Physik A Teil 1: Mechanik - Physik-Institut - Universität Zürich

Für die Winkeländerung δ (und zwar für die absolute Änderung) des 45 ◦ -Winkels bei
reiner Schubspannung τ gilt also eine dem Hookeschen Gesetz für die Längenänderungen
analoge Beziehung. Man setzt deshalb
G . =
E
2(1 + m)
Definition des Schubmoduls G und erhält τ = Gδ (147)
Über die Grösse von m und damit E/G kann eine allgemeine Aussage gemacht
werden, indem man einen Würfel mit allseitigen Druckspannungen σ betrachtet,
wie er in Flüssigkeiten auftritt:
4. Räumlicher, hydrostatischer Spannungszustand
p
p
p
Dies ist kein ebener Zustand mehr, jedoch liegt insofern ein
einfaches Problem vor, als −σ 1 = −σ 2 = −σ 3 = p. p ist
der hydrostatische Druck. Ein Würfel mit Volumen V ◦ = 1
wird deformiert, dabei werden drei lineare Verzerrungen
superponiert. Die neuen Kantenlängen sind also
1 + ε = 1 − p E + 2m E p = 1 − p (1 − 2m)
E
und das neue Volumen V = (1 + ε) 3 = 1 + 3ε + 3ε 2 + ε 3 ≈ 1 + 3ε (|ε| ≪ 1).
Die relative Volumenänderung ist
Setzt man
∆V
= V − V ◦
= V − 1 ≈ 3ε = − 3p (1 − 2m).
V ◦ V ◦ V ◦ E
1
K
=
3(1 − 2m)
E
und nennt K den Kompressionsmodul und 1/K die Kompressibilität , so wird
∆V
V ◦
= − p K .
Da ∆V/V ◦ negativ sein muss, ist 1/K > 0 und folglich gilt für die Poisson-Zahl
0 ≤ m ≤ 0.5. Dem Grenzfall m = 0.5 entspricht K = ∞, d.h. keine Volumenelastizität:
bei noch so hohem Druck p lässt sich das Volumen nicht komprimieren 94 .
Der fiktive, starre Körper hat m = 0.5; Flüssigkeiten sind nahezu inkompressibel.
Aus der Beziehung 0 ≤ m ≤ 0.5 folgt E/3 < G < E/2. In der Thermodynamik sind
die Beziehungen zwischen der Kompressibilität 1/K und den Materialkonstanten
nützlich.
Wir haben insgesamt vier elastische Konstanten kennengelernt: Elastizitätsmodul E,
Schubmodul G, Poisson Zahl m und Kompressionsmodul K. Da zwischen ihnen die beiden
Relationen G =
E
2(1 + m) , 1
K
=
3(1 − 2m)
E
existieren, sind nur 2 elastische Konstanten voneinander unabhängig.
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