Physik A Teil 1: Mechanik - Physik-Institut - Universität Zürich

= 1 {
(
x ◦ e
iω ◦t + e −iω◦t) −i v }
(
◦ e
iω ◦t − e −iω◦t) = x ◦ cosω ◦ t + v ◦
sin ω ◦ t.
2 } {{ } ω ◦ } {{ }
ω ◦
2 cos ω ◦t
2i sin ω ◦t
Dieser jetzt reelle Ausdruck stimmt mit dem Lösungsansatz
x = A cos(ω ◦ t − δ) = A[cos δ cos ω ◦ t + sinδ sin ω ◦ t] überein,
wenn man berücksichtigt, dass gilt x ◦ = A cos δ und
Beide Lösungswege führen, wie es auch sein muss, zum gleichen Ergebnis.
7.2 Der gedämpfte Oszillator
v ◦
ω ◦
= A sin δ.
Wir passen die Bewegungsgleichung unseres Oszillators etwas mehr der Wirklichkeit an,
indem wir noch eine geschwindigkeitsabhängige, viskose Reibungskraft −βdx/dt berücksichtigen
(siehe Seite 23 und Kapitel 3.5). Die Bewegungsgleichung heisst dann
m d2 x
= −kx − βdx
dt2 dt
∼∼∼∼∼ k/2 ⃗F
∼∼∼∼∼ k/2
✻ ⃗N
. (61)
✛
Diese Gleichung kann nicht einfach integriert werden. Die
⃗R ❄ Lösung muss die Eigenschaft haben, dass ihre zweite Ableitung
sowohl der ersten Ableitung wie auch der Funktion
⃗G
✲x
selbst proportional ist.
Wir setzen deshalb eine komplexe Exponentialfunktion als Lösung an:
z = C e rt , (62)
wobei r jetzt einen Real- und einen Imaginärteil hat. Einsetzen von Gl. (62) in Gl. (61),
die zu allen Zeiten erfüllt sein muss, ergibt
mCr 2 e rt = −kC e rt − βCr e rt und mit ω 2 ◦ = k m folgt r2 + β m r + ω2 ◦ = 0, (63)
die charakter. Gleichung (63) hat 2 Lösungen: r 1,2 = − β
2m ± √
β
2
4m 2 − ω2 ◦. (64)
Mit den Abkürzungen
β
2m = 1 √
τ ; und ω◦ 2 − β2
4m = ω, wird r 2 1,2 = − 1 τ
± iω. (65)
Die Bewegungsgleichung hat die beiden Lösungen z 1 = C 1 e r 1t und z 2 = C 2 e r 2t , die beide
für sich Gleichung (61) befriedigen. Da Gl. (61) linear ist, ist ihre allgemeine Lösung
wieder eine Linearkombination von z 1 und z 2 :
z = z 1 + z 2 = C 1 e r 1t + C 2 e r 2t . (66)
Die Integrationskonstanten C 1 und C 2 werden mit Gl. (66) (wie im vorigen Abschnitt)
durch die Anfangsbedingungen festgelegt:
( ) dx
x(t = 0) = x ◦ und = v ◦ ⇒ x ◦ = C 1 + C 2 und v ◦ = C 1 r 1 + C 2 r 2 ,
dt
t=0
⇒ C 1 = v ◦ − x ◦ r 2
r 1 − r 2
und C 2 = − v ◦ − x ◦ r 1
r 1 − r 2
66