Physik A Teil 1: Mechanik - Physik-Institut - Universität Zürich

10 Raum-Zeit-Symmetrie und die klassischen Erhaltungssätze
†
Die Erhaltung der Energie, des Impulses und des Drehimpulses folgt aus der Forderung
nach der Homogenität des Raumes und der Zeit, bzw. aus dem Axiom, dass kein Raumpunkt,
keine Richtung im Raum und kein Zeitpunkt ausgezeichnet ist oder dass Raum
und Zeit keinen ausgezeichneten Nullpunkt haben. Daraus ergeben sich die folgenden drei
Axiome:
1. Axiom Das Ergebnis eines Experimentes in einem abgeschlossenen System ist unabhängig
von einer räumlichen Translation des Systems.
Die potentielle Energie zweier Teilchen ist
❡ E pot = V pot (⃗r 1 ,⃗r 2 ) = V pot (⃗r 1 + ⃗ l,⃗r 2 + ⃗ l) (Symmetrie-Axiom)
⃗ l ❡
✁ ✁✕
✉✁
✁ ✁✕ gültig für alle Translationen
⃗ ⃗ l, wenn erfüllt ist
1 l
❍❍❨
✒ ❍ ✉✁
⃗r
⃗r 2
1
✟
✟✟✟✟✟✟✟✟✯ ⃗r 2
Für die Kraft gilt
da gilt
V pot (⃗r 1 ,⃗r 2 ) = V pot (⃗r 1 − ⃗r
} {{ 2 ) (Invarianz),
}
⃗r
⃗ F = −∇Vpot = − ∂V pot
∂⃗r
⃗F 1 = − ∂V pot
= − ∂V pot(⃗r 1 − ⃗r 2 )
∂⃗r 1 ∂(⃗r 1 − ⃗r 2 )
⃗F 2 = − ∂V pot
= − ∂V pot(⃗r 1 − ⃗r 2 )
∂⃗r 2 ∂(⃗r 1 − ⃗r 2 )
⃗F = ⃗ F 1 + ⃗ F 2 = − ∂V pot
∂⃗r 1
⃗r 1 − ⃗r 2 = ⃗r 1 + ⃗ l − (⃗r 2 + ⃗ l).
= −⃗i ∂V pot
∂x − ⃗j ∂V pot
∂y − ⃗ k ∂V pot
∂z
∂(⃗r 1 − ⃗r 2 )
∂⃗r 1
= − ∂V pot
∂(⃗r 1 − ⃗r 2 )
∂(⃗r 1 − ⃗r 2 )
∂⃗r 2
= + ∂V pot
∂(⃗r 1 − ⃗r 2 )
− ∂V pot
∂⃗r 2
= 0 ⇒ ⃗ F 1 = − ⃗ F 2 actio=reactio
und mit Newtons Gesetz F ⃗ = d⃗p = 0 ⇒ ⃗p = konstant Impulserhaltung
dt
Dies verdeutlicht den Zusammenhang: Aus der Symmetrie folgt die Invarianz und
daraus der Erhaltungssatz des Impulses.
Die Folge Symmetrie→Invarianz→Erhaltung gilt auch für andere Symmetrien 89 .
2. Axiom Das Ergebnis eines Experimentes in einem abgeschlossenen System ist unabhängig
von einer räumlichen Drehung des Systems.
→
ϕ
dr
r → →
Die Drehung im Raum sei durch den Drehwinkel ⃗ϕ gegeben.
Die Isotropie des Raumes bedingt dann die Drehinvarianz der
potentiellen Energie.
V pot (⃗r 1 ,⃗r 2 ) = V pot (⃗r 1 + ⃗ϕ × ⃗r 1 ,⃗r 2 + ⃗ϕ × ⃗r 2 ) mit d⃗r = ⃗ϕ × ⃗r
Für kleine Drehwinkel d⃗ϕ gilt dann (mit Taylor-Entwicklung)
89 Noether Theorem der Mathematik. Amalie, Emmy Noether *23.3.1882 Erlangen † 14.4.1935 Bryn
Mawv (Pa.) 1922-33 Prof. in Göttingen.
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