Physik A Teil 1: Mechanik - Physik-Institut - Universität Zürich

Die Impulsänderung ist also
d⃗p = ⃗p(t + dt) − ⃗p(t) = Md⃗v + dm ⃗u + dm } {{ d⃗v }.
≈0
dm d⃗v ist, da von höherer Ordnung, vernachlässigbar. Mit der äusseren Kraft ⃗ F ist
⃗F = d⃗p
dt = M d⃗v dm
+ ⃗u
dt dt = M d⃗v
dt − ⃗u dM dt , denn es ist dm
dt = −dM dt , (27)
da die ausgestossene Masse von der Rakete kommt.
Wir diskutieren Gleichung (27) an zwei Beispielen. Falls sich die Rakete weit weg von
irgendwelchen Gravitationszentren befindet, können wir ⃗ F = 0 setzen und erhalten
M d⃗v
dt = ⃗u dM dt
oder
d⃗v
dt = ⃗u M
dM
. Wenn ⃗u ‖ ⃗v unabhängig von der Zeit ist,
dt
lässt sich die Integration leicht ausführen:
∫ ⃗v
⃗v ◦
d⃗v = ⃗u
∫ M
M ◦
dM
M oder ⃗v = ⃗v ◦ + ⃗u ln M M ◦
.
⃗v ◦ ist die Anfangsgeschwindigkeit, wenn die Rakete die Masse M ◦ hat. Die Endgeschwindigkeit
ist also unabhängig davon, wie schnell der Brennstoff verbraucht wird 40 .
Das wird anders, wenn wir die Rakete in einem Gravitationsfeld betrachten, z.B. beim
Start, wo wir ⃗ F = M⃗g annehmen wollen. Es gilt also mit Gl. (27)
M ⃗g = M d⃗v
dt − ⃗u dM dt
oder
d⃗v
dt = ⃗u M
∫⃗v
dM
dt + ⃗g ⇒
M∫
dM
d⃗v = ⃗u
⃗v ◦ M ◦
∫t
M + ⃗g
t ◦
dt.
Die Integration ergibt: ⃗v = ⃗v ◦ + ⃗u ln M M ◦
+ ⃗g(t − t ◦ ).
Mit den Anfangsbedingungen t ◦ = 0, ⃗v ◦ = 0 und ⃗v positiv
nach oben sowie ⃗u und ⃗g negativ nach unten gerichtet gilt:
v(t) = +u ln M ◦
M − gt.
Jetzt ist v(t) umso grösser, je kleiner die Zeitspanne von 0 bis t ist, in welcher der
Brennstoff verbrannt wird.
Anschaulich kann eine Rakete nicht von der Erde abgeschossen werden, wenn der sonst
ausreichende Brennstoff zu langsam abgebrannt wird und extrem noch nicht einmal die
Schwerkraft der Rakete überwunden werden kann.
40 ⃗u ↑↑ ⃗v Abbremsen, ⃗u ↓↑ ⃗v Beschleunigen der Rakete M.
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