Physik A Teil 1: Mechanik - Physik-Institut - Universität Zürich

Ein bekanntes Beispiel für eine konservative Kraft ist das Gewicht ⃗ G = m⃗g, allgemein
also eine konstante Kraft. Da die Komponenten von g nicht vom Wege abhängen, ist also
→
m
r 2
r 12
r 1
→
→
→
G=mg →
∫ ⃗r 2 ∫
W 1→2 = m⃗g · d⃗r = m (g x dx + g y dy + g z dz)
⃗r 1
[
]
x∫
2 ∫y 2 ∫z 2
= m g x dx + g y dy + g z dz
x 1 y 1 z 1
= m [g x (x 2 − x 1 ) + g y (y 2 − y 1 ) + g z (z 2 − z 1 )] = m⃗g · (⃗r 2 − ⃗r 1 ) = m⃗g · ⃗r 12
Die Arbeit hängt nur von der Nettoverschiebung ⃗r 12 der Masse ab d.h. nur von den
Endpunkten und nicht vom Weg.
Wie dieses Beispiel zeigt, kann das Linienintegral einer konservativen Kraft als Differenz
zweier skalarer Grössen V (⃗r 2 ) −V (⃗r 1 ) geschrieben werden, die selber Funktionen des
Ortes ⃗r sind. Wir definieren deshalb allgemein:
Ist ⃗ F eine konservative Kraft, so wird definiert durch
∫
W 1→2 = ⃗r 2
⃗r 1
⃗ F · d⃗r
. = − [V (⃗r2 ) − V (⃗r 1 )]
die potentielle Energie V (⃗r).
In differentieller Schreibweise lautet die Definitionsgleichung für die potentielle Energie
−dV = ⃗ F · d⃗r. (29)
Bei gegebenem Kraftfeld ist die potentielle Energie nur bis auf eine willkürliche Konstante
bestimmt, da in der Definitionsgleichung (29) von V (⃗r) nur eine Differenz auftritt. Sobald
irgendeinem Punkt ⃗r ◦ ein bestimmter Wert V (⃗r ◦ ) zugeordnet ist, ist die
potentielle Energie für jedes ⃗r eindeutig durch
V (⃗r) = V (⃗r ◦ ) −
∫⃗r
⃗r ◦
⃗ F · d⃗r
festgelegt. Jedem Raumpunkt ist also sowohl eine vektorielle Grösse, die konservative
Kraft, als auch eine skalare Grösse, die potentielle Energie, zugeordnet.
Wie erhält man aus einem gegebenen skalaren Feld V (⃗r) das vektorielle Feld ⃗ F(⃗r)?
Wenn wir im Raum um d⃗r =⃗idx +⃗jdy + ⃗ kdz fortschreiten, so ändert sich V (⃗r) um
dV = − ⃗ F · d⃗r = −(F x dx + F y dy + F z dz).
Andererseits ist dV das vollständige (oder totale) Differential der Ortsfunktion V (x,y,z)
(anschaulich die maximale Änderung von V im 3-dimensionalen Raum):
dV =
∂V (x,y,z)
dx +
∂x
∂V (x,y,z)
dy +
∂y
∂V (x,y,z)
dz.
∂z
Vergleich der beiden Ausdrücke für dV in kartesischen Koordinaten liefert 42
42 ∂
∂x (bzw. ∂
∂y und ∂ ∂z
) ist die partielle Ableitung nach der Variablen x (bzw. y ,z), alle anderen Variablen
werden konstant gehalten. Die Einführung der partiellen Ableitung ist nötig für die Differentiation
von Funktionen mit mehreren Variablen, hier V (x,y,z).
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