Physik A Teil 1: Mechanik - Physik-Institut - Universität Zürich

9.3 Drehimpuls- und Schwerpunktssatz für die ebene Bewegung
starrer Körper
Bei einer ebenen Bewegung bewegen sich alle Massenpunkte
y
y s
S ϕ
parallel zu einer Ebene, z.B. (x, y)-Ebene. Es gilt für alle:
v iz = 0. Die Zahl der Freiheitsgrade beträgt 3, nämlich z.B.
2 Koordinaten des Schwerpunktes und ein Drehwinkel ϕ für
die Drehung um die z-Achse durch S. Wir interessieren uns
daher nur für die x- und y-Komponenten der Kräfte, welche
die x- und y-Bewegung des Schwerpunktes beschreiben
x s x und die z-Komponente der Drehimpulsänderung ergeben.
Man beachte, dass L x als auch L y von Null verschieden sind und sich auch ändern
können. Sie interessieren uns aber nicht, weil Führungskräfte dafür sorgen, dass die Bewegung
eben bleibt, d.h. v iz = 0.
Wir brauchen also die x- und y-Komponente der Vektorgleichung des Schwerpunktssatzes
und die z-Komponente des auf den Schwerpunkt bezogenen Drehimpulssatzes.
Während der Schwerpunktssatz direkt aus Kapitel 9.1 übernommen
werden kann, lässt sich die z-Komponente des Drehimpulssatzes
→ → →
ω r v
noch in eine spezielle, nur bei der ebenen Bewegung gülti-
S →
v s
gen Form bringen. Dazu berechnen wir zunächst
∫
∫
L sz = [⃗r ′ × ⃗v ′ ] z dM = [⃗r ′ × (⃗ω × ⃗r ′ )] z dM.
dM
ω
F → →
Da ⃗ω = ω ⃗ k, gilt ⃗ω × ⃗r ′ = −ωy ′ ⃗i + ωx ′ ⃗j
[
und somit r ⃗ ′ × ( ⃗ω × ⃗r
)]z ′ = ω ( x ′2 + y ′ 2 )
y
→
r
d
Damit wird L sz = ω
∫ (x ′2 + y ′ 2 ) dM. (109)
y s
x s
S
x
Es ist d 2 = x ′2 + y ′2 die kürzeste Entfernung, also
der Abstand des Massenelements dM von der durch
S führenden Drehachse. Wir definieren deshalb
I s
. =
∫
d 2 dM das Trägheitsmoment (110)
des Körpers bezüglich der Drehachse durch S. I s ist ein Geometriefaktor, der für
einen homogenen Körper von dessen Form und der Lage der Drehachse bezüglich des
Körpers abhängt. Mit Gl. (110) wird 74 aus Gl. (109)
L sz = I s ω = I s · dϕ
dt
z-Komponente des Drehimpulses bei ebenen Bewegungen.
(111)
74 In Analogie zum Impuls p z = m · v z .
Vorsicht: Die Gleichung (111) gilt nur für die starre z-Komponente. In einer allgemeinen Vektorform von
Gl. (111) ⃗ L s = I s ⃗ω ist das Trägheitsmoment I ein Tensor und ⃗ L s steht i.a. nicht parallel zu ⃗ω (vgl.
Kap.9.8.1).
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