Physik A Teil 1: Mechanik - Physik-Institut - Universität Zürich

...
⃗F N + ⃗ G 1N + ⃗ G 2N + ... + ⃗ G N−1N = d⃗p N
dt
Addieren wir diese Gleichungen und beachten dabei, dass nach dem 3. Newtonschen
Prinzip gilt ⃗ G ik = − ⃗ G ki , so folgt
N∑
⃗F i = d N∑
⃗p i ,
i=1
dt
i=1
die inneren Kräfte fallen heraus.
Wir nennen ⃗p = ∑ i ⃗p i den totalen Impuls des Systems, ⃗ F = ∑ i ⃗ F i die resultierende
äussere Kraft, und erhalten dann
den Impulssatz
⃗ F =
d⃗p
dt . (11)
Die auf ein System von Massenpunkten wirkende resultierende äussere
Kraft ist gleich der Änderung des Gesamtimpulses pro Zeiteinheit.
Formal ist der Impulssatz identisch mit dem Reaktionsprinzip für einen Massenpunkt,
weil die inneren Kräfte nicht mehr auftreten. Diese formale Gleichheit lässt sich noch
stärker betonen, wenn wir den Begriff des Schwerpunktes einführen.
✉
z ✻
Der Schwerpunkt S (besser Massenmittelpunkt ) von N Massenpunkten
wird durch das gewichtete Mittel der Ortsvektoren
✉ M
m i ✉ ❡S
✂ ✂✍ ⃗r i ✒ ✉ der Massenpunkte definiert. Der Ortsvektor des Schwerpunktes
ist also
∑ ∑
✂
✉
✲
x ✂ ⃗r
.
S
⃗r s =
i m i ⃗r i i m i ⃗r i
=
✠
y
∑i m i M ,
wobei M = ∑ i m i die Gesamtmasse darstellt. Dann ergibt sich für den Gesamtimpuls
⃗p = ∑ i
⃗p i = ∑ i
m i ⃗v i = ∑ i
m i
d⃗r i
dt = d dt
∑
i
m i ⃗r i = d dt M⃗r s = M d⃗r s
dt = M⃗v s.
⃗v s heisst die Schwerpunktsgeschwindigkeit. Aus dem Impulssatz folgt dann:
der Schwerpunktsatz
⃗a s ist die Schwerpunktsbeschleunigung. In Worten:
∑i ⃗ F i = ⃗ F = M d2 ⃗r
dt 2 = M d⃗v s
dt = M⃗a s (12)
Der Schwerpunkt S eines Systems von Massenpunkten bewegt
sich so, als ob in ihm die gesamte Masse konzentriert wäre und
sämtliche äusseren Kräfte an ihm angreifen würden.
Für allgemeine Punktsysteme gibt der Schwerpunktssatz keine Auskunft über die detaillierte
Bewegung einzelner Teilchen. Er macht nur Aussagen über die Bewegung eines
Punktes, des Schwerpunktes S, der übrigens nicht einmal mit einem Massenpunkt des
Systems zusammenfallen muss (Fig. oben).
Der Schwerpunktssatz rechtfertigt das Konzept des Massenpunktes. Für einen starren
Körper, dessen Moleküle infolge starker interner Kräfte feste Abstände untereinander
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