Physik A Teil 1: Mechanik - Physik-Institut - Universität Zürich

v(t) = mg (
β 1 − e
− β t) m . ≈ gt − 1 2 g β m t2 + · · · für 33 β
m t ≪ 1
Für Kugeln mit dem Radius r und der Dichte ρ gilt nach dem Stokesschen Reibungsgesetz
Gl. (163) für laminare Strömungen β = 6πηr, wobei η die Zähigkeit (Viskosität) 34
der Flüssigkeit ist. Die stationäre Geschwindigkeit ist dann
v p = 2 ρ g
9 η r2 ; die Fallzeit ist proportional zu 1/r 2 .
Mit der allgemeineren Anfangsbedingung v(t = 0) = v ◦ ≠ 0 ist die Lösung
v(t) = (v ◦ − v ∞ ) e − β m t + v ∞
und es wird für v ◦ > v ∞ der Körper bis auf v ∞ abgebremst, mit v ◦ = v ∞ bleibt die
Geschwindigkeit konstant erhalten und für v ◦ < 0 steigt der Körper erst an, bis er auf
v = 0 abgebremst ist und fällt dann wie im ersten Beispiel.
Die Lösung x(t) kann durch einfache Integration gewonnen werden
≈ mg
β
[
t + m β
x(t) − x(t = 0) =
∫ t
0
v(t)dt = mg
β
[
t − m β
(
e − β m t − 1) ] ≈
(
1 − β m t + 1 ( ) 2 β
2 m t − 1 ( ) 3 β
6 m t + − · · · − 1)]
= 1 2 gt2 − g β
6 m t3 + O(t 4 )
Auch hier ist durch die Näherung für β mt ≪ 1 der Übergang zum Ergebnis des freien Falls ohne Reibung
gezeigt, und es heben sich die Terme bis zur Ordnung t auf.
3.6 Kreisbewegungen
Aus Kapitel 1.4 wissen wir, dass bei einer Kreisbewegung zwei Beschleunigungen auftreten:
die zum Zentrum des Kreises gerichtete Radialbeschleunigung a r = v2
R
und die Azimutal- (oder Tangential-)Beschleunigung a ϕ = R d2 ϕ
dt 2 .
33 Für x ≪ 1 kann entwickelt werden (Anhang C.1.7) e x = 1 + x + x 2 /2! + x 3 /3! + · · ·, es gilt dann
v(t) ≈ mg
β
(1 − 1 + β )
m t − β2
2m 2 t2 + β3
6m 3 t3 − + · · · = gt − 1 2 g β m t2 + · · ·
Der erste Term ist in Übereinstimmung mit dem freien Fall ohne viskose Reibung, der zweite Term ist
die erste Korrektur für Reibung. Man beachte, die ersten beiden 1-Terme heben sich in der Näherung
heraus, bei numerischen Rechnungen mit der exakten Formel ist also erst der dritte Term dominant für
x ≪ 1, was zu Rundungsfehlern führen kann. Dieser Übergang eines neuen Ergebnisses in ein bekanntes
Ergebnis, das in einem Grenzbereich gültig ist, kann als Kontrolle der Rechnung dienen, und es fördert
auch das physikalische Verständnis.
34 z.B.: η(Luft) = 1.8·10 −5 kg/m s, β/m(Feder) ≈ 30 s −1 , β/m(Kugel) ≈ 10 −5 s −1 , η(Wasser) = 1·10 −3
kg/m s
32