Physik A Teil 1: Mechanik - Physik-Institut - Universität Zürich

Damit ist als Lösung der Gl. (66): z = v ◦ − x ◦ r 2
e (− 1 τ +iω)t − v ◦ − x ◦ r 1
e (− 1 τ −iω)t oder
r 1 − r 2 r 1 − r 2
{
mit Gl. (65) r 1 −r 2 = 2iω : z = e − t v◦ − x ◦ (− 1 − iω)
τ
τ
e iωt − v ◦ − x ◦ (− 1 + iω) }
τ
e −iωt
2iω
2iω
mit
= 1 2 e− t τ
{[
und schliesslich
B = x ◦ − i v ◦ + x◦
τ
ω
x ◦ − i v ◦ + x◦
τ
ω
]
e iωt +
[
z(t) = 1 2 e− t τ
und ω =
√
x ◦ + i v ◦ + x◦
τ
ω
]
e −iωt }
{
B e iωt + B ∗ e −iωt} (67)
ω 2 ◦ − β2
4m 2
sowie
1
τ = β
2m .
Die Faktoren B und B ∗ sind zueinander konjugiert komplex (2 Integrationskonstanten).
Bei der physikalischen Interpretation dieses Ergebnisses sind je nach Grösse der Reibungskonstanten
β drei Fälle zu unterscheiden:
1. Fall:
2. Fall:
3. Fall:
β 2
4m 2 < ω 2 ◦, d.h. ω ist reell, schwache Dämpfung,
β 2
> ω
4m ◦, 2 d.h. ω ist imaginär, starke Dämpfung,
2
β 2
= ω
4m ◦, 2 ω = 0 kritische Dämpfung.
2
7.2.1 1. Fall: schwache Dämpfung
Wir schreiben die komplexen Amplituden B und B ∗ in Gleichung (67) in der Form
R: Realteil
B = A e iδ und B ∗ = A e −iδ ,
(
I: Imaginärteil
I ✻
so dass A 2 = x 2 v◦ + x◦
τ
◦ +
ω
Dann erhalten wir als Lösung
A
✑ ✑✑✑✑✑✑♣ δ ✲ z(t) = A [ 2 e−t/τ e i(ωt+δ) + e −i(ωt+δ)] = A e −t/τ cos(ωt + δ)
R
⎛ √
z(t) = A e −βt/2m cos ⎝t ·
) 2
und cos δ = x ◦
A . (68)
oder
ω 2 ◦ − β2
4m 2 + δ ⎞
⎠ . (69)
Diese Gleichung ähnelt der Schwingungsgleichung des ungedämpften Oszillators β → 0.
x(t)
Ae -t/τ
-Ae -t/τ
x(t=0)=xo
v(t=0)=0
t
Mit β > 0 nimmt die Amplitude mit der Zeit exponentiell
ab. Obwohl nur im Falle einer reinen sin- oder
cos-Funktion von einer definierten Frequenz gesprochen
werden kann, nennt man doch ω die Kreisfrequenz
dieser gedämpften Schwingung. ω ist kleiner
als die Frequenz ω ◦ des ungedämpften Oszillators.
Die Nullstellen von x(t) haben gleiche Abstände
T = 2π/ω, jedoch liegen die Extrema nicht mehr wie
bei der ungedämpften Schwingung in der Mitte zwischen
diesen Nullstellen.
67