Physik A Teil 1: Mechanik - Physik-Institut - Universität Zürich

mit dem Drehimpulssatz ist ⃗ M ◦ = d⃗ L ◦
dt
= d⃗ L ◦ ′
dt
+ d⃗r ◦
dt × ⃗p + ⃗r ◦ × d⃗p
dt = ⃗ M ◦ ′ + ⃗r ◦ × ∑ i
d⃗p
Da aber gilt
dt = ∑ dL ⃗F i , bleibt davon übrig
⃗ ◦ ′
+ d⃗r ◦
i
dt dt × ⃗p = M ⃗ ◦ ′.
Der Drehimpulssatz gilt in der obigen Form nur, wenn der 2. Zusatzterm verschwindet,
⃗F i .
a) ⃗r ◦ = konst.;
d.h. wenn gilt:
d⃗r ◦
dt = 0
d⃗r ◦
dt
× ⃗p = 0,
also wenn
, d.h. der Bezugspunkt ist raumfest,
b) d⃗r ◦
dt steht parallel zu ⃗p, bzw. zu d⃗r s
dt . Insbesondere kann ⃗r ◦ = ⃗r s sein.
Der Drehimpulssatz gilt in bezug auf jeden raumfesten Punkt,
auf den Schwerpunkt und auf jeden beweglichen Punkt, der die
gleiche Geschwindigkeit wie der Schwerpunkt hat.
9.2 Gleichgewichte starrer Körper
Greifen an einem Körper die äusseren Kräfte ⃗ F 1 , ⃗ F 2 ,... ⃗ F n mit den Angriffspunkten
⃗r 1 ,⃗r 2 ,...⃗r n an, so kann er nur dann in Ruhe sein, d.h. ⃗p = 0 und ⃗ L ◦ = 0, wenn folgende
Gleichgewichtsbedingungen erfüllt sind:
∑
⃗F i = 0
i
und
∑
⃗r i × F ⃗ i = ∑
i
i
⃗M ◦i = 0,
wobei ◦ ein beliebiger Bezugspunkt ist, da im Gleichgewicht alle Punkte in Ruhe, d.h.
raumfest sind.
Für nicht-starre Körper sind diese Bedingungen nur notwendig aber nicht hinreichend
für das Gleichgewicht, da trotz interner Bewegungen der Massenpunkte sowohl ⃗p wie auch
⃗L ◦ verschwinden können.
Beispiele:
a) Bestimmung des Schwerpunktes eines starren Körpers:
F ⃗ ∗
✻
❅
◦ ′ ❅ ◦
S
❅
⃗G
❅ ❄
⃗F ∗
✻
◦
◦
′
S
⃗G
❄
b) Bestimmung des Schwerpunktes eines langen Stabes:
N ✛ x 1✲✛ x 2
1 ✻
✲ N 2
✻
✛ ❡S
✲
A❥
B❥
R 1 R 2
❄G
◦ und ◦ ′ seien zwei Punkte, in denen der Körper
frei drehbar aufgehängt werden kann. Verglichen
werden die beiden möglichen Gleichgewichtslagen.
G muss in der Lotlinie, die entweder durch ◦ oder
◦ ′ geht, liegen, damit die Gleichgewichtsbedingungen
erfüllt sind. S ist damit der Schnittpunkt der
beiden Lotlinien.
Der Stab wird auf zwei bewegliche Lager A und
B aufgelegt. Die beiden Auflager können dann gegeneinander
verschoben werden, ohne dass Kippen
eintritt. Schliesslich treffen sie im Schwerpunkt S
zusammen.
S soll sich nicht in vertikaler Richtung bewegen,
also ist N 1 + N 2 = G.
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