Physik A Teil 1: Mechanik - Physik-Institut - Universität Zürich

Der Operator d dt von Gl.(88) auf d r⃗r r
dt
⃗a F =
⇒
angewandt:
d
dt
( )
dr ⃗r r
= d r
dt dt
⃗a = d⃗v ◦
dt + d⃗ω
dt × ⃗r r + ⃗ω × d⃗r r
dt + d2 r⃗r r
dt + ⃗ω × d r⃗r r
2 dt
und mit Gl.(88) ⃗a = d⃗v ◦
dt + d⃗ω
dt × ⃗r r + ⃗ω × d r⃗r r
dt
⃗a = d⃗v ◦
dt + d⃗ω
dt × ⃗r r + ⃗ω × (⃗ω × ⃗r r )
} {{ }
⃗a F
( )
dr ⃗r r
+ ⃗ω × d r⃗r r
dt dt
+ ⃗ω × (⃗ω × ⃗r r ) + d2 r⃗r r
dt + ⃗ω × d r⃗r r
2 dt
+ 2 · ⃗ω × d r⃗r r
+ d2 r⃗r r
(89)
} {{ dt } } dt {{ 2 }
⃗a = ⃗a F
+ ⃗a C
+ ⃗a r
kann identifiziert werden zu ⃗a F = d⃗v F
∣
dt
= d ⃗vr= dr⃗rr
dt =0 dt [⃗v ◦ + ⃗ω × ⃗r r ] ∣ ∣⃗vr=0 =
]
[ d⃗v◦
dt + d⃗ω
dt × ⃗r r + ⃗ω × d⃗r ] [
r d⃗v◦
=
dt
⃗v r=0
dt + d⃗ω
dt × ⃗r r + ⃗ω × d r⃗r r
dt
und damit wird mit ⃗v r = d r⃗r r
dt
+ ⃗ω × (⃗ω × ⃗r r )
⃗v r=0
= 0 ⃗a F = d⃗v ◦
dt + d⃗ω
dt × ⃗r r + ⃗ω × (⃗ω × ⃗r r ) (90)
⃗a = ⃗a F +⃗a r + 2 · ⃗ω × ⃗v r = ⃗a F +⃗a r +⃗a C (91)
⃗a C = 2 · ⃗ω × ⃗v r die Coriolisbeschleunigung (92)
Eine Coriolisbeschleunigung⃗a C tritt nur dann auf, wenn das bewegte System eine Drehung
⃗ω ausführt und der Massenpunkt eine Relativgeschwindigkeit ⃗v r ≠ 0 hat sowie ⃗v r nicht
parallel zu ⃗ω liegt. ⃗a r ist die Relativbeschleunigung und ⃗a F die Führungsbeschleunigung.
8.3 Die Dynamik in einem bewegten Bezugssystem
Das Aktionsprinzip der Bewegung eines Körpers mit der Masse m im System S ist
m⃗a =
n∑
⃗F i = F ⃗
i=1
mit ⃗ F den resultierenden äusseren Kräften.
Dann gilt auch mit Gl.(91) m⃗a = m(⃗a r +⃗a F +⃗a C ) = ⃗ F.
Ein in S r mitbewegter Beobachter registriert nur die Relativbeschleunigung ⃗a r und findet
deshalb für das Aktionsprinzip m⃗a r = ⃗ F − m⃗a F − m⃗a C
und mit − m⃗a F = ⃗ Z sowie − m⃗a C = −2 · m(⃗ω × ⃗v r ) = ⃗ C = 2 · m(⃗v r × ⃗ω)
⇒ m⃗a r = ⃗ F + ⃗ Z + ⃗ C das Aktionsprinzip im bewegten System. (93)
⃗Z die Führungskraft, in der die Zentrifugalkraft −m⃗ω×(⃗ω×⃗r r ) enthalten ist, und ⃗ C die
Corioliskraft haben die Dimension einer Kraft; sie sind in S keine wahrhaft existierenden
Kräfte sondern Schein- oder Trägheitskräfte, die ein bewegter Beobachter als Korrektur in
die Newtonsche Bewegungsgleichung einführen muss, wenn er dort an Stelle der Beschleunigung
⃗a die Relativbeschleunigung ⃗a r einsetzt. Sie haben keine Reaktionskräfte. Obwohl
sie nur Schein- oder Trägheitskräfte sind, existieren sie als reale Kraft im bewegten System
S r . Ein beschleunigtes Bezugssystem ist kein in sich abgeschlossenes Inertialsystem,
es müssen von aussen Kräfte wirken, um das System mit Massen zu beschleunigen.
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