Physik A Teil 1: Mechanik - Physik-Institut - Universität Zürich

C Mathematische Hilfsmittel
C.1 Mathematische Formelsammlung
C.1.1
r
✚α
✚✚✚✚✚
x
Trigonometrie
y
sin(α ± β) = sinα cos β ± cos α sin β,
sin α = y/r csc = r/y
cos α = x/r sec = r/x
tan α = y/x cot = x/y
sin 2 α + cos 2 α = 1
cos(α ± β) = cosα cos β ∓ sin α sin β
sin α ± sin β=2 sin ( ) ( )
α±β
2 cos α∓β
2
cos α + cos β=2 cos ( ) ( )
α+β
2 cos α−β
2
cosα − cos β=2 sin ( ) ( )
α+β
2 sin α−β
2
a cos α + b sin α=A · sin(α + δ), A = √ a 2 + b 2 , tanδ = a oder
b
a cos α + b sin α=A · cos(α − δ ′ ), A = √ a 2 + b 2 , tanδ ′ = b a
C.1.2
Komplexe Zahlen
✻I{z}
z = a + ib = ρ exp(iϕ) = ρ e iϕ = ρ (cos ϕ + i sin ϕ)
ρ = √ a 2 + b 2 = |z|, tanϕ = b/a, z n = ρ n e iϕ/n , √ z = √ ρ e iϕ/2
da | e iϕ | 2 = e iϕ · e −iϕ = e 0 = 1 liegt e iϕ auf dem Einheitskreis.
b
✬✩
i
ρ z Geometrische Deutung: R{z} = ρ cos ϕ, I{z} = ρ sin ϕ
✚ ✚✚✚❃ ϕ ✲ ⇒ exp(iϕ) = cosϕ + i sin ϕ, exp(−iϕ) = cosϕ − i sin ϕ ⇒
−1 1 a
✫✪R{z}
exp(iϕ) + exp(−iϕ)
−i cos ϕ = = a exp(iϕ) − exp(−iϕ)
, sin ϕ = = b 2 ρ 2i ρ
exp(iπ/2) = e iπ/2 = i, exp(iπ) = e iπ √
= −1,
z n = ρ n e inϕ = ρ n √
(cosnϕ + i sin nϕ), z = ρ e iϕ/2 ,
¯z = a − ib ist das konjugiert komplexe (auch z ∗ ) zu z = a + ib,
Betrag |z| = √ z¯z = √ a 2 + b 2
C.1.3
Hyperbolische Funktionen
sinh x = exp(x)−exp(−x) , cosh x = exp(x)+exp(−x)
2 2
sinh 2 x − cosh 2 x = −1, tanhx = sinh x
cosh x
C.1.4
Inverse Funktionen
sin[arcsin(x)] = x, cos[arccos(x)] = x, sinh[arcsinh(x)] = x, cosh[arccos(x)] = x
ln[exp(x)] = x etc.
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