Physik A Teil 1: Mechanik - Physik-Institut - Universität Zürich

11.2.1 Beispiele ebener Spannungszustände
1) Linearer Spannungszustand: Äussere Kräfte liegen
σ 1
F
F nur in Achsenrichtung und nur eine der beiden Hauptspannungen
ist von Null verschieden,
Hauptrichtung
Druck
τ
Zug z.B. σ 1 ≠ 0,σ 2 = 0. Der Mohrsche Kreis berührt also
die τ-Achse, und nach (144) und (145) gilt
α
σ
−σ σ2 σ 1 1
σ = σ 1
2 (1 + cos 2α),τ = σ 1
sin 2α.
2
σ 1
σ
und τ = 0 für alle α.
σ 1 =σ 2
σ 1
Sämtliche Flächenelemente, die senkrecht zur
σ 1
τ
2) Hydrostatischer Spannungszustand: σ 1 = σ 2 .
Folglich σ = σ 1 =konst. (wie in Flüssigkeiten)
σ Ebene E stehen, sind schubspannungsfrei. Der
σ 1
Spannungskreis ist zum Punkt entartet.
σ 2
τ τ
σ 1 σ 1
τ τ
σ 2
τ
Druck
σ 2 α
Zug
σ 1
σ
3) Maximale Schubspannung: σ 1 = −σ 2 . Also
σ = σ 1 cos 2α,τ = σ 1 sin 2α.
Für α = π/4 ist σ = 0 und τ = τ max = σ 1 .
Auf diese Weise kann bei der Metallbearbeitung
ein maximaler Wert der Schubspannung erzeugt
werden oder ist verifiziert bei der Torsion eines
kreisförmigen Stabes Kap 11.4.2.
F
11.3 Deformation isotroper Körper, elastische Konstanten.
Der Zusammenhang zwischen Spannungszustand und elastischer Deformation lässt sich
am einfachsten empirisch aus folgendem Versuch ermitteln:
Ein homogener und isotroper Stab mit der Länge l
l
und dem rechteckigen Querschnitt a · b werde durch
F
eine konstante äussere Normalspannung σ in Richtung
der Stabachse belastet. Der Stab dehnt sich und
l+∆l
zeigt eine Querkontraktion.
Für genügend kleine Beanspruchungen ist die relative Längenänderung, die sogenannte
Dehnung ε = ∆l/l, proportional der angelegten Spannung. Es gilt also
σ = Eε = E ∆l
l
das Hookesches Gesetz. (146)
Die Materialkonstante E mit der Dimension N/m 2 nennt man den Elastizitätsmodul.
Das Hookesche Gesetz ist der makroskopische Ausdruck für die Gültigkeit der mikroskopischen
Gleichung (139) aus Kapitel 11.1.
σ
P
F
ε
B
Wird der Stab über die Proportionalitätsgrenze P hinaus beansprucht,
so tritt plastische Verformung auf, wobei oft eine Erhöhung
der Proportionalitätsgrenze und auch eine Änderung des Elastizitätsmoduls
erfolgt. Jedoch hat der Stab nicht mehr die ursprüngliche
Länge, wenn die äusseren Spannungen entfernt werden. Die Molekularstruktur ist bleibend
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