzen wir v s und ω in die Rollbedingung ein, ergibt sich
(
)
µMga cosα
g(µ G cos α − sin α)T k = a ω ◦ − T k .
I s
Daraus folgt T k =
aω ◦
g(µ G cos α − sin α) + µ G Mga 2 cos α/I s
.
106

v
✻
◗ ◗ a · ω
◗
◗
◗
◗
v s
✟ ✟✟✟✟✟✟ ✲
T k t
Speziell für einen Vollzylinder wird
T k =
aω ◦
g(3µ G cos α − sin α) .
Die zugehörige kritische Winkelgeschwindigkeit ist
ω k = ω ◦
(1 −
)
2µ G
.
3µ G − tanα
9.7 Die kinetische Energie bei ebener Translation und Rotation
Ein Körper der Masse M führe eine ebene Bewegung aus, d.h. alle Geschwindigkeiten
(und auch ⃗v s des Schwerpunktes) liegen parallel zu einer xy-Ebene und der Winkelgeschwindigkeitsvektor
⃗ω steht senkrecht zur Ebene. Die Geschwindigkeit eines beliebigen
Massenelements dM ist dann ⃗v = ⃗v s + ⃗ω × ⃗r ′ , und seine kinetische Energie ist
z
→
v
. r
dT = dM 2 v2 = dM 2
[
v
2
s + 2⃗v s (⃗ω × ⃗r ′ ) + (⃗ω × ⃗r ′ ) 2] .
y
S
ω → →
ϕ
r
dM
→
v s
Es ist |⃗ω × ⃗r ′ | = ωr ′ sin ϕ = ωr ⊥ , also
(⃗ω × ⃗r ′ ) 2 = ω 2 r 2 ⊥, r ⊥ ist der Abstand des Elements
dM von der Drehachse. Die totale kinetische Energie
wird mit Integration über den ganzen Körper:
x
T = 1 ∫
2 Mv2 s + ⃗v s (
⃗ω × ⃗r ′ dM) + 1 2 ω2 ∫
r 2 ⊥ dM
Der mittlere Term verschwindet, weil ∫ ⃗r ′ dM = 0 auf Grund der Definition des Schwerpunktes.
Im 3. Term stellt das Integral das Trägheitsmoment dar. Wir haben somit:
T = 1 2 Mv2 s + 1 2 I sω 2
die kinetische Energie bei der ebenen Bewegung.
Es gilt E-Erhaltung konservativer Kräfte:
T Trans + T Rot + V = E tot = konst.
Rotiert der Körper speziell um eine starre Achse im Abstand d von S, so ist v s = ωd, also
nach dem Satz von Steiner
T = M 2 ω2 d 2 + I s
2 ω2 = I ◦
2 ω2 .
Im allgemeinen Fall kann die kinetische Energie in einen Translationsanteil T T und einen
Rotationsanteil T R zerlegt werden. Für den letzteren gilt mit dϕ = ωdt
( ) 1
dT R = d
2 I sω 2 = I s ω dω
dt dt = M szdϕ,
denn M sz = I s
dω
dt
ist die z-Komponente des Drehmomentes bezüglich S. Also folgt durch
Integration
∫
(T R ) 2 − (T R ) 1 = 2 M sz dϕ.
1
107

Die Änderung des Rotationsanteils der kinetischen Energie ist gleich der Arbeit
jener Kräfte, die bezüglich des Schwerpunktes ein Drehmoment ausüben.
Die Änderung von T T rührt offenbar von jenen Kräften her, welche nur die Translation
des Körpers beeinflussen. Insgesamt muss natürlich wieder der Energiesatz der Mechanik
in der Form (T T + T R ) 2 − (T T + T R ) 1 = W 1→2 von Kapitel 4.2 gelten.
Zur Veranschaulichung betrachten wir das Beispiel des rollenden
Zylinders auf der schiefen Ebene, der aus der Ruhe
✄❳ ❳2❳❳ ❳ ❳
★✥ ❳❳❳ ✄ ❳ ❳
❳3❳ starten möge und eine Strecke l hinabrollt. Für die Rotationsbewegung
lautet die Energiebilanz
a l ✄
✄ ✄✗ N
✄ ✄
❳❳ ✄✗ y
❳2❳ ✧✦
❳ ❳❳❳ ✄
❳ ✄
h ✻
✄
R ❳❳❳
❳❳❳3 ❄Mg
x
∫ ∫
M
❄ α ❳ sz dϕ = Ra dϕ = Raϕ = Rl = 1 ❳ ✄
2 I sω 2 ,
wobei wir die Rollbedingung aϕ = l benutzt haben. Für die Translationsbewegung gilt
∫
(Mg sin α − R)dx = (Mg sin α − R)l = 1 2 Mv2 .
1
Addition beider Gleichungen liefert:
2 Mv2 + 1 2 I sω 2 = Mgl sin α = Mgh, (127)
im Einklang mit dem Energieerhaltungs-Satz.
Das Ergebnis dieser Überlegungen: die Arbeit der Haftreibung R ist herausgefallen!
Die Haftreibung ist keine dissipative Kraft, d.h. sie wandelt nicht mechanische Energie in
Wärme um. Die bei der Translationsbewegung verloren gegangene Energie wird bei der
Rotation vollständig zurückgewonnen. Die Haftreibung transformiert nur eine Form der
mechanischen Energie in eine andere.
Gleichung (127) erklärt, warum ein Hohlzylinder, der gleiche Masse und Dimension wie
ein Vollzylinder, aber ein grösseres Trägheitsmoment hat, zum Abrollen von der schiefen
Ebene eine längere Zeit braucht.
Eine Variante dieses Versuches ist das Abrollen eines Zylinders
an einem senkrechten Faden. Energieerhaltung:
♠
✻ ✻ ✻
z 1
h ♠❄
z 2
Mgh = M ( ) 2
dz1
+ I ( ) 2
s 1 dz1
+ Mg(h − z
2 dt 2 R 2 1 ),
dt
♠❄
❄ ♠ v = 0
wobei I s = M 2 R2 gilt und damit | dz 1
| = √ 4
gz dt 3 1.
∫ s 1 √
dz 1
Folglich wird die Fallzeit T 1 = √ 4
◦ gz = 3 s 1
für die Fallstrecke s 1 .
g
3 1
Für den frei fallenden Zylinder gilt Mgh = M 2
| dz √
∫ s 2
2
dt | = 2gz 2 und T 2 =
◦
( ) 2
dz2
+ Mg(h − z 2 ),
dt
dz
√ 2
= 2gz2
√
2 s 2
g .
Für gleiche Fallzeiten verhalten sich die Fallstrecken wie s 1 /s 2 = 2/3.
108

9.8 Eigenschaften des Kreisels
9.8.1 Trägheitstensor und Eulersche Kreisel-Gleichungen †
Auf Grund der formalen Ähnlichkeit von Impuls- und Drehimpulssatz, also von
d⃗p
dt = F ⃗ dL und
⃗ ◦
= M
dt
⃗ ◦ ,
könnte man vermuten, dass der Beziehung ⃗p = m⃗v ein ähnlicher Zusammenhang zwischen
⃗L und ⃗ω bei der Rotation entspricht. Das ist aber im allgemeinen nicht der Fall. Die
Beziehung L ◦z = I ◦ ω gilt nur für ebene Bewegungen.
Wird ein Punkt ◦ eines starren Körpers festgehalten, dann nennt man die Bewegung
um ◦ eine Kreiselung. Sie besitzt drei Rotationsfreiheitsgrade, die jedoch wesentlich
komplizierter sind als drei reine Translationsfreiheitsgrade. Die Schwierigkeiten mehrerer
Rotationsfreiheitsgrade haben folgende Gründe:
1. Es gibt keine Koordinaten, deren Ableitungen direkt Geschwindigkeiten darstellen,
wie bei den Translationen. Drehungen sind Pseudovektoren (axiale Vektoren), deren
Reihenfolge nicht wie bei polaren Vektoren vertauscht werden kann.
2. Die Trägheitsmomente hängen von der Achsenwahl ab. Ändert die Achse mit der
Zeit die Richtung, so wird I = I(t), während in Analogie für Translationen die
Masse m konstant ist.
3. Für Drehungen gilt im allgemeinen ⃗ L ≠ I⃗ω, da ⃗ L im allgemeinen nicht die Richtung
von ⃗ω hat. Das Trägheitsmoment muss daher durch einen Tensor 76 I dargestellt
werden, so dass gilt ⃗ L = I⃗ω.
Im folgenden wird der Trägheitstensor rein buchhalterisch für Schreibfaule eingeführt,
wobei die Rechenregeln in der Matrizendarstellung zwanglos einsichtig sind.
Ein Beispiel der Aussage ⃗ L ≠ I⃗ω, ist die Hantel, deren Mitte mit einer vertikalen
Achse verbunden ist, die mit ⃗ω rotiert.
76 Tensoren sind physikalische Objekte, die durch ihr Transfomationsverhalten definiert sind.
Skalare sind Tensoren 0. Stufe. Vektoren sind Tensoren 1. Stufe.
Tensoren 2. Stufe, wie das Trägheitsmoment können im einmal gewählte Koordinatensystem durch eine
n × n Matrix (ein Zahlenschema) dargestellt werden. Man bildet aus Vektoren einen Tensor durch das
⎛
dyadische Produkt A = ⃗a ⊗ ⃗ b = ⎝
⎞
a x b x a x b y a x b z
a y b x a y b y a y b z
⎠ =
a z b x a z b y a z b z
Es gilt ⃗a( ⃗ b ·⃗c) = (⃗a ⊗ ⃗ b)⃗c, beachte jedoch: ⃗a( ⃗ b · ⃗c) ≠ (⃗a ·⃗b)⃗c.
⎛
Der Einheitstensor ist 1I = ⎝
1 0 0
0 1 0
0 0 1
⎛
⎝
⎞
⎠
⎞
A xx A xy A xz
A yx A yy A yz
⎠
A zx A zy A zz
.
Man führt den Tensor auch oft mit der Bedingung ⃗a( ⃗ b · ⃗c) = (⃗a ⊗ ⃗ b)⃗c ein; dann ist die Multiplikationsvorschrift
⊗ definiert und ⃗a ⊗ ⃗ b stellt einen Tensor 2.Stufe dar. Ein allgemeiner Tensor p-ter Stufe ist
durch das mehrfache Produkt von p vektoriellen Faktoren gegeben.
Vergleiche die bisher bekannten Verknüpfungen von zwei Vektoren durch das Skalarprodukt und das
Vektorprodukt.
109

m
→
dL o
dϕ
→ m
L ω →
o α
→
. r 1 =r
→
r 2
→
p 2
→
→ →
p 1 =p
Die Hantel ist um den Winkel α gegen diese Drehachse
geneigt. Der Drehimpuls ⃗ L ◦ der Hantel bezüglich ◦ ist
⃗L ◦ = ⃗r 1 × ⃗p 1 + ⃗r 2 × ⃗p 2 , oder wegen −⃗r 2 = ⃗r 1 = ⃗r und
−⃗p 2 = ⃗p 1 = ⃗p ist ⃗ L ◦ = 2(⃗r × ⃗p) = 2m(⃗r × ⃗v). ⃗ L ◦ dreht sich
mit der Winkelgeschwindigkeit ⃗ω auf einem Kegelmantel
um ⃗ω mit dL ◦ /dt = L ◦ sin α dϕ/dt = |⃗ω × ⃗ L ◦ | ; ⃗ L ◦ und
⃗ω stehen also nicht parallel zueinander. Diese Bewegung
ist nur möglich mit einem äusseren z.B. durch Lagerkräfte
aufgebrachten Drehmoment
⃗M ◦ = d⃗ L ◦
dt
= ⃗ω × ⃗ L ◦ ; ohne Lagerkräfte dreht die Hantel
bis ⃗ L ◦ ‖ ⃗ω steht und ⃗ M ◦ = 0 wird.
Wir wollen jetzt einen allgemeinen Zusammenhang zwischen ⃗ L ◦ und ⃗ω finden und dann
mit Hilfe des Drehimpulssatzes Bewegungsgleichungen, die Eulerschen Kreiselgleichungen,
aufstellen, die für die Kreiselbewegung gelten, d.h. für Bewegungen eines starren Körpers,
von dem ein Punkt fest gehalten wird.
Wenn bei einer Kreiselung ein Punkt des Körpers im Raume fest bleibt, dann kann
dieser Punkt ◦ als raum- (⃗r i ) und körperfester (⃗r ′ i) Ursprung gewählt werden. Es ist
dann ⃗r i = ⃗r ′ i und die Zeitabhängigkeit steckt im raumfesten System in den Komponenten
von ⃗r i und im körperfesten System in den Basisvektoren ⃗i ′ , ⃗j ′ , ⃗ k ′ von ⃗r ′ i. Es gilt nach der
Definition des Drehimpulses für einen Massenpunkt ⃗ L ◦i = m i ⃗r i × (⃗ω × ⃗r i ) und damit für
n∑
n Massenpunkte 77 L◦ ⃗ = ⃗L ◦i =
1
oder für einen ausgedehnten Körper
∫ ∫
∫
⃗L ◦ = ⃗r×⃗v dm = ⃗r×(⃗ω×⃗r) dm =
n∑
m i ⃗r i × (⃗ω ×⃗r i ) =
1
∫
[r 2 ⃗ω−(⃗r·⃗ω)⃗r] dm =
n∑
m i [ri 2 ⃗ω − (⃗r i · ⃗ω)⃗r i ] (128)
1
[r 2 ⃗ω−(xω x +yω y +zω z )⃗r] dm
Hier hängt ⃗ω in der Summe nicht von i und im Integral nicht von der Massenverteilung
ab. Es besteht jetzt das mathematische Problem, wie man ⃗ω aus der Summe herausziehen
kann oder vor das Integral stellen kann, um so die Beziehung L ⃗ ◦ = I ◦ ⃗ω aufstellen und
den Trägheitstensor I ◦ berechnen zu können. Dazu berechnet man die drei Komponenten
des Drehimpulses 78 ∫
∫ ∫
L ◦x = ω x (y 2 + z 2 ) dm −ω y yxdm −ω z zx dm
} {{ }
I xx
} {{ }
C yx
} {{ }
C zx
∫
∫ ∫
L ◦y = ω y (x 2 + z 2 ) dm −ω x xy dm −ω z yz dm
} {{ } } {{ } } {{ }
I yy C xy C yz
∫
∫ ∫
L ◦z = ω z (x 2 + y 2 ) dm −ω x xz dm −ω y yz dm
} {{ } } {{ } } {{ }
I zz C xz C yz
Die Trägheitsmomente I in den obigen Gleichungen sind in Analogie zum Trägheitsmoment
der ebenen Bewegung definiert. Die übrigen nichtdiagonalen Terme C werden
77 Beachte hier die Vektoridentität ⃗a × ( ⃗ b × ⃗c) = (⃗a · ⃗c) ⃗ b − (⃗a ·⃗b)⃗c.
78 Man erhält natürlich das gleiche Ergebnis, wenn man direkt das dreifache Vektorprodukt ausrechnet.
110

als Deviationsmomente bezeichnet. Für alle drei Komponenten erhält man so in einer
buchhalterischen Anordnung 79
L ◦x =I xx ω x −C xy ω y −C xz ω z
L ◦y =I yy ω y −C yz ω z −C yx ω x
L ◦z =I zz ω z −C zx ω x −C zy ω y
⇒ ⃗ L ◦ = I⃗ω =
I =
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
⎞
+I xx −C xy −C xz
⎟
−C yx +I yy −C yz ⎠
−C zx −C zy +I zz
∫ (y 2 + z 2 ) dm − ∫ xy dm − ∫ xz dm
− ∫ yx dm ∫ (x 2 + z 2 ) dm − ∫ yz dm
− ∫ zx dm − ∫ zy dm ∫ (x 2 + y 2 ) dm
⎞
⎛
⎜
⎝
⎞
ω x
⎟
ω y
ω z
⎠ (129)
⎟
⎠ (130)
Jede Komponente des Drehimpulses ist eine lineare Funktion von allen Komponenten der
Winkelgeschwindigkeit ⃗ω. 80
Der Trägheitstensor I ist symmetrisch, d.h. es ist C ij = C ji und es lässt sich ein
körpereigenes Koordinatensystem S ′ mit den Einheitsvektoren ⃗e 1 , ⃗e 2 , ⃗e 3 finden, in dem
alle Deviationsmomente C ij verschwinden und nur noch die diagonalen Trägheitsmomente
I ii der Hauptachsen übrigbleiben (Beweis in der theoretischen Physik). Die Hauptachsen
fallen oft mit den Symmetrieachsen eines Körpers zusammen. Es gilt dann mit den
Abkürzungen I 11 = I 1 , I 22 = I 2 und I 33 = I 3 für ein Hauptachsensystem
⃗L ◦ = I 1 ω 1 ⃗e 1 + I 2 ω 2 ⃗e 2 + I 3 ω 3 ⃗e 3 (131)
Auch im Hauptachsensystem ist L ⃗ ◦ nicht parallel zu ⃗ω, da (ausser für eine homogene
Kugel) I 1 ≠ I 2 ≠ I 3 ist. Bildet man mit Gl.(129), die für ein raumfestes Koordinatensystem
hergeleitet wurde, die Bewegungsgleichung M ⃗ ◦ = d⃗ L ◦
, dann sind die Komponenten
dt
des Trägheitstensors zeitabhängig I = I(t) und der Drehimpuls L ⃗ ◦ wird kompliziert, es
treten jedoch im raumfesten System keine Scheinkräfte auf. Im körperfesten und damit
bewegten Hauptachse-System ist der Trägheitstensor diagonal 81 und der Drehimpuls ist
einfach entsprechend Gl.(131); es müssen dann jedoch im rotierenden System Scheinkräfte
eingeführt werden. Das Hauptachsensystem dreht sich mit der Winkelgeschwindigkeit ⃗ω
79 Die Multiplikation eines Tensors A, der durch die 3×3 Matrix dargestellt wird, mit den drei Komponenten
des Vektors wird mit den üblichen Regeln der Matrizenmultiplikation durchgeführt:
A⃗r = ∑ A xl r l
⃗i + ∑ A yl r l
⃗j + ∑ ∑ ∑
A zl r l
⃗ k = A il r l ⃗e i = ⃗r ′
l
l
l
i
Rezept: Multipliziere die einzelnen Zeilen-Terme der Matrix mit den Spalten-Termen des Vektors.
80 Mit den Tensorrechenregeln (siehe die zwei der vorhergehenden Fussnoten) kann die Detailrechnung
mit allen einzelnen Komponenten von Gl. (128) bis (130) in zwei Zeilen elegant abgeleitet werden:
l
⃗L ◦ =
n∑
m i [ri 2 ⃗ω − (⃗r i · ⃗ω)⃗r i ] mit ⃗a( ⃗ b ·⃗c) = (⃗a ⊗ ⃗ b)⃗c und ⃗u = s ⃗ b = s1I ⃗ b ist
1
⃗L ◦ =
n∑
n∑
m i [ri 2 1I⃗ω − (⃗r i ⊗ ⃗r i )⃗ω] = [ m i (ri 2 1I − ⃗r i ⊗ ⃗r i )] ⃗ω = I⃗ω.
1
1
} {{ }
= I
81 Als ein einfaches Beispiel sei der Trägheitstensor eines zweiatomigen Moleküls (H 2 , N 2 , O 2 ) im körperfesten
Hauptachsensystem berechnet:
111

gegenüber dem raumfesten System. L. Eulers 82 Idee war, die Vorteile zu kombinieren und
die Nachteile zu unterdrücken. Die zeitliche Ableitung d dt wird mit dem einfachen ⃗ L ◦ im
Hauptachsensystem also d⃗ L ◦
= M ⃗ dt ◦ und im körpereigenen beschleunigten Relativsystem
mit Gl.(88)
d
dt = d′
dt + ⃗ω × gebildet: dL ⃗ ◦
dt
= d′ ⃗ L◦
dt
+ ⃗ω × L ⃗ ◦ und d⃗ω
dt = d′ ⃗ω
dt
+ ⃗ω × ⃗ω = d′ ⃗ω
} {{ } dt
=0
Für das körperfeste Hauptachsensystem ist I =konst. keine Funktion der Zeit und
damit d′ I 1
dt
= 0 und es folgt mit Gl.(131) sowie ⃗ω = ω 1 ⃗e 1 + ω 2 ⃗e 2 + ω 3 ⃗e 3
d ′ ⃗ L◦
dt
= I 1
d ′ (ω 1 ⃗e 1 )
dt
+ I 2
d ′ (ω 2 ⃗e 2 )
dt
+ I 3
d ′ (ω 3 ⃗e 3 )
dt
= I 1
d ′ ω 1
dt ⃗e 1 + I 2
d ′ ω 2
dt ⃗e 2 + I 3
d ′ ω 3
dt ⃗e 3 ,
im körperfesten System ruht ⃗e 1 , damit ist d′ ⃗e 1
dt
= 0 (analog für ⃗e 2 , ⃗e 3 ) und es folgt
⃗M ◦ = d⃗ L ◦
dt
= d′ ⃗ L◦
dt
+ ⃗ω × ⃗ L ◦ = I 1
dω 1
dt ⃗e 1 + I 2
dω 2
dt ⃗e 2 + I 3
dω 3
dt ⃗e 3 + ⃗ω × ⃗ L ◦
Die Komponente von ⃗ M ◦ im Hauptachsensystem z.B. für die 1-Komponente ist
M 1 = I 1
dω 1
dt + (ω 2L ◦3 − ω 3 L ◦2 ) und mit L ◦2 = I 2 ω 2 , L ◦3 = I 3 ω 3 ⇒ analog für M 2 , M 3
M 1 = I 1
dω 1
dt − (I 2 − I 3 )ω 2 ω 3
M 2 = I 2
dω 2
dt − (I 3 − I 1 )ω 3 ω 1
M 3 = I 3
dω 3
dt − (I 1 − I 2 )ω 1 ω 2
die Eulerschen Gleichungen
im körperfesten
Hauptachsensystem 123
(132)
9.8.2 Der kräftefreie rotationssymmetrische Kreisel
Auf einen kräftefreien Kreisel wirkt kein Drehmoment ⃗ M ◦ = 0. Er kann im Schwerefeld
realisiert werden, indem man ihn im Schwerpunkt aufhängt, der raumfeste Punkt
✻
2
i=1 ✉
i=2 ✉ ✲
d
✁
✁
d 1
✁
✁
✁☛3
r 11 = −d, r 12 = 0, r 13 = 0, ri 2 = r2 i1 + r2 i2 + r2 i3
r 21 = +d, r 22 = 0, r 23 = 0,
⎛ ∑
mi (ri 2 − r i1r i1 ) − ∑ m i r i1 r i2 − ∑ ⎞
m i r i1 r i3
I = ⎝ − ∑ ∑
m i r i2 r i1 mi (ri 2 − r ∑
i2r i2 ) mi ri 2r3 i
− ∑ m i r i3 r i1 − ∑ ⎠
∑
m i r i3 r i2 mi (ri 2 − r i3r i3 )
⎛ ⎞
0 0 0
I = 2m ⎝ 0 d 2 0 ⎠ und I 1 = 0, I 2 = 2md 2 , I 3 = 2md 2 .
0 0 d 2
82 Leonard Euler (1707-1783) in Basel geboren, der Vater war Pastor in Riehen, studierte in Basel
Theologie und dann Mathematik und Physik. 1727 erhielt er in der St. Petersburger Akademie die Stelle
eines mathematischen Adjunkts, er erblindete 1735 auf dem rechten Auge, wurde 1741 Direktor der
Akademie in Berlin, erblindete 1766 in Petersburg vollständig. Er war ein Anhänger der Wellentheorie
des Lichtes, sein klassisches Werk populärer Wissenschaft: “Lettres à une Princesse d’Allemagne”.
112

◦ ist dann gleich dem Schwerpunkt S, oder eine kardanische Aufhängung wählt 83 . Bei
Rotationssymmetrie ist im körpereigenen System I 1 = I 2 = I und die 3-Achse ist die
Figurenachse durch den Schwerpunkt.
1
2
3
S=o
Mit Gl.(132) und dL s
dt
= M s = dL ◦
dt
= M ◦ = 0 ist
0 = I dω 1
dt − (I − I 3)ω 2 ω 3 | 1 d · · · I dt
0 = I dω 2
dt − (I 3 − I)ω 3 ω 1
0 = I
dω 3 3
dt − (I − I)ω 1ω 2 = I
dω 3 3
dt
⇒ ω 3 = konst
Kombiniert man wie angegeben die beiden ersten
Gleichungen, dann erhält man
S
3
0 = d2 ω 1
dt − I − I 3 dω 2
2 I dt ω 3 = ¨ω 1 − (I − I 3)(I 3 − I)
ω 1 · ω3 2 = ¨ω 1 + ω 1 · ω 2
I · I
◦. (133)
Man beobachtet folgende Bewegungen der einzelnen Axialvektoren:
z
3
Dies ist eine Schwingungsgleichung mit der konstanten Frequenz ω ◦ = (I 3−I)
ω
I 3 und den
Lösungen ω 1 = c · sin(ω ◦ t − δ) sowie mit der 1. Gleichung ω 2 = −c · cos(ω ◦ t − δ).
Figurenachse
Gangpolkegel
ω →
3 Im körperfesten System ist ω1 2 + ω2 2 = ω⊥ 2 = c 2 .
ω 1 und ω 2 sind die Komponenten eines Vektors ω ⊥ , der
in der senkrecht zur 3-Achse stehenden Ebene mit der
→
→ ω3
ω
Winkelgeschwindigkeit ω ◦ rotiert. Da ⃗ω = ⃗ω ⊥ +ω 3 ⃗e 3 gilt,
ist auch |⃗ω| =konst. Somit muss sich ⃗ω auf einem Kegel,
dem Gangpolkegel, um die Figurenachse drehen. Ist
→
ω 2 ω 1 = ω 2 = 0 und damit ⃗ω = ω 3 =konst, dann bleibt der
→
ω1
2 Kreisel in der Figurenachse stehen (ruhender Kreisel).
1
c
Im raumfesten System ist der Drehimpuls L ⃗ s =konst.
korperfestes
" Man wählt daher zweckmässig die
System z-Achse ↑↑ L ⃗ s = I 1 ω 1 ⃗e 1 + I 2 ω 2 ⃗e 2 + I 3 ω 3 ⃗e 3 ;
I hat im körperfesten Hauptachsensystem nur Diagonalelemente. Die 3-Komponente
des Drehimpulses ist L s3 = I 3 ω 3 = L s cos ϑ =konst.
Nutationskegel
→
L s
ϑ
L s3
raumfestes System
✡ ✡✣ ✄✗ ❈❖
✄ ❈
✡ ✄ ❈
✡ ✄⃗L s ❈
✡ ✄
❈❖ ✄ ✡ ✡✣
❈ ✄ ✡
(I 3 − I)ω 3 ⃗e 3 ❈ ✄✡
I⃗ω
❈✄✡
⃗ω dreht auf dem Gangpolkegel um die Figurenachse 3 im
körperfesten Hauptachsensystem.
Die Figurenachse 3 dreht unter dem konstanten Winkel ϑ um
die raumfeste z-Achse (Nutationskegel). Wie bewegt sich ⃗ω
inbezug auf die raumfeste z-Achse?
Aus der Energiebetrachtung Gl.(137)
T rot = 1⃗ωI 2 s⃗ω = 1⃗ω · ⃗L 2 s = 1ω 2 zL z =konst,
muss mit L z = L s =konst auch ω z =konst gelten, damit läuft ⃗ω
auf einem Kegel um die z-Achse (Rastpolkegel). Wir überzeugen
uns, dass dann alle drei Vektoren ⃗ L s , ⃗ω und ⃗e 3 =3-Achse in
jedem Moment in einer Ebene liegen. Es ist ja
⃗L s = I(ω 1 ⃗e 1 + ω 2 ⃗e 2 ) + I 3 ω 3 ⃗e 3 = I⃗ω ⊥ + I 3 ω 3 ⃗e 3 =
= I(⃗ω − ω 3 ⃗e 3 ) + I 3 ω 3 ⃗e 3 = I⃗ω + (I 3 − I)ω 3 ⃗e 3 .
Der Summenvektor ⃗ L s liegt in der durch die Komponentenvektoren
⃗ω und ⃗e 3 aufgespannten Ebene.
83 Ein Diskus fliegt frei von Drehmomenten, da die Schwerkraft ⃗ G am Schwerpunkt angreift.
113

Nutationskegel
Rastpolkegel
z
Da die relative Lage der drei Vektoren sich nicht ändert,
bleibt als einzig mögliche Bewegung die Drehung dieser
Ebene um die raumfeste L s - Richtung übrig. Da sich
3 aber ⃗ω schon um die Figurenachse dreht und sich beide
→
ω → um die L ⃗ s -Achse drehen, haben wir folgendes Resultat
L s
für die Bewegung des symmetrischen Kreisels 84 :
Gangpolkegel a) ⃗ω dreht sich um L s auf dem raumfesten Rastpolkegel.
prolater Kreisel I 1 = I 2 > I 3
3
Nutationskegel
Gangpolkegel
z
→
L s
Rastpolkegel
ω →
oblater Kreisel I 1 = I 2 < I 3
b) ⃗ω dreht sich um die Figurenachse 3 auf dem körperfesten
Gangpolkegel.
c) Beide Kegel rollen aufeinander ab, ⃗ω bildet die gemeinsame
Mantellinie.
d) Die Figurenachse dreht sich um ⃗ L s auf dem raumfesten
Nutationskegel.
Je nach Anfangsbedingungen ist natürlich auch der Spezialfall
möglich, dass die ⃗ω-Drehachse und die Figurenachse
mit der Richtung des raumfesten Drehimpulses zusammenfallen.
9.8.3 Stabilität der Drehachse für Körper ohne Rotationssymmetrie
Die Stabilität eines Systems z.B. im Schwerefeld kann untersucht werden, indem man
kleine Auslenkungen aus der Gleichgewichtslage untersucht und die resultierende Bewegungsgleichung
näherungsweise aufstellt. Die Bewegungsgleichung ist dann vom Typ
ẍ + a 2 x ≈ 0. Mit a 2 > 0 erhält man eine Lösung
x(t) ≈ cos at), x(t) bleibt endlich ist also stabil.
Mit a 2 < 0 ist x(t) ≈ e at und x(t) → ∞, die Lösung ist
labil.
stabil indifferent labil
Allgemein ist für eine kräftefreie Bewegung mit
⃗M ◦ = 0 und I 1 ≠ I 2 ≠ I 3 im Hauptachsensystem. Dreht sich der Körper bei Stabilität
praktisch nur um eine Hauptachse, dann ist ω 1 ≈ ω 2 ≈ 0 und ω 3 ≠ 0 und die Eulerschen
Gleichungen GL. (132), wenn der quadratisch kleine Term ω 1 ω 2 vernachlässigt wird, sind
˙ω 1 − I 2 − I 3
ω 2 ω 3 = 0, ˙ω 2 − I 3 − I 1
ω 3 ω 1 = 0, ˙ω 3 − I 1 − I 2
ω 1 ω 2
I 1 I 2 I 3
} {{ }
≈ 0
= 0 ⇒ ω 3 = konst.
Durch Differenzieren der ersten beiden Gleichungen und Einsetzen erhält man für ω 1 und
ω 2 die Schwingungsgleichungen
¨ω 1 − I 2 − I 3 I 3 − I 1
ω3
2 ω 1 = 0 und ¨ω 2 − I 3 − I 1 I 2 − I 3
ω3
2 ω 2 = 0
I 1 I
} {{ 2 I
}
2 I
} {{ 1
}
a 2 a 2
stabil für a 2 > 0 ⇒ I 2−I 3 I 3 −I 1
I 1 I 2
< 0, es muss dann I 3 das grösste oder das kleinste
Trägheitsmoment um die Hauptachse 3 sein.
84 Die Figuren beschreiben einen prolaten Kreisel (I 1 = I 2 > I 3 ), bei dem der Rastpolkegel ausserhalb
auf dem Gangpolkegel läuft, und einen oblaten Kreisel (I 1 = I 2 < I 3 ), bei dem der Rastpolkegel innerhalb
des Gangpolkegels läuft.
114

instabil für a 2 < 0 ⇒ I 1 < I 3 < I 2 führt ω 1 exponentiell von einer zunächst reinen
Rotation um die Hauptachse 3 weg ins Torkeln.
Die Hauptachsen mit dem grössten und dem kleinsten
Trägheitsmoment sind stabile Drehachsen.
Anschauliche Betrachtung dieser Stabilitätsbedingungen: Bei gleicher kinetischer Rotationsenergie
1 2 Iω2 entspricht die Rotation um die Hauptachse mit dem maximalen (minimalen)
Trägheitsmoment dem minimalen (maximalen) ω, d.h. ω kann bei erhaltener
Energie der Rotation nicht mehr in beide Richtungen verändert werden.
Ein anderes Stabilitätsbeispiel ist das Problem des Lassowerfers: Das Lasso klappt
beim Drehen zu einem Stab zusammen, da das Trägheitsmoment für den Stab mit der
Länge l kleiner ist als für einen Kreis mit dem Umfang 2l also I Stab = 1
12 ml2 < I Kreis =
1
ml 2 . Man muss deshalb beim Lassowerfen die Anfangsbedingungen besser wählen und
π 2
das Lasso steifer machen.
9.8.4 Symmetrischer Kreisel im Schwerefeld (Präzession)
z
✻
⃗r s ‖ ⃗ω ‖ L ⃗ ◦
❅
✒
❅
❅
✒ ❅
α
⃗r s ❄G
⃗ ❝
Wir kehren zum symmetrischen Kreisel zurück. Der Kreisel sei jetzt
aber nicht mehr im Schwerpunkt unterstützt, so dass das Gewicht ein
Drehmoment ⃗ M ◦ = ⃗r s × ⃗ G ausübt und folglich ⃗ L ◦ nicht mehr konstant
ist. Die daraus resultierende Bewegung der Drehimpulsachse nennt
man Präzession. Zur Vereinfachung nehmen wir an, die Figurenachse,
Drehachse und Drehimpulsachse fallen zusammen und ⃗r s liege in
der Figurenachse.
Es ist also ⃗ L◦ ‖ ⃗ω ‖ ⃗r s .
Ferner sei ω 3 sehr gross 85 . Dann sind wir nicht mehr auf die Euler-Gleichungen angewiesen,
sondern können den Drehimpulsatz
⃗ M◦ = ⃗r s × ⃗ G = d⃗ L ◦
dt
benützen.
L◦ ⃗
❄ präzessiert auf einem Kegelmantel, dem Präzessionskegel, um die
dL ⃗ ◦
❄ z-Achse. L ⃗ ◦ ist also ein Vektor, der im Relativsystem (Hauptachse)
⃗M ◦
konstant ist und im Absolutsystem nur seine Richtung aber nicht seinen
❜ ✠
✲
Da M ⃗ ◦ senkrecht zu L ⃗ ◦ aber parallel zu dL ⃗ ◦ steht, muss dL ⃗ ◦ senkrecht
auf L ⃗ ◦ stehen. Dieser Sachverhalt gilt für jeden Augenblick, also
muss sich die Spitze des L ⃗ ◦ -Vektors auf einem Kreis bewegen, L ⃗ ◦ selbst
Betrag ändert.
→
→
dL o
ω p
Für ihn gilt dann nach Gl. (88) in Kapitel 8.2
→
L o
α
⃗M ◦ = d⃗ L ◦
dt
= ⃗ω p × ⃗ L ◦ .
ω p nennt man Präzessions-Kreisfrequenz. Der Drehimpulsvektor
weicht also der angreifenden Kraft ⃗ G aus.
85 Der Grund für diese Annahme wird mit Gl. (135) klar.
115

Da | M ⃗ d
◦ | =
⃗ L ◦
∣ dt
= ∣ ∣⃗rs × G ⃗ ∣ ∣ = rs G sin α = ∣ ∣⃗ωp × ⃗ ∣
L ∣∣ ◦ = ωp L ◦ sin α gilt, folgt (134)
∣
ω p = r sG
L ◦
= r sMg
ω 3 I 3
die Präzessionsfrequenz
des rasch rotierenden
symmetrischen Kreisels
(135)
unabhängig von α. Infolge dieser Präzession hat der Kreisel einen kleinen Drehimpuls in
der z-Richtung erhalten. Falls jedoch ω p ≪ ω 3 ist, d.h. für ω3 2 ≫ r sMg
, können wir diesen
Drehimpuls vernachlässigen und nur mit ⃗ L ◦ rechnen.
Eine genaue Rechnung mittels der Euler-Gleichungen zeigt, dass die Kreiselachse nicht
eine einfache Präzession um die z-Achse ausführt, sondern dabei noch Schwankungen des
Winkels α auftreten (Nutation). Immerhin gibt es immer einen bestimmten Winkel α,
bei dem die Präzession nutationsfrei ist. Insbesondere ist die senkrechte Lage α = 0
nutationsfrei, solange gilt
→
N
ω > ω krit = 2 I 3
√Mgr s I 1 . schlafender Kreisel
Sieht man von der Nutation ab, so gelten für den Kreisel die folgenden Regeln:
→
ω p
→
ω
Mg
→
L o
Wand
1. Ein äusseres Drehmoment erzeugt bei einem frei beweglichen
Kreisel eine Präzession von ⃗ L ◦ , wobei die Änderung
von ⃗ L ◦ die Richtung von ⃗ M ◦ besitzt.
2. Verhindert man eine Präzession durch Anbringen von
Führungen, so erzeugen die Führungen Kräfte, die die
Kreiselachse senken oder heben.
3. Will man eine Präzession der Drehachse erzwingen, so
müssen die Lager die entsprechenden Kräfte und Drehmomente
aufbringen.
⃗M = ⃗r × N ⃗ Beispiel zu 2):
❞
✁ ✁✕ ❍ ❍❍❥ Die Führungskraft N erzeugt ein Drehmoment
⃗r ✁
⃗M = ⃗r × N ⃗ ✁
✁
✁ und eine Änderung dL ⃗ ◦ ‖ M. ⃗ Die Kreiselachse senkt sich. Wirkt N ⃗
0 ✁
umgekehrt, d.h. versucht man die Präzession zu vergrössern, so steigt
die Kreiselachse.
F
→ 1
L o
→
→
F 2
ω
M o
→
→
Beispiel zu 3):
Wird die Kreiselachse in der Horizontalebene gedreht,
so müssen die Lager die Kräfte ⃗ F 1 , ⃗ F 2 ausüben, deren
Drehmoment parallel zu d ⃗ L ◦ steht.
I 3
9.8.5 Rotationsenergie und Energiesatz für die allgemeine Drehung †
Die kinetische Energie T eines Systems von Massenpunkten kann durch die Schwerpunktsgeschwindigkeit
⃗v und die die Relativgeschwindigkeit ⃗v si der Drehung um den Schwerpunkt
116

ausgedrückt werden, wobei das Schwerpunktssystem definiert ist durch ∑ n
i=1 m i ⃗v si = 0
T = 1 ∑
m i (⃗v + ⃗v si ) 2 = 1 ∑
m i (⃗v 2 + 2⃗v⃗v si + ⃗v
2
i
2
si) 2 = 1
i
2 m⃗v2 + 1 ∑
m i ⃗v
2
si.
2
i
Für einen starren Körper gilt ⃗v si = ⃗ω × ⃗r si mit ⃗r si dem Ortsvektor im Schwerpunktssystem.
Damit ist die kinetische Energie
T = 1 2 m⃗v2 + 1 ∑
m i ⃗v si · (⃗ω × ⃗r si ) = 1 2
i
2 m⃗v2 + 1 ∑
m i ⃗ω · (⃗r si × ⃗v si ) = 1 2
i
2 m⃗v2 + 1 2 ⃗ω · ⃗L s
} {{ }
= ⃗ω · ⃗L s
⇒
1
2 m⃗v2 + 1 2 ⃗ωI s⃗ω = T trans + T rot (136)
In dieser Form der Aufspaltung in Translationsenergie und Rotationsenergie gilt die
Gleichung Gl.(136) nur für Drehungen um den Schwerpunkt.
Für die Drehbewegung um einen beliebigen raumfesten Punkt mit ⃗v i = ⃗ω × ⃗r i ohne
äussere Drehmomente ⃗ M = 0 ist die kinetische Energie
für die der Energieerhaltungssatz gilt.
9.9 Beispiele zur Kreiselbewegung
9.9.1 Stabilität des Fahrrades
→
L o
→
ω
→
G
→
M o
→
N
T kin = T rot = 1 2 ⃗ω · ⃗L = 1 ⃗ωI⃗ω (137)
2
Wir nehmen an, das Rad fahre geradeaus und der Fahrer
kippe zufällig nach links. Sein Gewicht übt ein Drehmoment
aus, das entgegen der Fahrtrichtung weist und ⃗ L ◦
so dreht, dass das Fahrrad eine Linkskurve beschreibt. Dadurch
kommt der Schwerpunkt des Fahrers wieder über den
Unterstützungspunkt zu liegen, so dass ⃗ M ◦ verschwindet.
9.9.2 Aufrichten der Kreiselachse infolge Reibungsmoment
M →
→
M
ω →
A
→
M
→
r A
S
Der Kreisel ist an der Auflage etwas abgerundet, so dass der
Auflagepunkt A ausserhalb der Figurenachse liegt. Deshalb
kann die in A wirkende Reibung ⃗ R bezüglich S ein Drehmoment
⃗ M s ausüben, das senkrecht zur Geraden SA steht.
Wir zerlegen ⃗ M s in Komponenten parallel und senkrecht
zur Figurenachse. ⃗ M‖ erzeugt ein d ⃗ L s , das antiparallel zu
⃗L s steht, also zur Abbremsung führt. ⃗ M⊥ bewirkt ein Aufrichten
von ⃗ L s .
Der “rattleback” ist ein Beispiel für ein Kreisel, bei dem die Figurenachse um 5 ◦ bis
10 ◦ gegenüber einer Hauptträgheitsachse verdreht ist. Er wechselt daher während des
Kreiselns seine Drehrichtung 86 .
86 Jearl Walker “Scientific Am. Oct. 1979 S.144”.
117

9.9.3 Kollergang der Mühlen
ω p
✻
✛
a
❛
❄ Mg ✻
⃗ω ✲ ✲
r
✻ N=N◦+N ′
N ❄
✲
⃗L ◦ ✲
Durch das Abrollen der Mühlsteine wird eine Präzession
des Drehimpulsvektors erzwungen.
⃗L ◦ Ohne Bewegung ist Mg = N ◦ . Die erzwungene Präzession
erfordert ein Drehmoment M ◦ = aN ′ und somit eine
zusätzliche Normalkraft N ′ . Die Rollbedingung verlangt
aω p = rω. Dann wird mit I = 1 2 Mr2 für den Mühlstein
❳ ❳❳
❄❳ ❳❳❳ dL ⃗ ω p = M ◦
= N ′ a
❳ ◦ ❳❳❳❳❄ M◦ ⃗ L ◦ ωI = ωr
a . Also
und N = N ◦ + N ′ = Mg + ω 2 r 3 M/2a 2 .
❄
N ′ = ω2 rI
a 2
9.9.4 Kreiselkompass
Schwimmer
Hg-Wanne
Stator
Rotor
→
L o
Als Kreiselkörper dient der Rotor eines Drehstrommotors,
der an einem Schwimmer hängt, der in Quecksilber taucht.
Dadurch wird erreicht, dass die Kreiselachse horizontal
bleibt, aber in der Horizontalebene frei drehbar ist. Wir
denken uns den Drehimpuls ⃗ L ◦ des Kreisels in einer beliebigen
Orientierung. Seine Komponenten in Richtung Breitenund
Längenkreis seien ⃗ L 1 bzw. ⃗ L 2 . Dreht sich die Erde um
den Winkel ω ◦ dt, so wird eine Präzession von ⃗ L 1 und ⃗ L 2
erzwungen.
Das zur Präzession von ⃗ L 2 notwendige Drehmoment
⃗ M 2 wird durch ungleiche Auflagereaktionen der
Schwimmer erzeugt. Um die Präzession von ⃗ L 1 zu
erzwingen, müsste ein Drehmoment ⃗ M1 vorhanden
sein. Da der Kompass in der Horizontalebene frei
schwimmt, kann ein solches Moment gar nicht auftreten,
und die Kreiselachse dreht sich daher gegen
den Drehsinn von ⃗ M 1 in diejenige Lage, in der gilt
→
→
ω o L2 →
L o
→
L 1
t t+dt Aquator "
d ⃗ L 1
dt
= 0.
Wenn ⃗ L 1 ≠ 0 ist, muss ⃗ L 1 mit ⃗ω drehen, damit ist
nur ⃗ L 1 = konst. = 0 möglich.
Der Vektor ⃗ L ◦ stellt sich also möglichst parallel zu ⃗ω
und zeigt daher zum Nordpol.
→
ω o
→
L 2(t)
→
L2(t+dt)
ω o dt
→
M 1
→
M 2
→
L 1(t+dt)
→
L 1(t)
118

9.9.5 Deviationsmomente eines nicht ausgewuchteten Rades
❄
Waage
❤
m
2
Lager
1 ✻⃗ FZentr.fug.
❆
❆
α❆
d
❆
❆
❆✟α
✟✟✯ L ⃗
✲
❆
❆ ⃗ω
❆
d ❆
❆ ❆1 m
❄2
Ein nicht dynamisch ausgewuchtetes Rad
z.B. eines Autos kann mit einem System
zweier Massen, die über einen Stab unter
dem Winkel α starr mit einer Drehachse
verbunden sind, dargestellt werden. Es
ist statisch ausgewuchtet, d.h. der Schwerpunkt
liegt in •, der Winkel α ≠ 0 ist jedoch
endlich. Bei einer Drehung wird das
Drehmoment M ◦ infolge der Zentrifugalkräfte
vom Lager aufgefangen, es kann mit
der Waage nachgewiesen werden.
Drehmoment M ◦ = d sin α · mω 2 · d cos α = |⃗r × F ⃗ Zentr.fug. |
Drehimpuls | L ⃗ ◦ | = |⃗r × ⃗p| = L ◦ = d · mωd cosα.
Im körperfesten System ist L ′ konstant mit der Zeit t, damit ist mit Gl. (88)
d ⃗ L ◦
dt
⃗
= d′ L◦
+⃗ω × L
} dt
◦ = ⃗ω × L ⃗ ◦ = M ⃗ ◦
{{ }
⇒ M ◦ = ω · L ◦ sin α = |⃗ω × L ⃗ ◦ |,
= 0
und ⃗ω ̸ ‖ ⃗ L ◦ ⇒ M ◦ ≠ 0. M ◦ wirkt periodisch mit ω auf die Achslager und damit auf
die Waage. Im Augenblick der Figur steht M ◦ ⊥ zur Zeichenebene.
Ist ⃗ω ‖ ⃗ L ◦ d.h. α = 0 dann liegt ⃗ω in einer der Hauptträgheitsachsen und alle Deviationsmomente
verschwinden C ik = 0. Das Rad ist dann dynamisch ausgewuchtet:
I =
⎛
⎜
⎝
⎞
I x 0 0
⎟
0 I y 0 ⎠ , I x = I y , I z = md 2 , L◦ ⃗ =⃗iI x · 0 +⃗jI y · 0 + ⃗ kI z · ω
0 0 I z
und es treten mit M ⃗ ◦ = 0 keine Lagerkräfte auf. Beim dynamischen Auswuchten von
Rädern müssen Ausgleichsgewichte innen und aussen an der Felge angebracht werden,
um das Unwuchtmoment zu kompensieren.
Bei langen Achsen z.B. Turbinenschaufeln muss in mehreren
Ebenen dynamisch ausgewuchtet werden, um Bie-
M1 + M2 = 0
ω → gemomente auf die lange Achse zu vermeiden, auch wenn
keine Lagermomente der beiden äusseren Lager auftreten.
9.9.6 Der Präzessionszyklus des Mondes (Saros-Zyklus)
N
ω Ε
23.4 o m E
r EM
r ES
5.15 o Mondbahn
Erdbahn
m S
Sonne
Die Bahn des Mondes um die Erde ist um 5.15 ◦ gegenüber der Erdbahn um die Sonne
(die Ekliptik) gekippt. Die Sonne übt nun auf diesen geneigten Erde-Mond-Kreisel Gezeitenkräfte
aus, die ihn in die Ekliptik zu kippen versuchen. Als Näherung beschreibt der
119

Schwerpunkt von Erde und Mond um die Sonne eine Kreisbahn und es gilt
(m M + m E )v 2 E
r ES
= Γ (m M + m E )m S
, sowie
rES
2
m M v 2 M
r EM
= Γ m Mm E
r 2 EM
(138)
für die Kreisbahn des Mondes um die Erde. Der Mond hat zur Sonne in Neumond- (siehe
Figur) bzw. Vollmondstellung einen um ∓r EM · cos 5.15 ◦ ≈ ∓r EM verschiedenen Abstand
und damit eine Gezeitenkraft 87
[ ]
−1 1
F = Γ m M m S +
= ± m MvE
2 · 2r
(r ES ∓ r EM ) 2 EM
rES
2 } {{ }
≈ ± 2 · r EM
r 3 ES
2r EM
⇒ F = ±Γm M m S
rES
3
, r EM ≪ r ES
r 2 ES
} {{ }
mit Gl. (138)
Als Näherung wird angenommen, dass die Masse des Mondes infolge seines Umlaufes um
die Erde im Mittel auf einem Kreisring gleichmässig auf der Bahn verteilt ist. Das Drehmoment
M = F ·sin 5.15 ◦ ·r EM bei Neu- oder Vollmondstellung versucht den Mondkreisel
in die Ekliptik zu kippen. Ist der Mond um den Winkel ϕ von der Neumondstellung entfernt,
dann ist F um cosϕ und auch der 5.15 ◦ Kippwinkel um cos ϕ verkleinert, dies ergibt
eine Reduktion um den Mittelwert cos 2 ϕ = 1/2. zusätzlich ist die Mondbahn im Laufe
des Jahres nicht immer exakt gegen die Sonne gekippt, dies reduziert das Drehmoment
um einen weiteren Faktor 2. Damit ist das effektive Drehmoment
M eff = m M
v 2 rEM
2
rES
2 E
2 sin 5.15◦ und der Drehimpuls des Mondes L = r EM m M v M .
Mit M eff = ω p · L · sin 5.15 ◦ [siehe Gl. (134)] folgt die Präzession des Mondkreisels ω p
ω p = m M
v 2
rES
2 E · r2 EM
2 sin 1
5.15◦ r EM m M v M sin 5.15 = ω2 ES
◦ 2
T p = 2π = 2T ES
2 ≈ 24 Jahre
ω p T M
unabhängig vom Kippwinkel, es ist ω M ≫ ω p . Mit einer exakten Rechnung ist der
tatsächliche Saros-Zyklus 18.5 Jahre. Der Saros-Zyklus beherrscht wesentlich die Folgen
von Sonnen- und Mondfinsternissen.
9.9.7 Die Präzession der Erdachse beim Umlauf um die Sonne
Die Erde hat infolge der Zentrifugalkraft einen Wulst mit der Masse m W am Äquator mit
abgeplatteten Polen. Mit den Halbachsen a,b dieses Erdrotationsellipsoiden
ω pE
→
F 2
N
→
L o
→
∝ ω E
F1 > F2
1
ω M
(Pfannkuchen) gilt angenähert (a − b)/a = 1/300. Der
Erdkreisel ist um 23.4 ◦ gegenüber der Erdbahn geneigt.
Ist der gesamte Wulst auf der der Sonne abgewandten
Seite konzentriert, erzeugt er ein Drehmoment
S
→
F1
r ES
M = m W
v 2
rES
2 E · 2RE 2 · 1 · sin 23.4◦
2
87 Die Gezeitenbeschleunigung z.B. des Mondes auf der Erdoberfläche ist die Differenz der Mondbeschleunigung
an der Erdoberfläche und am Erdmittelpunkt; die Kraft an einem ausgedehnten Körper
greift am Schwerpunkt, hier am Erdmittelpunkt an. Die Zentrifugalkraft Z ist überall gleich (vgl. S.86).
120

Der Faktor 1 entsteht wie im vorhergehenden Kapitel aus der Mittelung über den Neigungswinkel.
Da der Wulst über den Erdmantel gleichmässig verschmiert ist, ist das
2
tatsächliche Drehmoment M W = M/2. Der Drehimpuls der Erde als Kugel ist L = ω E · I
mit I = 2m 5 E ·RE; 2 da jedoch der Erdkern eine grössere Dichte hat als der äussere Mantel,
ist das Trägheitsmoment um 20% kleiner I E = 0.8· 2m
5 E ·RE 2 und damit ist der Drehimpuls
L E = ω E · 0.8 · 2
5 m E · R 2 E und mit Gl. (134) M W = ω pE L E sin 23.4 ◦
ω pE = m W ωESR 2 E
2 1/2
1.6
ω E m 5 ERE
2
= m W
m E
} {{ }
≈ 1/300
2.5 ωES
2
1.6 ω E
⇒ T pE = 192 (1J)2
24Std
= 70000 Jahre
Die Gezeitenkraft des Mondes verglichen zur Sonne kann angenähert abgeschätzt werden
analog zu Seite 120: Gezeitenkraft der Sonne F = Γm E m S
2R E
r 3 ES
∝ m S
r 3 ES
die Gezeitenkräfte zweier Körper verhalten sich wie Masse/Abstand 3 . Mit
m M = m E /80, m S = 3.3 · 10 5 m E , r ES = 400r EM ⇒ F M
= 1 1
= 2.4
F S 80 3.3 · 10 5(400)3
die Mondgezeiten sind 2.4 mal so gross wie die Sonnengezeiten.
Damit ist die totale Präzession der Erde TpE tot = 1 T 1+2.4 pE = 20400 Jahre.
Tatsächlich (Hipparch 150 v. Chr. beobachtet, Laplace mit Kreiseltheorie) ändert sich
die Jahreszeit auf der Erdbahn, d.h. die jahreszeitliche Stellung der Sonne zum Fixsternhimmel,
in einer 26000 jährigen Periode in befriedigender Übereinstimmung mit der einfachen
Abschätzung. Beiträge anderer Planeten sind kleine Korrekturen. Die vor 2000
Jahren festgelegten Tierkreiszeichen haben sich wegen der Präzession der Erdachse bis
heute um ungefähr einen Monat verschoben, dies beachten Astrologen nicht.
W
0.6''
0.4''
0.2''
N
1'' = 30 m
0 o Greenwich
90 o
Ost
Wegen der zeitlichen Schwankungen der Drehmomente kommt
zur Präzession des Drehimpulses noch eine Nutation der
Erdachse. Die Figurenachse der Erde stimmt nicht exakt mit
der momentanen Drehachse überein. Die Durchstosspunkte
beider Achsen an der Erdoberfläche weichen etwa 10 m voneinander
ab. In der Figur ist die Wanderung des Nordpols
während des Jahres 1957 um den 1900-1905 bestimmten Mittelwert
dargestellt.
Der Mond als Kreisel mit der Erde gebunden wirkt zeitlich stabilisierend auf die Lage
der Erdachse, so dass über lange Zeiträume der Neigungswinkel von 23.4 ◦ um weniger
als ±1 ◦ schwankt. Ohne den Mond würde die Erdachse chaotisch durch kleine äussere
Störungen um 10 ◦ bis 30 ◦ schwanken. Damit würden starke klimatische Änderungen eine
Entwicklung von Leben auf der Erde verhindern oder mindestens stark behindern 88 . Bei
der 26000 Jahre Präzession bleibt der Neigungswinkel erhalten. Die Planeten Mars, Venus,
Merkur ohne einen Mond haben z.T. ein chaotisches Verhalten ihrer Drehachsen, wobei
z.T. ω infolge der Gezeitenreibung schon sehr klein ist. Bei Uranus liegt die Drehachse
unerklärt in der Ekliptik. Jupiter und Saturn mit Monden und Ring sind sehr stabil.
88 Jack Laskar (CNLS-France) Spektr. der Wissenschaften Sept.(1993)Nr.3 S.48.
121

10 Raum-Zeit-Symmetrie und die klassischen Erhaltungssätze
†
Die Erhaltung der Energie, des Impulses und des Drehimpulses folgt aus der Forderung
nach der Homogenität des Raumes und der Zeit, bzw. aus dem Axiom, dass kein Raumpunkt,
keine Richtung im Raum und kein Zeitpunkt ausgezeichnet ist oder dass Raum
und Zeit keinen ausgezeichneten Nullpunkt haben. Daraus ergeben sich die folgenden drei
Axiome:
1. Axiom Das Ergebnis eines Experimentes in einem abgeschlossenen System ist unabhängig
von einer räumlichen Translation des Systems.
Die potentielle Energie zweier Teilchen ist
❡ E pot = V pot (⃗r 1 ,⃗r 2 ) = V pot (⃗r 1 + ⃗ l,⃗r 2 + ⃗ l) (Symmetrie-Axiom)
⃗ l ❡
✁ ✁✕
✉✁
✁ ✁✕ gültig für alle Translationen
⃗ ⃗ l, wenn erfüllt ist
1 l
❍❍❨
✒ ❍ ✉✁
⃗r
⃗r 2
1
✟
✟✟✟✟✟✟✟✟✯ ⃗r 2
Für die Kraft gilt
da gilt
V pot (⃗r 1 ,⃗r 2 ) = V pot (⃗r 1 − ⃗r
} {{ 2 ) (Invarianz),
}
⃗r
⃗ F = −∇Vpot = − ∂V pot
∂⃗r
⃗F 1 = − ∂V pot
= − ∂V pot(⃗r 1 − ⃗r 2 )
∂⃗r 1 ∂(⃗r 1 − ⃗r 2 )
⃗F 2 = − ∂V pot
= − ∂V pot(⃗r 1 − ⃗r 2 )
∂⃗r 2 ∂(⃗r 1 − ⃗r 2 )
⃗F = ⃗ F 1 + ⃗ F 2 = − ∂V pot
∂⃗r 1
⃗r 1 − ⃗r 2 = ⃗r 1 + ⃗ l − (⃗r 2 + ⃗ l).
= −⃗i ∂V pot
∂x − ⃗j ∂V pot
∂y − ⃗ k ∂V pot
∂z
∂(⃗r 1 − ⃗r 2 )
∂⃗r 1
= − ∂V pot
∂(⃗r 1 − ⃗r 2 )
∂(⃗r 1 − ⃗r 2 )
∂⃗r 2
= + ∂V pot
∂(⃗r 1 − ⃗r 2 )
− ∂V pot
∂⃗r 2
= 0 ⇒ ⃗ F 1 = − ⃗ F 2 actio=reactio
und mit Newtons Gesetz F ⃗ = d⃗p = 0 ⇒ ⃗p = konstant Impulserhaltung
dt
Dies verdeutlicht den Zusammenhang: Aus der Symmetrie folgt die Invarianz und
daraus der Erhaltungssatz des Impulses.
Die Folge Symmetrie→Invarianz→Erhaltung gilt auch für andere Symmetrien 89 .
2. Axiom Das Ergebnis eines Experimentes in einem abgeschlossenen System ist unabhängig
von einer räumlichen Drehung des Systems.
→
ϕ
dr
r → →
Die Drehung im Raum sei durch den Drehwinkel ⃗ϕ gegeben.
Die Isotropie des Raumes bedingt dann die Drehinvarianz der
potentiellen Energie.
V pot (⃗r 1 ,⃗r 2 ) = V pot (⃗r 1 + ⃗ϕ × ⃗r 1 ,⃗r 2 + ⃗ϕ × ⃗r 2 ) mit d⃗r = ⃗ϕ × ⃗r
Für kleine Drehwinkel d⃗ϕ gilt dann (mit Taylor-Entwicklung)
89 Noether Theorem der Mathematik. Amalie, Emmy Noether *23.3.1882 Erlangen † 14.4.1935 Bryn
Mawv (Pa.) 1922-33 Prof. in Göttingen.
.
122

V pot (⃗r 1 ,⃗r 2 ) = V pot (⃗r 1 ,⃗r 2 ) + ∂V pot
∂⃗r 1
d⃗r 1 + ∂V pot
∂⃗r 2
d⃗r 2
⇒ ∂V pot
∂⃗r 1
d⃗r 1 + ∂V pot
∂⃗r 2
d⃗r 2 = 0
Mit ⃗ F = − ∂Vpot
∂⃗r
ist 90
⃗F 1 · (d⃗ϕ × ⃗r 1 ) + ⃗ F 2 · (d⃗ϕ × ⃗r 2 ) = 0 = d⃗ϕ · (⃗r 1 × ⃗ F 1 ) + d⃗ϕ · (⃗r 2 × ⃗ F 2 )
⇒ ⃗r 1 × ⃗ F 1 + ⃗r 2 × ⃗ F 2 = 0 = ⃗ M 1 + ⃗ M 2 die Summe der Drehmomente ist Null
⇒ d⃗ L
dt = M = 0 ⇒ L ⃗ = konstant Drehimpulserhaltung
Die Drehimpulserhaltung gilt unter Umständen auch für nicht abgeschlossene Systeme
(z.B. kugelsymmetrische Systeme, Erhaltung der z-Komponente im homogenen
Feld).
3. Axiom Das Ergebnis eines Experimentes in einem abgeschlossenen System ist unabhängig
von einer zeitlichen Verschiebung des Systems.
In einem abgeschlossenen System, in dem das Potential nicht explizit von der Zeit
abhängt, gilt mit der Newtonschen Grundgleichung 91 m¨⃗r − ⃗ F = 0
∂V (⃗r)
⇒ m¨⃗r+
∂⃗r
∫ t 2 ∫t 2
= 0 mit ˙⃗r · · · dt ⇒
t 1
∫t 2
˙⃗rm¨⃗rdt+
t 1
∂V (⃗r) ˙⃗r
∂⃗r
t 1
dt = 0 = 1 2 mṙ2∣ ∣t 2
∣
+V (⃗r)
t 1
⇒ E kin (t = t 1 ) + V pot (t = t 1 ) = E kin (t = t 2 ) + V pot (t = t 2 ) Energieerhaltung
Diese drei Erhaltungssätze der Energie, des Impulses und des Drehimpulses sind
streng erfüllt und gelten in der klassischen Physik sowie in der Quantenmechanik und
der Quantenfeldtheorie. Sie sind begründet in der Unmessbarkeit einer absoluten, ausgezeichneten
Position und Richtung des Raumes und der Zeit.
Dennoch wird von den Astrophysikern der Virgohaufen als das Zentrum des Universums
(damit auch als einen Koordinatennullpunkt 92 ?) angesehen.
Der 4. strenge Erhaltungssatz der Ladung kann aus der Eichinvarianz (Unmöglichkeit
eine absolute Phase einer Wellenfunktion anzugeben), einer in der Quantenelektrodynamik
begründeten Symmetrieforderung abgeleitet werden.
Eine Reihe in der Physik auftretender Erhaltungssätze sind nicht durch eine Symmetrie
begründbar (Leptonenzahl- und Baryonenzahl-Erhaltung sind nur empirische Erhaltungssätze)
oder nur in einem begrenzten Bereich gültig (Isospin-, Strangeness- und
Charm-Erhaltung in der starken Wechselwirkung; die Parität wird maximal in der schwachen
Wechselwirkung verletzt und in der starken Wechselwirkung erhalten). Die Summe
aller Erhaltungssätze und die Kraftgesetze, die ebenfalls aus Symmetrieüberlegungen abgeleitet
werden können (lokale Eichinvarianz in der QED), stellen die Grundgesetze der
Physik dar.
90 Unter Berücksichtigung der Relation für das Spatprodukt (Pseudoskalar) ⃗a( ⃗ b × ⃗c) = ⃗ b(⃗c ×⃗a)
91 Es gilt ˙⃗r =
d⃗r
dt , ,¨⃗r = d2 ⃗r
dt
, Energietrick: Multiplikation mit ˙⃗r und Integration d 2 dt V = ∂V
∂⃗r · d⃗r
dt .
92 Dies ist kein Widerspruch. In kosmologischen Dimensionen mit Gravitationsfeldern kann kein Energie-
Impuls-Tensor aufgestellt werden. Energie- und Impulserhaltung sind nur lokal definierbar (siehe allgemeine
Relativitätstheorie).
123
∣ t 2
t 1

11 Elastizität der festen Körper †
11.1 Interatomare Kräfte, Elastizität und Plastizität
Im vorhergehenden Kapitel haben wir uns mit starren Körpern beschäftigt, d.h. mit solchen,
bei denen der gegenseitige Abstand zweier Massenpunkte oder der Winkel zwischen
zwei Verbindungslinien unverändert blieb, gleichgültig wie die äusseren Kräfte beschaffen
waren. Wir nahmen also an, dass innere Kräfte auftreten, die solche Deformationen verhindern.
Bei festen Körpern ist dies in der Tat weitgehend der Fall. Immerhin beobachten
wir auch da, dass z.B. durch äussere Zugkräfte eine Verlängerung, also eine relative Lageänderung
der Massenpunkte, stattfindet. Der starre Körper ist eine Fiktion. Alle Stoffe
(nicht nur Gase und Flüssigkeiten) sind mehr oder weniger deformierbar, d.h. unter dem
Einfluss äusserer Kräfte ändert sich ihre Gestalt.
Die Ursache liegt in den interatomaren Kräften, die zwischen den Atomen des Stoffes
bestehen. Diese Kräfte sind am stärksten in festen Stoffen, deren Atome am dichtesten
gepackt sind. Ihrer Natur nach sind es elektrische Kräfte (s. Kap. 2.4). Gravitations- oder
Kernkräfte spielen in diesem Zusammenhang gar keine Rolle.
Wir betrachten zwei Atome. F ⃗ sei die vom Atom 1 auf das Atom 2 ausgeübte Kraft.
Bei sehr kleinem Abstand r ist F > 0, die Atome stossen sich ab infolge der gleichen
− ✛✘ ✛✘
✛
F⃗ ⃗ Ladung der Kerne und der Überlappung ihrer Elektronenwolken.
Bei genügend grossem Abstand verursachen
F 1 2 ✲
✚✙ ✛ ✚✙
r ✲ die elektrischen Van der Waals Kräfte eine Anziehung
V(r)
F(r)
r o
Gleichgewicht
abstoβend
r
anziehend
-x x
(F < 0).
Somit gibt es einen Gleichgewichtsabstand r = r ◦ , für den
F = 0 gilt. Auf Grund unserer Betrachtungen in Kapitel
7.1 kann dann F in der Nähe der Gleichgewichtslage in der
linearen Form F = −k(r − r ◦ ) (139)
geschrieben werden. k > 0 hat die Bedeutung einer Federkonstanten.
Mit F = −dV/dr lautet dann die potentielle
Energie des Atomes 2 im Kraftfeld des Atomes 1
V (r) = −V ◦ + k(r − r 2 ◦) 2 , also wie bei einer linearen
y
Feder. Auf Grund dieser Verhältnisse macht man
sich folgendes Modell des festen, kristallinen
Körpers: die Atome bilden ein Gitter und werden
durch elastische Kräfte an ihren Plätzen gehalten.
Jedes Atom übt dabei Kräfte auf all seine Nachbarn
aus; denn sonst würde bei Zug in der
x − x Richtung nur eine reine Streckung und keine Querkontraktion auftreten. In diesem
Kapitel wollen wir uns mit dem Zusammenhang zwischen den äusseren Kräften und
den von ihnen hervorgerufenen Deformationen befassen. Bezüglich der Deformierbarkeit
sind zwei Extremfälle zu unterscheiden: vollkommen elastische und vollkommen plastische
Körper.
Elastische Körper: Die Deformation ist eine eindeutige Funktion der äusseren
Kräfte, unabhängig von der Vorgeschichte. Nimmt man die äusseren Kräfte weg, so verschwindet
die Deformation vollständig. Beim Anbringen der Kräfte wird die geleistete
Deformationsarbeit vollständig in potentielle Energie (Deformationsenergie) umgewan-
124

delt (z.B. Superball).
Plastische Körper: Die durch die äusseren Kräfte bewirkte Deformation bleibt
nach Wegnahme der Kräfte vollständig bestehen; die Deformationsarbeit geht vollständig
in Wärme über (z.B. Knetmasse).
Reale feste Körper liegen immer zwischen diesen beiden Grenzfällen: für kleine
Kräfte sind sie fast völlig elastisch, für grosse Kräfte fast völlig plastisch.
11.2 Spannungen und ebene Spannungszustände
Wechselwirkungen zwischen starren Körpern haben wir mit dem Konzept des Kraftbegriffes
erfasst, der eigentlich für Massenpunkte entwickelt wurde. Da jedoch starre Körper sich
nur in Punkten berühren, war dieses Vorgehen zulässig. Elastische Körper berühren sich jedoch
in Flächen endlicher Ausdehnung, über welche die Kräfte verteilt sind. Wir benutzen
den schon in Kap. 2.5 im Zusammenhang mit Oberflächenkräften diskutierten Spannungsbegriff.
Spannungen sind jedoch nicht nur auf Oberflächen der Körper beschränkt; es gibt
auch innere Spannungen.
Ein Körper sei äusseren Kräften unterworfen. Wenn wir uns aus
diesem Körper einen Teil herausgeschnitten denken, so müssen
wir an der Oberfläche des so entstandenen Hohlraums Kräfte
anbringen, die das durch das Herausschneiden gestörte Gleichgewicht
des restlichen Körpers wiederherstellen. Offenbar sind
dies die gleichen Kräfte, welche das herausgeschnittene Stück
vorher auf den ihn umgebenden Körper ausgeübt hat.
Es existieren also innere Kräfte in jedem Punkt des betreffenden Körpers, der unter dem
Einfluss äusserer Kräfte steht. dF ⃗ sei die Kraft, die wir an einem Element dA des eben
betrachteten Hohlraums anzubringen haben. Zerlegen wir dF ⃗ in eine Normalkomponente
dF n und eine Tangentialkomponente dF t , so nennen wir
→
dF
dA
dA
σ
dF →
σ = dF n
dA
die Normalspannung
(> 0 für Zug, < 0 für Druck)
τ = dF t
dA die Schubspannung. F n
→
Die Spannungen sind also die pro Flächeneinheit auftretenden Normalund
Tangentialkräfte.
Als Einheiten werden verwendet
τ 1 Pascal (Pa) = 1 Newton/m 2 = 10 −5 bar
dA
= 1.01972 x 10 −5 Techn. Atmosphäre (at).
Spannungen sind keine Vektoren 93 . Also ist auch keine Vektoraddition möglich. Nur wenn
93 In einer allgemeinen, dreidimensionalen mathematischen Darstellung ist die Kraft ⃗t auf die Flächeneinheit
dA gegeben durch die Normalkomponente parallel zur Flächennormale d.h. die Normalspannung
⃗σ und die Schubspannung ⃗τ senkrecht zur Flächennormale d.h. ⃗t = ⃗σ+⃗τ. Zwischen dem Spannungsvektor
und dem Flächennormalenvektor ⃗n besteht dann ein linearer Zusammenhang
⎛
⎞
σ x τ xy τ xz
τ zx τ zy σ z
⃗t = T ⃗n mit T = ⎝ τ yx σ y τ yz
⎠ T ist hier der Spannungstensor 2.Stufe.
→
F t
125

alle Spannungen auf das gleiche Flächenelement bezogen werden, darf man die zugehörigen
Kräfte wie Vektoren addieren.
Normal- und Schub-Spannungen in einem gegebenen Punkt innerhalb eines elastischen
Körpers hängen von der Orientierung des Flächenelements ab. Wir werden zeigen,
dass man σ und τ für ein dA von beliebiger Orientierung berechnen kann, wenn man
die Spannungen von solchen Elementen kennt, die zueinander senkrecht stehen. Aus den
Spannungsbeziehungen in jedem Punkt des Körpers kann dann die Deformation mit empirischen
Gesetzen gefunden werden.
Wir behandeln nur den ebenen Spannungszustand: alle zu den Spannungen
gehörende Kräfte sind parallel zu einer Ebene, z.B. der xy-Ebene.
z ✻
✚ Zur Analyse dieses Zustandes denken wir uns einen Quader mit
dz P den Kanten dx,dy,dz um den Punkt P herausgeschnitten. Die
✓ dy Spannungen, die wir zur Erhaltung des Gleichgewichtes am Quader
anbringen müssen, charakterisieren wir durch 2 Indizes:
y dx
✒ spannungsfreie Ebene
✲ 1. Index: Richtung der Normalen von dA
x 2. Index: Richtung der Kraft.
τ
✛ yx ✻ σ y Da für die Normalspannungen Normalen- und Kraftrichtung zusammenfallen,
schreiben wir kurz σ x = σ xx ,σ y und σ z . Da der
y ✻
τ
✛ xy ✻P
σ
✲ x
σ Quader ein infinitesimal kleines Volumen hat, können wir sein
x ❄τ xy
✲ Gewicht gegenüber den Spannungskräften vernachlässigen. Dann
σ y ❄τ yx ✲ verlangt der Schwerpunktssatz, dass die Spannungen an zwei gegenüberliegenden
Flächen entgegengesetzt gleich sind.
x
Ferner müssen im Gleichgewicht die Drehmomente verschwinden (z.B. bezüglich P):
2(τ xy dzdy) dx 2 = 2(τ yx dxdz) dy 2 , also τ xy = τ yx .
Da der Spannungszustand eben sein soll, muss τ xz = 0 und τ zx = 0 sein, weil sonst ein
Drehmoment auf den Quader ausgeübt würde. Analog gilt τ yz = τ zy = 0. Ferner muss
noch σ z = 0 sein 93 .
.
y
dy
dz
.
Der ebene Spannungszustand ist somit in jedem Punkt
durch drei unabhängige Spannungen gegeben: σ x ,σ y ,τ xy .
dA
α
dx
ds
x
Sind σ x ,σ y und τ xy für einen ebenen Spannungszustand bekannt,
so können daraus leicht die Spannungen σ und τ bezüglich eines
beliebig gestellten Flächenelements dA bestimmt werden. Wird z.B.
angenommen, dass dA senkrecht zur spannungsfreien Ebene steht,
so ist dA = dsdz, dx = ds sin α, dy = ds cos α.
Aus den Gleichgewichtsbedingungen folgt
ds n
τ xy
yσ x
τ xy
σ y
α
σ
τ
t
a) für die Tangentialrichtung t:
τdsdz + τ xy ds sin αdz sin α + σ y ds sin αdz cosα
−τ xy ds cos αdz cos α − σ x ds cosαdz sin α = 0 also
x
τ = (σ x − σ y ) sin α cosα + τ xy (cos 2 α − sin 2 α). (140)
126

) für die Normalenrichtung n: σdsdz + τ xy ds sin αdz cosα − σ y ds sin αdz sin α
+τ xy ds cos αdz sin α − σ x ds cos αdz cos α = 0 also
σ = σ x cos 2 α + σ y sin 2 α − 2τ xy sin α cos α. (141)
Mit Hilfe goniometrischer Beziehungen ergibt sich aus Gl. (140) und Gl. (141)
σ = σ x + σ y
2
+ σ x − σ y
2
cos 2α − τ xy sin 2α (142)
τ = σ x − σ y
2
sin 2α + τ xy cos 2α. (143)
Aus Gleichung (143) folgt: es existieren Flächenelemente, in denen die Schubspannungen
verschwinden und die senkrecht zur spannungsfreien Ebene stehen, wenn gilt
tan 2α
Hauptrichtung 2
2
zwei zueinander senkrecht stehende Flächenelemente, die
2α
2α
1 2α 2 keine Schubspannungen besitzen. Man nennt sie Hauptelemente.
tan 2α = 2τ xy
.
σ y − σ x
π
Ist α 1 eine Lösung dieser Gleichung, wobei 0 ≤ 2α 1 ≤ π/2,
so ist auch α 2 = α 1 + π/2 eine solche, d.h. es gibt immer
0 o 90 o 180 o ihre Richtungen nennt man die Hauptrichtungen.
Die entsprechenden Normalspannungen σ 1 und
σ 2 heissen Hauptspannungen des Spannungstensors und
Sind bei einem ebenen Spannungszustand die Hauptspannungen
σ 1 und σ 2 bekannt und bildet das Flächenelement
dA mit der 2-Richtung den Winkel α, so folgt aus den Gleichungen
α σ
τ
(142) und (143)
σ 1
σ 2
Hauptrichtung 1
1
σ = σ 1 + σ 2
2
τ = σ 1 − σ 2
2
+ σ 1 − σ 2
2
cos 2α (144)
sin 2α (145)
τ Mohrscher Spannungskreis mit folgenden Vorzeichen-Regeln:
σ 1 σ 2 sin2α a) σ ist positiv für Zugspannungen, σ ist
α 2α 2
σ 2
σ 1 σ negativ für Druckspannungen, b) τ ist positiv,
wenn bezüglich der Pfeilrichtung das Körperinnere
rechts liegt.
Geometrisch lassen sich σ und τ direkt aus diesem
Mohrschen Spannungskreis ablesen.
σ 1 +σ 2 σ 1 σ
+ 2 cos2α
2 2
Es sei z.B. σ 1 > σ 2 > 0. Auf der σ-Achse zeichnet man im Abstand σ 2 + (σ 1 − σ 2 )/2 vom
Ursprung einen Kreis mit Radius (σ 1 −σ 2 )/2. Vom linken Schnittpunkt dieses Kreises mit
der σ-Achse zieht man unter dem Winkel α einen Strahl, dessen Schnitt mit dem Kreis
die gesuchten σ und τ liefert.
127

11.2.1 Beispiele ebener Spannungszustände
1) Linearer Spannungszustand: Äussere Kräfte liegen
σ 1
F
F nur in Achsenrichtung und nur eine der beiden Hauptspannungen
ist von Null verschieden,
Hauptrichtung
Druck
τ
Zug z.B. σ 1 ≠ 0,σ 2 = 0. Der Mohrsche Kreis berührt also
die τ-Achse, und nach (144) und (145) gilt
α
σ
−σ σ2 σ 1 1
σ = σ 1
2 (1 + cos 2α),τ = σ 1
sin 2α.
2
σ 1
σ
und τ = 0 für alle α.
σ 1 =σ 2
σ 1
Sämtliche Flächenelemente, die senkrecht zur
σ 1
τ
2) Hydrostatischer Spannungszustand: σ 1 = σ 2 .
Folglich σ = σ 1 =konst. (wie in Flüssigkeiten)
σ Ebene E stehen, sind schubspannungsfrei. Der
σ 1
Spannungskreis ist zum Punkt entartet.
σ 2
τ τ
σ 1 σ 1
τ τ
σ 2
τ
Druck
σ 2 α
Zug
σ 1
σ
3) Maximale Schubspannung: σ 1 = −σ 2 . Also
σ = σ 1 cos 2α,τ = σ 1 sin 2α.
Für α = π/4 ist σ = 0 und τ = τ max = σ 1 .
Auf diese Weise kann bei der Metallbearbeitung
ein maximaler Wert der Schubspannung erzeugt
werden oder ist verifiziert bei der Torsion eines
kreisförmigen Stabes Kap 11.4.2.
F
11.3 Deformation isotroper Körper, elastische Konstanten.
Der Zusammenhang zwischen Spannungszustand und elastischer Deformation lässt sich
am einfachsten empirisch aus folgendem Versuch ermitteln:
Ein homogener und isotroper Stab mit der Länge l
l
und dem rechteckigen Querschnitt a · b werde durch
F
eine konstante äussere Normalspannung σ in Richtung
der Stabachse belastet. Der Stab dehnt sich und
l+∆l
zeigt eine Querkontraktion.
Für genügend kleine Beanspruchungen ist die relative Längenänderung, die sogenannte
Dehnung ε = ∆l/l, proportional der angelegten Spannung. Es gilt also
σ = Eε = E ∆l
l
das Hookesches Gesetz. (146)
Die Materialkonstante E mit der Dimension N/m 2 nennt man den Elastizitätsmodul.
Das Hookesche Gesetz ist der makroskopische Ausdruck für die Gültigkeit der mikroskopischen
Gleichung (139) aus Kapitel 11.1.
σ
P
F
ε
B
Wird der Stab über die Proportionalitätsgrenze P hinaus beansprucht,
so tritt plastische Verformung auf, wobei oft eine Erhöhung
der Proportionalitätsgrenze und auch eine Änderung des Elastizitätsmoduls
erfolgt. Jedoch hat der Stab nicht mehr die ursprüngliche
Länge, wenn die äusseren Spannungen entfernt werden. Die Molekularstruktur ist bleibend
128

verändert worden (Kaltverformung). Bei sehr grosser Belastung beginnt das Material bei
der Fliessgrenze F zu fliessen, und schliesslich bricht es an der Bruchgrenze B. Die
Kaltverformung lässt sich qualitativ durch Fehler im Gitteraufbau des festen Körpers erklären.
Es treten z.B. Versetzungen auf, d.h. Gebiete, in denen zwei gegeneinander verschobene
Kristallbereiche sich treffen. Längs der Versetzung können die Atomreihen leichter
gleiten, was eine plastische Verformung begünstigt. Durch zu häufige Beanspruchung des
Materials (z.B. mehrmaliges Biegen von Kupfer) wandeln sich kristallin geordnete, grössere
Gebiete in kleine, polykristalline Bereiche um, das Gleiten längs der Versetzungslinien
kann nicht mehr über grosse Strecken erfolgen, so dass sich die Festigkeit des Materials
erhöht. Durch Dotieren mit Fremdatomen kann man das Gleiten längs der Versetzungen
überhaupt verhindern: Eisen wird durch Zugabe von ≃ 1 % Kohlenstoff zu Stahl!
Solange für die relative Längenänderung ε das Hookesche Gesetz gilt, sind auch die
relativen Änderungen der Querdimensionen proportional zur angelegten Spannung:
− ∆a
a = −∆b b = β ∼ σ ,
Also ist ε/β = konst., und man setzt deshalb
β ist die Querdehnung.
ε
β
.
= ν . = 1 m
, ν heisst Querzahl
und m Poissonsche Zahl. Wie E sind sie charakteristische Materialgrössen 94 . Es gilt
σ = Eνβ = E m β
Hookesches Gesetz für
die Querdimensionen.
Sind die elastischen Konstanten E und m bzw. ν eines bestimmten Materials bekannt,
so lassen sich die Deformationen eines makroskopischen Körpers ohne weiteres
angeben, sofern der Spannungszustand eben und homogen d.h. ortsunabhängig ist 95 und
die daraus folgenden Deformationen klein sind. Man denkt sich aus dem betreffenden
Körper einen Würfel herausgeschnitten, dessen Kantenlänge im ungespannten Zustand
willkürlich gleich 1 gesetzt wird. Ferner sollen die Hauptspannungsrichtungen senkrecht
zu den Würfelflächen liegen. Dann werden die äusseren Spannungen angelegt und die
neuen Kantenlängen berechnet. Für die 1-Richtung gilt ∆l = ε
l 1 = σ 1
. E
11.3.1 Beispiele
σ 1
1. Linearer Spannungszustand: σ 1 ≠ 0,σ 2 = 0. Die neue Länge ist 1 + ε 1 = 1 + σ 1
E .
2
1
σ 1
94 Ein konstantes Volumen für einen idealen Körper fordert
In der 2-Richtung lautet wegen der Kontraktion die neue
Breite
1 + ε 2 = 1 − β = 1 − mσ 1
E
und analog für die 3-Richtung: 1 + ε 3 = 1 − β = 1 − mσ 1
. E
ε 1 , ε 2 und ε 3 heissen die Hauptdehnungen.
V = a·b·l = (a−∆a)(b−∆b)(l+∆l) ≈ abl−a∆bl−∆abl+ab∆l ⇒ ∆l
l = ∆a
a +∆b b = ε = 2∆a a = 2β
und damit für den idealen Körper ε/β = ν = 2 und m = 0.5 (vgl. Tabelle Seite 132).
95 Sonst muss mit dem Spannungstensor T gerechnet werden.
b
a
l
129

2. Allgemeiner ebener Spannungszustand: σ 1 ≠ σ 2 .
σ 1
σ 2
2
1
σ 2
σ 1
Es wirken also zwei Kräfte gleichzeitig. Solange das Hookesche
Gesetz gilt, überlagern sich die beiden Deformationen
ungestört, d.h. jede verhält sich so, als ob die andere nicht
vorhanden wäre.
Infolge σ 1 wird der Würfel in einen Quader deformiert, dessen
Kantenlängen im Beispiel 1) berechnet wurden:
1 + ε ′ 1 = 1 + σ 1
E , 1 + ε′ 2 = 1 − mσ 1
E und 1 + ε′ 3 = 1 − mσ 1
E .
Wenn statt σ 1 die Spannung σ 2 angreift, lauten die neuen Kantenlängen
1 + ε ′′
1 = 1 − mσ 2
E ; 1 + ε′′ 2 = 1 + σ 2
E ; 1 + ε′′ 3 = 1 − mσ 2
E .
Die Superposition beider Deformationen verursacht relative Längenänderungen
ε i = ε ′ i + ε ′′
i + Terme 0(σ 2 ). Wenn wir die in den Spannungen quadratischen
Terme vernachlässigen, resultiert ein Quader mit den Kantenlängen
1 + ε 1 = 1 + σ 1
E − mσ 2
1 + ε 3 = 1 − mσ 1
E − mσ 2
E = 1 + σ 1 − mσ 2
E
E = 1 − m(σ 1 + σ 2 )
.
E
3. Deformation bei reiner Schubbeanspruchung: σ 1 = −σ 2
; 1 + ε 2 = 1 − mσ 1
E + σ 2
E = 1 + σ 2 − mσ 1
E
Die unter 45 ◦ gegen die Hauptspannungsebene geneigten Flächenelemente erfahren
nur Schubspannungen von der Grösse τ = σ 1 . Die Superposition der beiden durch
σ 1 und −σ 1 hervorgerufenen Spannungszustände deformiert den Würfel in einen
Quader mit neuen Kantenlängen, die wir direkt aus dem Ergebnis von Beispiel 2)
übernehmen können, falls wir σ 2 = −σ 1 setzen:
1 + ε 1
∼ = 1 +
σ 1
E (1 + m), 1 + ε 2 ∼ = 1 − σ 1
E (1 + m) = 1 − ε 1, 1 + ε 3
∼ = 1.
−σ 1
τ τ
σ 1 σ 1
π/2−δ
1−ε 1
τ
−σ 1
Also folgt
1+ε 1
τ
Andererseits gilt
tan
Die ursprünglich um 45 ◦ geneigten Flächenelemente,
die nur Schubspannungen zeigen, werden
um den Winkel δ/2 gedreht. Gegenüber der 1-
Richtung sind diese Elemente um den Winkel
π/4 − δ/2 geneigt, und es ist
( π
4 − δ 2)
=
tan
( π
4 − δ 2)
= 1 − ε 1
1 + ε 1
.
tanπ/4 − tanδ/2
1 + tanπ/4 tanδ/2 = 1 − tanδ/2
1 + tanδ/2 .
tanδ/2 = ε 1 . Für kleine Deformationen gilt näherungsweise
δ
2 ≈ ε 1 = σ 1
E (1 + m) = τ E (1 + m). und damit τ = E
2(1 + m) δ.
130

Für die Winkeländerung δ (und zwar für die absolute Änderung) des 45 ◦ -Winkels bei
reiner Schubspannung τ gilt also eine dem Hookeschen Gesetz für die Längenänderungen
analoge Beziehung. Man setzt deshalb
G . =
E
2(1 + m)
Definition des Schubmoduls G und erhält τ = Gδ (147)
Über die Grösse von m und damit E/G kann eine allgemeine Aussage gemacht
werden, indem man einen Würfel mit allseitigen Druckspannungen σ betrachtet,
wie er in Flüssigkeiten auftritt:
4. Räumlicher, hydrostatischer Spannungszustand
p
p
p
Dies ist kein ebener Zustand mehr, jedoch liegt insofern ein
einfaches Problem vor, als −σ 1 = −σ 2 = −σ 3 = p. p ist
der hydrostatische Druck. Ein Würfel mit Volumen V ◦ = 1
wird deformiert, dabei werden drei lineare Verzerrungen
superponiert. Die neuen Kantenlängen sind also
1 + ε = 1 − p E + 2m E p = 1 − p (1 − 2m)
E
und das neue Volumen V = (1 + ε) 3 = 1 + 3ε + 3ε 2 + ε 3 ≈ 1 + 3ε (|ε| ≪ 1).
Die relative Volumenänderung ist
Setzt man
∆V
= V − V ◦
= V − 1 ≈ 3ε = − 3p (1 − 2m).
V ◦ V ◦ V ◦ E
1
K
=
3(1 − 2m)
E
und nennt K den Kompressionsmodul und 1/K die Kompressibilität , so wird
∆V
V ◦
= − p K .
Da ∆V/V ◦ negativ sein muss, ist 1/K > 0 und folglich gilt für die Poisson-Zahl
0 ≤ m ≤ 0.5. Dem Grenzfall m = 0.5 entspricht K = ∞, d.h. keine Volumenelastizität:
bei noch so hohem Druck p lässt sich das Volumen nicht komprimieren 94 .
Der fiktive, starre Körper hat m = 0.5; Flüssigkeiten sind nahezu inkompressibel.
Aus der Beziehung 0 ≤ m ≤ 0.5 folgt E/3 < G < E/2. In der Thermodynamik sind
die Beziehungen zwischen der Kompressibilität 1/K und den Materialkonstanten
nützlich.
Wir haben insgesamt vier elastische Konstanten kennengelernt: Elastizitätsmodul E,
Schubmodul G, Poisson Zahl m und Kompressionsmodul K. Da zwischen ihnen die beiden
Relationen G =
E
2(1 + m) , 1
K
=
3(1 − 2m)
E
existieren, sind nur 2 elastische Konstanten voneinander unabhängig.
131

Ein homogener und isotroper Festkörper ist durch 2 elastische Konstanten
vollkommen in seinem elastischen Verhalten bestimmt.
Ist der Festkörper jedoch ein Einkristall, so ist er in seinem Verhalten nicht mehr isotrop,
und es werden mehr elastische Konstanten benötigt (3 für kubische und 21 für trikline
Kristalle).
Typische Werte elastischer Konstanten polykristalliner Körper
Material E[N/m 2 ] G[N/m 2 ] m K[N/m 2 ]
Al 7.0 · 10 10 2.6 · 10 10 0.34 7.3 · 10 10
Pb 1.6 · 10 10 0.6 · 10 10 0.44 4.2 · 10 10
Stahl 20.6 · 10 10 8.0 · 10 10 0.28 15.6 · 10 10
Quarzglas 7.5 · 10 10 3.2 · 10 10 0.17 3.8 · 10 10
Nylon 0.5 − 2.8 · 10 10
Starrer Körper ∞ ∞ 0.5 ∞
11.4 Zwei Beispiele zur Biegung und Torsion
In der Technik werden folgende, praktische Fragen gestellt: Mit welcher Krümmung bzw.
Kurvenverlauf biegt sich ein Balken oder Träger bei Belastung mit frei aufliegenden, einem
oder zwei eingespanten Enden? Wo tritt die maximale Belastung und damit ein Bruch
auf? Wie muss ein optimales Profil bei minimalem Gewicht aussehen?
11.4.1 Biegung eines Balkens
N 1 N 2
A(x)
x
z
F
Stauchung
n
Dehnung
Symmetrieachse
Ein homogener Balken mit der Länge l und dem Querschnitt q,
der beidseitig frei aufliegt, werde durch eine vertikale Kraft F beansprucht,
die in der Mitte des Balkens angreift. Vernachlässigt
man das Eigengewicht, so gilt im Gleichgewicht
N 1 + N 2 = F, F l 2 = N 2l, also N 1 = N 2 = F 2 .
z.B.
Der Balken soll vertikale Querschnitte besitzen, die eine
vertikale Symmetrieachse haben. Ferner sollen alle Deformationen
klein sein. Wir wollen die Spannungen und
die Form der Stabachse berechnen. Dazu müssen wir die
Hypothesen von Bernoulli-Navier machen:
a) Es existiert eine neutrale, d.h. spannungsfreie Faser n,
die senkrecht zu den entsprechenden Symmetrieachsen
steht.
b) Querschnitte, die im unbelasteten Zustand senkrecht zur neutralen Faser stehen, bleiben
im deformierten Zustand eben und senkrecht zur neutralen Faser 96 .
Bestimmung der Spannungen im Querschnitt A(x):
96
vorher
nachher
n
n
Diese Annahme steht im Widerspruch zur Biegungstheorie
und kann nur als Näherung betrachtet werden.
132

F
2
0
Man denkt sich den Balken an der Stelle x durchgeschnitten,
σ z A
wobei x ≤ l/2 sei. Um das Gleichgewicht nicht zu
τ x n stören, müssen die Spannungen in x zusammen mit den
äusseren Kräften die Gleichgewichtsbedingungen erfüllen.
z=0
Ferner muss die Spannungsverteilung in A(x) so sein, dass
x σ der Schnitt bei der Deformation eben bleibt 97 . Dies ist
der Fall, wenn τ(x,z) = konst., σ(x,z) = σ ◦ (x)z, mit den Gleichgewichtsbedingungen
Schnitt
Stabachse
z
h1
Stauchung
A(x)
n
dA
h2 Dehnung
für x < l/2
∑
∫
Fix = 0 ⇒ 0 =
∑
M◦i = 0 ⇒ Fx
2 = ∫
∑
Fiz = 0 ⇒ F 2 = ∫
A
A
A
∫
σ ◦ (x)zdA = σ ◦ (x)
σ ◦ (x)z 2 dA = σ ◦ (x)
τ dA = τA (148)
A
∫
A
zdA (149)
z 2 dA. (150)
Aus Gleichung (149) folgt ∫ A zdA = 0, d.h. die neutrale Faser geht durch den Schwerpunkt
des Schnittes. Setzt man I s = ∫ z 2 dA
A
und nennt I s das Flächenträgheitsmoment des Schnittes A(x), so folgt aus Gl. (150)
σ ◦ (x) = Fx
2I s
, also σ(x,z) = Fxz
2I s
für x ≤ l/2.
Die maximale Normalspannung im Schnitt A(x) tritt am oberen oder unteren Rand auf, je
nachdem ob h 1 grösser oder kleiner als h 2 ist mit σ max (x) = Fxh 1
2I s
oder
Fxh 2
2I s
.
Die maximale Spannung im Stab in der Stabmitte ist σ max,max = Flh 1
4I s
oder Flh 2
4I s
.
Bei wachsender Belastung wird der Stab in der Mitte durchbrechen, wenn σ max,max grösser
als die zulässige Spannung des Materials wird.
Form der Stabachse, d.h. der neutralen Faser: Ein Mass für die Biegung der Stabachse
im Schnitt A(x) ist der Krümmungsradius ρ(x). Sind A 1 und A 2 Querschnitte in
der Nachbarschaft von x, die im undeformierten Zustand parallel stehen und den Abstand
s haben, so schneiden sich deren Symmetrieachsen im Krümmungsmittelpunkt M
der Stabachse. Nach dem Strahlensatz gilt dann
97 Damit der Querschnitt nach der Biegung eben bleibt, müssen die Fasern proportional zum Abstand
von z = 0 gedehnt werden. Mit dem Hookschen Gesetz ist σ = Eε ∝ ∆l/l und damit muss σ(x,y)
proportional zu z mit z = 0 der neutralen Faser sein. Die Proportionalitätskonstante σ ◦ hat nicht die
Dimension von σ.
133

M
ρ + h 2
ρ
= s + ∆s(h 2)
, d.h. 1 + h 2
s
ρ = 1 + ∆s(h 2)
,
s
s
s+∆s
ρ
n
h 2
also
h 2
ρ = ∆s(h 2)
s
somit 98 1
ρ = Fx
2I s E = M B(x)
I s E
= ε(h 2 ) = σ(h 2)
E = σ ◦(x)h 2
E ,
wobei x ≤ l 2 .
Wir suchen jetzt die Gleichung der Biegekurve z(x), wobei x und z die Koordinaten eines
Achsenpunktes sind. Dazu müssen wir zunächst den zugehörigen Krümmungsradius ρ mit
z(x) verknüpfen. Für zwei benachbarte Achsenpunkte gilt
z
α
x
ds ≈ dx
dϕ
ρ
x+dx
x
dϕ = α x+dx − α x ≈ dα dx = dα. (151)
dx
Andererseits gilt
dz
dx
dϕ ≈ dx ρ
und
= tanα ≈ α für|α| ≪ 1),
also
dα = dϕ = dx ρ = d2 z
dx 2dx. Somit folgt aus (151): d 2 z
dx 2 = 1 ρ = Fx
2I s E = M B(x)
I s E .
Aus dieser Differentialgleichung, die für die linke Hälfte des Stabes gilt, erhält man durch
zweimaliges Integrieren (x) = F ( )
x
3
2I s E 6 + C 1x + C 2 ,
wobei sich die Integrationskonstanten aus den Randbedingungen z(0) = 0 (Nullpunkt)
und
dz
∣
dx
∣ x=
l
2
= 0 (Horizontale Tangente) zu C 2 = 0 und C 1 = −l 2 /8
bestimmen. Für x ≤ l lautet demnach die Gleichung der Stabachse
2
z(x) =
F ( ) x
3
4I s E 3 − l2 z
x
.
4
l/2
z ext
l
x
98 durch das Biegemoment M B (x) = Fx/2 ausgedrückt.
134

Die Form der Stabachse ist symmetrisch in Bezug auf den Punkt
x = l/2. Die maximale Durchbiegung tritt auf für x = l/2 und ist
a
b
z extremum = − Fl3
48I s E .
R
r
Diese maximale Durchbiegung kann klein gehalten werden, wenn
ein grosses Flächenträgheitsmoment I s gewählt wird. Die Flächenträgheitsmomente
für die angegebenen Profile lauten: I s = 1 12 ba3
h
D
d/2
H
Rechteck,
I s = π 4 (R4 − r 4 )
I s = 1 12 (DH3 − dh 3 )
Rohr,
Doppel-T-Träger.
11.4.2 Torsion eines zylindrischen Stabes
M o
r
Ein zylinderischer Stab mit Länge l und Radius R werde einseitig eingespannt und
am freien Ende durch ein axiales Drehmoment M l beansprucht. Im Gleichgewicht ist
M l = M ◦ = 2FR. Infolge der Beanspruchung werden die Querschnitte verdreht.
x
A(x)
τ
F
R
M l
Eine gerade Mantellinie geht in eine Schraubenlinie über.
Um die Spannungen im Schnitt A(x) zu bestimmen, denkt
man sich den Stab wiederum durchgeschnitten und die
Spannungen so angebracht, dass Gleichgewicht herrscht
und die Schnitte nur verdreht werden. Dies ist der Fall,
wenn azimutale Schubspannungen wirken. Es ist zunächst
aus geometrischen Gründen rϕ = δx.
Analog zum Beispiel in Kapitel 11.3.1 Gl. (147) ist bei kleinen
Verdrillungen der Torsionswinkel δ einer Schubspannung
τ proportional:
x
δ
τ
φ
δ = τ G . Also wird τ = δG = Grϕ x .
Die Gleichgewichtsbedingung verlangt dann
M ◦ =
∫R
r=0
τ2πrdrr = 2π ϕG x
∫R
0
r 3 dr = πϕGR4 . Somit wird τ = Grϕ
2x
x
= 2M ◦
r. (152)
πR4 Die Schubspannungen sind also unabhängig von x. Sie werden maximal für r = R
τ max = 2M ◦
πR 3 .
Diese Ergebnisse kann man benutzen, um mit Hilfe eines Torsionspendels Schubmodule
zu messen. Der verdrehte Draht übt ein rücktreibendes Drehmoment M ϕ aus, das durch
obige Gleichung (152) gegeben ist. Der Drehimpulssatz für ebene Bewegungen liefert die
Bewegungsgleichung
135

l
2R
d 2 ϕ
J ◦
dt = M 2 ◦ = − πR4 G
ϕ
2l
mit der Lösung ϕ(t) = ϕ ◦ cos(ωt − δ),
ϕ
wobei
ω = R 2 √
πG
2lJ ◦
, d.h. T ∝ R −2 .
Diese Lösung hat natürlich nur einen Sinn im Gültigkeitsbereich
des Hookeschen Gesetzes.
136

12 Mechanik der Gase und Flüssigkeiten
Während bei festen Körpern die Moleküle durch innere Kräfte an Gleichgewichtslagen
gebunden sind, führen in Flüssigkeiten und Gasen die Moleküle regellose thermische Bewegungen
aus, da sie immer wieder mit ihren Nachbarteilchen zusammenstossen. Der Unterschied
zwischen Gas und Flüssigkeit beruht auf der Grösse der intermolekularen Kräfte.
In Gasen sind diese Kräfte klein, so dass Gase das ganze ihnen zur Verfügung stehende
Volumen ausfüllen; ihre Kompressibilität ist gross. In Flüssigkeiten bewirken die relativ
statistische
thermische
Bewegung
Gas
Flussigkeit "
intermolekulare
Krafte "
klein groβ
Kompressibilitat " groβ klein
fullt " ganzes Volumen dichte Packung
12.1 Statik der Gase und Flüssigkeiten
starken intermokekularen Kräfte eine
dichte Packung der Teilchen und eine
Bildung von Tröpfchen mit einer
wohldefinierten freien Oberfläche; die
Kompressibilität ist klein. Die Flüssigkeit
passt sich der Form des gegebenen
Gefässes an; mit anderen Worten; sie
hat keine Formelastizität.
Eine ideale inkompressible Flüssigkeit ist eine reibungslose Flüssigkeit, die einer reinen
Formänderung (ohne Volumenänderung) keinen Widerstand entgegensetzt. Nach Kapitel
11 bedeutet dies, dass alle Schubspannungen verschwinden. In wirklichen zähen sich relativ
zueinander bewegenden Flüssigkeiten treten jedoch Schubspannungen auf (Kap. 12.4).
Sofern die Flüssigkeit ruht, müssen wir nicht zwischen reibungslosen und zähen Flüssigkeiten
unterscheiden. Da keine Schubspannungen auftreten ist τ = 0 und alle Hauptspannungen
sind gleich gross, der Mohrsche Spannungskreis ist zu einem Punkt entartet.
Es ist also σ 1 = σ 2 = σ 3 = σ, und wir setzen − σ = p = dF [ ] N τ ✻ ✲
dA m 2 σ
und nennen p den hydrostatischen Druck. Der Druck als skalare Grösse ist positiv,
wenn die verursachende Kraft nach innen zeigt. Der Spannungszustand ruhender Gase
oder Flüssigkeiten ist durch eine einzige Spannung, den Druck p, eindeutig bestimmt
(hydrostatischer Spannungszustand). Ist die Substanz frei von irgendwelchen Volumenkräften,
insbesondere gewichtslos, so ist der Druck unabhängig vom Ort. Da der Druck
auch nicht von der Stellung von Flächenelementen abhängt, kann er wie eine skalare
Grösse behandelt werden. Er wird in den gleichen Einheiten wie die Spannung gemessen.
Dass der Druck in einer schwerelosen, ruhenden Flüssigkeit überall der gleiche ist, ergibt
sich auch aus folgendem Gedankenexperiment. Der Kolben K 1 mit Querschnitt A 1 werde
x2
→
K2 K1 F1
→
F2
p
x1
durch eine Kraft F 1 um die Strecke x 1 nach innen verschoben.
Dabei wird ein Flüssigkeitsvolumen x 1 A 1 verdrängt
und eine Arbeit x 1 F 1 geleistet. Ist die Flüssigkeit
inkompressibel, so wird der Kolben K 2 um eine Strecke
x 2 nach aussen verschoben, wobei x 1 A 1 = x 2 A 2 gilt.
Wird die Flüssigkeitsmenge reibungslos, also ohne Energieverlust
verschoben, so muss auch F 1 x 1 = F 2 x 2 sein,
wobei F 2 die auf den Kolben K 2 wirkende Kraft ist 99 .
Also folgt F 1 /A 1 = F 2 /A 2 = p.
99 Dies gilt auch für viskose Reibung R = β · v, wenn bei unendlich langsamer Bewegung die geleistete
Arbeit R · x vernachlässigt werden kann.
137

z
✚
✻
p(x)dydz
✲ dF p(x+dx)dydz
✲ x
✛
dz ❈
✓ dy
❈
dx ❈ ❈❲ dF
⃗
✒ y
✲ x
Wir betrachten jetzt eine Flüssigkeit, auf die eine Volumenkraft
(z.B. Gravitation, Zentrifugalkraft) wirkt. Es existiert
also eine Kraftdichte f, d.h. eine Kraft pro Volumeneinheit
und p = p(x,y,z) ist ein ortsabhängiger Skalar 100 . Auf ein
Volumenelement dV = dxdydz wirkt dann eine äussere Kraft
d ⃗ F = ⃗ fdV . Befindet sich die Flüssigkeit in Ruhe, so muss
auch
die Summe der auf das Element dV wirkenden Kräfte verschwinden.
Für die x-Richtung muss gelten −p(x + dx,y,z)dydz + p(x,y,z)dydz + f x dxdydz = 0
oder
p(x + dx,y,z) − p(x,y,z)
lim
dx→0 dx
= ∂p
∂x = f x.
Analog findet man
∂p
∂y = f y und ∂p
∂z = f z, also gradp = ∇p = f ⃗
die Gleichgewichtsbedingung der ruhenden Flüssigkeit.
Lässt sich die äussere Kraft aus einem Potential herleiten (Kapitel 4.3), so kann die
Kraftdichte durch f ⃗ = −gradV ′ = −∇V ′ ausgedrückt werden, wobei V ′ das Potential
pro
Volumeneinheit bedeutet, d.h. ∇p = −∇V ′ oder nach Integration p + V ′ = konst.
An der freien Oberfläche einer Flüssigkeit muss die Resultierende aller angreifenden
Volumenkräfte senkrecht zur Oberfläche stehen, andernfalls würden die Flüssigkeitsteilchen
an der Oberfläche verschoben werden, bis die Volumenkräfte senkrecht zur Oberfläche
stehen, die damit eine Äquipotentialfläche der Kräfte V ′ = konstant ist und folglich
ist auch p=konstant 101 .
12.1.1 Beispiele
1. Flüssigkeit im Gravitationsfeld der Erde
dG
p(z)
p(z+dz)
0
z
z+dz
z
p o
p
Die Kraftdichte der Schwerkraft ist mit ρ =konst. (inkompressibel)
⃗ f = ρg ⃗ k, wenn ⃗ k = Einheitsvektor in
z-Richtung ist. Also reduziert sich die Gleichgewichtsbedingung
∇p = ⃗ f mit p(0) = p ◦ (Integrationskonstante) auf
∂p
∂z = dp
dz = ρg, und somit wird p(z) = p ◦ + ρgz.
Der Druck nimmt mit der Tiefe linear zu z.B. Wasser p(1000m) ≈ 100p ◦ = 10 7 Pa.
2. Gase im Gravitationsfeld der Erde
100 Im Folgenden ist oft der skalare Druck p mit einem Vektorpfeil der entprechenden Kraft dF ⃗ = p dA
⃗
in den Figuren gezeichnet.
101 Als ein Beispiel führt die Volumenkraft des Mondes zusätzlich zur Erdanziehung an der Erdoberfläche
zu einem Gezeitenberg, der infolge der Erddrehung um die Erde läuft (Ebbe und Flut).
138

p(z+dz)
z
Wird die z-Richtung jetzt nach oben gewählt, so lautet die
Gleichgewichtsbedingung analog zum vorigen Beispiel:
p(z)
dG
p o
p
dp
dz
= −ρ(z)g, (153)
jedoch hängt wegen der starken Kompressierbarkeit der
Gase die Dichte ρ(z) jetzt von z ab.
Nehmen wir an, das Gas habe überall die gleiche Temperatur (isotherm), was für
die Atmosphäre allerdings nur bei kleinen Höhenunterschieden gilt, so besagt das
Gesetz von Boyle-Mariotte aus der Thermodynamik [Gl. (??)]
pV = p m ρ = konst,
wenn m die im Volumen V enthaltene Gasmasse ist. Also gilt
p(z)
ρ(z) = p(o)
ρ(o) = p ◦
,
ρ ◦
und aus Gl. (153) folgt
dp
dz = −gp(z)ρ ◦
p ◦
und
p(z) ∫
∫ z
p ◦
p ◦
dp
p(z) = −ρ ◦g
◦
dz ⇒ p(z) = p ◦ e −ρ◦gz/p◦ isotherme
Barometerformel.
Auf Meereshöhe bei 0 ◦ C hat Luft einen sogenannten Normal- Luftdruck von
p ◦ = 101 325 Pa = 1 Phys. Atmosphäre (Atm) und eine Dichte von
ρ ◦ = 1.29 kg/m 3 . In der Höhe z1
2
= 5480 m beträgt der Druck 0.5 Atm, sofern die
Temperatur überall 0 ◦ C ist (ln 2 = gz1
2
ρ ◦ /p ◦ ). Für kleine Exponenten bei geringen
Höhendifferenzen ergibt die Reihenentwicklung der e-Funktion den Näherungswert
(
p(z) ≈ p ◦ 1 − ρ )
◦gz
= p ◦ − ρ ◦ gz.
p ◦
Für Wasserstoff ist ρ ◦ (H 2 ) = 0.08987 kg/m 3 und z1
2
= 78700 m. Wasserstoff kann
deshalb leichter in den Weltraum entweichen. Sauerstoff 16 O 2 und Stickstoff 14 N 2
müssten deshalb in der Atmosphäre entmischt werden, dem wirkt jedoch die Entropie
entgegen (Kap. ??).
3. Ausströmen von Gas aus vertikalem Rohr
p 1
Gas
p 2
✻p ′ 1
h
❄
✻
h
❄p ′ 2
✻z
0
Luft
Da der barometrische Druckabfall mit der Höhe von der Dichte
ρ ◦ der Gassorte abhängt, ist der Überdruck in einem gasgefüllten
vertikalen Rohr gegenüber der umgebenden Luft
oben und unten verschieden gross. Es seien ρ ◦G und p ◦G Dichte
und Druck des Gases in der Höhe z = 0, die entsprechenden
Werte für die Luft seien ρ ◦L und p ◦L . Benutzen wir den Näherungsausdruck
für die Barometerformel, so sind die Druckunterschiede
an den beiden Öffnungen
∆p 1 = p 1 − p ′ 1 ≈ p ◦G − ρ ◦G gh − p ◦L + ρ ◦L gh = p ◦G − p ◦L − gh (ρ ◦G − ρ ◦L )
∆p 2 = p 2 − p ′ 2 ≈ p ◦G + ρ ◦G gh − p ◦L − ρ ◦L gh = p ◦G − p ◦L + gh (ρ ◦G − ρ ◦L ).
und ihre Differenz ∆p 1 − ∆p 2 ≈ −2ρ ◦G gh + 2ρ ◦L gh = 2gh (ρ ◦L − ρ ◦G ).
139

Für ρ ◦L > ρ ◦G ist also ∆p 1 > ∆p 2 . Die pro Sekunde ausströmende Gasmenge m
ist proportional zu ρ G v G . Nach der Bernoulli-Gleichung (160) ist aber die Gasgeschwindigkeit
für nichtkompressible Medien
p G
✲ ✛
vG t
v G ∼
√ √
∆p
∆p √
und m ∼ ρ G v G ∼ ρ G = ρ G ∆p.
ρ G ρ G
Es ist ρ ◦L (20 ◦ C) = 1.204 kg/m 3 , ρ ◦ (Methan) = 0.72 kg/m 3 ,
ρ ◦ (Propan) = 2.02 kg/m 3 .
✄ ✄✗ ❳❳
✄ ❳❳❳
❳ ❳ ❳ ❳❳ ❳ ✄✗ ❳
❳
✄ ❳
✄ ❳ ❳ ✄
✄✄
✄ ✄✄✗ ✄✄
Führt man die Rechnung aus, so zeigt sich, dass an der oberen
Öffnung für Methan (Propan) die grössere (kleinere) Gasmenge
ausströmt, solange der Überdruck des Gases nicht allzu
gross ist. Besonders drastisch ist der Effekt beim nur wenig
geneigten Behnschen Rohr.
4. Hydrostatisches Paradoxon
h
A A A
F1 F2 F3
h
Bei gleicher Bodenfläche A und gleichem
Flüssigkeitsstand h sind die Kräfte auf die Bodenflächen
gleich: F 1 = F 2 = F 3 = Aρgh.
Sie sind also unabhängig von der Gestalt des
Gefässes. Der Bodendruck hängt also nur von
der Höhe h ab.
Erklärung: Man denke sich in das Gefäss einen Zylinder mit
unendlich dünnen Wänden eingesetzt, so dass an den Druckverhältnissen
nichts geändert wird. Der Zylinder ist im Gleichgewicht.
Daran ändert sich auch nichts, wenn er mit dem Boden
fest verbunden wird. Also wirkt auf den Boden nur die
im Zylinder enthaltene Flüssigkeit.
Oder: p ist ein Skalar, der nur von der Höhe abhängt.
5. Kommunizierende Gefässe
In einem U-förmigen Rohr sind zwei Flüssigkeiten übereinander
geschichtet. Damit sie in Ruhe sind, muss an der
Trennfläche der Druck beidseitig gleich sein, also p 1 = p 2
oder p ◦ + ρ 2 h 2 g = p ◦ + ρ 1 h 1 g. Daraus folgt
ρ 1 h 1 = ρ 2 h 2 und h = h 2 − h 1 = h 2 (1 − ρ 2 /ρ 1 ).
Insbesondere ist für ρ 1 = ρ 2 ⇒ h 1 = h 2 . Die Flüssigkeitshöhen
stehen in beiden Gefässen gleich hoch.
p o
ρ2
p 2
p1
h2
ρ1
h1
p o
6. Torricellisches 102 Ausflussgesetz
102 Evangelista Toricelli (1608-1647), italienischer Physiker und Schüler Galileis. Er war Mathematiker
der Medici in Florenz, benutzte selbst hergestellte Glaskugeln als Linsen, führte 1643 seine Experimente
zur Erfindung des Quecksilber-Barometers durch, Galilei hatte schon ein Wasser-Barometer benutzt.
Er zeigte, dass in einem Hg-Rohr der äussere Luftdruck mit der Hg-Säule im Gleichgewicht steht. Er
behandelte das Problem des Vakuums (horror vacui). Im zu Ehren wurde die Einheit 1 Torricelli = 1 torr
= 1mm Hg eingeführt.
140

h
❄ p ◦
✻
❄p
p ◦
pA
⃗ ✲ ✛ p ◦A
⃗
✛vdt✲
Wie schnell fliesst Wasser aus der unteren Öffnung?
Durch die Öffnung mit dem Querschnitt A strömt während
der Zeit dt eine Flüssigkeitsmenge ρAvdt. Sie wird von der
Geschwindigkeit 0 auf v beschleunigt durch die Kraft
(p − p ◦ )A = ρghA, die längs des Weges vdt die Arbeit
dW = ρghAvdt leistet. Nach dem Energiesatz ist dW
gleich der kinetischen Energie dT = ρAvdt v2
2
√
der Flüssigkeitsmenge. Also folgt v = 2gh
Torricellisches Ausflussgesetz. Die Ausflussgeschwindigkeit ist genau so gross, als
wenn die Flüssigkeit durch die Fallhöhe h gefallen wäre. Da der Druck p ein Skalar
ist, ist die Richtung des ausfliessenden Wasserstrahles durch die Flächennormale
von ⃗ A gegeben.
7. Oberfläche einer rotierenden Flüssigkeit Die Flüssigkeit rotiert in einem vertikalen
zylindrischen Gefäss um dessen Achse. Für einen mitbewegten Beobachter
wirkt auf ein Volumenelement dV neben dem Gewicht dG = ρgdV auch eine Zentrifugalkraft
dZ = ρrω 2 dV . Die beiden Kräfte lassen sich aus einem Potential V ′
pro Volumeneinheit ableiten,
z
nämlich V ′ = ρgz − ω2 r 2
ρ. Da an der Oberfläche
ω → 2
z o als Äquipotentialfläche V ′ =konst. ist, gilt dort
dZ ρgz − 1 2 ρω2 r 2 = konst.
dV
dG
Setzt man z(r = 0) = z ◦ , so folgt z = z ◦ + ω2 r 2
2g .
Die Oberfläche der rotierenden Flüssigkeitssäule ist ein Paraboloid.
12.2 Der Auftrieb
Taucht ein fester Körper in ein Gas oder eine Flüssigkeit ein, so erfährt er von der anliegenden
Flüssigkeit Druckkräfte, deren Resultante man Auftrieb nennt. Bedeutet ⃗n einen
Einheitsvektor senkrecht zu jedem Flächenelement dA der Oberfläche des Körpers,
∫
so beträgt der Auftrieb FA ⃗ = − p⃗ndA.
p
p
→
dA
S D
n →
p
p
Oberfl.
Denkt man sich den Körper ersetzt durch die von ihm
verdrängte Gas- oder Flüssigkeitsmenge, das sogenannte
Déplacement , so wird das Gleichgewicht sicher nicht
gestört und ⃗ F A ändert sich nicht. Ist ⃗ f die Kraftdichte der
Volumenkräfte, die auf das Gas oder die Flüssigkeit wirken,
so ist deren Resultierende für das Déplacement
∫
⃗F D =
D
⃗fdV.
141

Dabei greift ⃗ F D im Schwerpunkt S D des Déplacements an. Der Auftrieb muss mit F D im
Gleichgewicht sein, d.h. ⃗ FA + ⃗ F D = 0. Der Angriffspunkt von ⃗ F A ist somit ebenfalls
S D . Ist die Volumenkraft speziell das Gewicht der Flüssigkeit pro Volumeneinheit, so gilt
⃗F A + ⃗ G = 0
das Prinzip des
Archimedes.
Der Auftrieb ist dem Betrag nach gleich
dem Gewicht der verdrängten Flüssigkeit.
Der Auftrieb beruht auf dem Druckunterschied zwischen Unter- und Oberseite des eingetauchten
Körpers. Da der Druckunterschied durch das Gewicht der Flüssigkeit verursacht
wird, kann es in einer schwerelosen Flüssigkeit keinen Auftrieb geben.
12.2.1 Beispiele
1. Stabilität eines Schiffes
S s
Damit ein Schiff schwimmen kann, muss ihm eine solche Form gegeben werden, dass
das Gewicht der verdrängten Wassermenge, also der Auftrieb F ⃗ A , gleich dem Gewicht
G des Schiffes ist. Damit das Schiff eine stabile Schwimmlage hat, müssen bei
einer Auslenkung aus der Gleichgewichtslage F A und G ein aufrichtendes Drehmoment
erzeugen.
→
→ Die Jacht schwimmt stabil, weil ihr Kiel mit Blei beschwert
ist; eine homogene Jacht wäre instabil wie
A
A
ein vertikal im Wasser schwimmender Holzklotz. Das
S D
ist der Fall, wenn das Metazentrum, d.h. der Schnittpunkt
der Wirkungslinie des Auftriebs mit der Sym-
S s
S s
→ Schwert →
metrieachse des Schiffes, oberhalb des Schwerpunktes
G
G
des Schiffes S S liegt.
S D
→
A Ss A M
→
G
S D
2. Ladung über Bord
→
→
G
S D
Die Schwimmlage der Jolle ist aus dem gleichen Grunde
stabil, aus dem auch ein flach auf dem Wasser
schwimmendes Brett stabil ist: bei einer kleinen Drehung
aus der stabilen Schwimmlage verschiebt sich
der Angriffspunkt des Auftriebs sehr stark.
Ein Schiff mit Masse M sei mit einer Ladung m beladen. Der Auftrieb ist dann
M
M
m
m
3. Zentrifugalauftrieb
F A = (M + m)g = M D g, wobei M D = M + m die Masse des
Déplacements ist. Fällt die Masse m über Bord, so ist der Auftrieb
des Schiffes F ′ A = Mg. Die vom Schiff und der
Ladung verdrängte Wassermenge ist wenn ρ Fl < ρ m
M ′ D = M + m ρ m
ρ Fl ,
und es ist M D > M ′ D. Der Wasserspiegel sinkt, wenn die Ladung
versinkt. Ist ρ Fl > ρ m z.B. Holz, dann bleibt der Wasserspiegel,
da das Holz schwimmt.
Ein Körper der Masse m sei in eine rotierende Flüssigkeit getaucht. Analog zum
gewöhnlichen Auftrieb im Schwerefeld der Erde wird durch die Zentrifugalkräfte ein
142

Zentrifugalauftrieb erzeugt. Ersetzen wir wieder den Körper durch das Déplacement,
so muss Gleichgewicht zwischen der Volumenscheinkraft Z ⃗ D auf das Déplacement
(bei vernachlässigter Schwerkraft) und dem Zentrifugalauftrieb F ⃗ AZ herrschen:
ρ Fl
✻ω
ZD ⃗ + F ⃗ AZ = 0. Es gilt mit
ρ ⃗F ✎☞ m ⃗
✛ AZ ✲ Z
✍✌
∫
✛r
✲
✲⃗i
⃗e r = Einheitsvektor in Radialrichtung
⃗Z D = ⃗e r
Körper
ρ Fl rω 2 dV = − ⃗ F AZ .
Die Zentrifugalkraft auf den eingetauchten Körper beträgt ferner Z ⃗ ∫
= ⃗e r ρm rω 2 dV.
Die resultierende Radialkraft ist demnach R ⃗ = Z ⃗ + F ⃗ AZ = ⃗e r ω 2 ∫ r (ρ m − ρ Fl )dV.
K
Für ρ m > ρ Fl bewegt sich der Körper von der Drehachse weg, für ρ m < ρ Fl strebt
er zur Drehachse.
In Ultrazentrifugen mit 1000 Umdrehungen pro Sekunde kann man auf diese Weise
verschiedene Viren und grössere Moleküle von einander trennen.
12.3 Dynamik idealer Flüssigkeiten
Überlagert man der unregelmässigen molekularen Bewegung der
Gas- oder Flüssigkeitsteilchen eine geordnete Bewegung (Driftbewegung),
so erhält man eine Strömung. Indem man kleine Probekörper
v →
(z.B. Korkteilchen, Tinte) in die Flüssigkeit bringt, kann man die Bewegung
der Flüssigkeitsteilchen beobachten. Wir bringen zunächst einige
Definitionen.
Stromlinien sind diejenigen Kurven, deren Tangenten in jedem Punkt die gleiche Richtung
wie die Flüssigkeitsgeschwindigkeit haben 103 . Ist das Stromlinienbild zeitlich unveränderlich,
d.h. ist an jedem Punkt die betreffende Geschwindigkeit ⃗v konstant, so
spricht man von einer stationären Strömung. Die
Geschwindigkeitsvektoren einer Strömung bilden ein
Vektorfeld ⃗v = ⃗v(x,y,z,t). Ist die Strömung stationär,
so ist ⃗v = ⃗v(x,y,z), und damit ∂⃗v/∂t = 0.
Eine Strömung heisst eben , wenn ⃗v überall parallel
zu einer bestimmten Ebene, der Strömungsebene, ist.
Laminare Strömungen sind Strömungen mit einem glatten
Stromlinienbild, d.h. verschiedene Schichten gleiten ohne
Wirbelbildung aneinander vorbei. Sind die Stromlinien
verwirbelt, so nennt man die Strömung turbulent.
Eine ideale Flüssigkeit ist definitionsgemäss reibungsfrei
und inkompressibel. Sie zeigt wesentlich einfachere
Gesetzmässigkeiten als die tatsächlich in der Natur
103 Analog zu den Feldlinien (Phys AII) ist mit ⃗v = ⃗v(x,y) die Differentialgleichung für die Stromlinien
y = f(x) gegeben durch dy
dx = vy
v x
.
143

vorkommenden realen Flüssigkeiten , deren Strömungen
beim Überschreiten einer kritischen Geschwindigkeit immer
turbulent werden, wenn ein Hindernis um- oder durchströmt
wird.
Im folgenden ist es das Ziel, für Flüssigkeiten und eingeschränkt
auch für Gase eine Bewegungsgleichung auf der
Basis des Newtonschen Prinzips aufzustellen.
12.3.1 Die Kontinuitätsgleichung für stationäre Strömungen
Es kann keine Materie erzeugt oder vernichtet werden 104 .
Es muss die in jedes Volumenelement hineinfliessende
Flüssigkeitsmenge auch wieder herausfliessen.
Pro Zeiteinheit strömt durch die Fläche ✻ z
dA die Flüssigkeitsmenge dm/dt = ρ·dA·v n , wenn
v
v n die Geschwindigkeitskomponente in der Normalenrichtung
zur Fläche dA steht und die Dichte
x (x)
ρ=konst. inkompressibel ist. Für ein Volumenelement
muss also gelten:
✏ ✏✶ (x,y,z)
y
✘ ✘✘
dx
✏✏✶
vy (y)
✻ v z(z + dz)
✏ ✏ v y(y + dy)
✏✏✶
dz
✟ ✟
dy
v z (z)
✲ x
✲
vx (x + dx)
dm ein /dt = ρ · dydz · v x (x,y,z) + ρ · dzdx · v y (x,y,z) + ρ · dxdy · v z (x,y,z) =
dm aus /dt = ρ · dydz v x (x + dx,y,z) + ρ · dzdx v y (x,y + dy,z) + ρ · dxdy v z (x,y,z + dz)
1
·
ρ dxdydz ⇒
div · ⃗v = ⃗ ∇ · ⃗v = ∂v x
∂x + ∂v y
∂y + ∂v z
∂z = 0
die Kontinuitätsgleichung
(154)
Die Kontinuitätsgleichung gilt auch für nichtstationäre Strömungen jedoch nur für
inkompressible Flüssigkeiten. Sie spielt in vielen Bereichen der Physik eine Rolle.
Betrachtet man z.B. eine Stromröhre , d.h. ein Rohr, dessen Wandungen von Stromlinien
gebildet wird und dessen Endflächen senkrecht zu den Stromlinien stehen, dann
muss, da seitlich keine Flüssigkeit in die Stromröhre eintritt, die durch dA e einlaufende
dA Menge pro Zeiteinheit gleich der bei dA a
a auslaufenden
Menge sein, also
dA e
→
v 2
→
v 1
ρdV e
dt
= ρv e dA e = ρv a dA a ⇒ v e
v a
= dA a
dA e
.
12.3.2 Die Bewegungsgleichung von Euler und Bernoulli †
✁ ✁✕
✓ ✓✼
✓ ✓
✓
✒
⃗v
✘✘ ✏ ✒
dτ ❅
✟
❅ ❅❘ dF
⃗
✒ ✚ ✚✚✚✚✚✚❃ ✟ ✟✟✟✟✯ ✏✏✶
Auf ein Volumenelement dτ in einem Stromfaden wirkt die Gesamtkraft
d ⃗ F. Sie setzt sich zusammen aus einer Volumenkraft
d ⃗ F τ = ⃗ fdτ, d.h. einer äusseren Kraft, die auf das Volumenelement
dτ wirkt, wie z.B. die Schwerkraft ρgdτ oder die Zentrifugalkraft
und als zweites die Oberflächenkraft als Resultierende
der Kräfte d ⃗ F ◦ aus Druck·Fläche.
Für die x-Komponente gilt mit dA = dy · dz
104 Zur Erzeugung von Materie z.B. eines Protons muss mindestens infolge der allgemeinen Energieerhaltung
die Ruhmasse des Protons als Energie, d.h. E > m Proton zur Verfügung stehen und gleichzeitig
die Baryonenzahl erhalten bleiben. Dies ist ein Problem der Teilchenphysik.
144

dF ◦x = −[p(x + dx) − p(x)]dA ⇒
}{{}
1/dτ
− ∂p
∂x = dF ◦x
dτ
= f ◦x für alle Komponenten ⃗ f ◦ = −∇p
Mit dem Newtonschen Prinzip erhält man nun die Bewegungsgleichung für das
Volumenelement dτ
dm d⃗v
dt
= ρdτ
d⃗v
dt = d⃗ F = d ⃗ F τ + d ⃗ F ◦ = ( ⃗ f − ∇p)dτ
und damit
ρ d⃗v
dt = ⃗ f − ∇p die Eulersche Bewegungsgleichung. (155)
Die Eulersche Bewegungsgleichung entspricht also dem Newtonschen Prinzip, angewendet
auf eine bewegte Flüssigkeit. Allgemein ist ⃗v = ⃗v(x,y,z,t) und ⃗v ändert sich mit der
Zeit und der Position. Für eine stationäre Strömung ist jedoch ⃗v allein durch die Ortsabhängigkeit
gegeben ⃗v = ⃗v(x,y,z) unabhängig von t und das totale Differential d⃗v wird dt
nur durch die Ortskoordinaten ausgedrückt.
So gilt z.B. als Vorübung für den freien Fall im Gravitationsfeld mit v z = v z (z,t) für
das totale Differential nur für die z-Abhängigkeit der stationären Strömung mit ∂vz = 0
∂t
dv z = ∂v z
∂z dz + ∂v z
∂t dt also dv z
dt = ∂v z dz
∂z dt + ∂v z dt
∂t dt = ∂v z
∂z v z + ∂v z
∂t = ∂v z
∂z v z
d
und mit Newton’s Aktionsprinzip
dt (mv z) = mg = m dv z
⇒
dv z
dt dt = g = ∂v z
∂z v z
Für den allgemeinen stationären Fall ist dann mit Gl.(155) und ⃗v = ⃗v(x,y,z)
ρ dv [
x(x,y,z)
dt
=ρ ∂vx
∂x dx
dt + ∂v x
∂y dy
dt + ∂v x
∂z dz
]
dt
=f x −
∂x ∂p ; x-Komp.
ρ dv [
y(x,y,z) ∂vy
dt
=ρ
∂x dx
dt + ∂v y
∂y dy
dt + ∂v y
∂z dz
]
dt
=f y −
∂y ∂p ; y-Komp.
ρ dv [
z(x,y,z)
dt
=ρ ∂vz
∂x dx
dt + ∂v z
∂y dy
dt + ∂v z
∂z dz
]
dt
=f z −
∂z ∂p ; z-Komp.
Dies ist eine komplizierte Differentialgleichung, die für den Spezialfall, dass sich die
Geschwindigkeit durch ein Geschwindigkeitspotential ⃗v = −∇Φ ableiten lässt, vereinfacht
werden kann. Das Geschwindigkeitspotential ist offenbar möglich für den stationären Fall,
bei dem jedem Ort eine eindeutige Geschwindigkeit zugeordnet werden kann. Dann ist
dx
= v dt x = − ∂Φ,
v ∂x y = − ∂Φ und v ∂y z = − ∂Φ und für die x-Komponente gilt dann105
∂z
ρ
( ∂ 2 Φ ∂Φ
∂x 2 ∂x + ∂2 Φ ∂Φ
∂x∂y ∂y + ∂2 Φ
∂x∂z
)
∂Φ
∂z
= ρ [ (
∂ ∂Φ
2 ∂x ∂x
) 2
} {{ }
vx+
2
( ∂Φ
+
∂y
) 2
} {{ }
vy+
2
) 2
( ] ∂Φ
+ = ρ ∂
∂z 2 ∂x v2 = f x − ∂p
∂x
} {{ }
vz 2 = v 2
und entsprechend für die y- und z-Komponenten. Nimmt man eine konservative Kraftdichte
mit f ⃗ = −∇V ′ und damit für die x-Komponente f x = − ∂V ′
, dann erhält man106
∂ ρ
∂x 2 v2 + ∂
∂x V ′ + ∂
∂x p = 0 = ∂ ( ρ
∂x 2 v2 + V ′ + p)
105 mit der Identität 1 ∂
[ ( ) 2
∂Φ ]
= ∂Φ
2 ∂x ∂x ∂x · ∂2 Φ
∂x 2
106 für eine nichtkompressible Flüssigkeit mit ρ =konst. Die Ableitung der Konstanten ist null.
∂x
145

und analog für die beiden anderen Komponenten. Damit gilt für eine nichtkompressible
Flüssigkeit mit ρ =konst.
p + ρ 2 v2 + V ′ = konst. die Bernoulli 107 -Gleichung. (156)
12.3.3 Spezialfall der Bernoulli-Gleichung
Die Bernoulli-Gleichung (156) für ein Schwerefeld kann auch anschaulicher mit einer Energiebetrachtung
abgeleitet werden. Die von allen Kräften geleistete Arbeit eines Stromfadens
im Schwerefeld ist gleich der Zunahme der kinetischen Energie hier für eine reibungsfreie,
stationäre, laminare, inkompressible Flüssigkeit längs einer Stromröhre:
dW p = p 1 A 1 dx 1 − p 2 A 2 dx 2 = (p 1 − p 2 )dV
mit der Kontinuitätsgleichung A 1 dx 1 = A 2 dx 2 = dV
und der Arbeit der Schwerkraft dW G = ρg dV (h 1 − h 2 ) ist mit
dem Energiesatz (p 1 − p 2 )dV + ρg dV (h 1 − h 2 ) = ρ 2 (v2 2 − v 2 1) dV
⇒ p 1 + ρ 2 v2 1 + ρgh 1 = p 2 + ρ 2 v2 2 + ρgh 2 =konst.
dx 1 A
dx 2 A 2
1
p
p 2
1
h 1 h 2
Für diesen Spezialfall ist p + ρ 2 v2 + ρgh = konst. (157)
Interpretation:
1. Term: Statischer Druck, den ein mit der Strömung mitbewegter Beobachter mit einem
Manometer misst.
2. Term: Kinetische Energie der Volumeneinheit = Staudruck oder dynamische Druck.
3. Term: Potentielle Energie pro Volumeneinheit dτ z.B. der Schweredruck Gl. (157).
p t = p + ρ 2 v2 wird manchmal fälschlich als Gesamtdruck bezeichnet, dies trifft nur dann
zu, wenn für V ′ = ρgh = 0 der Stromfaden horizontal verläuft, es ist in diesem Fall
p + ρ 2 v2 = konst. = p tot [siehe Gl. (160)].
Zusammenstellung der Voraussetzungen für die Bernoulli-Gleichung (156)
1. Die Strömung ist reibungsfrei.
2. Die Strömung ist laminar, hat keine Wirbel.
3. Das Medium ist inkompressibel ρ =konst. (Gase mit geringer Geschwindigkeit)
4. ⃗v ist aus einem Geschwindigkeitpotential Φ ableitbar d.h. stationär.
5. ⃗ f ist aus einem Kraftdichtepotential V ′ ableitbar (konservative Kraft).
Diese fünf Voraussetzungen sind i.a. für die normalen Probleme nicht extremer Randbedingungen
der Hydodynamik erfüllt.
107 Daniel Bernoulli (29.1.1700 Groningen - 17.3.1782 Basel) Physiker und Mathematiker aus einer niederländischen
Gelehrtenfamilie, die seit 1622 in Basel ansässig ist [Jacob Bernoulli (1654-1705) Mathematiker,
Buch über Wahrscheinlichkeitsrechnung ’Ars conjectand’ behandelt das Gesetz der grossen Zahl,
Jacob II Bernoulli (1759-1789), Johann Bernoulli (1667-1748) Vater von D.B. Mathematiker Klärung
und Formulierung mechanischer Prinzipien] studierte erst Medizin mit einer Dr.Arbeit mit 21 Jahren
’Über die Luftmenge, welche beim Einatmen in die Lunge tritt’. Professur in Petersburg, 1732 Lehrstuhl
für Anatomie und Botanik in Basel, schrieb ’Hydrodynamika’ Anfänge der kinetischen Gastheorie, z.B.
Erhöhung der Gasbewegung und damit des Druckes durch Wärme, Problem des gebogenen Balkens, bestimmte
die Leistung des Herzens, 1750 Professur für Physik, die ihm mehr lag. Viele Preise u.a. Preis der
Pariser Akademie für ’Sur la perfection des clepsydres (Wasseruhr) ou des sabliers (Sanduhr) sur mer’.
146

12.3.4 Potentialströmungen †
Die Bedingung, dass eine Strömung ein Potential Φ besitzt, d.h. eine Potentialströmung
ist, folgt aus ⃗v = −∇Φ = −gradΦ ⇒ v x = − ∂Φ
∂x , v y = − ∂Φ
∂y , v z = − ∂Φ
∂z ⇒
∂ 2 Φ
∂x∂y = ∂2 Φ
∂y∂x = ∂ ( ) ∂Φ
= ∂ ( ) ∂Φ
∂x ∂y ∂y ∂x
} {{ } } {{ }
−v y −v x
d.h.
∂v z
∂y − ∂v y
∂z = 0,
⇒ ∂v x
∂y = ∂v y
∂x ,
∂v x
∂z − ∂v z
∂x = 0,
∂v y
∂z = ∂v z
∂y ,
∂v y
∂x − ∂v x
∂y = 0.
Dies sind gerade die Komponenten des Vektorproduktes ∇ × ⃗v = rot⃗v
∇ × ⃗v =⃗i
( ∂vz
∂y − ∂v ) (
y ∂vx
+⃗j
∂z ∂z − ∂v ) (
z
+
∂x
⃗ ∂vy
k
∂x − ∂v )
x
= 0
∂y
∂v z
∂x = ∂v x
∂z
Damit ist die Bedingung für eine Potentialströmung ∇ × ⃗v = 0 (158)
Die Strömung muss wirbelfrei, d.h. laminar sein. Vergleiche hierzu die gleiche Bedingung
für ein wirbelfreies konservatives Kraftfeld [Gl. (30)].
12.3.5 Beispiele †
1. Die Stromlinien sind konzentrische Kreise mit |⃗v| ∝ r
✻v y ⃗v = ⃗ω × ⃗r, ⃗ω = ⃗ kω, also v x = −ωy, v y = +ωx, v z = 0
★✥
✛
✛✎☞ ✻
∂v x
✻ ✲ vx
und damit
❄✲ ✍✌
∂y − ∂v y
= −ω − ω = −2ω ≠ 0
∂x
✧✦
❄ ✲
Dies ist keine Potentialströmung sondern es bestehen Wirbel in
allen Raumpunkten.
2. Nicht jede rotierende Strömung hat Wirbel
✻v y |⃗v| ∝ 1,
⃗v = a⃗ω×⃗r , |⃗r| 2 = x 2 + y 2 , ⃗ω = ⃗ kω die Stromlinien
r r 2
★✥ ✛ sind geschlossene Kreise und x = 0, y = 0 ist ein singulärer
✛✎☞✻
✻ ✲ vx
Punkt. Es gilt für die Komponenten
❄✍✌
✲
✧✦ ❄✲
y
v x = −aω
x 2 + y 2, v x
y = +aω
x 2 + y 2, v z = 0
∇ × ⃗v =⃗i ( ∂
∂y v z − ∂ }{{}
}{{} ∂z
⇒
damit ist
=0
=0
(
∂
∂x v y = aω
∂
∂y v x = −aω
(
v y
)
+ ⃗j ( ∂
∂z
}{{}
=0
1
x 2 + y 2 −
v x − ∂
∂x v )
z
}{{} + ⃗ ( ∂ k
∂x v y − ∂ ∂y v )
x
=0
x · 2x )
= aω y2 − x 2
(x 2 + y 2 ) 2 (x 2 + y 2 ) 2
1
x 2 + y 2 − 2y 2
(x 2 + y 2 ) 2 )
= aω y2 − x 2
(x 2 + y 2 ) 2
∇ × ⃗v = ∂
∂x v y − ∂ ∂y v x = 0
147
und die Strömung ist wirbelfrei

mit Ausnahme der singulären Achse. Umschliesst der Integrationsweg die singuläre Achse,
dann ist die Zirkulation Z . = ∮ ⃗vd⃗r = 2πaω, ausserhalb der Achse ist Z = 0. Die
so definierte Zirkulation einer Strömung ist die Summe der skalaren Produkte aus der
Strömungsgeschwindigkeit ⃗v und dem Wegelement d⃗r längs einer geschlossenen Kurve um
einen Körper. Die Absaugwirbel beim Entleeren einer Badewanne sind ein Beispiel einer
rotierenden Potentialströmung.
12.3.6 Die Berechnung einer Potentialströmung aus der Potentialgleichung †
Mit der Kontinuitätsgleichung ∇⃗v = 0 für eine Potentialströmung ⃗v = −∇Φ erhält man 108
div · gradΦ = ∇∇Φ = 0 = ∆Φ = 0 die Potentialgleichung (159)
Die Lösung dieser partiellen Differentialgleichung mit den Randbedingungen liefert das
Potential Φ und damit die Geschwindigkeitsverteilung ⃗v = −∇Φ.
Als Beispiel für ein ebenes zylindersymmetrisches Problem ist der Laplace Operator
in ebenen Zylinderkoordinaten 109
∆Φ = ∂2 Φ
∂x 2 + ∂2 Φ
∂y 2 = 1 r
r ϕ
R
(
∂
r ∂Φ )
+ 1 ∂ 2 Φ
∂r ∂r r 2 ∂ϕ = 0 ⇒ Φ
2 r∂2 ∂r + ∂Φ
2 ∂r + 1 ∂ 2 Φ
r ∂ϕ = 0 2
Mit einem der Rezepte zur Lösung partieller Differentialgleichungen werden die beiden
Variablen r, ϕ mit dem Produktansatz Φ = χ(ϕ) · R(r) separiert.
∂Φ
∂r = χ(ϕ)dR dr , ∂ 2 Φ
∂r = R
2 χ(ϕ)d2 dr , 2
∂ 2 Φ
∂ϕ = χ
2 Rd2 dϕ 2
⇒ rχ d2 R
dr + χdR 2 dr + 1 χ
r Rd2 dϕ = 0 ⇒ 2 k2 = r2 d2 R dR d 2 χ
dr 2
R
+ r dr
R = − dϕ 2
χ
Die beiden Seiten der Gleichung sind jeweils nur von r oder ϕ abhängig, die Gleichung
muss aber für alle r und ϕ gelten. Dies kann nur erfüllt werden, wenn jede Seite für sich
gleich derselben Konstanten k 2 ist. Damit ist die partielle Differentialgleichung in zwei
normale Differentialgleichungen mit der Separationskonstanten k 2 separiert. Es gilt 110
r 2d2 R
dr 2 + rdR dr − k2 R = 0 ⇒ R = Cr k + Dr −k ,
Die allgemeine vollständige Lösung ist
d 2 χ
dϕ 2 + k2 χ = 0 ⇒ χ = A cos kϕ + B sin kϕ
Φ = (Cr k + Dr −k )(A cos kϕ + B sin kϕ).
Die Integrationskonstanten A, B, C, D und die Separationskonstante k werden aus drei
Randbedingungen z.B. für einen Zylinder mit dem Radius R z bestimmt 111 :
108 ∇∇ = ∆ = ∂2
∂x
+ ∂2
2 ∂y
+ ∂2
2 ∂z
ist der Laplace Operator. Partielle Differentialgleichungen der Form
2
∇ 2 Φ = ∆Φ = 0 oder =konst. treten in allen Bereichen der Physik und Chemie auf, wie in der Elektrostatik,
Wellentheorie, Quantenmechanik als Schrödinger Gleichung...
109 siehe Anhang C.5
110 siehe im Anhang C.2 die Differentialgleichungen 5. und 9.
111 1. v r (r = R z ) = 0 ⇒ v r = ∂Φ
∂r = −(Acos kϕ + B sin kϕ)k(Crk−1 − Dr −k−1 ) ⇒ C/D = Rz
−2k
2. v ϕ (r = R z , ϕ = 0,π) = 0 ⇒ v ϕ = − 1 ∂Φ
r ∂ϕ = − k r (Crk + Dr −k )(−Asin kϕ + B cos kϕ)
⇒ B = 0 undk =ganze Zahl.
3. v r (ϕ = 0,π; r → ∞) = v ◦ ⇒ v ◦ = −Ak(DRz
−2k r k−1 − Dr −k−1 ) ⇒ k = 1 für v endlich
und AD = Rzv 2 ◦ .
148

v r (r = R z ) = 0, v ϕ (r = R z , ϕ = 0,π) = 0, v r (ϕ = 0,π; r → ∞) = v ◦
[ ( ) 2
]
[ ( ) 2
]
[
Rz
Rz
⇒ Φ = −v ◦ r 1 + cos ϕ, v r = v ◦ cos ϕ 1 − , v ϕ = −v ◦ sin ϕ 1 +
r
r
( ) 2
]
Rz
Mit diesen Gleichungen ist das Geschwindigkeitsprofil um einen Zylinder bestimmt.
Das Stromlinienbild der obigen Figur dagegen kann durch Integration der Geschwindigkeit
berechnet werden, wie dies in der Fussnote Seite 155 angegeben ist oder als allgemeinere
Methode aus einem ebenen Stromlinienbild in der komplexen u − v Ebene mit v =konst.
durch eine konforme Abbildung in die komplexe x − y Ebene bestimmt werden: Es gilt
w = z +R 2 /z = u+iv = x+iy +(x −iy)R 2 /(x 2 +y 2 ) = x(1+R 2 /r 2 )+iy(1 −R 2 /r 2 ).
Hierbei wird die u −v Ebene auf die x −y Ebene ausserhalb des Kreises R abgebildet.
Es ist r 2 = x 2 + y 2 und y wird numerisch berechnet aus der Gleichung
v = y(1 − R 2 /(x 2 + y 2 ) =konst. v = 0 entspricht der x-Achse bis −R, dem Kreis mit
R und der x-Achse +R bis unendlich. Für jeden Punkt der u − v Ebene findet man
einen Punkt in der x − y Ebene, der ausserhalb des Kreises liegt. Für kompliziertere
Stromlinienbilder müssen die konformen Abbildungen der entsprechenden Begrenzungen
(z.B. Flugzeugflügel) gefunden werden (vgl. auch die Figur Seite 156).
12.3.7 Anwendungen der Bernoulli-Gleichung
Die Bernoulli-Gleichung ist von sehr grosser Bedeutung für die ganze Hydrodynamik.
Obwohl sie streng nur für reibungslose und inkompressible Flüssigkeiten gilt, kann man
doch in vielen Fällen diese Einschränkungen vernachlässigen.
Wir betrachten den Sonderfall, dass das Potential V ′ der Volumenkräfte konstant ist.
Das ist der Fall, wenn keine oder nur sehr kleine äussere Kräfte wirken (seichte Strömung
im Schwerefeld) oder wenn die Stromlinien horizontal verlaufen. Dann ist mit Gl. (156)
p + ρ 2 v2 = konst. = p ◦ die Bernoulli-Gleichung. (160)
Die Konstante p ◦ wird Gesamtdruck genannt und hat die Bedeutung des hydrostatischen
Druckes p für den Fall der ruhenden Flüssigkeit (v = 0). Die Grösse (ρ/2)v 2 nennt
man den dynamischen Druck. Die Bernoulligleichung besagt also, dass Statischer
Druck + dynamischer Druck = Gesamtdruck.
1. Die einzelnen Drucke werden mit speziellen Sonden gemessen.
✲
✲
✲
✲
✞
✝
✘
❳
p
❄ ❄
p L ❄h
✻ ρ ◦
✣ ✍✌
✢
v=0
p ◦
p L ❄ ❄
h ′
❄
✻ ρ ◦
✣ ✍✌
✢
✲
✲
✲
✲
Der statische Druck wird mit einer Drucksonde
gemessen, deren Profil die Strömung möglichst wenig
stört. Die Öffnungen der Sonde, die mit einem Manometer
verbunden sind, liegen parallel zu den Stromlinien.
Wenn p L = Luftdruck, so gilt für den statischen
Druck p = p L − ρ ◦ gh,
er nimmt mit steigendem v 2 ab.
Mit dem Pitotrohr wird der Gesamtdruck p ◦ gemessen.
Die gegen die Sonde anströmende Flüssigkeit
besitzt einen Staupunkt (v = 0) an der Spitze der
Sonde, die hier eine axiale Öffnung besitzt, die ans
Manometer angeschlossen ist. Also ist
p ◦ = p L + ρ ◦ gh ′ .
149
r

✲
✲
✘
❳
p
✲
✲
❄ ❄
h ′′ p
❄ ◦
✻
✣ ✍✌
✢
Der dynamische Druck wird mit dem Prandtlrohr
gemessen, das eine Kombination von Drucksonde
und Pitotrohr darstellt und die Differenz von Gesamtdruck
und statischem Druck misst, d.h.
den dynamischen Druck p ◦ − p = ρ 2 v2 = ρ ◦ gh ′′ .
Mit dem Prandtlrohr werden bequem Strömungsgeschwindigkeiten
gemessen.
2. Mit dem Venturirohr wird die Strömungsgeschwindigkeit von Gasen oder Flüssigkeiten
in einem Rohr bestimmt. Der wesentliche Teil ist die Querschnittverengung
A 2 . Aus der Kontinuitätsgleichung folgt
h ✻ 1 h ✻ 3 = h 1
❄
❄❄ ✻ h ′ 3 A 1 v 1 = A 2 v 2 , v 2 = A 1
v 1 ⇒
❍ h 2 ✻
✻ ❍ ❄❄✻ h′ 2 ✟ ✟
A 2
✲ v 1
✲ ✲
✻❄ v 2 v 1
❄ ✟ ✟ ❍
A
A ❍ p 1 + ρ
2
2 v2 1 = p 2 + ρ 2 v2 2 = p 3 + ρ 2 v2 1,
1 A 1
oder p 1 = p 3 , p 2 = p 1 − ρ ( )
v
2
2 2 − v1
2 = p1 − ρ ( ) A
2
1
2 v2 1 − 1 .
A 2 2
Wegen der Reibung tritt aber bei gleichförmigem Querschnitt ein linearer Druckabfall
auf. Bei variablem Querschnitt beobachtet man daher die Druckhöhen h ′ 2 und
h ′ 3.
3. Hydrodynamisches Paradoxon Der aus dem Rohr mit der Geschwindigkeit v ◦
austretende Gasstrahl wird durch die untere Platte nach allen Seiten umgelenkt, so
dass die Geschwindigkeit v(r) zum Rande der Platte immer kleiner wird. Nach der
Kontinuitätsgleichung ist
v ◦ A ◦ = v(r)2πrd.
Der Druck zwischen den Platten ist dann
A o
R o
r o
F =
r
∫R ◦
d
p(r) = p ◦ − ρ 2 v2 = p ◦ − ρ 2
( ) v◦ A 2
◦
,
2πrd
er ist also wesentlich kleiner als der äussere Luftdruck p ◦ .
Daher wird die untere Platte mit einer Kraft
r ◦
[p ◦ − p(r)] 2πrdr = ρv2 ◦A 2 ◦
4πd 2 ln R ◦
r ◦
gegen die obere gedrückt.
4. Abdecken eines Hauses im Sturm
Das Haus bewirkt eine Verengung der Stromlinien und nach dem Kontinuitätsgesetz
deshalb eine Erhöhung der Windgeschwindigkeit über dem Dach. Nach der
Bernoulli-Gleichung ist dann der statische Druck p über dem Dach kleiner als im
Innern des Hauses:
150

→
F
p
→
v
→
F
p = p ◦ − ρ 2 v2 . Die Kraft auf das Hausdach
A
po
(Fläche A) ist dann F = A(p ◦ − p) = ρ 2 Av2 .
Beispiel: v = 20 m/s = 72 km/h, ρ = 1.29 kg/m 3 ,
A = 50 m 2 , F = 12 900 N.
5. Torricellisches Ausflussgesetz
Für eine Flüssigkeit haben wir es schon im Kapitel 12.1 diskutiert. Das gleiche
Resultat erhält man auch mit der Bernoulli-Gleichung. In dem mit Flüssigkeit
✻
h
❄
p L
p 1
v 1 = 0
✲ v
p L
gefüllten Gefäss sei p 1 der Druck der Flüssigkeit in der Höhe der
Ausflussöffnung. Herrscht aussen der Luftdruck p L ,
so gilt p 1 + 0 = p L + ρ 2 v2 . (161)
Da aber p 1 = p L + ρgh, so ist v =
√
2gh
Im Falle eines Gases, das aus einem Gefäss ausströmt, in dem es
unter dem Druck p 1 steht, gilt wieder Gleichung (161), so dass
p 1
v 1 = 0
✲ v
p L
v =
√
2(p 1 −p L )
ρ
Dieses Ergebnis hatten wir in Kapitel 12.1.1 Beispiel 3 zur Berechnung der aus einem
vertikalen Rohr ausströmenden Gasmenge benutzt.
12.4 Innere Reibung der Gase und Flüssigkeiten
Wir befassen uns jetzt mit realen Flüssigkeiten, die sowohl kompressibel als auch zäh sind,
also sogenannte innere Reibungskräfte aufweisen. Dass solche Kräfte vorhanden sein
müssen, zeigte schon der Versuch mit der rotierenden Flüssigkeit in Kapitel 12.1. Die Rotation
des Gefässes kann nur dann auf innere Flüssigkeitsschichten übertragen werden,
z
✻
✲τ
dz
♣ ♣ ♣ ♣
✛ τ
✲
1
✲
✲ v(z + dz)
✲ v(z)
✲ v ◦
wenn zwischen diesen Kraftwirkungen bestehen. Um einen
quantitativen Zusammenhang zu erhalten, machen wir folgenden
Versuch: In einer Flüssigkeit wird die Platte 1 mit
der Geschwindigkeit v ◦ gegenüber der zu ihr parallelen und
ruhenden Platte 2 bewegt. Ist v ◦ kleiner als eine kritische
Geschwindigkeit v k (die in Kap. 12.5 behandelt wird), so
bildet sich zwischen den Platten eine laminare Strömung
2
aus, wobei die Flüssigkeiten, die den Platten unmittelbar anliegen, an diesen haften
(Grenzschicht). Denken wir uns die Flüssigkeit zwischen den Platten in infinitesimal
dünne Schichten zerlegt, so müssen wir annehmen, dass benachbarte Schichten mit verschiedenen
Geschwindigkeiten aneinander vorbeigleiten und dabei aufeinander dynamische
Schubspannungen τ ausüben. Dadurch entsteht ein Geschwindigkeitsgradient dv/dz
quer zur Strömung. Für die Schubspannungen gilt folgendes empirisches Gesetz
151

τ = η dv
dz
Newtonsches Reibungsgesetz
τ
[ N
m 2 ]
Die Proportionalitätskonstante η heisst Zähigkeit oder Viskosität. Ihre Dimension ist
[η] = Ns = Pascal·s. (Für die noch häufig gebrauchte cgs-System-Einheit Poise gilt die
m 2
η
Flussigkeit "
T
Umrechnung 1 Poise = 0.1 Pascalsekunde.)
In einer realen Flüssigkeit existieren neben dem bislang
allein betrachteten Druck, d.h. der Normalspannung, auch
Tangential- oder Schubspannungen. Die Viskosität ist stark
temperaturabhängig.
Während bei Flüssigkeiten die Kraftwirkung benachbarter
η
Gas
Schichten mit steigender Temperatur abnimmt, beruht die
Zunahme von η bei Gasen darauf, dass hier die innere Reibung
eine andere Ursache hat, nämlich die Diffusion zwischen
benachbarten Gasschichten. Wenn Gasteilchen aus
T
einer schnelleren Schicht in eine langsame übertreten, so erhöhen sie den Impuls der
langsameren Schicht, so dass sich die Geschwindigkeiten beider Schichten angleichen. Da
die mittlere Gasgeschwindigkeit ¯v ∼ √ Temperatur ist (Kap. ??), wächst η mit der
Temperatur.
Viskosität
Für wichtige Stoffe wie Wasser und Luft ist η relativ klein,
η [Pascal s]
20 ◦ so dass bei kleinem dv/dz auch die Schubspannungen gering
sind und die Substanz als nahezu reibungsfrei angese-
, 1 bar
Luft 1.83 ·10 −5
H 2 O 1.00 ·10 −3 hen werden kann. Dieses Argument gilt jedoch nicht mehr
Hg 1.56 ·10 −3 für die Grenzschicht, wo grosse Gradienten dv/dz und somit
beträchtliche Schubspannungen auftreten. Hier muss
Pech ∼ 10 7 die Reibung immer berücksichtigt werden.
Wir benutzen das Newtonsche Reibungsgesetz zur Berechnung der Geschwindigkeitsverteilung
und der Durchflussmenge einer zähen, inkompressiblen (ρ = konst.)
Flüssigkeit, die laminar durch ein Rohr mit kreisförmigem Querschnitt strömt
(Hagen-Poiseuille-Strömung). Wir denken uns die Flüssigkeit in konzentrische Hohlzylinder
von jeweils infinitesimal kleiner Wandstärke dr zerlegt. Ist die Strömung stationär,
so muss die Summe der Kräfte, die auf einen Hohlzylinder wirken, verschwinden.
Diese Kräfte sind einmal die Druckkraft (p 1 − p 2 )2πrdr infolge des Druckunterschiedes
zwischen Anfang und Ende des Zylinders und dann die Schubspannungskräfte τ, welche
die benachbarten Zylinder ausüben. Vernachlässigen wir das Gewicht, so gilt im Gleichgewicht
(p 1 − p 2 )2πrdr + 2πl(τr) r+dr − 2πl(τr) r = 0,
R dr τ(r+dr)
p 1 p r τ(r)
2
oder
− (p 1 − p 2 ) r l dr = d dr (τr)dr.
Integriert ergibt dies
τr = −(p 1 − p 2 ) r2
2l + C 1.
Aus Symmetriegründen ist die Randbedingung der Differentialgleichung dv (r = 0) = 0,
dr
d.h. nach dem Newtonschen Reibungsgesetz τ(r = 0) = 0, und damit C 1 = 0.
Dann wird
dv
dr = τ η = −(p 1 − p 2 ) r
2lη . Also:
152
v(r) = −(p 1 − p 2 ) r2
4lη + C 2.

Weil die Grenzschicht haftet, gilt v(R) = 0. Also wird
C 2 = (p 1 − p 2 ) R2
4lη
und folglich v(r) = p 1 − p 2
4lη (R2 − r 2 )
v →
Die Geschwindigkeitsverteilung ist parabolisch. Die maximale
Geschwindigkeit wird auf der Rohrachse gemessen,
sie hat den Wert v max = (p 1 − p 2 )
R 2 .
4ηl
Die pro Zeiteinheit durch einen Rohrquerschnitt fliessende, inkompressible (ρ = konst.)
Flüssigkeitsmenge Q [ kg
s ] ist
Q =
∫R
0
2πrv(r)ρdr = 2πρ(p 1 − p 2 )
4ηl
∫R
0
(R 2 r − r 3 )dr = πρ(p 1 − p 2 )
2ηl
[ R 2 r 2
2
]∣ ∣∣∣∣
− r4
R
.
4
0
Damit folgt das Q = πρ(p 1 − p 2 )R 4
. Hagen-Poiseuille-Gesetz.
8ηl
Die gute experimentelle Bestätigung dieses Gesetzes bedeutet, dass die Annahme einer
haftenden Grenzschicht zu Recht besteht.
12.5 Viskose Widerstände und Reynoldsche Zahl
Aus dem Hagen-Poiseuille-Gesetz folgt als mittlere Durchflussgeschwindigkeit
¯v = 1 ∫R
v(r) · 2πr dr = (p 1 − p 2 )R 2
πR 2 8ηl
0
= Q
πR 2 ρ
und als Druckkraft F,
die vom Druckunterschied p 1 − p 2 herrührt, F = (p 1 − p 2 )πR 2 = 8πηl¯v.
Da die Flüssigkeit nicht beschleunigt wird, muss eine entgegengesetzte Kraft W v wirken,
die das Rohr auf die Flüssigkeit ausübt. Dieser viskose Widerstand hat also den
Betrag
W v = 8πηl¯v Hagen-Poiseuile- Widerstand in einem Rohr. (162)
Das gleiche Ergebnis erhält man natürlich, wenn man 2πRlτ(R) mit dem Wert für
τ(R) = |p 1 − p 2 |R/2l aus Kapitel 12.4 berechnet.
Eine weitere Widerstandsformel stammt von Stokes. Bewegt sich eine Kugel vom Radius
r in einer viskosen Flüssigkeit, wobei diese die Kugel laminar umströmt, so erfährt
die Kugel einen viskosen Widerstand
W v = 6πηr¯v Stokes-Widerstand einer Kugel. (163)
Für turbulente Strömungen bei höheren Geschwindigkeiten, bei denen das Hagen-
Poiseuillesche Gesetz nicht mehr gilt und die Geschwindigkeitsverteilung in einem Rohr
nahezu rechteckig ist, kommt zu dem reinen laminaren Reibungswiderstand noch der
Druck- oder Wirbelwiderstand durch die Erzeugung und Ablösung von Wirbeln. Dieser
Druckwiderstand ist proportional zum Staudruck ρ 2 v2 , die zu leistende Arbeit ist in der
153

kinetischen Energie in den Wirbeln enthalten, und zur Fläche A des Körpers senkrecht
zur Strömungsrichtung, d.h.
W = K ρ 2 v2 A
für turbulente Strömung.
ρv 2 /2 stellt die kinetische Energie der Flüssigkeit pro Volumeneinheit dar, K ist die dimensionslose
Widerstandsziffer (Widerstandsbeiwert). Es ist
A = 2πRl für ein Rohr (Hagen-Poiseuille), A = πr 2 für eine Kugel (Stokes).
Mit den Gl. (162) und (163) erhalten wir dann für die Widerstandsziffern
K H−P = 8πηl¯v
ρ
2¯v2 2πRl = 8
( ρ¯vR
η
), K S = 6πηr¯v
ρ
2¯v2 πr = 12
2 ( ρ¯vr
).
In beiden Fällen hängt die Widerstandsziffer nur von einer dimensionslosen Zahl ab:
R e = ρL¯v
η
die Reynoldsche Zahl.
L ist eine für das jeweilige Problem charakteristische Länge (Kugel- bzw. Rohr-
Radius). Somit werden die viskosen Widerstände
W H−P = 8 R e
ρ
2 v2 A, W S = 12
R e
ρ
2 v2 A, oder allgemein W = ψ(R e ) ρ 2 v2 A (164)
Die Widerstandsziffer ψ(R e ) ist also nur eine Funktion der Reynoldschen Zahl. Dies
ist das eigentlich Charakteristische des Widerstandsgesetzes.
In der Physik nennt man zwei Prozesse, z.B. zwei Strömungen, physikalisch ähnlich,
wenn entsprechende physikalische Grössen an ähnlich gelegenen Punkten einander proportional
sind. Ähnliche Strömungen mit Widerständen, die einander proportional sind,
liegen also vor, wenn bei ähnlicher Geometrie die Reynoldschen Zahlen gleich sind:
R e1 = v 1ρ 1 L 1
η 1
= R e2 = v 2ρ 2 L 2
η 2
= R e3 = ...
Man kann also für Modellkörper z.B. L 2 viel kleiner als L 1 machen, muss dann aber,
falls ρ 1 = ρ 2 ,η 1 = η 2 sein soll, die Geschwindigkeit v 2 entsprechend grösser wählen.
Die Erfahrung zeigt, dass laminare Strömungen nur existieren, wenn R e einen kritischen
Wert R eK nicht überschreitet. Turbulenz tritt ein, wenn R eK überschritten wird.
Für R e < R eK ist die laminare, für R e > R eK ist die turbulente Strömung stabil.
R eK hängt von den um- bzw. durchströmten Objekten ab. Für glatte Rohre ist
R eK = ρLv
η
≈ 2300
(L = Durchmesser).
Bei vorgegebenen Werten von L,ρ und η tritt Turbulenz ein, wenn v eine
η
kritische Geschwindigkeit v K = R eK
ρL
überschreitet. In einem Rohr von L = 1 cm Durchmesser ist
für Wasser
v K ≈
2300 · 10−3
10 3 10 −2 = 0.23m/s, für Luft v K ≈
η
2300 · 1.8 · 10−5
1.310 −2 = 3m/s.
Für Luft ist damit v K ≈ 10 km/h die kritische Geschwindigkeit, die ein frei fallender
Körper schon nach weniger als 1 Sekunde erreicht.
154

12.6 Der dynamische Auftrieb und Widerstand
Einen statischen Auftrieb erfährt jeder Körper in einem gasförmigen oder flüssigen Medium,
das unter dem Einfluss der Schwerkraft steht. Ein dynamischer Auftrieb entsteht,
wenn Medium und Körper sich gegeneinander bewegen und infolge einer Unsymmetrie
der Strömung eine resultierende Kraft auftritt.
Wir betrachten zunächst eine ebene Strömung um einen Zylinder mit den folgenden
Eigenschaften:
a) ⃗v = −∇Φ, d.h. ∇ × ⃗v = 0 (Potentialströmung)
b) η = 0 (es existiert keine Grenzschicht)
c) ∇ · ⃗v = 0 (inkompressibel)
und mit der Randbedingung, dass an der Zylinderoberfläche ⃗v senkrecht zur Achse verlaufe.
Es ist also für das Geschwindigkeitspotential Φ die Differentialgleichung
∇ · ⃗v = −∇ · ∇Φ = ∆Φ = − ∂2 Φ
∂x 2 − ∂2 Φ
∂y 2 − ∂2 Φ
∂z 2 = 0
mit der entsprechenden Randbedingung zu lösen. Die Lösung wird mittels konformer
Abbildung oder wie auf Seite 149 gefunden. Für die Geschwindigkeit ⃗v(r,ϕ)
lautet die Lösung (vgl. Kap. 12.3.6)
v r
r
( )
( )
→
v o ϕ
v ϕ v → v r = v ◦ cos ϕ 1 − R2
, v
r 2 ϕ = −v ◦ sin ϕ 1 + R2
.
r 2
P1
R
P2
P 1 , P 2 sind Staupunkte mit v r = 0.
⃗v ◦ ist die Strömungsgeschwindigkeit im grossen Abstand
vom Zylinder. Da das Stromlinienbild völlig
symmetrisch ist, erfährt der Zylinder keinerlei dynamische Kräfte 112 . Sein Gewicht und
statischer Auftrieb sind in diesem Zusammenhang nicht von Interesse. Wir überzeugen
uns rechnerisch. An der Zylinderoberfläche r = R ist v r = 0, v ϕ = −2v ◦ sin ϕ. Nach
der Bernoulli-Gleichung ist dann der statische Druck an der Zylinderoberfläche
p = p ◦ − ρ 2 v2 ϕ = p ◦ − 2ρv 2 ◦ sin 2 ϕ.
Also übt die Potentialströmung auf ein Flächenelement LRdϕ des Zylinders eine Kraft
dF = pLRdϕ aus. Wir zerlegen dF in eine x- und y-Komponente und integrieren über
die ganze Zylinderoberfläche:
dF
✻y ✛ x
✬✩
dϕ
✓
✓
✠ ❄dF y
ϕ ✲ x
R❅ ✫✪
F x = −
∫2π
O
∫2π
(
pLR cosϕdϕ = −LR p◦ − 2ρv◦ 2 sin 2 ϕ ) cos ϕdϕ
112 Die Stromlinien r = r(ϕ) können in Polarkoordinaten durch Integration aus den Geschwindigkeiten
v r = dr
dt und v ϕ = r dϕ
dt
berechnet werden aus
∫ dr
r
v r
= dr
v ϕ dϕ · 1
r = −cot ϕ1 − R2 /r 2
1 + R 2 /r 2 durch Separation der Variablen und Substitution ̺ = r R
1 + R 2 /r 2 ∫
1 − R 2 /r 2 = 2
∫
̺d̺ d̺ ̺2 ∫
̺2 − 1 − ̺ = ln − 1
= −
̺
O
cot ϕdϕ = −ln sinϕ+lnd ⇒ ̺2 − ̺ d
sinϕ = 1.
Dies ist die Bahngleichung in Polarkoordinaten mit der Integrationskonstanten d, dem Abstand von der
x-Achse bei kleinem Winkel und grossem r, dort gilt angenähert ̺ = d/sin ϕ.
155

⎧
⎨
= −LR
⎩ p ◦
∫2π
O
cosϕdϕ − 2ρv 2 ◦
∫2π
O
⎫
⎬
sin 2 ϕ cos ϕdϕ
⎭
Da beide Integrale verschwinden, ist F x = 0. Analog findet man
F y = −
∫2π
O
pLR sin ϕdϕ = 0.
Wenn also auf den Zylinder eine dynamische Kraft ausgeübt werden soll, muss die Symmetrie
der Strömung gestört werden. Deswegen überlagern wir der obigen Potentialströmung
die in Kapitel 12.3.5 mit dem Beispiel 2. bereits diskutierte Zirkulationsströmung
mit den rechtsdrehenden Geschwindigkeiten v ′ r = 0, v ′ ϕ = − Z 1
2π r
v ′ x = −v ′ ϕ sin ϕ = Z y
und v ′
2π x 2 + y 2 y = v ′ ϕ cos ϕ = − Z x
2π x 2 + y 2.
∮ {
Es ist Z = v ⃗ 2πaω wenn der Nullpunkt umschlossen wird.
′ d⃗s =
0 andernfalls.
P1
y
R
P2
x
bzw.
Die Überlagerung beider Strömungen ⃗v ′′ = ⃗v + ⃗v ′ ergibt
( )
v r ′′ = v ◦ cos ϕ 1 − R2
r 2
v ′′ ϕ = −v ◦ sin ϕ
(
1 + R2
r 2 )
− Z
2πr .
Wie vorher ist aus Symmetriegründen F x = 0. Jedoch ergibt sich durch die in der y-
Richtung gestörte Symmetrie und den damit grösseren Druck an der Unterseite eine Kraft
F y = −
∫2π
0
∫
pLRdϕ sin ϕ = −LR
2π
0
[
p ◦ − ρ 2 v2 (R)
]
sin ϕdϕ = LRρ
2
Hier ist v 2 (R) = [ v ϕ(R) ] ′′ 2
= 4v
2
◦ sin 2 ϕ + Z2
4π 2 R + 2v ◦Z sin ϕ
.
2 πR
Nur der letzte Term liefert einen Beitrag zum Integral:
F y = LRρ 2v ◦ Z
2 πR
∫2π
sin 2 ϕdϕ = Lρv ◦ Z
0
} {{ }
F y hat die Bedeutung eines dynamischen Auftriebs.
A D
G
π
Wir erhalten also
∫2π
0
v 2 (R) sin ϕdϕ.
A D = LρZv ◦
den Kutta-Joukowski-Auftrieb. In der Praxis
wird die Zirkulationsströmung durch eine Rotation
des Zylinders erzeugt. Dann muss aber die Flüssigkeit
eine gewisse Zähigkeit haben (η ≠ 0), damit eine
Grenzschicht existiert, welche die anliegenden Schichten
mitreisst.
156

Ein in einer Strömung rotierender Zylinder erfährt also eine
ablenkende Kraft A D (Magnus-Effekt ). Rotierende
Zylinder fallen deshalb nicht geradlinig.
Die Wurfparabeln gleitender und rollender Körper sind in
Wasser oder Luft verschieden.
Als zweites Beispiel zum dynamischen Auftrieb behandeln wir den Tragflügel von Flugzeugen.
Wie entsteht hier eine Asymmetrie in der Strömung?
Wir betrachten einen ∞ langen Flügel, damit in jedem Schnitt gleiche Verhältnisse
herrschen. Im Moment des Anfahrens in ruhender Luft teilt sich die in P 1 auftretende
Stromlinie in zwei Linien, die sich in P 2 wieder vereinigen.
Wenn η ≠ 0 ist, so kommt wegen des längeren Weges die
oberhalb des Flügels fliessende Luft mit einer kleineren
P 1 P 2
Geschwindigkeit in P 2 an als die unterhalb des Flügels
fliessende.
In P 2 bildet sich also eine Unstetigkeitsstelle, die tangentialen
Komponenten der Geschwindigkeit machen einen
Sprung, so dass ein Wirbel entsteht. Dieser Anfahrwirbel
erzeugt eine Zirkulationsströmung im gleichen Sinne.
v
Wegen der Erhaltung des Drehimpulses muss sich dann
um den Flügel eine Zirkulationsströmung im entgegengesetzten
Sinne ausbilden.
Das bedeutet, dass die Geschwindigkeit auf der oberen
Flügelseite langsam zunimmt, während sie auf der unteren
Seite abnimmt, bis schliesslich der Geschwindigkeitssprung
in P 2 beseitigt ist. Der Anfahrwirbel wird
mit der Strömung fortgeführt, die Zirkulationsströmung
am Tragflügel bleibt übrig.
Nach der Bernoulli-Gleichung resultiert auf der Flügeloberseite ein Sog, auf der Unterseite
ein Drucküberschuss, so dass wieder ein dynamischer Auftrieb entsteht.
Mathematisch behandelt man das Problem, indem man durch eine konforme Abbildung
das Flügelprofil in einen Kreis überführt und umgekehrt.
y
Den richtigen Wert von Z findet man aus der Bedingung,
x
P
R Joukowski:
1 P 2
dass der Staupunkt P 2 an die Heckkante zu liegen kommt.
Als Auftrieb erhält man wieder den Wert von Kutta-
A D = LZv ◦ ρ.
Wovon hängt die Zirkulation Z = ∮ ⃗vd⃗s ab? Sicherlich ist Z ∼ v ◦ = Anfahrgeschwindigkeit.
A
Ferner hängt Z auch von der Länge des Weges des Linienintegrals
ab, also von der Höhe h oder der Breite b des
Flügels, d.h. Z ∼ h bzw. Z ∼ b. Dann wird der Auftrieb
P 1
P 2
A D = Lρv ◦ Z ∼ Lρv ◦ v ◦ h = Lhρv 2 ◦ bzw. A D ∼ Lbρv 2 ◦.
Lh = A bzw. Lb = A ′ haben die Bedeutung einer Fläche. Die Abhängigkeit vom Anstellwinkel
α stecken wir in die Proportionalitätskonstante. Wir erhalten dann für den
dynamischen Auftrieb
157

A D = K A
ρ
2 v2 ◦A K A nennt man die Auftriebsziffer.
Diese Form der Gleichung erinnert an den Ausdruck für den viskosen Widerstand nach
Hagen-Poiseuille oder Stokes (Kapitel 12.5). Für die Stokes-Reibung hatten wir erhalten
W v = 12 ) ρ 2¯v2 A ∼ ¯v.
( ρ¯vr
η
Ein analoger viskoser Widerstand W v , der proportional zur Anströmgeschwindigkeit
v ◦ ist, ist natürlich auch beim Tragflügel vorhanden. Während ⃗ A D senkrecht zu ⃗v ◦ steht,
steht ⃗ W v entgegengesetzt zu ⃗v ◦ .
Es entsteht jedoch noch eine zweite Art von Widerstand, der dynamische Widerstand
W D , der im wesentlichen 2 Ursachen hat:
v o
a) Wegen der endlichen Flügellänge tritt am Flügelende ein Randwiderstand auf.
Wirbelzopf
Der zwischen der Flügelober- und unterseite herrschende
Druckunterschied versucht sich über das Flügelende auszugleichen.
Da sich der Flügel gleichzeitig fortbewegt, bilden
sich Wirbelzöpfe. Die zu ihrer Bildung notwendige kinetische
Energie wird dem Flugzeug entzogen. Die Grösse der
Wirbelzöpfe hängt von der Flügelbreite ab. Vögel mit aufgespaltenen
Flugfedern haben ein kleines W D , vgl. 113
b) Bei hohen Geschwindigkeiten haftet die Grenzschicht nicht mehr, sie löst sich ab
und bildet ebenfalls Wirbel. Diese Wirbelbildung führt zu einem Widerstand, den
v o
A D
wir analog zum dynamischen Auftrieb A D in der Form
F W D ρ
W D = K W 2 v2 ◦A Dynamischer Widerstand
schreiben. K W nennt man die Widerstandsziffer.
Wie bei K A hängt sie vom Profil und Anstellwinkel ab. Im Gegensatz zum viskosen
Widerstand ist jedoch der dynamische Widerstand proportional zu v◦, 2 macht sich also bei
hohen Geschwindigkeiten sehr stark bemerkbar.
Die gesamte durch die Strömung hervorgerufene dynamische Kraft besitzt also zwei
Komponenten, A D und W D . Als Profil wählt man die Stromlinienform, bei welcher der
Körper von den Stromlinien umhüllt und K W möglichst klein wird.
K A
15 o Der optimale Anstellwinkel α wird aus dem Lilienthal- Diagramm
gewonnen, er ist durch K
3 o 10o A /K W = Maximum gegeben.
Damit der Flügel sich mit einer konstanten Geschwindigkeit bewegen
kann, muss noch eine von den Propellern oder den Düsen-
0 o triebwerken gelieferte Zugkraft F ⃗ hinzukommen, damit ist
-6 o K W
⃗A D + W ⃗ D + G ⃗ + F ⃗ = 0.
113 Technische Anwendung: Riblets - haarfeine Rillen verringern den Reibungswiderstand von Flugzeugen,
Spektrum d. Wissenschaft, Dezember 1991 S.36
158

✛✘✛
✛
❍
✲v ◦ W
✲ D W
✲ D ✲W D❍❍
✚✙✚
✚✟ ✟✟
K W = 0.22 0.34 0.08
Abschliessend stellen wir die Widerstandsziffern K W
für den dynamischen Widerstand W D verschiedener
Körper zusammen. Auch hier beruht der Widerstand
auf der Entstehung von Wirbeln, zu deren Bildung
Energie notwendig ist, die den bewegten Körpern verloren
geht. Dabei bildet sich hinter den Körpern eine
regelrechte Wirbelstrasse.
✘
✲v ◦ W ✲D ✲ W D
✙
K W = 1.58 1.33
Die einzelnen Wirbel lösen sich nicht gleichzeitig, sondern abwechselnd ab, was zu Vibrationen
um die Längsachse führt (Platte in Wasser, Stab in Luft). In allen Fällen ist der
dynamische Widerstand selbst dem Quadrat der Geschwindigkeit proportional.
12.7 Kohäsions- und Adhäsionseffekte bei Flüssigkeiten
Eine für Flüssigkeiten typische Erscheinung ist die Oberflächenspannung , in der sich
die Existenz der intermolekularen Kräfte besonders drastisch bemerkbar macht. Das Modell
einer tropfbaren Flüssigkeit stellt die Moleküle als fast starre Kugeln (kleine Kompressibilität)
dar, die unter dem Einfluss der anziehenden Molekularkräfte so dicht wie
möglich gepackt sind. Die Anziehungskräfte können durch die Molekularbewegung überwunden
werden: das System ist dann im gasförmigen Zustand. In einer Flüssigkeit dagegen
versuchen die Moleküle, sich möglichst zusammenzuballen.
x
→
∑F i = 0
innen
x
Wir betrachten ein Flüssigkeitsteilchen X in verschiedenen
Abständen von der Oberfläche. Wir können uns um das
Teilchen eine Kugel denken, deren Moleküle noch bemerkbare
Kräfte auf das Teilchen X ausüben und umgekehrt.
Diese Kugel definiert die Wirkungssphäre des Teilchens X.
Liegt diese Sphäre im Innern der Flüssigkeit, so heben sich die Anziehungskräfte der
Nachbarn auf X im zeitlichen Mittel auf und X ist im Gleichgewicht. Ragt jedoch ein
Teil der Wirkungssphäre aus der Flüssigkeit heraus, so ist das Gleichgewicht gestört und
es resultiert eine in das Innere der Flüssigkeit gerichtete Zugkraft, die Kohäsionskraft.
Ihr entgegengesetzt wirken die Anziehungskräfte der Gasmoleküle über der Flüssigkeit,
allerdings ist diese Kraft viel kleiner als die Kohäsionskraft.
Es ist also Arbeit aufzuwenden, um Moleküle aus dem Innern der Flüssigkeit an ihre
Oberfläche zu transportieren. Die Moleküle an der Oberfläche haben also einen Vorrat an
potentieller Energie, die sogenannte Oberflächenenergie. Jede Vergrösserung der Oberfläche
erfordert eine Arbeit von aussen und erhöht die Gesamtenergie der Flüssigkeit. Die
Flüssigkeit befindet sich im stabilen Gleichgewicht, wenn ihre Gesamtenergie ein Minimum
ist, wenn also die Oberfläche eine Minimalfläche ist. Ohne äussere Kräfte bildet die
Flüssigkeit kugelförmige Tropfen. Sind auch äussere Volumenkräfte vorhanden, so wird
natürlich die Form der freien Oberfläche anders. Man definiert als Oberflächenspannung α
den Quotienten aus der Arbeit dW, die zur Bildung einer neuen Oberfläche dA notwendig
ist:
A+dA
A
α = dW
dA
Oberflächenspannung
Die Dimension der Oberflächenspannung ist
[α] =
[ ] [ ]
Energie Kraft
= =
Fläche Länge
[ ] Newton
.
m
159

(α hat nicht die Dimension Kraft/Fläche der sonst in der Physik benutzten Spannung.)
Die Oberfläche einer Flüssigkeit hat eine grosse Ähnlichkeit mit einer elastischen Gummimembran.
Allerdings ist α eine Konstante und unabhängig von Grösse und Gestalt der
Oberfläche, α ist ja durch die molekularen Eigenschaften der Flüssigkeit bestimmt. Dagegen
ändern sich die elastischen Spannungen bei einer Änderung der Fläche im gleichen
Sinne. Dennoch kann man die Oberflächenspannung auch in folgender Weise einführen.
Wird die Flüssigkeitsoberfläche längs eines Linienelements ds aufgeschnitten, so muss im
Schnitt eine Kraft dF ⃗ angebracht werden, damit Gleichgewicht herrscht. dF ⃗ liegt in der
Tangentialebene und steht senkrecht zu d⃗s, da keine Schubspannungen wirken. Ferner ist
dF = βds. Um β mit α zu vergleichen, denkt man sich den Schnitt ds in Richtung von
dF um dx verschoben. Die von dF geleistete Arbeit ist
dF →
dW = dFdx = βdsdx = αdA = αdxds.
ds
Es ist also β = α oder α = dF
ds .
Die Oberflächenspannung α ist die pro Längeneinheit eines Schnitts angreifende Kraft.
Hieraus ergibt sich die Lenard-Methode zur Messung von
α mit einer Waage. Im Drahtbügel wird eine Flüssigkeitslamelle
gebildet. Ihre Oberfläche wird auf beiden Seiten
b
→
→
G
G
o
vergrössert, wenn der Bügel aus der Flüssigkeit gezogen
F →
→
→
G o =mg wird. Unmittelbar vor dem Zerreissen der Lamelle gilt
G = G ◦ + F, wobei F = 2bα.
Oberflächenspannung α
Substanz T α
[ ◦ C] [N/m]
H 2 O 18 0.073
C 2 H 5 OH 20 0.022
Hg 15 0.407
flüssige Luft - 190 0.012
Oel 20 0.032
Seifenlösung 20 0.030
Aethyl-Aether 20 0.017
Die Oberflächenspannung α hängt von der Temperatur
ab. Die folgenden Werte beziehen sich
auf Oberflächen, die mit dem Dampf der Flüssigkeit
bzw. mit Luft in Kontakt sind. Die Oberflächenspannung
wird durch Verunreinigungen beeinflusst,
sinkt im allgemeinen beim Lösen von
Fremdstoffen. Die Ursache ist darin zu suchen,
dass die van-der Waals-Anziehungskräfte zwischen
den Fremdstoff-Molekülen und den Flüssigkeits-
Molekülen meist geringer sind als zwischen den
Flüssigkeits-Molekülen untereinander.
Die Fremdstoffmoleküle lassen sich deshalb mit geringerem Arbeitsaufwand an die Oberfläche
befördern als die Flüssigkeitsmoleküle, d.h. die Fremdstoffmoleküle reichern sich an
der Oberfläche an. Dann aber erfahren die Flüssigkeitsmoleküle an der Oberfläche eine
verminderte Anziehung: α ist also kleiner geworden.
Wirken auf Flüssigkeiten äussere Volumenkräfte, so sind die freien Oberflächen keine
Äquipotentialflächen dieser Kräfte mehr. Bei sehr kleinem Volumen wird die Form der
Oberfläche weitgehend durch die intermolekularen Kräfte bestimmt, bei grossem Volumen
dagegen durch die äusseren Kräfte. Der erstere Fall ist besonders bei sogenannten
Flüssigkeitslamellen (z.B. Seifenblasen) stark ausgeprägt.
dV dV dV
Wir betrachten ein kleines Flüssigkeitsvolumen dV , das gerade
unterhalb der gekrümmten Oberfläche liegt. Für eine
konvexe Oberfläche wird die Kohäsionskraft gegenüber
dem Wert bei einer ebenen Oberfläche erhöht, weil jetzt
ein grösserer Teil der Wirkungssphäre des Flüssigkeitsvolumens dV leer ist. Für eine konkave
Oberfläche wird die Kohäsionskraft erniedrigt. Die auf die Flächeneinheit bezogene
160

Änderung der Kohäsionskraft nennt man den Normaldruck , den wir jetzt berechnen
werden.
Wir beginnen mit der konvexen Oberfläche einer kompakten Flüssigkeit, also nicht
mit einer Lamelle.
Gegeben sei das Flächenelement dA = ds 1 ds 2 mit dem
→
Punkt P im Zentrum. In P wird die Flächennormale errichtet,
und durch die Normale werden Ebenen gelegt, die aus
αds2 n
αds 1
ds
ds 1 2
P
der Oberfläche Kurven herausschneiden. Von diesen Kurven
gibt es zwei, die in zueinander senkrechten Ebenen lie-
αds 1 R 2
αds 2
gen, den Hauptebenen, und welche die Hauptkrümmungsradien
R 1 und R 2 haben. Die Mittelpunkte dieser Haupt-
2 dφ
R 1
krümmungskreise liegen auf der Flächennormalen. Also
ds 1 || Hauptebene 1, ds 2 || Hauptebene 2.
dφ 1
Auf die Seiten ds 1 und ds 2 wirken infolge der Oberflächenspannung Tangentialkräfte αds 1
und αds 2 , welche in der Normalenrichtung folgende Kraftkomponenten haben:
2(αds 2 ) sin dφ 1
2 ≈ αds ds 1
2dφ 1 = αds 2 und 2(αds 1 ) sin dφ 2
R 1 2 ≈ αds ds 2
1 . Die
R 2
( 1
Resultierende in Normalenrichtung ist dF = αds 1 ds 2 + 1 ) ( 1
= αdA + 1 )
,
R 1 R 2 R 1 R 2
und es existiert ein Druckunterschied p zwischen Aussenraum und Flüssigkeitsinnerem
Sonderfälle:
p = dF
dA = α ( 1
R 1
+ 1 R 2
)
Normaldruck einer gekrümmten
Flüssigkeitsoberfläche.
(165)
1. Ebene Grenzfläche: R 1 = R 2 = ∞ → p = 0
2. Zylindrische Oberfläche: R 2 = ∞ → p = α R 1
3. Gewichtsloser Flüssigkeitstropfen: Er ist also nur der Oberflächenspannung unterworfen.
p muss überall gleich sein, die Oberfläche muss also konstante Krümmung
haben. Im einfachsten Falle ist das eine Kugel, d.h. R 1 = R 2 = R → p = 2α R .
4. Geschlossene Flüssigkeitslamelle:
ds1
dA
∆p = 2α
Es sind 2 dicht benachbarte Oberflächen vorhanden. In der
Herleitung der Gleichung (165) für p sind also alle Kräfte
ds2 mit 2 zu multiplizieren, und man erhält einen Druckunterschied
zwischen Innenraum und Aussenraum:
( 1
+ 1 )
Speziell für eine Kugel ist R 1 = R 2 = R → ∆p = 4α
R 1 R . R 2
Bei grossen Kugeln (Seifenblase, Luftballon) ist also der Normaldruck klein 114 .
5. Offene Lamellen:
114 Ein Luftballon ist anfangs schwer aufzublasen, da R klein und ∆p gross ist, später jedoch sehr leicht
bis zum Platzen zu vergrössern.
161

Der Druck auf beiden Seiten ist gleich, also
( 1
∆p = 0 = 2α + 1 )
. Lösungen sind
R 1 R 2
-R1
R 1 = R 2 = ∞ ebene Lamelle,
R 1 = −R 2 Sattelfläche.
6. Seifenlamelle zwischen parallelen Platten: Die Oberfläche ist wiederum eine Sattelfläche.
Für d ≪ R ist die Druckdifferenz ∆p zwischen innen und aussen gegeben
p i d p a durch ∆p = p i − p a = 2α
2R
Die beiden Platten ziehen sich an mit der Kraft
Ist der Raum zwischen den Platten mit Flüssigkeit gefüllt, so ist
R1
( 1
R − 1 )
∼ 4α = −
d/2 d .
F = ∆pπR 2 = 4αR2 π
.
d
F = 2αR2 π
.
d
Adhäsionskräfte, Kapillarität
Bislang haben wir die zwischen artgleichen Molekülen einer Flüssigkeit wirkenden
Kohäsionskräfte behandelt. Der Begriff der Oberflächenspannung bezieht sich eigentlich
auf die Phasengrenze Flüssigkeit-Vakuum. Wir wollen jetzt die Phasengrenze flüssig-fest
diskutieren, wo die zwischen Molekülen verschiedener Substanzen herrschenden Adhäsionskräfte
wirken. Bringt man z.B. einen Tropfen Flüssigkeit auf eine ebene Unterlage,
dann wird sich dieser ausbreiten, wenn die Adhäsion überwiegt, andernfalls wird er nur
etwas abgeplattet.
Im ersten Fall benetzt die Flüssigkeit, im zweiten benetzt
sie nicht. Die Adhäsion kann bei kleiner Kohäsion so gross
benetzend werden, dass sich die Flüssigkeit in eine monomolekulare
Schicht ausbreitet. Die Adhäsionseffekte sind besonders
auffällig in engen Röhren (Kapillaren), man spricht deshalb
nicht benetzend
α13
3. 1.
α23 P
φ
α12
2.
auch von Kapillaritätseffekten.
Steht eine freie, horizontale Flüssigkeitsoberfläche in Kontakt
mit einer vertikalen Wand, so wird sie hochgezogen
(kapillare Attraktion) oder hinuntergedrückt (kapillare Depression),
je nach Adhäsions- und Kohäsionsbedingungen.
Die Wand schneidet aus der Flüssigkeitsoberfläche eine Begrenzungslinie
P heraus, an der drei Grenzflächenspannungen
auftreten.
1. Kohäsionsspannung α 12 zwischen der Flüssigkeit und ihrem Dampf. Sie ist immer
positiv, denn zum Verdampfen einer Flüssigkeit ist Arbeit notwendig.
2. Adhäsionsspannung α 13 zwischen der Wand und dem Flüssigkeitsdampf. Sie ist meist
sehr klein.
3. Adhäsionsspannung α 23 zwischen Wand und Flüssigkeit. Sie kann auch negativ sein,
wenn die Anziehung zwischen Wand- und Flüssigkeitsmolekülen stärker ist als jene
der Flüssigkeitsmoleküle untereinander.
162

Diese Spannungen sind die jeweils pro Längeneinheit der Begrenzungslinie angreifenden
Kräfte (Kohäsions- bzw. Adhäsionskraft). Damit sich die Begrenzungslinie nicht
entlang der Wand verschiebt, müssen die Tangentialkomponenten der drei Oberflächenspannungen
sich das Gleichgewicht halten. Für ein Linienelement dl der Begrenzungslinie
gilt also
dlα 13 = dlα 32 + dlα 12 cos φ, (166)
wenn φ der Randwinkel ist, den die Flüssigkeitsoberfläche mit der Wand bildet. Die
Schwerkraft kann in der Begrenzungslinie vernachlässigt werden. Für die Normalkomponenten
muss keine Gleichgewichtsbedingung gelten, weil eine resultierende Normalkomponente
nur einen Zug oder Druck an der Wand ausüben würde.
Aus Gl. (166) folgt cosφ = α 13 − α 23
α 12
.
Da | cos φ| ≤ 1, kann die Gleichgewichtsbedingung nur für |α 13 − α 23 | ≤ α 12 erfüllt
werden. Wir können verschiedene Fälle unterscheiden:
a) α 13 > α 23 : φ ist ein spitzer Winkel, benetzende Flüssigkeit
b) α 13 < α 23 : φ ist stumpf, nichtbenetzende Flüssigkeit
c) α 13 − α 23 = α 12 : φ = 0, vollständig benetzende Flüssigkeit
P φ
d) α 13 −α 23 = −α 12 : φ = π, vollständig nichtbenetzende Flüssigkeit.
Ist α 13 −α 23 > α 12 , so kann die Gleichgewichtsbedingung nicht erfüllt werden. Die Flüssigkeit
kriecht so lange an der Wand hoch und bedeckt sie mit einer dünnen Schicht, bis das
Gewicht dieser Schicht für das notwendige Gleichgewicht sorgt. Der Randwinkel bleibt
dabei Null.
In Kapillaren kann wegen ihrer grossen Oberfläche die Anziehungskraft der Wand gross
gegenüber dem Gewicht der Flüssigkeit werden, so dass die Flüssigkeitsoberfläche hochsteigt
(Kapillar-Attraktion , z.B. Wasser). Überwiegt dagegen die Kohäsion der Flüssigkeit,
so wird diese in der Kapillare heruntergedrückt (Kapillar-Depression des Quecksilbers).
Wir berechnen die Steighöhe h einer benetzenden Flüssigkeit in einem engen Rohr
vom Radius r. Die Flüssigkeitsoberfläche bildet einen Meniskus, d.h. sie ist gekrümmt.
Da sie nach innen (mit Krümmungsradius r ′ ) gekrümmt ist, ist der Normaldruck = 2α 12 /r ′
negativ, stellt also einen Zug dar. Im Gleichtgewichtszustand muss dieser Zug gleich dem
statischen Druck ρgh sein,
p
also ρgh = 2α 12
= 2α 12 cos φ
= 2 (α 13 − α 32 )
,
r ′ r r
wenn wir noch Gleichung (166) heranziehen, ist die
φ
α12
r
h
Steighöhe h = 2 (α 13 − α 31 )
ρgr
= 2α 12 cos φ
. (167)
ρgr
Für vollständig benetzende Flüssigkeiten ist cos φ = 1. Wir tauchen zwei Platten, die
einen spitzen Winkel β miteinander bilden, in eine benetzende Flüssigkeit, die an den
163

β
2r
Platten hochsteigt. Mit z und x seien die Koordinaten jener Kurve bezeichnet,
welche die Flüssigkeitsoberfläche begrenzt, wobei z mit h aus
Gleichung (167) identisch ist. Aus der Figur liest man ab
β/2
Also wird
x
z(x) = h(x) = 2α 12 cos φ
ρgr
r
x = tgβ 2 ≈ β . (für β ≪ 1)
2
= 4α 12 cos φ
ρgxβ
oder
Die Anstiegskurve im Keil ist eine gleichseitige Hyperbel.
zx = 4α 12 cos φ
ρgβ
= konst.
12.7.1 Die Differentialgleichung einer Oberfläche (Seifenblase) †
Es ist zu beachten, dass eine Seifenblase oder eine offene Lamelle kein absolut stabiles
Gebilde ist, da innerhalb der Lamelle stets Flüssigkeit nach unten abfliessen kann. Wegen
der Viskosität in den dünnen Lamellen läuft jedoch die Bewegung so langsam ab, dass
man das ganze Gebilde quasistatisch behandeln kann 115 . Die Gleichung (165) ist eine reine
geometrische Bedingung, die mit der analytischen Geometrie für die mittlere Krümmung
einer Fläche z = z(x,y) in folgender Form geschrieben werden kann
1
R 1
+ 1 R 2
= 0 =
[ ( ) 2 ]
1 +
∂z ∂ 2 z
∂y
− 2 ∂z
∂x 2 ∂x
[ (
1 +
∂z
∂x
+ [ 1 + ( ) 2 ]
∂z ∂ 2 z
∂x∂y ∂x ∂y 2
) 2 ] 3/2
(168)
∂z ∂ 2 z
∂y
) 2 (
+
∂z
∂y
Diese komplizierte partielle Differentialgleichung (168) muss für ein spezielles Problem
mit den Randbedingungen z.B. den Umrandungen gelöst werden 116 .
Beispiele
1. Kugelförmige Seifenblasen oder Luftballone haben R 1 = R 2 = R und damit ∆p = 4α R .
Im Innern der Blase herrscht ein Überdruck, der umso kleiner ist, je grösser die Blase
wird.
2. Bei einer offenen Lamelle ist ∆p = 0, der Druck ist auf beiden Seiten gleich; dies wird
erfüllt, wenn R 1 = R 2 → ∞, d.h. die Lamellen eben sind oder wenn
R 1 = − 1
1 R
ist. In
2
diesem Fall hat die Lamelle die Form einer Sattelfläche. Man kann zeigen, dass bei einer
vorgegebenen Umrandung die Sattelfläche eine Minimalfläche - eine Fläche mit minimaler
Oberfläche - ist.
3. Spannt man eine Lamelle zwischen zwei parallele Platten, so ist die Oberfläche wiederum
eine Sattelfläche. Für d ≪ R ist die Druckdifferenz ∆p zwischen innen und aussen
∆p = p i − p a = 2α ( 1
R − 2 d
)
≈ −
4α
d
. Die beiden Platten ziehen sich daher mit einer Kraft
115 A. Gyemant, Hdb. der Physik Bd VII, 1927 p.354.
C. Isenberg, “The Science of Soap Films and Soap Bubbles”, Tieto Ltd. 1978.
I. Müller, P. Strehlow, “Physik von Luftballons”, Phys.Blätter 55(1999)2,37.
116 Im zweidimensionalen kann die Krümmung k einer Funktion y = y(x) einfach angegeben werden:
x = R cos ϕ, y = R sin ϕ, Steigung: tanϑ = x y
= −cot ϕ ⇒ ϑ = ϕ + π/2 =
arctan y ′ , dϑ = dϕ. Die Krümmung ist k = 1 R = dϕ
ds = dϑ
ds , dϑ =
ds 2 = dx 2 + dy 2 = (1 + y ′2 )dx 2 und damit k =
y′′
1+y
dx, ′2
y ′′
(1+y ′2 ) 3/2 . Die Sruktur der
mittleren Krümmung k = 1 R 1
+ 1 R 2
einer Fläche z = z(x,y) ist wie angegeben
ähnlich, jedoch komplizierter abzuleiten.
164
δ
R
dy
dx
y
φ
y=y(x)
x

F = ∆p·πR 2 ≈ 4αR2 π
an. Ist der Raum zwischen den Platten mit einer Flüssigkeit gefüllt,
d
dann ist die Oberfläche halbiert und es gilt F = 2αR2 π.
d
4. Für eine axiale Symmetrie einer offenen Lamelle mit ∆p = 0 wird Gl. (168)
z
r
d
d
dr
√
k 2 ⎛
⎝1 +
⇒ dz
dr =
r ∂z
∂r
1 + ( ∂z
∂r
( ) ⎞ 2
dz
dr
) 2
= 0 ⇒
⎠ = r 2 ( dz
dr
√
) 2
⇒
r ∂z
∂r
1 + ( ∂z
∂r
) 2
= konst = k
( ) 2
dz
(r 2 − k 2 ) − k 2 = 0
dr
k
√
r2 − k 2, z = r
− C
kcosh−1 + C, r = kcoshz
k k
Dies ist ein Katenoid, eine Kettenlinie 117 um die z-Achse.
Die Fläche des Katenoids ist S = d/2
√
∫
(R ) 2
2πr dz = 4πk 2 k − 1 mit cosh
d
= R. Eine
zweite Lösung mit 2 Kreisflächen ist S = 2πR 2 = 4πk 2 k − 1 ⇒ R
2k k
0
√ (R ) 2 ( ) 2
k = 2. Es wird
immer die kleinste Fläche gebildet, d.h. das Katenoid geht bei geringer werdendem Abstand
bei dem kritischen Abstand zu Radiusverhältnis d/R = √ 2cosh −1√ 2 = ±1.24645
in zwei Kreisflächen über.
5. Ist der Gradient einer Lamelle klein ∂z
∂x
≪ 1, dann wird Gl.(168) zur zweidimensionalen
Laplace Gleichung ∂2 z
∂x 2 + ∂2 z
∂y 2 = 0.
≪ 1,
∂z
∂y
117 Eine Kettenlinie wird gebildet von einer zwischen zwei Punkten aufgehängten Kette oder einem Seil,
Draht, Hochspannungsleitung, bei denen die Biegesteifigkeit vernachlässigt werden kann.
165

A Physikalische Konstanten Stand 1986
Physikalische Grösse Symbol Wert(Fehler) Einheit Fehler
(ppm)
Lichtgeschwindigkeit c 2.99792458 × 10 8 m s −1 exakt
magn. Feldkonst., Induktionskonst. µ 0 4π × 10 −7 V s A −1 m −1 exakt
el. Feldkonst., Influenzkonst.=1/µ 0 c 2 ǫ 0 8.854187817 × 10 −12 A s V −1 m −1 exakt
Gravitationskonstante G 6.67259(85) × 10 −11 m 3 kg −1 s −2 128
Standardschwerebeschleunigung g n 9.80665 m s −2 exakt
Fallbeschleunigung Zürich (452 m) g Z 9.80652 m s −2
Plancksche Konstante h 6.6260755(40) × 10 −34 J s 0.60
h/2π ¯h 1.05457266(63) × 10 −34 J s 0.60
¯hc 197.327053(59) MeV fm 0.30
Elementarladung e 1.60217733(49) × 10 −19 A s = C 0.30
magnetische Flussquant, h/2e Φ 0 2.06783461(61) × 10 −15 V s = Wb 0.30
quatisierter Hall-Widerst. h/e 2 R H 2.58128056(12) × 10 4 V A −1 = Ω 0.045
Feinstrukturkonstante, µ 0 ce 2 /2h α 7.29735308(33) × 10 −3 0.045
inverse Feistrukturkonstante α −1 137.0359895(61) 0.045
Atomare Masseneinheit m( 12 C) u 1.6605402(10) × 10 −27 kg 0.59
u 931.49432(28) MeV/c 2 0.30
Spezifische Ladung des Elektrons −e/m e −1.75881962(53) × 10 11 C kg −1 0.30
Elektronenmasse m e 9.1093897(54) × 10 −31 kg 0.59
m e 5.48579903(13) × 10 −4 u 0.023
m e 0.51099906(15) MeV/c 2 0.30
Myonenmasse m µ 1.8835327(11) × 10 −28 kg 0.61
m µ 105.658389(34) MeV/c 2 0.32
m µ /m e 206.768262(30) 0.15
Protonenmasse m p 1.6726231(10) × 10 −27 kg 0.59
m p 1.007276470(12) u 0.012
m p 938.27231(28) MeV/c 2 0.30
m p /m e 1836.152701(37) 0.020
Neutronenmasse m n 1.6749286(10) × 10 −27 kg 0.59
m n 1.008664904(14) u 0.014
m n 939.56563(28) MeV/c 2 0.30
m n /m e 1838.683662(40) 0.022
m n /m p 1.001378404(9) 0.009
Rydberg-Energie, chR ∞ E Ry 13.6056981(41) eV 0.30
Bohrscher Radius, α/(4πR ∞ ) a 0 0.529177249(24) × 10 −10 m 0.045
Compton Wellenlänge, h/m e c λ e 2.42631058(22) × 10 −12 m 0.089
klassischer Elektronenradius, α 2 a 0 r e 2.81794092(38) × 10 −15 m 0.13
Thomson Wirkungsquersch., re8π/3 2 σ e 0.66524616(18) × 10 −28 m 2 0.27
Bohrsche Magneton, e¯h/2m e µ B 927.40154(31) × 10 −26 J/T = A m 2 0.34
Myonmagneton, e¯h/2m µ µ M 4.4852219(15) × 10 −26 J/T 0.34
Kernmagneton, e¯h/2m p µ N 0.50507866(17) × 10 −26 J/T 0.34
g-Faktor Elektron, 2µ e /µ B g e 2 × 1.001159652193(10) 10 −5
g-Faktor Myon, 2µ µ /µ M g µ 2 × 1.001165924(9) 0.009
g-Faktor Proton, 2µ p /µ N g p 2 × 2.792847386(63) 0.023
g-Faktor Neutron, 2µ n /µ N g n −2 × 1.91304275(45) 0.024
Gyromag. Verhältnis Proton B/ω γ p 2π × 42.577469(13) 2π MHz T −1 0.30
Gyromag. Verhältnis Myon B/ω γ µ 2π × 135.538,793(40) 2π MHz T −1 0.30
Magn. Moment Verhältnis µ µ /µ p 3.18334547(47) 0.24
Magn. Moment Verhältnis µ n /µ p −0.68497934(16) 0.24
Magn. Moment Verhältnis µ n /µ e −0.00104066882(25) 0.24
Avogadro (Loschmidt) Konstante N ◦ =L 6.0221367(36) × 10 23 mol −1 0.59
Faraday-Konstante, N ◦ e F 96485.309(29) C mol −1 0.30
Molare Gaskonstante R 8.314510(70) J K −1 mol −1 8.4
Boltzmann-Konstante, R/N ◦ k 1.380659(12) × 10 −23 J K −1 8.5
Molvolumen (273.15 K, 101325 Pa) V M 22.41410(19) × 10 −3 m 3 mol −1 8.4
Wiensche Konstante, λ max T b 2.897756(24) × 10 −3 m K 8.4
Stefan-Boltzmann-Konstante σ 5.67051(19) × 10 −8 W m −2 K −4 34
166

B
Grössen und Einheiten der Physik
B.1 Grössenart, Dimension, Einheitensystem
In diesem Kapitel werden die wesentlichen Grundlagen der Einheiten, Zahlenwerte, Dimensionen
und Einheitensysteme zusammenfassend dargestellt [vgl. Kamke, Krämer;
Physikalische Grundlagen der Masseinheiten, Teubner 1977].
B.1.1
Grösse und Zahlenwert
Für eine physikalische Grösse G gibt der Messwert {G} an, wie oft die Einheit [G] in G
enthalten ist:
{G} = G oder G = {G} [G] für Gleichungen.
[G]
Z.B. v = 50 km (ohne [. . . ]), 50 ist hier als Messwert eine reine Zahl. Mit Angabe des
h
Messfehlers schreibt man: v = (50 ± 2) km oder auch v = 50(2) km , wobei der Fehler der
h
h
letzten angegebenen Stellen in Klammern gesetzt wird.
B.1.2
Grössenart und Dimension
Längenangaben, wie z.B. Höhe, Umfang, Dicke, haben die gleiche Grössenart Länge, die
Dimension dieser Grösse ist die Länge. Die Einheiten können sein: 1 m, 1 inch, 1 Lichtjahr,
usw.
Summen und Differenzen sowie Vergleiche (, ≥, =, ≠) können nur zwischen
Grössen gleicher Grössenart und gleicher Dimension gebildet werden.
∆r
Eine Differentiation z.B. v = lim
∆t→0 ∆t = dr [ ] m
dt s
liefert die Dimension der zu differenzierenden Grösse dividiert durch die Dimension des
Differentials und bei einer Integration
r =
∫t
t ◦
v(t ′ )dt ′ [m] durch Multiplikation des Differentials.
Es gibt einige Grössenarten, die die gleiche Dimension haben, wie z.B. der Skalar
Energie oder die Arbeit ∫ ⃗ F · d⃗r [Fl] und der Pseudovektor (Axialvektor) Drehmoment
⃗r × ⃗ F [lF]. Diese Grössen unterscheiden sich jedoch physikalisch durch ihr Stufe (Skalar
S, Pseudoskalar P, Vektor oder polarer Vektor V , Pseudovektor oder axialer Vektor A,
Tensor T).
In Additionen und Subtraktionen dürfen nur Grössen gleicher Stufe verbunden werden.
Für das Produkt von Grössen verschiedener Stufen gelten aus Symmetriegründen
Grundregeln, wie V · V = S, V × V = A, V × A = V (vgl. Fussnote S. 9).
Eine Division ist nur mit Skalaren einfach. Tritt formell der Ausdruck ⃗a/ ⃗ b auf, dann
kann mit einer Erweiterung mit ⃗ b gebildet werden
⃗a ⃗a ·⃗b ⃗a ·⃗b
= =
⃗ b ⃗ b ·⃗ b b . 2
Dieser Rechentrick kann auch für komplexe Zahlen (als 2-dim. Vektoren) angewendet
werden.
167

B.1.3
Grössengleichungen
In Gleichungen, wie F = Γ m 1m 2
muss die Dimension rechts und links identisch sein
r 2
(Dimensionskontrolle). Damit ist die Dimension von Γ [ ]
Nm 2
kg bestimmt.
2
Mathematische Funktionen in Grössengleichungen, wie sin, cos, log, ln, sinh,
exp, müssen als Argument unbenannte (dimensionslose oder Eins-Elemente)
Zahlen (auch komplexe) enthalten, z.B. sin(ωt) = sin(2πνt), sin(2πx/λ),
exp(−t/τ). ..
Diese Regel wird in der Technik und Medizin oft missachtet [z.B. Grössenklasse eines
Sternes m v = −2.5 · log 10 (Luminosität [W/m 2 ]/2.52 · 10 −8 )]. Einheiten und Dimensionen
gehen verloren, es besteht die Gefahr von Rechenfehlern und Dimensionskontrollen können
nicht mehr durchgeführt werden. Die Formel ist keine Grössengleichung.
B.1.4
Winkel und Raumwinkel
ϕ 2
ϕ
s
R=1
ϕ 1
ϕ=0
Ein Winkel wird definiert als das Bogenmass d.h. die Bogenlänge
im Einheitskreis:
ϕ = s R = s
1m
[rad] mit R = 1.
ϕ = ϕ 2 − ϕ 1 = s 2
1 m − s 1
1 m = s 2
R − s 1
R .
Das Bogenmass ist eine dimensionslose Grösse (Verhältnisgrösse) mit der Bezeichnung
rad (Radiant), ein voller Winkel ist ϕ = 2π. Die auch übliche Angabe in Grad ist
Grad= rad · 180 ◦ /π mit 360 ◦ für den vollen Winkel.
Der Raumwinkel ist die auf einer Einheitskugel aufgespannte Kugeloberfläche
A
Ω
R=1
Ω = A
1 m 2 = A R 2 [sr]
mit der Einheit [sr] (Steradiant). Eine Vollkugel hat Ω = 4π sr.
Manchmal wird der Raumwinkel (z.B. eines Detektors) auch in
Einheiten von 4π angegeben.
B.1.5
Wahl der Basisgrössen in Einheitensystemen
Als Bedingungen für ein Einheitensystem können die folgenden aufgestellt werden 118 :
(i) Beschränkung auf ein Minimum an Einheiten
(ii) Die Bildung neuer Grössen (nicht Dimensionen) soll nur durch Multiplikation
und Division bestehender Grössen bestimmt werden. Z.B. Fläche=(Länge) 2 , nicht aber
Länge= √ Fläche mit der Fläche als Basis.
(iii) Die Struktur des physikalischen Begriffsystems ist durch folgende Axiome gegeben:
1. C = A · B Multiplikative Bildung von Grössenarten. Hierbei ist keine der Grössen
A,B,C voreinander ausgezeichnet.
2. Unbenannte Zahlen (1) = A ◦ (Eins-Elemente) ändern die Dimension einer Grösse
nicht, A·(1) = A, z.B. [Länge]·5=[Länge], [Bogenlänge/Radius]=(1) [rad], [Wirkungsgrad
118 Fleischmann, Zeitschrift für Physik 129(1951)377. Hier beziehen sich Produkt, Quotient, Multiplikation,
Division nicht nur auf reine unbenannte Zahlen (dimensionslose Grössen) oder Skalare sondern auf
allgemein benannte Grössen.
168

η= Arbeit/Wärme].
3. Reziproke Grössen A −1 multipliziert mit der Grösse A ·A −1 = (1) ergibt unbenannte
Zahlen, z.B. [Frequenz·Zeit]=(1).
4. Es gilt das assoziative Gesetz A · (B · C) = (A · B) · C und das kommutative Gesetz
A · B = B · A. Die Bedingungen 1.-4. bilden eine kommutative Abelsche Gruppe.
5. Für alle A ≠ (1) und m ∈ IN \ 0 gilt A m ≠ (1), d.h. die Gruppe ist keine Drehgruppe,
sie ist torsionsfrei 119 .
6. Die aus unendlich vielen Grössenarten bestehende Gesamtheit besitzt ein endliches
Erzeugendensystem, d.h. es gibt endlich viele (N)-Elemente C p , C q , ...C r , so dass jedes
Element X sich bildet mit X = Cp
αp · Cq
αq · Cr αr , α i ganzzahlig. Eindeutigkeit besteht,
wenn kein C i durch die anderen ausgedrückt werden kann (unabhängige Erzeugende bzw.
Basis). Eindeutigkeit der Darstellung wird nicht vorausgesetzt, z.B. ist ⃗r × F ⃗ = −F ⃗ × ⃗r.
1.-6. sind das vollständige Axiomensystem der Gruppe, für die gilt:
Satz: Es gibt mindestens eine Basis B 1 ...B n mit n ≤ N.
Für n = 1 gibt es genau zwei Basen B 1 und B1 −1 .
Für n > 1 gibt es unendlich viele, gleichwertige Basissysteme. Ein Basissystem entspricht
den n linear unabhängigen Grundvektoren eines n-dimensionalen Punktgitters.
Die Anzahl der Elemente einer Basis werden durch folgende Bedingungen bestimmt:
Es gebe in einem Gebiet k voneinander unabhängige Gleichungen zwischen l Grössenarten
mit l > k, dann sind n = l − k unbestimmt und damit Grundgrössen (Basis).
Z.B. in der Geometrie ist l eine Grundgrösse mit den Gleichungen A = l 2 , V = l 3 ;
in der Kinematik die zwei Grundgrössen Länge, Zeit mit den Gleichungen v = l/t, a = l/t 2 ;
in der Dynamik mit drei Grundgrössen:
a) Système International d’Unites (SI) {l,Masse,t} mit [m, kg, s]
b) technisches System {l,F,t} mit [m, kp, s]
c) natürliche Einheiten {v, Energie E, Wirkung S} mit c = m e c 2 = ¯h = 1
d) sowie viele andere mögliche Systeme.
Physikalisch sind alle Basen gleichbedeutend, die Einheiten (Masszahlen wie cm, m,
s, Std, Lichtjahre . . . ) sind belanglos, wesentlich ist die Verknüpfung und deren Eindeutigkeit.
Es darf keine zweite, verschiedene, gleichzeitig geforderte Definition geben. Die
Begriffsverknüpfungen (Definfitionen von Grössenarten der Form A · B = C) sind keine
Naturgesetze, sie passen sich jedoch der Naturerfahrung an (wie v = l/t, F = m · b)
ud stehen mit der Physik nicht im Widerspruch. Die Ganzzahligkeit des Exponenten ist
eine reine Zweckmässigkeit, gebrochene Exponenten ( √ E) sind mathematisch einfach ,
physikalisch jedoch problematischer einzuführen.
Vorsicht: Zusatzvereinbarungen, die das n te Basiselement aus den (n − 1) restlichen
definieren, verletzen die Eindeutigkeit.
Z.B. müsste im elektrostatischen cgs-System Q(el. Ladung) ein unabhängiges Basiselement
sein, jedoch ist E · l = Q · Q, Q = √ E · l = l · √Kraft
und im magnetischen
cgs-System ist der Induktionsfluss(Polstärke)= √ E · l = l · √Kraft.
Diese Zusatzforderung
besagt, der Quotient beider Seiten ist dimensionslos, d.h. man kann nur in diesem
Dimensionssystem jede Grösse mit diesem Quotienten multiplizieren ohne die Grössen zu
verändern, jedoch nicht in einem anderen Dimensionssystem. Die Dimensionssysteme sind
damit nicht eindeutig aufeinander abbildbar.
119 Für eine Drehgruppe gilt A m+n = A n mit beliebigen ganzen Zahlen n; eine m-fache Drehung um den
Winkel 2π/m führt zur Identität.
169

B.2 SI-Einheiten
Für Grundgrössen und abgeleitete Grössen wurde an der 11. Generalkonferenz für Mass
und Gewicht 1960 ein kohärentes Einheitssystem, das Systeme International d’Unités (SI),
für den allgemeinen Gebrauch empfohlen. Die der Meterkonvention angehörenden Staaten
sind gehalten, das SI durch Gesetz einzuführen. Das SI ersetzt alle früheren Masssysteme,
wie das cgs- (cm g s), das mks- (m kg s), das technische Masssystem etc.
In Klammern: die in diesem Skript i.a. benutzten Bezeichnungen der Grössen.
Masse (m,M)
1 Kilogramm (kg) ist die Masse des aus Pt-Ir bestehenden Urkilogramms , das im Bureau
International des Poids et Mesures in Sevres aufbewahrt wird. Es entspricht ungefähr
der Masse von 1 l Wasser bei 4 ◦ C.
Zeit (t,T)
1 Sekunde (s) ist die Zeitdauer von 9 192 631 770 Schwingungen des Uebergangs zwischen
den beiden Hyperfeinstrukturniveaus im Grundzustand des 133 Cs Atoms.
Länge (l,l)
1 Meter (m) ist die Länge der Strecke, die das Licht im Vakuum während der Dauer
von 1/299 792 458 s zurücklegt. Veraltet: Urmeter (sollte 1/40 000 000 des Meridians durch
Paris sein), 1 m = 1 650 763.73 Wellenlängen des roten Lichtes, das von 86 Kr bei einem
bestimmten Uebergang emittiert wird. Der Meterstandard zeigt, dass die Einteilung in
Grund- und abgeleitete Einheiten willkürlich ist. Definiert ist heute die Lichtgeschwindigkeit
c = 2.99792458 ×10 8 m/s.
Elektrische Stromstärke (I)
1 Ampére (A) ist die Stärke eines Stromes, der durch zwei im Vakuum im Abstand
von 1 m parallel verlaufende, geradlinige, unendlich lange Leiter von vernachlässigbarem
Durchmesser, fliessend, eine gegenseitige Kraft von 2 × 10 −7 Newton pro Meter Länge
hervorruft.
Temperatur (T)
1 Kelvin (K) ist der Bruchteil 1/273.16 der thermodynamischen Temperatur des Tripelpunktes
von Wasser. Die Celsiusskala ist definiert durch: t( ◦ C) = t(K) - 273.15 K.
Schmelzpunkt und Siedepunkt des Wassers unter Normalbedingungen liegen nur ungefähr
bei 0 ◦ respektive 100 ◦ C. Der absolute Nullpunkt ist per Definition 0 K.
Quantität der Materie (n,ν)
1 Mol (mol) ist die Menge eines Stoffes, die gleichviele Teilchen N ◦ (Atome, Moleküle,
Ionen, Elektronen, ...) besitzt, wie Atome in 12 g des Kohlenstoffisotops 12 C enthalten
sind.
N ◦ =
12.000 g/mol
Masse eines Atoms 12 C
Avogadrosche oder Loschmidtsche Zahl,
diese Zahl ändert sich, wenn die 12 C-Atommasse genauer bestimmt wird.
Lichtstärke
1 Candela (cd) ist die Lichtstärke (Intensität I = dΦ/dΩ), mit der 1/60 cm 2 Oberfläche
170

eines schwarzen Strahlers bei der Temperatur des beim Druck von 1 atm erstarrenden Pt
(2024.5 K) senkrecht zur Oberfäche strahlt.
Sämtliche Dimensionen physikalischer Grössen lassen sich auf diese 7 Grundgrössen
zurückführen. Z.B. Beschleunigung m/s 2 , Kraft N = m kg/s 2 . Die 7 Grundgrössen sind
nicht alle fundamentale Basisgrössen. Z.B. wird die Kelvinskala nur eingeführt, weil der
theoretisch existierende Zusammenhang zwischen Temperatur und Energie experimentell
nur schlecht bestimmbar ist. Für die Physik genügen die 4 Basisgrössen m, kg, s und A.
B.2.1
Von den SI-Einheiten abgeleitete Einheiten z.T. mit speziellen Namen
In Klammern: die in diesem Skript i.a. benutzten Bezeichnungen der Grössen.
ebener Winkel (α,ϕ) Radiant = rad = m m −1
Raumwinkel (Ω) Steradiant = sr = m 2 m −2
Frequenz (ν) Hertz = Hz = s −1
Geschwindigkeit (⃗v)
= m s −1
Impuls (⃗p) = kg m s −1 = Ns
Kraft ( F) ⃗ Newton = N = m kg s −2
Druck (p) Pascal = Pa = m −1 kg s −2 = N/m 2
Energie,Arbeit (E,W) Joule = J = m 2 kg s −2 = Nm
Leistung (P) Watt = W = m 2 kg s −3 = J/s
Drehimpuls ( L ⃗ ◦ )
= kg m 2 s −1
Drehmoment ( M ⃗ ◦ ) = kg m 2 s −2 = Nm
Trägheitmoment (I ◦ ) = kg m 2
Wärmemenge (Q) Joule = J = m 2 kg s −2 = Nm
Entropie (S)
= J/K
el. Ladung (q,Q) Coulomb = C = As
elektrische Feldstärke ( E) ⃗ = V/m
dielektrische Verschiebung ( D) ⃗ = Cb/m 2
el. Stromdichte (⃗j) = A/m 2
el. Spannung, Potential (V ) Volt = V = m 2 kg s −3 A −1 = J/C
el. Kapazität (C) Farad = F = m −2 kg −1 s 4 A 2 = C/V
el. Widerstand (R) Ohm = Ω = m 2 kg s −3 A −2 = V/A
el. Leitfähigkeit (σ) Siemens = S = m −2 kg −1 s 3 A 2 = A/V
Induktionsfluss (Φ) Weber = Wb = m 2 kg s −2 A −1 = V s
magn. Induktion ( B) ⃗ Tesla = T = kg s −2 A −1 = Wb/m 2
magnetische Feldstärke ( H) ⃗ = A/m
Induktivität (L) Henry = H = m 2 kg s −2 A −2 = Vs/A
Lichtstrom Lumen = lm = cd sr
Beleuchtungsstärke Lux = lx = lm m −2
Radioaktivität Bequerel = Bq = s −1
absorbierte Strahlungsdosis Gray = Gy = m 2 s −2 = J/kg
171

B.2.2
Verschiedene Einheiten
Grösse (Symbol) SI Einheit
Länge (l) 1 m 1 Parsec = 1 pc = 3.085 72 ×10 16 m
1 Lichtjahr = 1 ly = 9.460 530 ×10 15 m
1 astr. Einheit = 1 AE = 1.496 00 ×10 11 m
1 inch = 1 in. = 2.54 cm (exakt)
1 yard = 1 yd. = 3 feet = 3 ft.= 36 in.
1 Seemeile = 10 Kabel = 1000 Faden = 1852 m
1 mile = 1 mi. = 1760 yd. = 1.609 344 km
1 Ångström = 1 Å = 10 −10 m
1 Fermi = 1 fm = 10 −15 m
Fäche (A) 1 m 2 1 Are = 1 a = 10 2 m 2
1 Barn = 1 b = 10 −28 m 2
Volumen (V) 1 m 3 1 Liter = 1 l = 10 −3 m 3
1 Gallone (US) = 4 Quarts = 8 Pints = 3.785 4 l
1 Gallone (GB) = 4 Quarts = 8 Pints = 4.545 9631 l
Zeit (t) 1 s 1 d = 24 h = 86400 s
1 Jahr = 1 y = 3.155 69 ×10 7 s ≈ π × 10 7 s
Frequenz ν 1 Hz 1 cycle per second = 1 cps = 1 Hz
1 revolution per minute = 1 rpm = 1/60 Hz
Geschwindig. (v) 1 m/s 1 km/h = 1/3.6 m/s
1 Knoten = 1 Seemeile/h
1 mile per hour = 1 mph = 1.609 344 km/h
Masse (m) 1 kg 1 techn. Masseneinh. = 1 TME = 1 kp m −1 s 2 = 9.806 65 kg
1 atomare Masseneinheit = 1 u = 1.660 5655(86) ×10 −27 kg
1 pound = 1 lb = 16 ounces = 16 oz. = 0.453 59237 kg
Kraft (F) 1 N 1 dyn = 1 cm g s −2 = 10 −5 N
1 Kilopond = 1 kp = 1 kg ∗ = 9.806 65 N
Druck (p) 1 Pa 1 Bar = 1 b = 10 3 mb = 10 5 Pa
1 Atmosphäre (phys.) = 1 atm = 1.013 25 ×10 5 Pa
1 Atm. (techn.) = 1 at = 1 kp/cm 2 = 0.980 665 ×10 5 Pa
1 Pound per sq. in. = 1 PSI = 6.894 76 ×10 3 Pa
1 Torr = 1/760 atm = 133.322 37 Pa = 1 mm Hg (0 ◦ C)
Arbeit (W) 1 J 1 Erg = 1 erg = 10 −7 J
Energie (E)
Wärme(Q)
1 kWh = 3.6 ×10 6 J
1 cal (thermoel.) = 4.184 J
1 cal (mittlere) = 4.186 97 J
1 cal (15 ◦ C) = 4.185 5 J
1 cal (IT) = 4.186 84 J
1 eV = 1.602 1892(46) ×10 −19 J
Leistung (P) 1 W 1 Pferdestärke = 1 PS = 75 m kp/s = 735.498 75 W
1 horse power = 1 hp (mech.) = 550 ft lb/s = 745.692 27 W
1 hp (elektr.) = 746 W
Magn. Indukt. (B) 1 T 1 Gauss = 1 G = 10 −4 T
Magn. Feld (H) 1 A/m 1 Oersted = 10 3 /4π A/m
172

B.2.3
Vorsilben der Dezimalteilung von Einheiten
Vorsilbe Abk. Faktor Vorsilbe Abk. Faktor spezielles
Exa E 10 18 Dezi d 10 −1 nur dl, dm
Peta P 10 15 Zenti c 10 −2 nur cm
Tera T 10 12 Milli m 10 −3
Giga G 10 9 Mikro µ 10 −6
Mega M 10 6 Nano n 10 −9
Kilo k 10 3 Piko p 10 −12
Hekto h 10 2 Femto f 10 −15 1 fm=1 Fermi
Deka d 10 1 Atto a 10 −18
B.3 Astronomische Daten
Erde
1 mittl. Sonnentag 1 d = 86400 s
1 Sterntag 86 164.09 s
1 tropisches Jahr 1 y = 365.242 20 d
1 siderisches Jahr 365.256 36 d
mittl. Radius
6 371.0 km
Masse
5.976 ×10 24 kg
mittl. Dichte 5 517 kg/m 3
mittl. Entfernung von der Sonne 1.496 ×10 11 m = 1 astr. Einheit = 1 AE
Mond
Masse
Radius
Entfernung von der Erde
siderische Umlaufszeit
synodische Umlaufszeit (Neumond)
Sonne
Radius
Masse
Oberflächentemperatur
Milchstrasse
Durchmesser
Dicke
Sonne-Zentrum
Masse
7.35 ×10 22 kg = 1/81.3 m E
1 738.2 km
384 400 km (356 400 . . . 406 700 km)
27.321 661 d
29.530 558 d
695 990 km = 109.24 R E
1.989 ×10 30 kg = 3.328 3 ×10 5 m E
5770 K
80 000 Ly
6 000 Ly
32 000 Ly
1.4 ×10 11 m S
173

C Mathematische Hilfsmittel
C.1 Mathematische Formelsammlung
C.1.1
r
✚α
✚✚✚✚✚
x
Trigonometrie
y
sin(α ± β) = sinα cos β ± cos α sin β,
sin α = y/r csc = r/y
cos α = x/r sec = r/x
tan α = y/x cot = x/y
sin 2 α + cos 2 α = 1
cos(α ± β) = cosα cos β ∓ sin α sin β
sin α ± sin β=2 sin ( ) ( )
α±β
2 cos α∓β
2
cos α + cos β=2 cos ( ) ( )
α+β
2 cos α−β
2
cosα − cos β=2 sin ( ) ( )
α+β
2 sin α−β
2
a cos α + b sin α=A · sin(α + δ), A = √ a 2 + b 2 , tanδ = a oder
b
a cos α + b sin α=A · cos(α − δ ′ ), A = √ a 2 + b 2 , tanδ ′ = b a
C.1.2
Komplexe Zahlen
✻I{z}
z = a + ib = ρ exp(iϕ) = ρ e iϕ = ρ (cos ϕ + i sin ϕ)
ρ = √ a 2 + b 2 = |z|, tanϕ = b/a, z n = ρ n e iϕ/n , √ z = √ ρ e iϕ/2
da | e iϕ | 2 = e iϕ · e −iϕ = e 0 = 1 liegt e iϕ auf dem Einheitskreis.
b
✬✩
i
ρ z Geometrische Deutung: R{z} = ρ cos ϕ, I{z} = ρ sin ϕ
✚ ✚✚✚❃ ϕ ✲ ⇒ exp(iϕ) = cosϕ + i sin ϕ, exp(−iϕ) = cosϕ − i sin ϕ ⇒
−1 1 a
✫✪R{z}
exp(iϕ) + exp(−iϕ)
−i cos ϕ = = a exp(iϕ) − exp(−iϕ)
, sin ϕ = = b 2 ρ 2i ρ
exp(iπ/2) = e iπ/2 = i, exp(iπ) = e iπ √
= −1,
z n = ρ n e inϕ = ρ n √
(cosnϕ + i sin nϕ), z = ρ e iϕ/2 ,
¯z = a − ib ist das konjugiert komplexe (auch z ∗ ) zu z = a + ib,
Betrag |z| = √ z¯z = √ a 2 + b 2
C.1.3
Hyperbolische Funktionen
sinh x = exp(x)−exp(−x) , cosh x = exp(x)+exp(−x)
2 2
sinh 2 x − cosh 2 x = −1, tanhx = sinh x
cosh x
C.1.4
Inverse Funktionen
sin[arcsin(x)] = x, cos[arccos(x)] = x, sinh[arcsinh(x)] = x, cosh[arccos(x)] = x
ln[exp(x)] = x etc.
174

C.1.5
Ableitungen und unbestimmte elementare Integrale
Für unbestimmte Integrale muss eine Konstante c berücksichtigt werden.
Partielle Integration: ∫ udv = uv − ∫ v du
d
f(x)
dx f(x)
∫ f(x)dx
x n
d
dx xn = nx n−1
∫
x n dx = xn+1
n + 1 , n ≠ −1
x −1
d
dx x−1 = −x −2
∫
x −1 dx = lnx
ln x
∫
d
ln x = x−1
dx
ln xdx = x ln x − x
e x
d
dx ex = e x
∫
e x dx = e x
sin x
∫
d
sin x = cos x
dx
sin xdx = − cos x
cos x
∫
d
cosx = − sin x
dx
cos xdx = sin x
tanx
d
dx tanx =
x
cos 2 x
∫
tanxdx = − ln cosx
cot x
d
dx cotx = − x
sin 2 x
∫
cotxdx = ln sin x
∫
∫
∫
∫
dx
a 2 + x 2
= 1 a arctan(x/a)
dx
= 1 1
arctanh(x/a) oder =
a 2 − x 2 a 2a ln a + x
a − x , (a2 > x 2 )
dx
√
a2 − x 2
= arcsin x
|a|
dx
x √ = − 1 ( √ ) a +
a 2 ± x 2 |a| ln a2 ± x 2
x
∫ √
x2 ± a 2 = 1 2
oder = − arccos x
|a| , (a2 > x 2 )
[
x
√
x2 ± a 2 ± ln(x + √ x 2 ± a 2 ) ]
∫
dx
√
x2 ± a 2 = ln(x + √ x 2 ± a 2 )
175

C.1.6
Einige bestimmte Integrale,
die nicht als unbestimmte Integrale angegeben werden können.
∫∞
0
∫∞
0
∫∞
0
∫π
0
∫∞
0
∫∞
0
∫1
0
∫ 1
0
∫∞
t n p −t n!
dt =
(lnp) , n = 0, 1, 2...,p > 0 dx
n+1 (1 + x) √ x
⎧
0
π
a > 0
a dx
⎪⎨ 2
∫∞
sin mxdx
= 0 a = 0
a 2 + x 2 ⎪⎩ − π x
a < 0
0
2
sin 2 (px)dx
x 2
= πp
2
∫∞
0
∫
= π
sin 2 (mx)dx = π 2
π/2
dx π
= √
a + b cos x a2 − b , a > b ≥ 0 dx
2 a 2 sin 2 x + b 2 cos 2 x = π
2ab
0
e −ax dx = 1 ∫∞
a , a > 0 e −a2 x 2 dx = 1 √ π
2a
0
x e −x2 dx = 1 ∫∞
√ π
x 2 e −x2 dx =
2
4
0
∫1 √
√ π
(lnx) n dx = (−1) n · n!
ln 1/x dx =
2
C.1.7
ln x
dx = −π2
1 + x 12
Reihenentwicklungen
Taylor-Reihe: f(x) = f(x ◦ )+f ′ (x ◦ ) (x − x ◦) 1
1!
0
∫ 1
0
ln x
dx = −π2
1 − x2 8
⎧ π
m > 0
⎪⎨ 2
= 0 m = 0
⎪⎩ − π m < 0
2
+f ′′ (x ◦ ) (x − x ◦) 2
+· · · mit 0 ≤ (x−x ◦ ) < 1
2!
exp(x) = e x = 1 + x + x2 + x3 + · · · ln(1 − x) = x − x2 + x3
2! 3! 2!
sin(x) = x − x3 + x5 − + · · · cos(x) = 1 − x2 + x4
3! 5! 2!
tan(x) = x + x3
3 + 2x5 15
+ · · · cot(x) = 1 −
x2
2 + x4
sinh(x) = x + x3
3!
+ x5
5!
+ · · · cosh(x) = 1 + x2
2!
+ x4
(1 + x) n = 1 + nx + n(n+1) x 2 + n(n−1)(n−2) x 3 + · · ·
2! 3!
1
= 1 − x + 1+x x2 − x 3 + · · ·, (−1 < x < 1)
√ 1 + x = 1 +
x
+ x2 + x3 + · · · , (−1 < x < 1)
2 8 16
√ 1
1+x
= 1 − x + 3x2 + · · · , (−1 < x < 1)
2
− 5x3
8 16
− + · · ·
3!
− + · · ·
4! − + · · · 4
+ · · ·
4!
176

C.2 Zusammenstellung von Differentialgleichungen in Physik A
Differentialgleichung
Lösung
1. y ′′ = a y = 1 2 ax2 + C 1 x + C 2
2. y ′′ + ωy ′ = 0 y = C 1 e −ωt + C 2
3. y ′′ + ωy ′ = g y = C 1 e −ωt + C 2 + g ω · t
4. y ′ + ωy = g y = C 1 e −ωt + g ω
5. y ′′ + ω 2 y = g y = y 0 cos(ωt − δ) + g
ω 2
6. y ′′ − y = cos x y = C 1 e x + C 2 e −x − 1 2 cos x
7. y ′′ + 2λy ′ + α 2 y = 0
√
λ > α y = e −λt (C 1 e ωt + C 2 e −ωt )
ω = + |λ 2 − α 2 | λ < α y = e −λt (C 1 e iωt + C 2 e −iωt )
λ = α y = e −λt (A + Bt)
8. y ′′ + 2λy ′ + α 2 y = f(t)
benutze :
F(x) = ∫ x
dF
0 f(x,y)dy ⇒ x ∂f
dx 0 ∂x
Ansatz :
y = ∫ t
0 g(t − τ)f(τ)dτ
damit :
y ′ = g(0)f(t) + ∫ t
0 g′ (t − τ)f(τ)dτ
y ′′ = g(0)f ′ (t) + g ′ (0)f(t) + ∫ t
0 g′′ (t − τ)f(τ)dτ
Einsetzen in Dgl. : g(0)f ′ (t) + g ′ (0)f(t) + ∫ t
0 g′′ (t − τ)f(τ)dτ + 2λg(0)f(t)
+2λ ∫ t
0 g′ (t − τ)f(τ)dτ + α 2 ∫ t
0 g(t − τ)f(τ)dτ = f(t)
zusammenfassen : g(0)f ′ (t) + [g ′ (0) + 2λg(0) − 1]f(t)
+ ∫ t
0 [g′′ (t − τ) + 2λg ′ (t − τ) + α 2 g(t − τ)] f(τ)dτ = 0
Diese Gleichung wird erfüllt, wenn g(t − τ)
die Dgl. 8. erfüllt mit den Anfangsbedingungen
g(0) = 0 und g ′ (0) = 1
also : λ > α y = 1 ∫ ( t
2ω 0 e−λ(t−τ) e ω(t−τ) − e −ω(t−τ)) f(τ)dτ
λ < α y = − i ∫ ( t
2ω 0 e−λ(t−τ) e iω(t−τ) − e −iω(t−τ)) f(τ)dτ
y = 1 ∫ t
ω 0 e−λ(t−τ) sin ω(t − τ)f(τ)dτ
λ = α y = ∫ t
0 e−λ(t−τ) (t − τ)f(τ)dτ
9. x 2 y ′′ + xy ′ − k 2 y = 0 y = C 1 x k + C 2 x −k
177

C.3 Vektorgleichungen
Skalarprodukt Vektorprodukt Tensorprodukt
⃗a ·⃗b = a x b x + a y b y + a z b z ⃗a × ⃗ b = ⃗e x(a y b z − a z b y ) ⃗a ⊗ ⃗ ⎛
⎞
b = a x b x a x b y a x b z
⎜
⎟
⃗e y (a z b x − a x b z ) ⎝ a y b x a y b y a y b z ⎠
⃗e z (a x b y − a y b x ) a z b x a z b y a z b z
⃗a( ⃗ b ·⃗c) = (⃗a ⊗ ⃗ b)⃗c
⃗a · ( ⃗ b ×⃗c) = ⃗ b · (⃗c ×⃗a) = ⃗c · (⃗a × ⃗ b)
⃗a × ( ⃗ b ×⃗c) = (⃗a ·⃗c) ⃗ b − (⃗a ·⃗b)⃗c
(⃗a × ⃗ b) · (⃗c × ⃗ d) = (⃗a ·⃗c)( ⃗ b · ⃗d) − (⃗a · ⃗d)( ⃗ b ·⃗c)
∇ × ∇ψ = 0
∇ · (∇ ×⃗a) = 0
(∇ · ∇)ψ = ∇ · (∇ψ) = ∆ψ
∆⃗a = ∇ · (∇⃗a) − ∇ × (∇ ×⃗a)
∇ × (∇ ×⃗a) = ∇ · (∇⃗a) − ∇ 2 ⃗a = ∇ · (∇⃗a) − ∆⃗a
∇ · (ψ⃗a) = ⃗a · ∇ψ + ψ∇ ·⃗a
∇ × (ψ⃗a) = ∇ψ ×⃗a + ψ∇ ×⃗a
∇(⃗a ·⃗b) = (⃗a · ∇) ⃗ b + ( ⃗ b · ∇)⃗a +⃗a × (∇ × ⃗ b) + ⃗ b × (∇ ×⃗a)
∇ · (⃗a × ⃗ b) = ⃗ b · (∇ ×⃗a) −⃗a · (∇ × ⃗ b)
∇ × (⃗a × ⃗ b) = ⃗a(∇ ·⃗b) − ⃗ b(∇ ·⃗a) + ( ⃗ b · ∇)⃗a − (⃗a · ∇) ⃗ b
Ist ⃗x die Koordinate eines Punktes in Bezug auf einen Ursprung mit dem Betrag r = |⃗x|
und ⃗n = ⃗x/r der Einheitsradiusvektor, dann gilt
∇ · ⃗x = 3 ∇ × ⃗x = 0
∇ · ⃗n = 2 r ∇ × ⃗n = 0
(⃗a · ∇)⃗n = 1 r [⃗a − ⃗n(⃗a · ⃗n)] ≡ ⃗a ⊥
r
C.4 Theoreme aus der Vektorrechnung
Im folgenden sind Φ, Ψ, und ⃗ A skalare oder Vektor-Funktionen, V ist ein dreidimensionales
Volumen mit dem Volumenelement d 3 x. S ist eine zweidimensionale, geschlossene
Oberfläche des Volumens V mit dem Flächenelement da und der nach aussen zeigenden
Normalen ⃗n auf da.
∫
∇ · ⃗Ad 3 x = ∫ ⃗A · ⃗nda
Divergenz Theorem
V ∫
S
∇Ψd 3 x = ∫ ψ⃗nda
V S
∫
∇ × Ad ⃗ 3 x = ∫ ⃗n × Ada ⃗
∫
V S
(Φ∇ 2 Ψ + ∇Φ · ∇Ψ)d 3 x = ∫ Φ⃗n · ∇Ψda Green’s 1. Identität
V ∫
S
(Φ∇ 2 Ψ − Ψ∇ 2 Φ)d 3 x = ∫ − Ψ∇Φ) · ⃗nda Green’s Theorem
V
S(Φ∇Ψ
178

Im folgenden ist S eine offene Fläche und C eine sie einschliessende Kontur mit dem
Linienelement d ⃗ l. Die Normale ⃗n zu S ist durch die rechte Hand-Regel in bezug auf das
Linienintegral um die Kontur C definiert.
∫
× A)
S(∇ ⃗ · ⃗nda = ∮ ⃗A · d ⃗ l Stoke’s Theorem
C
∫
⃗n × ∇Ψda = ∮ Ψd ⃗ l
C
S
C.5 Explizite Formen von Vektoroperationen
Mit den orthogonalen Einheitsvektoren ⃗e 1 ,⃗e 2 ,⃗e 3 , die den gewählten Koordinaten entsprechen
und den Komponenten A 1 ,A 2 ,A 3 von ⃗ A gilt für den Nabla-Operator ∇
Kartesische Koordinaten x 1 ,x 2 ,x 3 = ⃗x = x,y,z
∇Ψ = ⃗e ∂Ψ
1∂x1 + ⃗e ∂Ψ
2∂x2 + ⃗e ∂Ψ
3∂x3
∇ · ⃗A = ∂A 1
∂x
+ ∂A 2
1 ∂x
+ ∂A 3
2 ∂x 3
∇ × A ⃗ = ⃗e 1 ( ∂A 3
∂x
− ∂A 2
2 ∂x
) + ⃗e 2 ( ∂A 1
3 ∂x
− ∂A 3
3 ∂x
) + ⃗e 3 ( ∂A 2
1 ∂x
− ∂A 1
1 ∂x
)
2
∇ 2 Ψ = ∂2 Ψ
∂x 2 + ∂2 Ψ
1 ∂x 2 + ∂2 Ψ
2 ∂x 2 3
Zylinder Koordinaten ρ,ϕ,z
∇Ψ = ⃗e ∂Ψ
1
∂ρ
+ ⃗e 1 ∂Ψ
2ρ ∂ϕ
+ ⃗e ∂Ψ
3
∂z
∇ · ⃗A = ρ 1 ∂ρ ∂ (ρA 1) + ρ 1 ∂A 2
∂ϕ + ∂A 3
∂z
∇ × A ⃗ = ⃗e 1 ( ρ 1 ∂A 3
∂ϕ − ∂A 2
∂z ) + ⃗e 2( ∂A 1
∂z − ∂A 3
∂ρ ) + ⃗e 1 3ρ (∂(ρA 2)
∂ρ
− ∂A 1
∂ϕ )
∇ 2 Ψ = ρ 1 ∂ρ ∂ (ρ∂Ψ ∂ρ ) + 1 ρ 2 ∂2 Ψ
∂ϕ 2 + ∂2 Ψ
∂z 2
Kugel Koordinaten r,ϑ,ϕ
∇Ψ = ⃗e ∂Ψ
1
∂r
+ ⃗e 1 ∂Ψ
2r ∂ϑ
+ ⃗e 1
3
rsinϑ ∂Ψ
∂ϕ
∇ · ⃗A = 1 ∂ r 2 ∂r (r2 A 1 ) +
r sinϑ 1
∂ϑ ∂ (sinϑA 2) +
r sinϑ 1 ∂A 3
∂ϕ
∇ × A ⃗ [
= ⃗e 1 ∂
1
r sinϑ ∂ϑ
(sinϑA 3 ) − ∂A ]
2
∂ϕ
+
[
+⃗e 1
2
r sinϑ ∂A 1
∂ϕ − 1 r ∂r ∂ ] [ (rA 3) + ⃗e 1 ∂∂r
3r (rA 2 ) − ∂A ]
1
∂ϑ
∇ 2 Ψ = 1 ∂ r 2 ∂r (r2∂Ψ ∂r ) + 1 ∂
r 2 sinϑ ∂ϑ (sinϑ∂Ψ ∂ϑ ) + 1 ∂ 2 Ψ
r 2 sin 2 ϑ ∂ϕ 2
mit 1 ∂ r 2 ∂r (r2∂Ψ ∂r ) ≡ 1 r ∂2
∂r 2 (rΨ) = ∂2
∂r 2 (Ψ) + 2 ∂
r ∂r (Ψ)
Es werden auch folgende Schreibweisen benutzt:
gradΨ = ∇Ψ div ⃗ A = ∇ · ⃗A rot ⃗ A = ∇ × ⃗ A ∇ 2 = ∆
179

Index
∆, 148
Γ, 18
∇ (Fussnote), 44
⃗∇, 44
⃗∇×, 44
Äquipotentialfläche, 44, 138
Ableitung
partielle (Fussnote), 43
vollständige, 43
Adhäsion, 159
Adhäsionseffekt, 159
Adhäsionskraft, 162
Aktionsgesetz, 14
Aktionsprinzip, 13, 80
Amplitude, 34, 65
aperiodischer Grenzfall, 69
Arbeit, 39
Archimedisches Prinzip, 142
Argand-Diagramm, 75–76
Astronomische Daten, 173
Atomgitter, 124
Atwoodsche Fallmaschine, 28
Auftrieb, 141
dynamischer, 155
Kutta-Joukowski-Auftrieb, 156
Auftriebsziffer K A , 158
Austauschteilchen, 17
auswuchten, 119
dynamisch, 119
statisch, 119
Axialvektor, 9, 44, 57
Axiom, 122
Azimutalbeschleunigung, 32
Bahn, 3
Bahnkurve, 3
Barometerformel,isotherme, 139
Basisgrösse, 3
Bernoulli-Gleichung, 146, 149
Voraussetzungen für die, 146
Beschleunigung, 5, 13
Absolutbeschleunigung, 79
Azimutalbeschleunigung, 32
Coriolisbeschleunigung, 80
Führungsbeschleunigung, 79
in Polarkoordinaten, 8
Normalbeschleunigung, 7
Radialbeschleunigung, 32
Relativbeschleunigung, 79
Tangentialbeschleunigung, 32
Zentripetalbeschleunigung, 7, 8
Bewegung
allgemein ebene, 9
gebunden, 51, 63
Konstante der, 59
Planetenbewegungen, 61
Relativbewegung, 77
starrer Körper, 98
thermische, 137
ungebunden, 51, 63
Bewegungsprinzip, 13
Bezugssystem
Dynamik in einem bewegten, 80
Kinematik in einem bewegten, 78
Biegung, 132
Bruchgrenze, 129
Cavendish-Experiment, 18
charakteristische Gleichung, 66
Corioliskraft, 80, 82
Coulomb-Gesetz, 48
Coulombkraft, 21
Coulombpotential, 93
Coulombsche Reibungsgesetze, 25
Dämpfung
kritische, 68
schwache, 67
starke, 68
Déplacement, 141
Definition
Arbeit, 39
Kilogramm, 2
Meter, 2
Sekunde, 2
Trägheitsmoment, 98
Deformation, 124, 128
Deviationsmoment, 111
Dichte, 94
Differential, 4
Differentialgleichung
180

homogene, 31
inhomogene, 31
dissipative Kraft, 108
Drall, 56
Drallsatz, 57, 95
Drehimpuls, 56
Konstanz des, 59
totaler, 94
z-Komponente, 98
Drehimpulserhaltungssatz, 57, 123
Drehimpulssatz, 57, 95
Drehmoment, 56, 95
Drehmomentenbedingung, 24
Drehwaage, 20
Driftbewegung, 143
Druck
dynamischer, 149
Gesamtdruck, 149
hydrostatischer, 137
Normaldruck, 161
statischer, 149
Drucksonde, 149
Druckspannung, 127
dynamischer Druck, 149
dynamischer Widerstand, 158
Eötvös-Experiment, 19
Ebbe, 85
Effekt
Kapillaritätseffekt, 162
Magnus-Effekt, 157
Eigenfrequenz, 34
Ein-Körper-Problem, 58
Einheit, 167
bar, 125
dyn (Fussnote), 13
Joule, 39
Newton, 13
Pascal, 125
Poise, 152
torr, 140
Watt, 40
Einheiten-System, 3
Einheitsvektor, 3, 7
elastische Konstante, 132
elastischer Körper, 124
Elastizität, 124
Elastizitätsmodul, 128
Ellipse, Parameter, 62
elliptisches Intergral, 35
Energie, 39
kinetische, 40, 107
potentielle, 43, 70
totale, 49
Energieerhaltungssatz, 49, 107, 123
Energieerhaltungssatz (Beispiele), 50–55
Energiesatz, 40, 41
der Mechanik, 40
Erdbeschleunigung, 29
Erdrotation, 84
Erhaltungssatz
Drehimpuls, 57, 123
Energie, 49, 107, 123
Energie (Beispiele), 50–55
Impuls, 53, 122
klassische, 122
Eulersche Bewegungsgleichung, 145
Eulersche Gleichungen, 112
Exzentrizität der Ellipse, 62
Führungskraft, 80
Fall
vertikal, im Vakuum, 27
vertikal, in Medium, 31
Fallgesetz, 27, 28
Feder, lineare, 64
Federkonstante, 64, 124
Federkraft, 64
Feldfluss, 49
Feldlinien, 42
Feldstärke, 20
Flächensatz, 60
Flächenträgheitsmoment, 133, 135
Flüssigkeit, 137
benetzende, 163
Dynamik der idealen, 143
ideale, 143
inkompressibel, 137
nichtbenetzende, 163
reale, 144
reibungslos, 137
rotierende, 141
ruhende, 138
verdrängte, 142
zäh, 137
Flüssigkeitslamellen, 160
181

Fliessgrenze, 129
Fluss, 48
Fluss-Regel, 49
Flut, 85
Formelastizität, 137
Foucaultpendel, 84
Freiheitsgrad, 4, 78
Frequenz, 8, 34, 65
Fundamentalkräfte, 17
FWHM, 72
Güte-Faktor, 70
Galilei-Transformation, 78
Gangpolkegel, 113
Gas, 137
Geometriefaktor, 98
Gesamtdruck, 149
Geschwindigkeit, 4
Geschwindigkeitsvektor, 78
kritische, 154
mittlere, 4
momentane, 4
Winkelgeschwindigkeit, 78
Geschwindigkeitsvektor, 78
Gesetz
Aktionsgesetz, 14
Coulomb-Gesetz, 48
Coulombsche Reibungsgesetze, 25
Fallgesetz, 27, 28
Fluss-Regel, 49
Gravitationsgesetz, 18
Grundgesetze der Mechanik, 11
Hagen-Poiseuille-Gesetz, 153
Keplersche Gesetze, 63
Kraftgesetz, 12
Newtonsches Gravitationsgesetz, 48
Newtonsches Reibungsgesetz, 152
Reflexionsgesetz, 54
Reibungsgesetze, 25
Torricellisches Ausflussgesetz, 140,
151
von Boyle-Mariotte, 139
von Hook, 128
von Stokes, 26
Gezeiten, 85
Gezeitenkräfte, 119
Gleichgewichtsbedingungen, 96
Gleichung
Bernoulli-Gleichung, 146, 149
Voraussetzungen für die, 146
Eulersche Bewegungsgleichung, 145
Kontinuitätsgleichung, 144
Potentialgleichung, 148
Gleitreibung, 25
Gleitreibungskoeffizient, 25
grad, 44
Gradient, 44
Gravitation, 17
Gravitationsfeldfluss, 48
Gravitationsgesetz, 18
Gravitationskonstante, 18
Gravitationskraft, 18, 85
Gravitationspotential, 46
Grundgesetze der Mechanik, 11
Haftreibung, 25
Haftreibungskoeffizient, 25
Hagen-Poiseuille
Gesetz, 153
Strömung, 152
Widerstand, 153
harmonische Bewegung, 34
Hauptachsen, 111
Hauptelemente, 127
Hauptrichtung, 127
Hauptspannung, 127
Homogenität
Raum, 122
Zeit, 122
Hooksches Gesetz, 128
hydrodynamisches Paradoxon, 150
Hydrostatisches Paradoxon, 140
Hypozykloide, 83
Impuls, 14
totaler, 94
Impulserhaltungssatz, 17, 53, 122
Impulssatz, 15, 16, 95
Impuslerhaltung, 52
Inertialsystem, 13, 77
interatomare Kräfte, 124
Isotropie
Raum, 122
Streuung, 92
Körper
elastisch, 124
182

fester, Elastizität, 124
fester, kristallin, 124
Gewicht des, 21
homogen, 132
homogener, 94
isotrop, 132
Deformation, 128
plastisch, 125
starrer, 94
Bewegung (Beispiele), 101–107
Dynamik des, 94
ebene Bewegung, 98
Gleichgewicht des, 96
Kapillar-Attraktion, 163
Kapillar-Depression, 163
Kapillarität, 162
kardanische Aufhängung, 113
Kegel
Gangpolkegel, 113
Nutationskegel, 113
Präzessionskegel, 115
Rastpolkegel, 113
Keplersche Flächensatz, 60
Keplersche Gesetze, 63
kinetische Energie, 40
Kohäsion, 159
Kohäsionseffekt, 159
Kohäsionskraft, 159
Kommunizierende Gefässe, 140
Kompressibilität, 131, 137
Kompressionsmodul K, 131
konservatives Kraftfeld, 42
Konstanten, 166
elastische Konstanten, 132
Gravitationskonstante, 18
Kontinuitätsgleichung, 144
Koordinaten
kartesische, 14
polare, 4, 14
Zylinder, 4
Koordinatensystem, 77
kartesisches, 3
raumfestes kartesisches, 6
Krümmungskreis, 7
Kraft, 11, 13
äussere, 15, 124
Adhäsionskraft, 162
Corioliskraft, 80, 82
Coulombkraft, 21
dissipative, 108
Führungskraft, 80
Federkraft, 64
Gravitationskraft, 85
ineratomare, 124
innere, 15, 124
intermolekular, 137
Kohäsionskraft, 159
nicht-konservativ, 46
Normalkraft, 24, 26, 33
Oberflächenkraft, 23, 24
Reibungskraft, 23, 66
innere, 151
Scheinkraft, 80
Tangentialkraft, 33
Trägheitskraft, 80
Van der Waals Kraft, 124
Volumenkraft, 21, 138
Zentrifugalkraft, 80, 82
Zentripetalkraft, 33, 40
scheinbare, 83
Zugkraft, 158
Kraftdichte f, 138
Kraftfeld, 20, 42
Gravitationsfeldfluss, 48
konservatives, 42
nicht-stationär, 42
radial-symmetrisches, 45
stationär, 42
Wirbelfeld, 46
wirbelfreies, 44
Kraftgesetz, 12
Kraftstoss, 53
Kreisbahn, 8
Kreisbewegung, 7, 8, 32
Kreisel, 109
Bewegung des symmetrischen, 114
im Schwerefeld, 115
kräftefrei, rotationssymmetrisch, 112
oblater, 114
prolater, 114
rattleback, 117
schlafender, 116
Kreiselkompass, 118
Kreiselregeln, 116
Kreiselung, 109
Kreisfrequenz, 65
183

Kreispendel, 36
kritische Geschwindigkeit, 154
Kurvenintegral, 42
Kutta-Joukowski-Auftrieb, 156
Länge, 1
Laborsystem, 78, 87
Ladung, 21
laminar, 26
Laplace Operator ∆, 148
Leistung, 39, 40
Lenard-Methode, 160
Lichtgeschwindigkeit, 2
Lilienthal-Diagramm, 158
Linienintegral, 42
Lotabweichung, 84
Magnus-Effekt, 157
Masse, 2, 11, 13, 77, 94
reduzierte, 59
schwere, 19
totale, 94
träge, 11, 19
Massenelement, 94
Massenmittelpunkt, 16
Massenpunkt, 1
Beschleunigung des, 5
Bewegung eines (Beispiel), 10
Geschwindigkeit des, 4
Kinematik des, 3
Ort des, 3
System von, 15
Mathematische Hilfsmittel, 174
Mechanik, 1
die Grundgesetze der, 11
Methode von Lenard, 160
Metrik des Raumes, 13
Mohrscher Spannungskreis, 127, 137
Momentangeschwindigkeit, 4
Mondfinsternis, 120
Nabla-Operator (Fussnote), 44
neutrale Faser, 132, 133
Newtonsche Mechanik
Gültigkeitsbereich der, 15
Newtonsche Prinzipien, 12
Anwendungsbeispiele, 27
Newtonsches Gravitationsgesetz, 48
Newtonsches Reibungsgesetz, 152
Nicht-Inertialsystem, 77
Noether Theorem (Fussnote), 122
Normal-Luftdruck, 139
Normalbeschleunigung, 7
Normaldruck, 161
Normalkraft, 24, 26, 33
Normalspannung, 24, 125
Nutation, 116
der Erdachse, 121
Nutationskegel, 113
Oberflächenenergie, 159
Oberflächenkraft, 23, 24
Oberflächenspannung α, 159
Ort, 3
Ortskoordinaten, 3
Ortsvektor, 3, 77, 78
des Schwerpunktes, 16
Oszillator
Eigenfrequenz, 72
Energie des schwach gedämpften, 69
gedämpft, 66
Grad der Dämpfung, 70
linearer, harmonischer, 64
ungedämpft, 64
Parameter der Ellipse, 62
partikuläre Lösung, 31
Pendel
ballistisches, 54
Foucaultpendel, 84
konisches, 36
Kreispendel, 36
mathematisches, 33, 81
physisches, 102
Reversionspendel, 103
Torsionspendel, 135
Phasenübergang, 37
Phasengrenze, 162
Phasenkonstante, 34, 65
Phasenraum des Pendels, 36
Pitotrohr, 149
Planetenbewegungen, 61
plastischer Körper, 125
Plastizität, 124
Poissonsche Zahl m, 129
Polarkoordinaten, 4, 14
Polarvektor, 9
Potential, 46
184

Potentialgleichung, 148
Potentialströmung, 147
potentielle Energie, 43
Präzession, 115
der Erdachse, 120
Präzessionsfrequenz, 115, 116
Präzessionskegel, 115
Präzessionszyklus des Mondes, 119
Prandtlrohr, 150
Prinzip des Archimedes, 142
Proportionalitätsgrenze, Verformung, 128
Pseudovektor, 9, 44, 57
Punkt,mathematischer, 1
Punktladung, 22
Q-Faktor, 70, 73
Querdehnung β, 129
Querzahl ν, 129
Radialbeschleunigung, 32
Raketenantrieb, 37–38
Randwiderstand, 158
Rastpolkegel, 113
rattleback, 117
Raum, 1, 77
Homogenität, 122
Isotropie, 122
Raum-Zeit-Symmetrie, 122
Reaktionsprinzip, 15
reduzierte Masse, 59
Reflexionsgesetz, 54
Reibung, 24
Gleitreibung, 25, 30
Haftreibung, 25, 30
trockene, 24
viskose, 24, 26, 137
Reibungsgesetz von Stokes, 26
Reibungskraft, 23, 66
innere, 151
Reibungswiderstand, 26
Relativbewegung, 77
Relativitätsprinzip der Mechanik, 77, 78
Relativitätstheorie, 14
Relativkoordinate, 58
Resonanz, 71, 72
Resonanzamplitude, 72
Resonanzbreite, 73
Resonanzfrequenz, 72
Reynoldsche Zahl R e , 154
Rollbedingung, 104
rot, 44
Rotation, 44, 78, 99
Ruhemasse, 14
Ruhesystem, 78
Rutherfords Streuformel, 93
Saros-Zyklus, 119
Satz
Drallsatz, 57, 95
Drehimpulssatz, 57, 95
Energiesatz der Mechanik, 40
Impulssatz, 95
Keplersche Flächensatz, 60
Schwerpunktssatz, 95
von Steiner, 99, 100
von Viëta, 103
Scheinkraft, 80
schiefe Ebene, 30
schiefer Wurf, 29
Schmiegungsebene, 7
Schubmodul G, 131
Schubspannung, 24, 125, 128
Schwerpunkt, 16
Schwerpunktsatz, 15, 16
Schwerpunktsbeschleunigung, 16, 29
Schwerpunktsgeschwindigkeit, 16
Schwerpunktssatz, 95
Schwerpunktsvektor, 94
Schwerpunktsystem, 87
Schwingung
erzwungene, 71
gedämpfte, 67
Schwingungsdauer, 34, 65
SI-Einheiten, 3, 170
siderisches Jahr, 2
Sonnenfinsternis, 120
Sonnentag, 2
Spannung, 24, 125
Druckspannung, 127
innere, 125
Normalspannung, 125
Oberflächenspannung, 159
Schubspannung, 125, 128
Zugspannung, 127
Spannungstensor, 125
Spannungszustand
ebener, 125, 126
185

hydrostatischer, 128
linearer, 128
stabile Drehachsen, 115
Stabilität, 114
statischer Druck, 149
Stokes-Widerstand, 153
Stoss, 52
elastisch, 52
gerader-zentraler, 53
inelastisch, 52
Kraftstoss, 53
Stossparameter, 88, 93
Strömung, Hagen Poiseuille Gesetz, 152
Strömung, 143
ebene, 143, 155
laminare, 26, 143
Potentialströmung, 147
stationäre, 143
turbulente, 143, 154
wirbelfreie, 147
Zirkulationsströmung, 156
Streuformel von Rutherford, 93
Streuproblem, 87
Streuung
Coulombpotential, 93
Isotropie, 92
rein elastische, 87
Stromlinien, 143
Stromröhre, 144
Superpositionsprinzip, 14
Symmetrie-Axiom, 122
System
abgeschlossenes, 17
Systeme International d’Unitès, 3
Tangentialbeschleunigung, 7, 32
Tangentialkraft, 33
Taylor-Reihe, 64
Tensor, 109
Spannungstensor, 125
Trägheitstensor, 109, 111
Theorem
von Noether, 122
Torkeln, 115
Torricellisches Ausflussgesetz, 140, 151
Torsion, 132, 135
Torsionspendel, 135
Torsionswaage, 18
träge Masse, 11
Trägheit, 11
Trägheitseffekte, 84
Trägheitskraft, 80
Trägheitsmoment, 98, 100
Trägheitsprinzip, 12
Trägheitstensor, 109, 111
Transformation
Galilei-Transformation, 78
SS → LS, 90
Translation, 78
Turbulenz, 154
Umlaufzeit, 8
Unitaritätsrelation, 75
Urkilogramm, 2
Urmeter, 2
Van der Waals Kraft, 124
Vektor, 3
axialer oder Pseudovektor, 9, 44, 57
Einheitsvektor, 3
Ortsvektor, 3, 77, 78
polarer, 9
Schwerpunktsvektor, 94
Winkelgeschwindigkeit, 8
Venturirohr, 150
Verformung
Kaltverformung, 129
plastische, 128
Viskosität, 26, 32, 152
Volumenelement, 94
Volumenkraft, 21, 138
Wechselwirkung
elektromagnetische, 17, 21
elektroschwache, 17
schwache, 17, 23
starke, 17, 23
Widerstand
dynamischer, 158
Hagen-Poiseuille-Widerstand, 153
Randwiderstand, 158
Stokes-Widerstand, 153
viskoser, 153
Widerstandsziffer K W , 158
Winkelbeschleunigung, 8
Winkelgeschwindigkeit, 8, 78
Wirbelfeld, 46
186

Wirbelstrasse, 159
Zähigkeit η, 152
Zeit, 2, 77
Homogenität, 122
Zentralfeld, 21, 22, 45, 58
Zentrifugalkraft, 80, 82
Zentripetalbeschleunigung, 7, 8
Zentripetalkraft, 33, 40
scheinbare, 83
Zirkulation Z, 148
Zirkulationsströmung, 156
Zugkraft, 158
Zugspannung, 127
Zwei-Körper-Problem, 58
Zylinderkoordinaten, 4
187