Physik A Teil 1: Mechanik - Physik-Institut - Universität Zürich

2
m 2
→
F 2
m
→
F 1
R s
m
sinϑ dϑ dϕ
1
r 1
Im Innern einer homogen mit Masse belegten Kugelschale
mit dem Radius R s ist die Gravitationskraft auf eine Probemasse
m in jedem Punkt innerhalb der Kugelschale null.
Um dies zu zeigen, genügt es, wie in der Figur angedeutet,
zwei Massenelemente unter entgegengesetzten gleichen
Raumwinkeln Ω 1 = Ω 2 = sinϑdϑ dϕ zu berücksichtigen
sowie die Kräfte F ⃗ 1 und F ⃗ 2 zu berechnen. Für die Flächendichte
der Kugelschale gilt ρ F = M
4πRs
2
und für die Massenelemente m 1 und m 2 unter den zwei entgegengesetzten Raumwinkeln
Ω 1 und Ω 2 gilt m 1 = ρ F Ω 1
r 2 1
cos α , m 2 = ρ F Ω 1
r 2 2
cos α .
Die beiden Massenelemente haben den gleichen Neigungungswinkel α gegenüber dem
infinitesimalen Raumwinkelelement. Die Kugeloberflächenelemente sind Ω 1 r 2 1 und Ω 2 r 2 2.
Damit ist die Kraft auf die Probemasse m
F 1 = Γ m m 1
r 2 1
= Γmρ F Ω 1 r1
2 1
r1 2 cosα = Γmρ 1
FΩ 1
cos α = −F 2
unabhängig von r 1 und r 2 , d.h.überall innerhalb der Hohlkugel ist die Summe aller Kräfte
der Flächenelemente über 2π summiert ∑ F i = 0 (Gaussscher Satz).
★✥
Eine homogen mit Masse verteilte Kugel kann für einen Punkt im Innern
M i
✲r m bei dem Radius r in eine innere Kugel mit der Masse M i mit Radius r
❆
M ✧✦
a
❆ und in eine äussere Kugelschale mit der Masse M a und den Radien r und
R R aufgeteilt werden mit M = M i + M a . M a trägt nach obiger Rechnung
❆❆ ❆❯ nicht zur Kraft im Innern ≤ r bei. Die Masse M i kann nach dem Schwerpunktsatz
Gl. (12) im Schwerpunkt konzentriert angenommen werden 44 ,
1
damit ist F(r) = ΓmM i
r = Γm M 4
2 4 · 3 πr3 = Γ Mmr für r ≤ R
3 πR3 r 2 R 3
F(r) = Γ Mm
r 2 für r ≥ R
Das Gravitationspotential ist dann mit der Wahl Φ(r → ∞) = 0 : Φ(r) = −
Φ(r) = −Γ M R 3 ⎡
∫R
⎣
r
∫∞
r dr + R 3
Φ(r) = −ΓM
R
⎤
dr
⎦ = −Γ M [ 3
r 2 R 2 − 1 ( ] r 2
, für r ≤ R
2 R)
∫∞
r
dr
r 2 = −ΓM r
; für r ≥ R.
∫∞
r
F
m dr ⇒
44 wobei nur für eine kugelsymmetrische Massenverteilung der Schwerpunkt für alle r bei r = 0 liegt
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