Physik A Teil 1: Mechanik - Physik-Institut - Universität Zürich

F x = − ∂V
∂x ;
F y = − ∂V
∂y ;
F z = − ∂V
∂z ,
die Komponenten der Kraft.
Hierfür schreibt man
(
F ⃗ = −gradV = −∇V ⃗ ∂V = −
∂x ⃗ i + ∂V
∂y ⃗ j + ∂V )
∂z ⃗ k
und nennt ⃗ ∇V = ∇V = gradV den Gradienten 43 . Er ist ein Vektor, dessen Komponenten
aus den Ableitungen der skalaren Funktion V gebildet werden. Mit dem Gradienten
V3
V2
V1
.
. .
−∇ . V
.
.
Potentialflache "
.
Feldlinie
F →
lässt sich dV auch als skalares Produkt dV = ⃗ ∇V · d⃗r =
gradV · d⃗r interpretieren. Diese Beziehung liefert eine anschauliche
Bedeutung des Gradienten ⃗ ∇V . Wir denken uns
diejenigen Punkte des Raumes, in denen die potentielle
Energie den gleichen Wert hat, zu einer Äquipotentialfläche
zusammengefasst. Schreitet man auf einer solchen Fläche
V = konst um d⃗r vorwärts, so ist nach Definition dV = 0.
Da aber dV = ⃗ ∇V ·d⃗r, so muss ⃗ ∇V senkrecht auf der Äquipotentialfläche
stehen. Dann erhalten wir aber die grösste
Änderung dV , wenn d⃗r || ⃗ ∇V steht.
Der Gradient gibt also die Richtung der grössten Änderung einer skalaren Ortsfunktion
an; mit andern Worten: die Feldlinien der Kraft schneiden die Äquipotentialflächen unter
einem rechten Winkel.
Schliesslich wollen wir noch eine weitere äquivalente Formulierung für die Bedingung
aufstellen, dass ein Kraftfeld konservativ ist. In der Vektoranalysis wird die Vektoroperation
Rotation durch folgende Gleichung definiert:
rotF ⃗ = ∇ ⃗ × F ⃗ =
∣
⃗i ⃗j ⃗ k
∣ ∣∣∣∣∣∣
∂ ∂ ∂
=⃗i
∂x ∂y ∂z
F x F y F z
( ∂Fz
∂y − ∂F ) (
y ∂Fx
+⃗j
∂z ∂z − ∂F ) (
z
+
∂x
⃗ ∂Fy
k
∂x − ∂F )
x
.
∂y
Da jedoch für ein konservative Kraft ⃗ F = − ⃗ ∇ V ist, so folgt für die x-Komponente
von ⃗ ∇ × ⃗ F:
∂F z
∂y − ∂F y
∂z = ∂ (
− ∂V )
− ∂ (
− ∂V )
= − ∂2 V
∂y ∂z ∂z ∂y ∂y∂z + ∂2 V
∂z∂y = 0 (30)
und entsprechend für die anderen Komponenten. Für die skalare Funktion V können die
partiellen Differentiationen ∂ und ∂ vertauscht werden. Es gilt damit ∇ ⃗ × F ⃗ = 0. Ein
∂x ∂y
Kraftfeld, das diese Bedingung erfüllt, nennt man wirbelfrei. Die Rotation ∇ ⃗ × F ⃗ ist ein
axialer oder Pseudo-Vektor.
43 Der Gradient wird oft und auch in dieser Vorlesung durch den Nabla Operator ∇ dargestellt.
Er hat also Vektorcharakter und kann zum Angewöhnen in der Schreibweise
⃗ ∇ benutzt werden, später wird das Vektorzeichen weggelassen.
∇ . = ∂
∂x ⃗ i + ∂ ∂y ⃗ j + ∂ ∂z ⃗ k
Für den Nabla-Operator gelten damit die bekannten Regeln für das Produkt mit einem Skalar (Gradient
eines skalaren Feldes ⃗ ∇V = ⃗ F ergibt ein Vektorfeld), das Skalarprodukt mit einem Vektor (Divergenz
eines Vektorfeldes ⃗ ∇ · ⃗F ergibt ein skalares Feld) und das Vektorprodukt mit einem Vektor (Rotation
eines Vektorfeldes ⃗ ∇ × ⃗ F ergibt ein Wirbelfeld). Die Schreibweise mit dem Nablaoperator ⃗ ∇ ist koordinatenunabhängig.
Darstellungen in verschiedenen Koordinatensystemen siehe Anhang C.5.
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