Physik A Teil 1: Mechanik - Physik-Institut - Universität Zürich

eines beliebigen Punktes beschrieben durch die Addition 59 der beiden obigen Terme:
⃗v F = ⃗v ◦ + ⃗ω × ⃗r r .
Mit der absoluten Zeit 60 t = t r und unter Beachtung, dass infolge der Drehung
d r ⃗r r
dt
≠ d⃗r r
dt
ist 61 , gilt in den beiden Systemen für den Ortsvektor, die Geschwindigkeit
und den Beschleunigungsvektor eines Punktes:
S(x,y,z) S r (x r ,y r ,z r )
Ort: ⃗r(t) = ⃗r ◦ + ⃗r r ⃗r r (t r ) = ⃗r r (t)
Relativbewegung
Geschwindigkeit:
Beschleuigung:
⃗v = d⃗r
dt
⃗a = d⃗v
dt = d2 ⃗r
dt 2
⃗v r = d r⃗r r
dt r
⃗a r = d r⃗v r
dt
= d r⃗r r
dt
= d2 r⃗r r
dt 2
Spezialfall: nur Führungsgeschwindigkeit m mit Fahrzeug verbunden
⃗v F = ⃗v ◦ + ⃗ω × ⃗r r
⃗r r = konst
⃗a F = d⃗v F
∣
dt
⃗v r = ⃗a r = 0
⃗vr=0
Gefragt wird nach den Beziehungen zwischen den beiden Systemen. Für den allgemeinen
Fall mit der Masse m und ⃗v r ≠ 0 gilt:
⃗v = ⃗v F + ⃗v r = ⃗v ◦ + ⃗ω × ⃗r r + ⃗v r = ⃗v ◦ + ⃗ω × ⃗r r + d r⃗r r
dt
= d dt (⃗r ◦ + ⃗r r ) = ⃗v ◦ + d⃗r r
dt
(87)
Mit diesen beiden Gleichungen kann die gesuchte Beziehungen d
dt
= d r
dt + ⃗ω×
als Transformation vom System S in das System S r z.B. für ⃗r r aufgestellt werden:
d⃗r r
dt = d r⃗r r
dt
+ ⃗ω × ⃗r r und mit allgemeinem Vektor ⃗ A :
d ⃗ A
dt = d r ⃗ A
dt + ⃗ω × ⃗ A (88)
Anschaulich fehlt in S r die Drehbewegung ⃗ω × ⃗r r . Für die Beschleunigungen gilt:
Absolutbeschleunigung: ⃗a = d⃗v
dt = d2 ⃗r
dt ,
Relativbeschleunigung: ⃗a r = d r⃗v r
dt
= d2 r⃗r r
dt 2
Führungsbeschleunigung: ⃗a F = d⃗v F
∣
dt
dr⃗rr
dt =⃗vr=0
Mit den Gleichungen (87) kann ein Zusammenhang zwischen den Beschleunigungen gefunden
werden.
Es ist
d⃗ω
dt = d r⃗ω
dt
+ ⃗ω × ⃗ω = d r⃗ω
} {{ } dt
=0
und ⃗a = d⃗v
dt = d⃗v ◦
dt + d dt (⃗ω × ⃗r r) + d dt
( )
dr ⃗r r
.
dt
59 Beachte, dass ⃗v F , ⃗v ◦ und ⃗ω × ⃗r r alle drei normale polare Vektoren sind, die addiert werden können.
Axiale Vektoren wie ⃗ω können nicht so einfach addiert werden.
60 Dies gilt für v ≪ c der Lichtgeschwindigkeit; sonst muss die Relativitätstheorie bemüht werden.
61 d⃗r r
dt
differenziert im ruhenden und dr⃗rr
dt
im bewegten System. Wegen der relativen Bewegung und der
Drehung können diese beiden Ableitungen nicht identisch sein, und wir müssen eine Beziehung zwischen
beiden suchen.
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