Physik A Teil 1: Mechanik - Physik-Institut - Universität Zürich

4. Lösen der Bewegungsgleichung für kleine Winkel (ϕ ≪ 1) der tangentialen Bewegung:
d 2 ϕ
dt = −g sin ϕ. Dann ist sin ϕ ≃ ϕ und die Differentialgleichung wird
2 l
d 2 ϕ
dt = −g ϕ. (21)
2 l
Diese Gleichung kann nicht direkt integriert werden, da sie die unbekannte Funktion ϕ(t)
und deren 2. Ableitung enthält. Die Lösung muss so beschaffen sein, dass ihre zweite
Ableitung proportional zur Funktion selber ist. Als mögliche Lösung kommen sin-, cosoder
eine Exponential-Funktion in Frage. Man muss deshalb einen Ansatz 35 machen und
zeigen, dass mit ihm die Differentialgleichung erfüllt werden kann 36 . Wir setzen an:
ϕ
T
ϕ(t) = ϕ ◦ cos(ωt − δ) (22)
ϕο
in Gl. (21): −ϕ ◦ ω 2 cos(ωt−δ) = − g l ϕ ◦ cos(ωt−δ)
δ
ω
t
√ g
und damit ω =
l
(23)
Der Ansatz (22) erfüllt dann und nur dann die Gleichung (21), falls ω, welches die Bedeutung
einer Kreisfrequenz hat, die Bedingung (23) erfüllt. Wir nennen ω die Eigenfrequenz
des Pendels und die Bewegung harmonisch, weil sie durch eine cos-Funktion (oder
sin-Funktion) beschrieben werden kann. ϕ ◦ ist die Amplitude und δ die Phasenkonstante
der Schwingung; beide sind Integrationskonstanten und werden durch die Anfangsbedingungen
festgelegt. Die Schwingungsdauer T ist durch die Bedingung ϕ(t + T) = ϕ(t)
bestimmt. Es muss ωT = 2π gelten und damit ist
T = 2π ω = 1 ν = 2π √
l
g , ν nennt man die Frequenz [ 1
s
5. Mit den Anfangsbedingungen:
( ) dϕ
ϕ(t = 0) = α ◦ ,
dt
t=0
= v ◦
l
wird α ◦ = ϕ ◦ cos δ,
]
.
v ◦
l = ωϕ ◦ sin δ.
35 Jeder Ansatz ist mit genügend Freiheitsgraden richtig, jedoch nur Ansätze, die die Lösung wenigstens
teilweise erraten, führen zu einem gangbaren Lösungsweg. Vgl. auch die Fussnote S.31.
36 Man kann auch mit einem Trick (analog zum Energietrick) die Differentialgleichung (21) lösen, indem
man sie mit 2 · dϕ
dt multipliziert:
˙ϕ 2 + g l ϕ2 = konst 2 ⇒ dϕ
dt = √
c 2 − g l ϕ2
mit
√ (√ )
l g/l
t =
g arcsin ϕ
c
2¨ϕ ˙ϕ + 2g l ˙ϕϕ = 0 ⇒ d dt ( ˙ϕ)2 + g d
l dt (ϕ)2 = 0
∫
Variable separieren ⇒
∫
dx
√
a2 − b 2 x 2 = 1 b arcsin b a x + c
wird
[√ ] √ g g
+ t ◦ ⇒ sin
l (t − t ϕ
◦) =
l c
ϕ(t) = ϕ ◦ sin(ωt − δ), mit ω =
√ g
l , δ = t ◦√ g
l , ϕ ◦ =
sie ist nun integrierbar
∫
dϕ
√
c2 − g = l ϕ2
und damit
√
l
g c
dt = t
und mit den Anfangsbedingungen ϕ(t = 0) = ϕ ◦ , ˙ϕ(t = 0) = 0 ist ˙ϕ(t = 0) = ϕ ◦ ω cos(ωt − δ) = 0
⇒ δ = +π/2 ⇒ ϕ(t) = ϕ ◦ cos ωt in Übereinstimmung mit dem Ergebnis aus dem Ansatz.
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