Physik A Teil 1: Mechanik - Physik-Institut - Universität Zürich

ausgedrückt werden, wobei das Schwerpunktssystem definiert ist durch ∑ n
i=1 m i ⃗v si = 0
T = 1 ∑
m i (⃗v + ⃗v si ) 2 = 1 ∑
m i (⃗v 2 + 2⃗v⃗v si + ⃗v
2
i
2
si) 2 = 1
i
2 m⃗v2 + 1 ∑
m i ⃗v
2
si.
2
i
Für einen starren Körper gilt ⃗v si = ⃗ω × ⃗r si mit ⃗r si dem Ortsvektor im Schwerpunktssystem.
Damit ist die kinetische Energie
T = 1 2 m⃗v2 + 1 ∑
m i ⃗v si · (⃗ω × ⃗r si ) = 1 2
i
2 m⃗v2 + 1 ∑
m i ⃗ω · (⃗r si × ⃗v si ) = 1 2
i
2 m⃗v2 + 1 2 ⃗ω · ⃗L s
} {{ }
= ⃗ω · ⃗L s
⇒
1
2 m⃗v2 + 1 2 ⃗ωI s⃗ω = T trans + T rot (136)
In dieser Form der Aufspaltung in Translationsenergie und Rotationsenergie gilt die
Gleichung Gl.(136) nur für Drehungen um den Schwerpunkt.
Für die Drehbewegung um einen beliebigen raumfesten Punkt mit ⃗v i = ⃗ω × ⃗r i ohne
äussere Drehmomente ⃗ M = 0 ist die kinetische Energie
für die der Energieerhaltungssatz gilt.
9.9 Beispiele zur Kreiselbewegung
9.9.1 Stabilität des Fahrrades
→
L o
→
ω
→
G
→
M o
→
N
T kin = T rot = 1 2 ⃗ω · ⃗L = 1 ⃗ωI⃗ω (137)
2
Wir nehmen an, das Rad fahre geradeaus und der Fahrer
kippe zufällig nach links. Sein Gewicht übt ein Drehmoment
aus, das entgegen der Fahrtrichtung weist und ⃗ L ◦
so dreht, dass das Fahrrad eine Linkskurve beschreibt. Dadurch
kommt der Schwerpunkt des Fahrers wieder über den
Unterstützungspunkt zu liegen, so dass ⃗ M ◦ verschwindet.
9.9.2 Aufrichten der Kreiselachse infolge Reibungsmoment
M →
→
M
ω →
A
→
M
→
r A
S
Der Kreisel ist an der Auflage etwas abgerundet, so dass der
Auflagepunkt A ausserhalb der Figurenachse liegt. Deshalb
kann die in A wirkende Reibung ⃗ R bezüglich S ein Drehmoment
⃗ M s ausüben, das senkrecht zur Geraden SA steht.
Wir zerlegen ⃗ M s in Komponenten parallel und senkrecht
zur Figurenachse. ⃗ M‖ erzeugt ein d ⃗ L s , das antiparallel zu
⃗L s steht, also zur Abbremsung führt. ⃗ M⊥ bewirkt ein Aufrichten
von ⃗ L s .
Der “rattleback” ist ein Beispiel für ein Kreisel, bei dem die Figurenachse um 5 ◦ bis
10 ◦ gegenüber einer Hauptträgheitsachse verdreht ist. Er wechselt daher während des
Kreiselns seine Drehrichtung 86 .
86 Jearl Walker “Scientific Am. Oct. 1979 S.144”.
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