Physik A Teil 1: Mechanik - Physik-Institut - Universität Zürich

Weil die Grenzschicht haftet, gilt v(R) = 0. Also wird
C 2 = (p 1 − p 2 ) R2
4lη
und folglich v(r) = p 1 − p 2
4lη (R2 − r 2 )
v →
Die Geschwindigkeitsverteilung ist parabolisch. Die maximale
Geschwindigkeit wird auf der Rohrachse gemessen,
sie hat den Wert v max = (p 1 − p 2 )
R 2 .
4ηl
Die pro Zeiteinheit durch einen Rohrquerschnitt fliessende, inkompressible (ρ = konst.)
Flüssigkeitsmenge Q [ kg
s ] ist
Q =
∫R
0
2πrv(r)ρdr = 2πρ(p 1 − p 2 )
4ηl
∫R
0
(R 2 r − r 3 )dr = πρ(p 1 − p 2 )
2ηl
[ R 2 r 2
2
]∣ ∣∣∣∣
− r4
R
.
4
0
Damit folgt das Q = πρ(p 1 − p 2 )R 4
. Hagen-Poiseuille-Gesetz.
8ηl
Die gute experimentelle Bestätigung dieses Gesetzes bedeutet, dass die Annahme einer
haftenden Grenzschicht zu Recht besteht.
12.5 Viskose Widerstände und Reynoldsche Zahl
Aus dem Hagen-Poiseuille-Gesetz folgt als mittlere Durchflussgeschwindigkeit
¯v = 1 ∫R
v(r) · 2πr dr = (p 1 − p 2 )R 2
πR 2 8ηl
0
= Q
πR 2 ρ
und als Druckkraft F,
die vom Druckunterschied p 1 − p 2 herrührt, F = (p 1 − p 2 )πR 2 = 8πηl¯v.
Da die Flüssigkeit nicht beschleunigt wird, muss eine entgegengesetzte Kraft W v wirken,
die das Rohr auf die Flüssigkeit ausübt. Dieser viskose Widerstand hat also den
Betrag
W v = 8πηl¯v Hagen-Poiseuile- Widerstand in einem Rohr. (162)
Das gleiche Ergebnis erhält man natürlich, wenn man 2πRlτ(R) mit dem Wert für
τ(R) = |p 1 − p 2 |R/2l aus Kapitel 12.4 berechnet.
Eine weitere Widerstandsformel stammt von Stokes. Bewegt sich eine Kugel vom Radius
r in einer viskosen Flüssigkeit, wobei diese die Kugel laminar umströmt, so erfährt
die Kugel einen viskosen Widerstand
W v = 6πηr¯v Stokes-Widerstand einer Kugel. (163)
Für turbulente Strömungen bei höheren Geschwindigkeiten, bei denen das Hagen-
Poiseuillesche Gesetz nicht mehr gilt und die Geschwindigkeitsverteilung in einem Rohr
nahezu rechteckig ist, kommt zu dem reinen laminaren Reibungswiderstand noch der
Druck- oder Wirbelwiderstand durch die Erzeugung und Ablösung von Wirbeln. Dieser
Druckwiderstand ist proportional zum Staudruck ρ 2 v2 , die zu leistende Arbeit ist in der
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