Physik A Teil 1: Mechanik - Physik-Institut - Universität Zürich

9 Dynamik des starren Körpers
Bei der Mehrzahl der von uns bislang behandelten mechanischen Probleme haben wir uns
nur für die translatorische Bewegung der Körper interessiert. Zur Lösung verwendeten
wir die Newtonschen Prinzipien bzw. den Schwerpunktssatz. Der Drehimpulssatz kam
nur bei der Zentralfeldbewegung ins Spiel. Jetzt wollen wir auch Rotationen untersuchen
und uns der Einfachheit halber zunächst auf starre Körper beschränken. In ihnen sind
die relativen Abstände der Atome und Moleküle konstant.
9.1 Bedeutung von Schwerpunkts- und Drehimpulssatz starrer
Körper
Bei der Behandlung der Relativbewegungen haben wir in Kapitel 8.2 gezeigt, dass der
allgemeine Bewegungszustand eines starren Körpers die Superposition einer Translation
und einer Rotation ist. Zur Beschreibung dieser allgemeinen Bewegung muss man die
Bahngeschwindigkeit ⃗v ◦ eines speziellen Punktes, z.B. des Schwerpunktes, und die Winkelgeschwindigkeit
⃗ω kennen. Diese beiden Vektoren haben zusammen 6 Komponenten,
die Zahl der Freiheitsgrade eines starren Körpers ist also sechs. Dies ist in folgender Weise
einzusehen. Die Lage aller Punkte ist bestimmt, wenn 3 Punkte festgelegt sind, d.h. durch
9 skalare Zahlenangaben. Da aber die Abstände der 3 Punkte untereinander fest vorgegeben
sind, ist die Zahl der Freiheitsgrade 9 - 3 = 6. Diese Freiheitsgrade werden vollständig
erfasst durch die 3 skalaren Gleichungen des Schwerpunktssatzes (zur Berechnung von ⃗v ◦ )
und die 3 Gleichungen des Drehimpulssatzes (für ⃗ω).
Da die Anzahl der Atome in einem makroskopischen
Körper sehr gross ist, darf man die Masse als kontinuierlich
verteilt ansehen. Anstelle der Atome übernehmen klei-
z
F →
S
ne Massenelemente dM, in die ein Körper zerlegt werden
dM
kann, die Rolle von Massenpunkten. dM ist allerdings noch
→
r dV s so gross zu wählen, dass darin eine grosse Anzahl von Atomen
enthalten ist. Dann definieren wir für einen
→
r
Körper
x
y
die Dichte:
ρ = dM
dV ,
wobei dV ein Volumenelement der Masse dM ist. Im allgemeinen ist ρ = ρ(⃗r) eine Funktion
von ⃗r. Ist ρ konstant, so ist der Körper homogen.
Bei der Herleitung des Schwerpunkts- und des Drehimpulssatzes tritt für kontinuierliche
Massenverteilung dM an Stelle von m i bei Massepunkten und statt der Summation
werden Integrationen über den gesamten Körper K ausgeführt. Es gelten dann die Beziehungen
für die
∫ ∫
∫
⃗r
totale Masse: M = dM = ρ(⃗r)dV, Schwerpunktsvektor: ⃗r s =
M dM
K
K
K
∫
totaler Impuls: ⃗p =
K
∫
⃗v dM, totaler Drehimpuls: L◦ ⃗ = (⃗r × ⃗v)dM.
K
Wirken auf den Körper die Kräfte ⃗ F 1 , ⃗ F 2 ,... ⃗ F n , die in den Punkten ⃗r 1 ,⃗r 2 ,...⃗r n
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