Physik A Teil 1: Mechanik - Physik-Institut - Universität Zürich

9.8 Eigenschaften des Kreisels
9.8.1 Trägheitstensor und Eulersche Kreisel-Gleichungen †
Auf Grund der formalen Ähnlichkeit von Impuls- und Drehimpulssatz, also von
d⃗p
dt = F ⃗ dL und
⃗ ◦
= M
dt
⃗ ◦ ,
könnte man vermuten, dass der Beziehung ⃗p = m⃗v ein ähnlicher Zusammenhang zwischen
⃗L und ⃗ω bei der Rotation entspricht. Das ist aber im allgemeinen nicht der Fall. Die
Beziehung L ◦z = I ◦ ω gilt nur für ebene Bewegungen.
Wird ein Punkt ◦ eines starren Körpers festgehalten, dann nennt man die Bewegung
um ◦ eine Kreiselung. Sie besitzt drei Rotationsfreiheitsgrade, die jedoch wesentlich
komplizierter sind als drei reine Translationsfreiheitsgrade. Die Schwierigkeiten mehrerer
Rotationsfreiheitsgrade haben folgende Gründe:
1. Es gibt keine Koordinaten, deren Ableitungen direkt Geschwindigkeiten darstellen,
wie bei den Translationen. Drehungen sind Pseudovektoren (axiale Vektoren), deren
Reihenfolge nicht wie bei polaren Vektoren vertauscht werden kann.
2. Die Trägheitsmomente hängen von der Achsenwahl ab. Ändert die Achse mit der
Zeit die Richtung, so wird I = I(t), während in Analogie für Translationen die
Masse m konstant ist.
3. Für Drehungen gilt im allgemeinen ⃗ L ≠ I⃗ω, da ⃗ L im allgemeinen nicht die Richtung
von ⃗ω hat. Das Trägheitsmoment muss daher durch einen Tensor 76 I dargestellt
werden, so dass gilt ⃗ L = I⃗ω.
Im folgenden wird der Trägheitstensor rein buchhalterisch für Schreibfaule eingeführt,
wobei die Rechenregeln in der Matrizendarstellung zwanglos einsichtig sind.
Ein Beispiel der Aussage ⃗ L ≠ I⃗ω, ist die Hantel, deren Mitte mit einer vertikalen
Achse verbunden ist, die mit ⃗ω rotiert.
76 Tensoren sind physikalische Objekte, die durch ihr Transfomationsverhalten definiert sind.
Skalare sind Tensoren 0. Stufe. Vektoren sind Tensoren 1. Stufe.
Tensoren 2. Stufe, wie das Trägheitsmoment können im einmal gewählte Koordinatensystem durch eine
n × n Matrix (ein Zahlenschema) dargestellt werden. Man bildet aus Vektoren einen Tensor durch das
⎛
dyadische Produkt A = ⃗a ⊗ ⃗ b = ⎝
⎞
a x b x a x b y a x b z
a y b x a y b y a y b z
⎠ =
a z b x a z b y a z b z
Es gilt ⃗a( ⃗ b ·⃗c) = (⃗a ⊗ ⃗ b)⃗c, beachte jedoch: ⃗a( ⃗ b · ⃗c) ≠ (⃗a ·⃗b)⃗c.
⎛
Der Einheitstensor ist 1I = ⎝
1 0 0
0 1 0
0 0 1
⎛
⎝
⎞
⎠
⎞
A xx A xy A xz
A yx A yy A yz
⎠
A zx A zy A zz
.
Man führt den Tensor auch oft mit der Bedingung ⃗a( ⃗ b · ⃗c) = (⃗a ⊗ ⃗ b)⃗c ein; dann ist die Multiplikationsvorschrift
⊗ definiert und ⃗a ⊗ ⃗ b stellt einen Tensor 2.Stufe dar. Ein allgemeiner Tensor p-ter Stufe ist
durch das mehrfache Produkt von p vektoriellen Faktoren gegeben.
Vergleiche die bisher bekannten Verknüpfungen von zwei Vektoren durch das Skalarprodukt und das
Vektorprodukt.
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