Physik A Teil 1: Mechanik - Physik-Institut - Universität Zürich

p(z+dz)
z
Wird die z-Richtung jetzt nach oben gewählt, so lautet die
Gleichgewichtsbedingung analog zum vorigen Beispiel:
p(z)
dG
p o
p
dp
dz
= −ρ(z)g, (153)
jedoch hängt wegen der starken Kompressierbarkeit der
Gase die Dichte ρ(z) jetzt von z ab.
Nehmen wir an, das Gas habe überall die gleiche Temperatur (isotherm), was für
die Atmosphäre allerdings nur bei kleinen Höhenunterschieden gilt, so besagt das
Gesetz von Boyle-Mariotte aus der Thermodynamik [Gl. (??)]
pV = p m ρ = konst,
wenn m die im Volumen V enthaltene Gasmasse ist. Also gilt
p(z)
ρ(z) = p(o)
ρ(o) = p ◦
,
ρ ◦
und aus Gl. (153) folgt
dp
dz = −gp(z)ρ ◦
p ◦
und
p(z) ∫
∫ z
p ◦
p ◦
dp
p(z) = −ρ ◦g
◦
dz ⇒ p(z) = p ◦ e −ρ◦gz/p◦ isotherme
Barometerformel.
Auf Meereshöhe bei 0 ◦ C hat Luft einen sogenannten Normal- Luftdruck von
p ◦ = 101 325 Pa = 1 Phys. Atmosphäre (Atm) und eine Dichte von
ρ ◦ = 1.29 kg/m 3 . In der Höhe z1
2
= 5480 m beträgt der Druck 0.5 Atm, sofern die
Temperatur überall 0 ◦ C ist (ln 2 = gz1
2
ρ ◦ /p ◦ ). Für kleine Exponenten bei geringen
Höhendifferenzen ergibt die Reihenentwicklung der e-Funktion den Näherungswert
(
p(z) ≈ p ◦ 1 − ρ )
◦gz
= p ◦ − ρ ◦ gz.
p ◦
Für Wasserstoff ist ρ ◦ (H 2 ) = 0.08987 kg/m 3 und z1
2
= 78700 m. Wasserstoff kann
deshalb leichter in den Weltraum entweichen. Sauerstoff 16 O 2 und Stickstoff 14 N 2
müssten deshalb in der Atmosphäre entmischt werden, dem wirkt jedoch die Entropie
entgegen (Kap. ??).
3. Ausströmen von Gas aus vertikalem Rohr
p 1
Gas
p 2
✻p ′ 1
h
❄
✻
h
❄p ′ 2
✻z
0
Luft
Da der barometrische Druckabfall mit der Höhe von der Dichte
ρ ◦ der Gassorte abhängt, ist der Überdruck in einem gasgefüllten
vertikalen Rohr gegenüber der umgebenden Luft
oben und unten verschieden gross. Es seien ρ ◦G und p ◦G Dichte
und Druck des Gases in der Höhe z = 0, die entsprechenden
Werte für die Luft seien ρ ◦L und p ◦L . Benutzen wir den Näherungsausdruck
für die Barometerformel, so sind die Druckunterschiede
an den beiden Öffnungen
∆p 1 = p 1 − p ′ 1 ≈ p ◦G − ρ ◦G gh − p ◦L + ρ ◦L gh = p ◦G − p ◦L − gh (ρ ◦G − ρ ◦L )
∆p 2 = p 2 − p ′ 2 ≈ p ◦G + ρ ◦G gh − p ◦L − ρ ◦L gh = p ◦G − p ◦L + gh (ρ ◦G − ρ ◦L ).
und ihre Differenz ∆p 1 − ∆p 2 ≈ −2ρ ◦G gh + 2ρ ◦L gh = 2gh (ρ ◦L − ρ ◦G ).
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