Physik A Teil 1: Mechanik - Physik-Institut - Universität Zürich

5 Der Drehimpulssatz für ein System von Massenpunkten
Neben dem Schwerpunktssatz lässt sich noch ein weiteres fundamentales Gesetz der Mechanik
zur Beschreibung der Bewegung eines Systems von Massenpunkten herleiten, der
Drehimpuls- oder Drallsatz. Er wird seine Nützlichkeit in solchen physikalischen Problemen
erweisen, in denen ein Punkt des Raumes vor anderen ausgezeichnet ist.
Wir müssen zunächst zwei neue Begriffe einführen. Wenn ein Massenpunkt m mit
Impuls ⃗p durch den Ortsvektor ⃗r beschrieben wird und auf
→
p
m eine Kraft F ⃗ wirkt, so definieren wir in einem Bezugssystem
als
α
→
m
L
→ o
→ Drehimpuls: ⃗ . L◦ = ⃗r × ⃗p auch Drall genannt (38)
p . . r
Drehmoment: M◦ ⃗ . = ⃗r × F. ⃗ (39)
⃗r, ⃗p und ⃗ L ◦ wie auch ⃗r, ⃗ F und ⃗ M ◦ bilden je ein Rechtssystem.
Die Beträge von L ◦ und M ◦ werden durch
m
L
→
◦ = r · p · sin α, α = ̸ (⃗r, ⃗p)
→ r
M o
. .
→
und M ◦ = r · F · sin β, β = ̸ (⃗r, F) ⃗
β F
festgelegt. Der Index ◦ soll andeuten, dass diese Grössen
bezüglich eines gemeinsamen Bezugspunktes ◦ definiert
werden. M◦ ⃗ und L ⃗ ◦ sind axiale Vektoren.
Der Drehimpulssatz formuliert den Zusammenhang zwischen M ⃗ und der zeitlichen
Änderung von L. ⃗ Zur Herleitung dieses Satzes gehen wir von den gleichen Voraussetzungen
aus wie im Kapitel 2.3 Seite 15. Wir denken uns jede der dort aufgestellten N
Bewegungsgleichungen der N Massenpunkte mit dem entsprechenden Ortsvektor ⃗r i des
Massenpunktes vektoriell multipliziert. Wir erhalten:
m i ✉
✁ ✁✕ ❅ ⃗G ki ⃗r 1 × F
❅❅■
⃗ 1 + ⃗r 1 × G ⃗ 21 + ⃗r 1 × G ⃗ 31 + ... + ⃗r 1 × G ⃗ N 1 = ⃗r 1 × d⃗p 1
❅ dt
✁ ❅❘
❅
✁
❅
✁ ⃗r ❅■ G ⃗ ik ⃗r 2 × F ⃗ 2 + ⃗r 2 × G ⃗ 12 + ⃗r 2 × G ⃗ 32 + ... + ⃗r 2 × G ⃗ N 2 = ⃗r 2 × d⃗p 2
ki
⃗r ❅
dt
i ✁
✘ ✘✘✘ ✘✘✿ ✉
✁ ✁ ❅
...
m k
❝✘ ✁ ✘✘✘✘ ⃗r k ⃗r N × F ⃗ N +⃗r N × G ⃗ 1 N +⃗r N × G ⃗ 2 N +...+⃗r N × G ⃗ N−1 N = ⃗r N × d⃗p N
dt .
Addieren wir diese Gleichungen, so treten paarweise Terme der folgenden Form auf
⃗r k × ⃗ G ik und ⃗r i × ⃗ G ki . Da aber gilt ⃗r i = ⃗r k +⃗r ki und nach dem Reaktionsprinzip ⃗ G ik = − ⃗ G ki ,
so folgt ⃗r i × ⃗ G ki = (⃗r k +⃗r ki )× ⃗ G ki = ⃗r k × ⃗ G ki +⃗r ki × ⃗ G ki = −⃗r k × ⃗ G ik mit ⃗r ki × ⃗ G ki = 0
In der obigen Summe heben sich also sämtliche Terme mit den inneren Kräften auf.
Wie beim Schwerpunktssatz beruht dieses Ergebnis auf der Gültigkeit des Reaktionsprinzips.
Zur Behandlung der Terme der rechten Seite nehmen wir noch an, dass die ⃗ G ik
Zentralkräfte sind (siehe Seite 18), also in Richtung des Vektors ⃗r ki zeigen.
Bilden wir
d
dt (⃗r i × ⃗p i ) = d⃗r i
dt × ⃗p i + ⃗r i × d⃗p i
dt = ⃗r i × d⃗p i
dt ,
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