Physik A Teil 1: Mechanik - Physik-Institut - Universität Zürich

Da die Federkraft eine Zentralkraft ist, kann ihr eine potentielle Energie zugeordnet
werden:
∫ ⃗r 2
V (⃗r 2 ) − V (⃗r 1 ) = − (−k⃗r)d⃗r = +k
⃗r 1
∫x 2
x 1
xdx = k 2 (x2 2 − x 2 1).
Wählen wir als x 1 die Ruhelage x = 0 und setzen V (x 1 ) = 0, so wird
die potentielle Energie der linearen Feder V (x) = k 2 x2 .
Für die geschwindigkeitsabhängige, nicht-konservative Reibungskraft kann keine potentielle
Energie berechnet werden. Die von ihr geleistete Arbeit ist
W R =
∫2
1
∫
(−βv)dx = −β v 2 dt.
Gleichung (71) lässt sich jetzt in der Form
T 2 + V 2 − (T 1 + V 1 ) = E 2 − E 1 = W R schreiben. (72)
Die Geschwindigkeit des Massenpunktes ist mit x(t) = A e −t/τ cos(ωt − δ)
v = dx
dt = −1 τ A e−t/τ cos(ωt − δ) + A e −t/τ (−ω) sin(ωt − δ)
= −A e −t/τ [
ω sin(ωt − δ) + 1 τ cos(ωt − δ) ]
.
Ist die Dämpfung sehr schwach, also 1/τ ≪ ω, so kann der zweite Term in der eckigen
Klammer vernachlässigt werden, und als kinetische Energie ergibt sich
Für die totale Energie folgt dann
T = m 2 v2 ≃ 1 2 mA2 · e −2t/τ (ω) 2 sin 2 (ωt − δ).
E = T + V = 1 2 mv2 + 1 2 kx2 ≃ 1 2 mA2 e −2t/τ (ω) 2 sin 2 (ωt − δ) + 1 2 kA2 e −2t/τ cos 2 (ωt − δ).
Da wir 1/τ ≪ ω angenommen haben, vereinfachen wir den letzen Ausdruck, indem wir
den Faktor (ω) 2 durch ω 2 ◦ = k/m ersetzen.
E ≃ 1 2 A2 e −2t/τ [ mω 2 ◦ sin 2 (ωt − δ) + k cos 2 (ωt − δ) ] = 1 2 kA2 e −2t/τ . (73)
Die totale mechanische Energie nimmt also exponentiell mit der Zeit ab. Nach Gl. (72)
ist diese Abnahme gleich der von der Reibung geleisteten Arbeit W R (vgl. ψ 2 in QM).
Den Grad der Dämpfung eines Oszillators beschreibt man durch den Güte- oder Q-
Faktor, der durch den folgenden Quotienten definiert ist:
Im Oszillator gespeicherte Energie E
Q = .
Energieverlust ∆E pro Radiant
Ist T die Schwingungsdauer des Oszillators, so wird für 1 Radiant die Zeit T/2π = 1/ω
gebraucht. Nach Gl. (73) ist die zeitliche Änderung der Energie
dE
dt = −k τ A2 e −2t/τ = − 2 E. Pro Radiant wird die Energie
τ ∆E
abgegeben, also wird der Gütefaktor
= +2 τ E 1 ω ≃ 2E
τω ◦
Q = E
∆E = τω ◦
2 = mω ◦
β .
Je kleiner die Reibungskonstante β, desto grösser der Gütefaktor (z.B. Pendel 10 2 , Quarz
10 4 , Laser 10 9 ).
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