Physik A Teil 1: Mechanik - Physik-Institut - Universität Zürich

mit Ausnahme der singulären Achse. Umschliesst der Integrationsweg die singuläre Achse,
dann ist die Zirkulation Z . = ∮ ⃗vd⃗r = 2πaω, ausserhalb der Achse ist Z = 0. Die
so definierte Zirkulation einer Strömung ist die Summe der skalaren Produkte aus der
Strömungsgeschwindigkeit ⃗v und dem Wegelement d⃗r längs einer geschlossenen Kurve um
einen Körper. Die Absaugwirbel beim Entleeren einer Badewanne sind ein Beispiel einer
rotierenden Potentialströmung.
12.3.6 Die Berechnung einer Potentialströmung aus der Potentialgleichung †
Mit der Kontinuitätsgleichung ∇⃗v = 0 für eine Potentialströmung ⃗v = −∇Φ erhält man 108
div · gradΦ = ∇∇Φ = 0 = ∆Φ = 0 die Potentialgleichung (159)
Die Lösung dieser partiellen Differentialgleichung mit den Randbedingungen liefert das
Potential Φ und damit die Geschwindigkeitsverteilung ⃗v = −∇Φ.
Als Beispiel für ein ebenes zylindersymmetrisches Problem ist der Laplace Operator
in ebenen Zylinderkoordinaten 109
∆Φ = ∂2 Φ
∂x 2 + ∂2 Φ
∂y 2 = 1 r
r ϕ
R
(
∂
r ∂Φ )
+ 1 ∂ 2 Φ
∂r ∂r r 2 ∂ϕ = 0 ⇒ Φ
2 r∂2 ∂r + ∂Φ
2 ∂r + 1 ∂ 2 Φ
r ∂ϕ = 0 2
Mit einem der Rezepte zur Lösung partieller Differentialgleichungen werden die beiden
Variablen r, ϕ mit dem Produktansatz Φ = χ(ϕ) · R(r) separiert.
∂Φ
∂r = χ(ϕ)dR dr , ∂ 2 Φ
∂r = R
2 χ(ϕ)d2 dr , 2
∂ 2 Φ
∂ϕ = χ
2 Rd2 dϕ 2
⇒ rχ d2 R
dr + χdR 2 dr + 1 χ
r Rd2 dϕ = 0 ⇒ 2 k2 = r2 d2 R dR d 2 χ
dr 2
R
+ r dr
R = − dϕ 2
χ
Die beiden Seiten der Gleichung sind jeweils nur von r oder ϕ abhängig, die Gleichung
muss aber für alle r und ϕ gelten. Dies kann nur erfüllt werden, wenn jede Seite für sich
gleich derselben Konstanten k 2 ist. Damit ist die partielle Differentialgleichung in zwei
normale Differentialgleichungen mit der Separationskonstanten k 2 separiert. Es gilt 110
r 2d2 R
dr 2 + rdR dr − k2 R = 0 ⇒ R = Cr k + Dr −k ,
Die allgemeine vollständige Lösung ist
d 2 χ
dϕ 2 + k2 χ = 0 ⇒ χ = A cos kϕ + B sin kϕ
Φ = (Cr k + Dr −k )(A cos kϕ + B sin kϕ).
Die Integrationskonstanten A, B, C, D und die Separationskonstante k werden aus drei
Randbedingungen z.B. für einen Zylinder mit dem Radius R z bestimmt 111 :
108 ∇∇ = ∆ = ∂2
∂x
+ ∂2
2 ∂y
+ ∂2
2 ∂z
ist der Laplace Operator. Partielle Differentialgleichungen der Form
2
∇ 2 Φ = ∆Φ = 0 oder =konst. treten in allen Bereichen der Physik und Chemie auf, wie in der Elektrostatik,
Wellentheorie, Quantenmechanik als Schrödinger Gleichung...
109 siehe Anhang C.5
110 siehe im Anhang C.2 die Differentialgleichungen 5. und 9.
111 1. v r (r = R z ) = 0 ⇒ v r = ∂Φ
∂r = −(Acos kϕ + B sin kϕ)k(Crk−1 − Dr −k−1 ) ⇒ C/D = Rz
−2k
2. v ϕ (r = R z , ϕ = 0,π) = 0 ⇒ v ϕ = − 1 ∂Φ
r ∂ϕ = − k r (Crk + Dr −k )(−Asin kϕ + B cos kϕ)
⇒ B = 0 undk =ganze Zahl.
3. v r (ϕ = 0,π; r → ∞) = v ◦ ⇒ v ◦ = −Ak(DRz
−2k r k−1 − Dr −k−1 ) ⇒ k = 1 für v endlich
und AD = Rzv 2 ◦ .
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