Physik A Teil 1: Mechanik - Physik-Institut - Universität Zürich

m i
negat. Fluss
m
A
pos. Fluss
Der Feldfluss ist also derselbe für eine zu m i konzentrische
Kugel oder eine beliebige Fläche, er hängt nur von der eingeschlossenen
Masse m i ab. Die gleiche Überlegung führt
zum Schluss, dass der Fluss durch eine beliebige geschlossene
Fläche, welche die Masse m i nicht enthält, verschwindet.
Da der Fluss nur von allen eingeschlossenen Massen
m = ∑ m i abhängt, erhalten wir die Beziehung:
∮
Φ A = ⃗g · dA ⃗ ∮
= g n dA = −4π Γm (32)
A
A
Der Fluss der Gravitationsfeldstärke durch eine
geschlossene Fläche A hängt nur von der eingeschlossenen
Masse m ab, die beliebig innerhalb
der Fläche A angeordnet sein darf.
★✥
✎☞
♣
✍✌
r
✧✦
m1
A
Jetzt wählen wir für m eine kugelsymmetrische Masse m 1 und für A
eine zu m 1 konzentrische Kugel mit dem Radius r:
∮
Φ A = g n dA = −4π Γm 1 .
A
Also gilt:
Aus Symmetriegründen muss g n auf der Kugeloberfläche konstant sein.
Φ A = g n
∫
dA = g n 4π r 2 = −4π Γm 1 . Daraus folgt g n = −Γ m 1
r 2
und damit das Gravitationsgesetz für kugelsymmetrische Massen.
Die Fluss-Regel Gl. (32) ist ein Sonderfall des für jeden Vektor gültigen Satzes von
Gauss der Vektoranalysis. Sie gilt auch für das elektrische Feld (Phys.AII).
4.6 Der Energieerhaltungssatz der Mechanik
Für konservative Kraftfelder ⃗ F gilt ein Energieerhaltungssatz, der direkt aus dem Energiesatz
der Mechanik Gl. (28) folgt, indem wir die von der Kraft ⃗ F geleistete Arbeit der
Änderung der potentiellen Energie gleichsetzen:
T 2 − T 1 = W 1→2 =
∫2
1
⃗F · d⃗r = V 1 − V 2 . Also gilt T 1 + V 1 = T 2 + V 2 .
Da die Punkte 1 und 2 ganz beliebig gewählt werden können, gilt diese Gleichung für alle
Punkte des Feldes. Man nennt deshalb E tot = T + V die totale mechanische Energie
des Massenpunktes im konservativen Kraftfeld. Es gilt also
E tot = T + V = konst der Energieerhaltungssatz 46 . (33)
46 Die Bezeichnung konservativ für ein Kraftfeld bezieht sich auf den Energieerhaltungssatz.
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