Physik A Teil 1: Mechanik - Physik-Institut - Universität Zürich

Beziehungen, die wir aus solchen Skizzen ablesen, nur gelten, wenn das Differential gegen
Null strebt. So ergibt sich, dass z.B. d⃗r = ⃗r(t + dt) − ⃗r(t) tangential zur Bahnkurve
steht. Daher ist auch die Geschwindigkeit ⃗v tangential zur Bahnkurve. Der Betrag
der Geschwindigkeit ist dann mit den Komponenten in kartesischen Koordinaten
v = √ v 2 x + v 2 y + v 2 z.
Wenn wir aus der Ortsfunktion ⃗r(t) durch Differenzieren die Geschwindigkeit ⃗v erhalten,
so muss sich durch die Umkehroperation, das Integrieren, aus ⃗v wiederum ⃗r berechnen
lassen. Mit 3 Integrationskonstanten ⃗r(t ◦ ) = x(t ◦ )⃗i + y(t ◦ )⃗j + z(t ◦ ) ⃗ k gilt
∫ t
⃗r(t) = ⃗v(t ′ )dt ′ +⃗r(t ◦ ) =⃗i [ ∫ t
v x (t ′ )dt ′ +x(t ◦ ) ] +⃗j [ ∫ t
v y (t ′ )dt ′ +y(t ◦ ) ] + ⃗ k [ ∫ t
v z (t ′ )dt ′ +z(t ◦ ) ]
t ◦ t ◦ t ◦ t ◦
→
r(t o )
s = ∫ √ dx 2 +dy 2 +dz 2
= ∫√ v2 x +v2
y +v2
z dt
→
r(t)
Weg s
→
→
r(t)-r(t o )
wenn zu einer bestimmten Zeit t ◦ der Ort (Anfangsort) ⃗r(t ◦ )
vorgegeben ist. Die Skizze zeigt, dass die Differenz
⃗r(t) − ⃗r(t ◦ ) =
∫t
t ◦
⃗v(t ′ )dt ′
nur im ganz speziellen Fall der geradlinigen Bewegung gleich
dem zurückgelegten Weg (Bogenlänge 11 ) s ist!
1.3 Die Beschleunigung eines Massenpunktes
Die Geschwindigkeit ⃗v eines Massenpunktes ist im allgemeinen eine Funktion der Zeit;
⃗v(t) kann sowohl den Betrag wie auch die Richtung ändern.
Während ⃗v(t) als Tangente an die Bahnkurve im Ortsraum
→
definiert ist, kann man analog die Beschleunigung ⃗a(t) als
die Tangente an die Bahnkurve im Geschwindigkeitsraum darstellen.
Wir definieren also:
v(t) ∆v → →
∆v =
→
→
a
∆t
v(t+∆t)
→
r(t)
→
a(t)
→
v(t)
→
v(t+dt)
∆⃗v
⃗a(t) = lim
∆t→0 ∆t = lim ⃗v(t + ∆t) − ⃗v(t)
∆t→0 ∆t
= d⃗v
dt .
Setzen wir die Definition für ⃗v ein, so erhalten wir nach den
Regeln der Differentialrechnung
⃗a(t) = d⃗v
dt = d dt
( ) [ ]
d⃗r
= d2 ⃗r m
,
dt dt 2 s 2
also einen direkten Zusammenhang zwischen der Ortsfunktion und der Beschleunigung.
Genau wie vorher können wir bei gegebener Beschleunigung die Geschwindigkeit durch
Integration erhalten.
⃗v(t) = ⃗v(t ◦ ) +
∫t
t ◦
⃗a(t ′ )dt ′ .
Auf Grund der Definition von ⃗a liegt ⃗a parallel zu d⃗v. Folgende Spezialfälle sind wichtig:
11 R.Rothe “Höhere Mathematik” Bd I, S.136, Teubner 1955
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