Physik A Teil 1: Mechanik - Physik-Institut - Universität Zürich

Aus der Bedingung x(t = 0) = x ◦ ergibt sich für die Integrationskonstante C = ±v ◦ /g.
Das Minuszeichen ist durch die Wahl von ⃗g zu ⃗v ◦ bestimmt.
Somit lautet das Ergebnis x(t) = E mg − 1
2g (gt ± v ◦) 2 oder E = mgx ◦ + 1 2 mv2 ◦
mit + für den Wurf nach unten und − nach oben (vgl. Kap. 3.1).
4.7.2 Weltraumflüge
Die potentielle Energie einer Raumkapsel mit der Masse m im Gravitationsfeld der Erde
(Masse M) ist nach Kapitel 4.3: V (r) = − ΓmM , wenn wir V (r = ∞) = 0 setzen.
r
Die konstante Gesamtenergie der Kapsel ist
E = T ◦ +V ◦ = m 2 v2 ◦−Γ mM
r ◦
= T(r)+V (r),
hierbei sind T ◦ = mv◦/2 2 die kinetische und V ◦ = −ΓmM/r E die potentielle Energie an
der Erdoberfläche r ◦ = r E .
Die Kapsel kann auf ihrem Raumfluge all diejenigen Punkte
V(r)
erreichen, die mit der Bedingung E = konst. verträglich
r E r max
sind. Ist E ≥ 0, so spricht man von ungebundener Bewegung,
die Kapsel kann das Schwerefeld der Erde verlassen.
r
E
Ist jedoch E < 0, so ist die Bewegung gebunden ; es ist
T o
1/r
T ◦ < Γ mM
r E
.
Wird die Kapsel radial nach aussen abgeschossen (eindimensionaler
Fall), so kehrt sie am Punkt r max um, in dem
T = 0 geworden ist, und fällt auf die Erde zurück.
Damit (für E > 0) die Kapsel das Erdfeld verlassen kann, muss ihre Startgeschwindigkeit
v ◦ grösser sein als die sogenannte Fluchtgeschwindigkeit v F , welche sich mit E = 0 und
damit
T ◦ = m v2 F
2
= Γ Mm
√
2ΓM √
ergibt zu v F = = 2r E g = 11.2 km/s.
r E r E
V(r)
r s
m E =81⋅ m M
Erde Mond
r
Um aus dem Sonnensystem entweichen zu können, muss
statt der Masse der Erde die Masse der Sonne und der Planeten
berücksichtigt werden. Für einen Flug zum Mond
ist die minimale Startgeschwindigkeit etwas kleiner, da das
Potentialmaximum durch das Gravitationsfeld des Mondes
reduziert wird. Startet die Sonde allerdings exakt mit dieser
minimalen kinetischen Energie, so kommt sie an der
Stelle r s zum Stillstand. Da dort die Anziehung des Mondes
gerade entgegengesetzt gleich zur Anziehung der Erde
ist, ist die Sonde schwerelos und im labilen Gleichgewicht.
Sie kann zum Mond, aber auch zurück zur Erde fallen.
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