Physik A Teil 1: Mechanik - Physik-Institut - Universität Zürich

8.4.5 Gleichförmig rotierendes System S r
Die translatorische Bewegung verschwindet. Wir behandeln verschiedene Experimente auf
dem Drehtisch.
a) Ein Massenpunkt m sei auf einer mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ⃗ω sich drehenden,
horizontalen Unterlage durch eine Feder mit der Drehachse verbunden. m
sei relativ zur Unterlage in Ruhe. Es herrscht scheinbares Gleichgewicht. Im ruhenden
System beschreibt m eine Kreisbahn. Die wahren Kräfte sind, wenn keine
Reibungen vorhanden sind
✻ ⃗ω
G = N und F F = m v2
r = mr rω 2 .
Ein mitbewegter Beobachter hat eine Scheinkraft einzuführen,
um die relative Ruhe erklären zu können. Es
⃗N ⃗r r ✲
∼∼∼∼∼ ✛
✻ ✉ ✲ Z ⃗ ist
⃗F F ❄⃗G
⃗v F = ⃗ω × ⃗r r , ⃗v r = 0, also C ⃗ = 0
sowie ˙⃗v ◦ = 0 und d⃗ω
dt
= 0 und die Führungskraft ist:
⃗Z = −m⃗a F = −m[⃗ω × (⃗ω × ⃗r r )] die Zentrifugalkraft. (94)
Der Betrag der Zentrifugalkraft ist mit ⃗ω ⊥ ⃗r r Z = mr r ω 2 . ⃗ Z und ⃗ F F erfüllen die
Gleichgewichtsbedingung im beschleunigten Relativsystem.
b) Vom Ursprung des ruhenden Systems S bewegt sich eine Masse m mit konstanter
Geschwindigkeit v ◦ , es wirken keine äusseren Kräfte. Der Beobachter in S r sieht
eine spiralförmig nach aussen bewegte Masse, für die die Geschwindigkeit direkt
angegeben werden kann mit den Komponenten in Polarkoordinaten v rr = drrr = v
dt ◦
d
und v rϕ = r rϕ r r = −ωr
dt r sowie nach einfacher Integration für die Ortskoordinaten
r r = v ◦ t und ϕ r = −ωt. Nach Gl.(93) gilt für ihn das Aktionsprinzip
m⃗a r = ⃗ Z + ⃗ C = −m⃗a F − m⃗a C = −m · ⃗ω × (⃗ω × ⃗r r ) − 2m · ⃗ω × ⃗v r ,
d.h. er beobachtet eine Zentrifugalkraft und eine Corioliskraft 62 . Die Corioliskraft
sucht die Richtung der Geschwindigkeit dauernd zu ändern ohne den Betrag zu
beeinflussen, wie dies auf der Erde bei den Monsunen, Passatwinden und dem Golfstrom
auch beobachtet wird. Versucht der Beobachter in S r die Masse festzuhalten,
dann muss er eine Reaktionskraft zu ⃗ Z + ⃗ C aufbringen.
c) Relatives Gleichgewicht eines Schwerelots auf dem Drehtisch
62 Setzt man die oben gefundene Lösung r r = v ◦ t und ϕ r = −ωt in die allgemeinen Gleichungen für die
Beschleunigung in Polarkoordinaten ein
a rr = d2 rr r
dt 2 − r r
( ) 2 dr ϕ r
= −r r ω 2 d 2
und a rϕ = r
rϕ r
r
dt
dt 2 + 2dr r d r ϕ r
dt dt
= −2v ◦ ω
dann erhält man in Übereinstimmung die oben angegebene Zentrifugal- und Coriolisbeschleunigung.
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