Physik A Teil 1: Mechanik - Physik-Institut - Universität Zürich

und mit Gl. (83) ist
0 = A h cos(δ h ) + A p cos δ, 0 = −A h
1
τ cosδ h + A h
√
ω 2 ◦ − (1/τ) 2 sin δ h + A p ω sin δ
und damit A h = −A p
cos δ
cos δ h
,
tanδ h = β
2m
[ ]
1 + 2ω2 √
/ ω
ω◦ 2 − ω 2 2 ◦ − (1/τ) 2
Drei Beispiele mit ω ≪ ω ◦ , ω = ω ◦ und ω ≫ ω ◦ sind in den Figuren dargestellt.
Mit starker Dämpfung sowie für die kritische Dämpfung müssen die Integrationskonstanten
analog aus den Anfangsbedingungen festgelegt werden.
2 x(t) ω = 0.15 ω ο ,
1
1/τ=0.1
40 x(t)
ω=ω ο
1/τ=0.015
0.2
x(t)
ω = 3 ω ο ,
1/τ=0.1
0
0
0.0
-1
-2
0 50 100
t
-40
0 100 200 300
t
-0.2
0 50 100
t
7.4.2 Energiebilanz bei erzwungener Schwingung und Resonanz †
[vgl. Brandt, Dahmen S.282] Die Bewegungsgleichung der erzwungenen Schwingung mit
Reibung β⃗v sowie ω 2 ◦ = k/m und der potentiellen Energie der Feder V = 1 2 kx2 = ∫ x
0 kxdx
ist
d 2 x
dt + β dx
2 m dt + ω2 ◦x − F(t)
m = 0
∣ ∣∣ · dx
dt m
⎛
d
⎝ m
dt 2
m dx d 2 x
+β
} dt {{ dt 2 }
( ) ⎞ 2
dx
⎠ = d dt dt T
( ) 2
dx
+ mω 2
dt
◦x dx
} {{ dt}
( mω
2
◦
d
dt
− dx
dt F(t) = 0
)
2 x2 = d dt V
⇒ d ( ) 2
dx
dt (T + V ) = −β + F(t) dx
dt dt = dE
dt ; E = T + V Gesamtenergie
Die zeitliche Änderung der Gesamtenergie ist bestimmt durch die negativen Reibungsverluste
und die positive aufgenommene Energie.
Die Änderung der Gesamtenergie über eine Periode ist:
E(t + T) − E(t) =
t+T ∫
t
dE
dt ′ dt′ =
t+T ∫
t
[
−βẋ 2 + F(t ′ )ẋ ] dt ′
Im stationären Gleichgewichtszustand des eingeschwungenen Systems ist
E(t + T) = E(t)
und damit
t+T ∫
βẋ 2 dt ′ =
t+T ∫
F(t ′ )ẋdt ′ = ¯P · T (84)
t
t
hierbei ist ¯P die mittlere Verlustleistung, die von aussen zugeführte Energie wird
vollständig in Reibungswärme umgewandelt. Es gilt mit dem komplexen Ansatz
z(t) = C e −iωt = |C| e −i(ωt−δ) = |C|[cos(ωt − δ) − i sin(ωt − δ)] mit C = |C| e iδ komplex,
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