Physik A Teil 1: Mechanik - Physik-Institut - Universität Zürich

m
→
dL o
dϕ
→ m
L ω →
o α
→
. r 1 =r
→
r 2
→
p 2
→
→ →
p 1 =p
Die Hantel ist um den Winkel α gegen diese Drehachse
geneigt. Der Drehimpuls ⃗ L ◦ der Hantel bezüglich ◦ ist
⃗L ◦ = ⃗r 1 × ⃗p 1 + ⃗r 2 × ⃗p 2 , oder wegen −⃗r 2 = ⃗r 1 = ⃗r und
−⃗p 2 = ⃗p 1 = ⃗p ist ⃗ L ◦ = 2(⃗r × ⃗p) = 2m(⃗r × ⃗v). ⃗ L ◦ dreht sich
mit der Winkelgeschwindigkeit ⃗ω auf einem Kegelmantel
um ⃗ω mit dL ◦ /dt = L ◦ sin α dϕ/dt = |⃗ω × ⃗ L ◦ | ; ⃗ L ◦ und
⃗ω stehen also nicht parallel zueinander. Diese Bewegung
ist nur möglich mit einem äusseren z.B. durch Lagerkräfte
aufgebrachten Drehmoment
⃗M ◦ = d⃗ L ◦
dt
= ⃗ω × ⃗ L ◦ ; ohne Lagerkräfte dreht die Hantel
bis ⃗ L ◦ ‖ ⃗ω steht und ⃗ M ◦ = 0 wird.
Wir wollen jetzt einen allgemeinen Zusammenhang zwischen ⃗ L ◦ und ⃗ω finden und dann
mit Hilfe des Drehimpulssatzes Bewegungsgleichungen, die Eulerschen Kreiselgleichungen,
aufstellen, die für die Kreiselbewegung gelten, d.h. für Bewegungen eines starren Körpers,
von dem ein Punkt fest gehalten wird.
Wenn bei einer Kreiselung ein Punkt des Körpers im Raume fest bleibt, dann kann
dieser Punkt ◦ als raum- (⃗r i ) und körperfester (⃗r ′ i) Ursprung gewählt werden. Es ist
dann ⃗r i = ⃗r ′ i und die Zeitabhängigkeit steckt im raumfesten System in den Komponenten
von ⃗r i und im körperfesten System in den Basisvektoren ⃗i ′ , ⃗j ′ , ⃗ k ′ von ⃗r ′ i. Es gilt nach der
Definition des Drehimpulses für einen Massenpunkt ⃗ L ◦i = m i ⃗r i × (⃗ω × ⃗r i ) und damit für
n∑
n Massenpunkte 77 L◦ ⃗ = ⃗L ◦i =
1
oder für einen ausgedehnten Körper
∫ ∫
∫
⃗L ◦ = ⃗r×⃗v dm = ⃗r×(⃗ω×⃗r) dm =
n∑
m i ⃗r i × (⃗ω ×⃗r i ) =
1
∫
[r 2 ⃗ω−(⃗r·⃗ω)⃗r] dm =
n∑
m i [ri 2 ⃗ω − (⃗r i · ⃗ω)⃗r i ] (128)
1
[r 2 ⃗ω−(xω x +yω y +zω z )⃗r] dm
Hier hängt ⃗ω in der Summe nicht von i und im Integral nicht von der Massenverteilung
ab. Es besteht jetzt das mathematische Problem, wie man ⃗ω aus der Summe herausziehen
kann oder vor das Integral stellen kann, um so die Beziehung L ⃗ ◦ = I ◦ ⃗ω aufstellen und
den Trägheitstensor I ◦ berechnen zu können. Dazu berechnet man die drei Komponenten
des Drehimpulses 78 ∫
∫ ∫
L ◦x = ω x (y 2 + z 2 ) dm −ω y yxdm −ω z zx dm
} {{ }
I xx
} {{ }
C yx
} {{ }
C zx
∫
∫ ∫
L ◦y = ω y (x 2 + z 2 ) dm −ω x xy dm −ω z yz dm
} {{ } } {{ } } {{ }
I yy C xy C yz
∫
∫ ∫
L ◦z = ω z (x 2 + y 2 ) dm −ω x xz dm −ω y yz dm
} {{ } } {{ } } {{ }
I zz C xz C yz
Die Trägheitsmomente I in den obigen Gleichungen sind in Analogie zum Trägheitsmoment
der ebenen Bewegung definiert. Die übrigen nichtdiagonalen Terme C werden
77 Beachte hier die Vektoridentität ⃗a × ( ⃗ b × ⃗c) = (⃗a · ⃗c) ⃗ b − (⃗a ·⃗b)⃗c.
78 Man erhält natürlich das gleiche Ergebnis, wenn man direkt das dreifache Vektorprodukt ausrechnet.
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