Physik A Teil 1: Mechanik - Physik-Institut - Universität Zürich

9.9.5 Deviationsmomente eines nicht ausgewuchteten Rades
❄
Waage
❤
m
2
Lager
1 ✻⃗ FZentr.fug.
❆
❆
α❆
d
❆
❆
❆✟α
✟✟✯ L ⃗
✲
❆
❆ ⃗ω
❆
d ❆
❆ ❆1 m
❄2
Ein nicht dynamisch ausgewuchtetes Rad
z.B. eines Autos kann mit einem System
zweier Massen, die über einen Stab unter
dem Winkel α starr mit einer Drehachse
verbunden sind, dargestellt werden. Es
ist statisch ausgewuchtet, d.h. der Schwerpunkt
liegt in •, der Winkel α ≠ 0 ist jedoch
endlich. Bei einer Drehung wird das
Drehmoment M ◦ infolge der Zentrifugalkräfte
vom Lager aufgefangen, es kann mit
der Waage nachgewiesen werden.
Drehmoment M ◦ = d sin α · mω 2 · d cos α = |⃗r × F ⃗ Zentr.fug. |
Drehimpuls | L ⃗ ◦ | = |⃗r × ⃗p| = L ◦ = d · mωd cosα.
Im körperfesten System ist L ′ konstant mit der Zeit t, damit ist mit Gl. (88)
d ⃗ L ◦
dt
⃗
= d′ L◦
+⃗ω × L
} dt
◦ = ⃗ω × L ⃗ ◦ = M ⃗ ◦
{{ }
⇒ M ◦ = ω · L ◦ sin α = |⃗ω × L ⃗ ◦ |,
= 0
und ⃗ω ̸ ‖ ⃗ L ◦ ⇒ M ◦ ≠ 0. M ◦ wirkt periodisch mit ω auf die Achslager und damit auf
die Waage. Im Augenblick der Figur steht M ◦ ⊥ zur Zeichenebene.
Ist ⃗ω ‖ ⃗ L ◦ d.h. α = 0 dann liegt ⃗ω in einer der Hauptträgheitsachsen und alle Deviationsmomente
verschwinden C ik = 0. Das Rad ist dann dynamisch ausgewuchtet:
I =
⎛
⎜
⎝
⎞
I x 0 0
⎟
0 I y 0 ⎠ , I x = I y , I z = md 2 , L◦ ⃗ =⃗iI x · 0 +⃗jI y · 0 + ⃗ kI z · ω
0 0 I z
und es treten mit M ⃗ ◦ = 0 keine Lagerkräfte auf. Beim dynamischen Auswuchten von
Rädern müssen Ausgleichsgewichte innen und aussen an der Felge angebracht werden,
um das Unwuchtmoment zu kompensieren.
Bei langen Achsen z.B. Turbinenschaufeln muss in mehreren
Ebenen dynamisch ausgewuchtet werden, um Bie-
M1 + M2 = 0
ω → gemomente auf die lange Achse zu vermeiden, auch wenn
keine Lagermomente der beiden äusseren Lager auftreten.
9.9.6 Der Präzessionszyklus des Mondes (Saros-Zyklus)
N
ω Ε
23.4 o m E
r EM
r ES
5.15 o Mondbahn
Erdbahn
m S
Sonne
Die Bahn des Mondes um die Erde ist um 5.15 ◦ gegenüber der Erdbahn um die Sonne
(die Ekliptik) gekippt. Die Sonne übt nun auf diesen geneigten Erde-Mond-Kreisel Gezeitenkräfte
aus, die ihn in die Ekliptik zu kippen versuchen. Als Näherung beschreibt der
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