Physik A Teil 1: Mechanik - Physik-Institut - Universität Zürich

7 Der lineare harmonische Oszillator
Auf Seite 33 haben wir das mathematische Pendel als Beispiel für ein schwingungsfähiges
System kennengelernt. Der Auslenkwinkel ϕ des Pendels schwingt harmonisch um einen
Gleichgewichtswert ϕ = 0. Schwingungen ähnlicher Art treten in vielen Bereichen der
Physik auf und sind von grundlegender Bedeutung für das Verhalten der Materie. Zum
Beispiel führen Atome und Moleküle im Festkörper um eine Gleichgewichtslage Schwingungen
aus, die in erster Näherung als harmonisch angesehen werden können. Wir werden
deshalb jetzt die Dynamik solcher harmonischer Oszillatoren genau untersuchen und als
Modellsystem eine lineare Feder wählen.
7.1 Der ungedämpfte Oszillator
Ein Massenpunkt m wird an einer masselos gedachten Feder befestigt. Wir interessieren
uns für die Bewegung längs der Federachse. In der Vertikalen sei stets mg = N. Wir legen
also die x-Achse in Richtung der Federachse mit dem Freiheitsgrad f = 1 und wählen
x = 0 als die Gleichgewichtslage. Wir wollen alle Reibungskräfte vernachlässigen und
annehmen, in x-Richtung werde nur von der Feder die Federkraft F = F(x) ausgeübt.
Diese Bewegung kann z.B. mit einem Luftkissenfahrzeug realisiert werden.
Die Bewegungsgleichung ist m d2 x
∼∼∼∼∼ k/2 ∼∼∼∼∼ k/2
✛
✻ ⃗N
dt = F(x) 2
Wie hängt die Federkraft F(x) reversibel von der Auslenkung
ab? Da F(x → 0) = 0 gelten soll, entwickeln wir F(x)
⃗F ❄⃗G
✲x
für kleine x in eine Taylor-Reihe um den Nullpunkt:
( ) dF
F(x) = F(0) + x + 1 ( d 2 )
F
x 2 + ... = F(0) +
} {{ } dx 2 dx
x=0 2 } {{ }
x=0
=0
=0
∞∑
n=1
( d n )
F
dx n
Wir nennen die Feder linear, wenn der quadratische und alle höheren Terme genügend
klein sind, so dass F(x) =
x=0
x n
n! .
( ) dF
x = −kx mit (k > 0) geschrieben werden kann.
dx
x=0
Zur Abkürzung haben wir die Federkonstante k = k/2 + k/2 eingeführt (siehe Figur).
Wenn die Gleichgewichtslage stabil sein soll, muss bei einer Auslenkung die Kraft F in
Richtung Gleichgewichtslage zeigen, also
( ) dF
< 0
dx
x=0
gelten. Offenbar lässt sich dieser lineare Ansatz F(x) = −kx bei allen Kräften anwenden,
die von einem Abstand abhängen, wenn man sich auf kleine Auslenkungen aus der
Gleichgewichtslage beschränkt. Für eine mechanische Feder ist die Linearität mit x in
guter Näherung erfüllt. Die Bewegungsgleichung für m lautet dann
m d2 x
d
= −kx oder
dt2 2 x
dt 2 = − k m x (57)
und ist somit formal identisch mit der Gleichung
d 2 ϕ
dt 2 = −g l ϕ
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