Physik A Teil 1: Mechanik - Physik-Institut - Universität Zürich

τ = η dv
dz
Newtonsches Reibungsgesetz
τ
[ N
m 2 ]
Die Proportionalitätskonstante η heisst Zähigkeit oder Viskosität. Ihre Dimension ist
[η] = Ns = Pascal·s. (Für die noch häufig gebrauchte cgs-System-Einheit Poise gilt die
m 2
η
Flussigkeit "
T
Umrechnung 1 Poise = 0.1 Pascalsekunde.)
In einer realen Flüssigkeit existieren neben dem bislang
allein betrachteten Druck, d.h. der Normalspannung, auch
Tangential- oder Schubspannungen. Die Viskosität ist stark
temperaturabhängig.
Während bei Flüssigkeiten die Kraftwirkung benachbarter
η
Gas
Schichten mit steigender Temperatur abnimmt, beruht die
Zunahme von η bei Gasen darauf, dass hier die innere Reibung
eine andere Ursache hat, nämlich die Diffusion zwischen
benachbarten Gasschichten. Wenn Gasteilchen aus
T
einer schnelleren Schicht in eine langsame übertreten, so erhöhen sie den Impuls der
langsameren Schicht, so dass sich die Geschwindigkeiten beider Schichten angleichen. Da
die mittlere Gasgeschwindigkeit ¯v ∼ √ Temperatur ist (Kap. ??), wächst η mit der
Temperatur.
Viskosität
Für wichtige Stoffe wie Wasser und Luft ist η relativ klein,
η [Pascal s]
20 ◦ so dass bei kleinem dv/dz auch die Schubspannungen gering
sind und die Substanz als nahezu reibungsfrei angese-
, 1 bar
Luft 1.83 ·10 −5
H 2 O 1.00 ·10 −3 hen werden kann. Dieses Argument gilt jedoch nicht mehr
Hg 1.56 ·10 −3 für die Grenzschicht, wo grosse Gradienten dv/dz und somit
beträchtliche Schubspannungen auftreten. Hier muss
Pech ∼ 10 7 die Reibung immer berücksichtigt werden.
Wir benutzen das Newtonsche Reibungsgesetz zur Berechnung der Geschwindigkeitsverteilung
und der Durchflussmenge einer zähen, inkompressiblen (ρ = konst.)
Flüssigkeit, die laminar durch ein Rohr mit kreisförmigem Querschnitt strömt
(Hagen-Poiseuille-Strömung). Wir denken uns die Flüssigkeit in konzentrische Hohlzylinder
von jeweils infinitesimal kleiner Wandstärke dr zerlegt. Ist die Strömung stationär,
so muss die Summe der Kräfte, die auf einen Hohlzylinder wirken, verschwinden.
Diese Kräfte sind einmal die Druckkraft (p 1 − p 2 )2πrdr infolge des Druckunterschiedes
zwischen Anfang und Ende des Zylinders und dann die Schubspannungskräfte τ, welche
die benachbarten Zylinder ausüben. Vernachlässigen wir das Gewicht, so gilt im Gleichgewicht
(p 1 − p 2 )2πrdr + 2πl(τr) r+dr − 2πl(τr) r = 0,
R dr τ(r+dr)
p 1 p r τ(r)
2
oder
− (p 1 − p 2 ) r l dr = d dr (τr)dr.
Integriert ergibt dies
τr = −(p 1 − p 2 ) r2
2l + C 1.
Aus Symmetriegründen ist die Randbedingung der Differentialgleichung dv (r = 0) = 0,
dr
d.h. nach dem Newtonschen Reibungsgesetz τ(r = 0) = 0, und damit C 1 = 0.
Dann wird
dv
dr = τ η = −(p 1 − p 2 ) r
2lη . Also:
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v(r) = −(p 1 − p 2 ) r2
4lη + C 2.