Physik A Teil 1: Mechanik - Physik-Institut - Universität Zürich

(42) und (43) mit m 2 bzw. m 1 sowie Subtraktion und ⃗ F 12 + ⃗ F 21 = 0 ergibt
m 1 m 2 (¨⃗r 2 − ¨⃗r 1 )
} {{ }
¨⃗r
= m 1F12 ⃗ − m 2F21 ⃗ = (m 1 + m 2 ) ⃗F 12 ⇒ m 1 · m 2
} {{ } m 1 + m
} {{ 2
}
M
µ
¨⃗r = ⃗ F(⃗r) = µ¨⃗r (46)
Diese Gleichung hat die Form des Newtonschen Gesetzes mit der Relativkoordinate ⃗r der
beiden Körper mit der reduzierten Masse µ = m 1 · m 2
m 1 + m 2
(47)
des Systems. Die Lösung der Gleichung (46) beschreibt also das System in den Relativkoordinaten
⃗r. Mit den Gleichungen (44) und (45) können sie in die ursprünglichen Koordinaten
transformiert werden. Ist der Impuls des Schwerpunktes zeitlich konstant und
bewegt sich gleichförmig, kann er für die weitere Behandlung weggelassen werden 50 und
nur die von ⃗r abhängigen Terme der Bewegungsgleichung müssen gelöst werden. Natürlich
muss dabei die spezielle Form von f(r) bekannt sein. Diese Separation der Schwerpunktsund
Relativkoordinaten kann auch in der Quantenmechanik für die nichtrelativistische
Schrödingergleichung exakt gelöst werden, nicht jedoch für die relativistische Dirac Gleichung.
Mit der reduzierten Masse wird das Zweikörperproblem auf ein einfacheres Einkörperproblem
zurückgeführt. Mehrkörperprobleme mit mehr als zwei Massen können nur noch
iterativ näherungsweise mit z.B. S als Koordinatenursprung gelöst werden.
6.2 Konstanz des Drehimpulses
Mit der Gleichung (46) gilt
µ d2 ⃗r
dt 2 = ⃗ F(⃗r) = f(r) · ⃗r.
Da die Zentralkraft ⃗ F = f(r)⃗r in Richtung des Ortsvektors weist ( ⃗ F ‖ ⃗r), übt sie kein
Drehmoment auf den Massenpunkt aus:
⃗ M◦ = d⃗ L ◦
dt
= ⃗r × ⃗ F = 0.
Nach dem Drehimpulssatz folgt dann ohne äussere Kräfte ⃗ L ◦ = konst.
Bei einer Zentralbewegung ist der Drehimpuls konstant.
✡ ϕ ✉m ✲
d
✒ ⃗p =konst
⃗r
❝
Auch für eine gleichförmige Bewegung mit ⃗ F = 0 und ⃗ M ◦ = 0
gilt
d ⃗ L ◦
dt
= ⃗r × ⃗ F = 0 ⇒ ⃗ L ◦ = konst
Impuls und Drehimpuls sind erhalten.
Der Betrag ist | ⃗ L ◦ | = L ◦ = |⃗r × ⃗p| = r · mv · sin ϕ = d · m · v, er hängt von der Wahl des
Bezugspunktes ◦ ab, liegt er auf der Bahn, ist d = 0 und damit ist ⃗ L ◦ = 0.
⃗L ◦ ist also eine Konstante der Bewegung. Da ⃗ L ◦ nach Grösse und Richtung konstant
sein muss, ergeben sich zwei Konsequenzen.
50 Man wählt häufig als Anfangsbedingungen für die Schwerpunktskoordinate d ⃗ R/dt = 0 und ⃗ R = 0,
d.h. ein Inertialsystem, in dem der Schwerpunkt ruht.
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