Physik A Teil 1: Mechanik - Physik-Institut - Universität Zürich

so verschwindet rechts der 1. Term, da ⃗v i ‖⃗p i und somit, ⃗v i × ⃗p i = 0, und wir erhalten aus
der Summation des obigen Gleichungssystems auf der rechten Seite
N∑
i=1
r i × d⃗p i
dt = ∑ i
d
dt (⃗r i × ⃗p i ) = d dt
∑
⃗r i × ⃗p i = d ∑
L ◦i
i
dt
i
und auf der linken Seite
N∑
i=1⃗r i × ⃗ F i = ∑ i
⃗M ◦i . Setzt man
∑
⃗L ◦i = L ⃗ ◦ ,
i
∑
i
⃗M ◦i = ⃗ M ◦
und nennt ⃗ L ◦ den totalen Drehimpuls des Systems der N Massenpunkte bezüglich ◦, und
⃗M ◦ das totale Drehmoment der äusseren Kräfte bezüglich ◦, so gilt
d ⃗ L ◦
dt
= ⃗ M ◦ der Drehimpulssatz (Drallsatz). (40)
Das totale Drehmoment der äusseren Kräfte in bezug auf einen
raumfesten Bezugspunkt ◦ ist gleich der zeitlichen Ableitung
des totalen Drehimpulses bezüglich des gleichen Punktes.
Natürlich gilt unsere Herleitung des Drehimpulssatzes auch für einen einzelnen Massenpunkt
(N = 1), L ⃗ ◦ steht dann für den Drehimpuls dieses Massenpunktes und M ⃗ ◦ ist
das auf ihn wirkende Drehmoment. Auch in diesem Falle müssen L ⃗ ◦ und M ⃗ ◦ auf den
gleichen Punkt ◦ bezogen werden, da ja beide Grössen den Ortsvektor enthalten, der erst
definiert ist, wenn ein Bezugspunkt ◦ festgelegt ist.
Allgemein für ein System von Massenpunkten formulieren wir den
Drehimpulserhaltungssatz
⃗L ◦ = konst, wenn
∑
i
⃗M ◦i = 0 oder ⃗ L
Anfang
◦ = ⃗ L Ende
◦ (41)
Der Drehimpuls eines Systems von Massenpunkten bleibt erhalten,
wenn die Summe der äusseren Drehmomente verschwindet.
Insbesondere bleibt der Drehimpuls eines isolierten Systems erhalten.
Der Drehimpuls bleibt bei einer Reaktion erhalten.
Es ist zu beachten, dass dieser Erhaltungssatz nicht allein aus den Newtonschen Prinzipien
folgt, da wir ja annehmen mussten, dass die inneren Kräfte Zentralkräfte sind. Wenn
diese Annahme auch naheliegend ist, so wird sie doch nicht explizit im Reaktionsprinzip
verlangt.
Der Drallsatz ist das Analogon zum Newtonschen Gesetz (aus F ⃗ = d⃗p abgeleitet)
dt
für Drehbewegungen. Der Drehimpuls steht für den Impuls und das Drehmoment für die
Kraft. L ⃗ steht senkrecht zu ⃗r und ⃗p, M ⃗ senkrecht zu ⃗r und F. ⃗ L ⃗ und M ⃗ sind Axialvektoren
(Pseudovektoren), sie beinhalten einen Drehsinn. Da L ⃗ und M ⃗ den Ortsvektor
enthalten, muss für ihre Festlegung immer ein Bezugspunkt ◦ gewählt werden.
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