Physik A Teil 1: Mechanik - Physik-Institut - Universität Zürich

M
ρ + h 2
ρ
= s + ∆s(h 2)
, d.h. 1 + h 2
s
ρ = 1 + ∆s(h 2)
,
s
s
s+∆s
ρ
n
h 2
also
h 2
ρ = ∆s(h 2)
s
somit 98 1
ρ = Fx
2I s E = M B(x)
I s E
= ε(h 2 ) = σ(h 2)
E = σ ◦(x)h 2
E ,
wobei x ≤ l 2 .
Wir suchen jetzt die Gleichung der Biegekurve z(x), wobei x und z die Koordinaten eines
Achsenpunktes sind. Dazu müssen wir zunächst den zugehörigen Krümmungsradius ρ mit
z(x) verknüpfen. Für zwei benachbarte Achsenpunkte gilt
z
α
x
ds ≈ dx
dϕ
ρ
x+dx
x
dϕ = α x+dx − α x ≈ dα dx = dα. (151)
dx
Andererseits gilt
dz
dx
dϕ ≈ dx ρ
und
= tanα ≈ α für|α| ≪ 1),
also
dα = dϕ = dx ρ = d2 z
dx 2dx. Somit folgt aus (151): d 2 z
dx 2 = 1 ρ = Fx
2I s E = M B(x)
I s E .
Aus dieser Differentialgleichung, die für die linke Hälfte des Stabes gilt, erhält man durch
zweimaliges Integrieren (x) = F ( )
x
3
2I s E 6 + C 1x + C 2 ,
wobei sich die Integrationskonstanten aus den Randbedingungen z(0) = 0 (Nullpunkt)
und
dz
∣
dx
∣ x=
l
2
= 0 (Horizontale Tangente) zu C 2 = 0 und C 1 = −l 2 /8
bestimmen. Für x ≤ l lautet demnach die Gleichung der Stabachse
2
z(x) =
F ( ) x
3
4I s E 3 − l2 z
x
.
4
l/2
z ext
l
x
98 durch das Biegemoment M B (x) = Fx/2 ausgedrückt.
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