Physik A Teil 1: Mechanik - Physik-Institut - Universität Zürich

Natürlich muss diese Vektorgleichung bei einer expliziten Berechnung als drei skalare
Gleichungen für die drei räumlichen Koordinaten (z.B. x, y, z kartesische Koordinaten)
ausgeschrieben werden. Die beiden Integrationskonstanten müssen aus den Anfangsbedingungen
berechnet werden. Anschaulich bedeutet dies: Die Endlage eines Massenpunktes
bei bekannter Beschleunigung ist nur eindeutig, wenn z.B. der Anfangspunkt ⃗r ◦ = ⃗r(t ◦ )
und die Anfangsgeschwindigkeit ⃗v ◦ = ⃗v(t ◦ ) gegeben sind.
Als Beispiel betrachten wir die Bewegung eines Massenpunktes längs der x-Achse. Die
Beschleunigung a x sei konstant, wie bei der Erdbeschleunigung g mit der x-Richtung als
Fallrichtung. Aus
a x ✻
✲ t
a x = dv x
dt = konst
folgt durch einmalige Integration
v x ✻
vx(t◦) ✏✏✏✏✏
✲ t
v x (t) =
∫t
t ◦
a x dt ′ + v x (t ◦ ) = a x · (t − t ◦ ) + v x (t ◦ ).
Für t ◦ wählen wir den Zeitnullpunkt, d.h. t ◦ = 0. Mit der Anfangsbedingung
v x (t ◦ ) = v x (0) = 0 wird dann v x (t) = a x t = dx
x
t
dt .
Nochmalige Integration liefert
x(t) =
∫t
◦
v x (t ′ )dt ′ + x(0) = a x
t 2 2 + x(0).
Mit der zweiten Anfangsbedingung x(0) = 0 wird dann schliesslich x(t) = 1 2 a xt 2 .
Die Kenntnis von Ort und Geschwindigkeit nur zu einem Zeitpunkt t ◦ legt bei bekannter
Beschleunigung ⃗a den gesamten Bewegungsablauf fest.
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