Physik A Teil 1: Mechanik - Physik-Institut - Universität Zürich

Wenn wir den sehr kleinen Term β 4 /m 4 vernachlässigen, erhalten wir die Näherungsformel
für die Resonanzbreite
√
3β
∆ω ≃
m = 2√ 3
(82)
τ
Bei abnehmender Dämpfungskonstante β wird die Resonanzkurve schmaler und höher,
es ist
A max ∆ω ≃ √ 3 F ◦
mω ◦
≃ √ 3 F ◦
√
mk
= konst.
Bei kleinem β ist der Frequenzbereich, in welchem das System auf die äussere Störung
nennenswert anspricht, sehr schmal.
Diese Frequenz-Selektivität des Oszillators ist eng verknüpft mit dem in Kapitel 7.3
eingeführten Q-Faktor. Für den schwach gedämpften Oszillator hatten wir das Ergebnis
Q = mω ◦
β
erhalten. Mit der Beziehung Gl. (82) ergibt sich dann
Q = √ 3 ω ◦
∆ω .
Grosse Q-Werte entsprechen also einer hohen Frequenzselektivität. Dieser Zusammenhang
spielt eine Rolle bei der Stabilisierung schwingungsfähiger Systeme (Quarzuhr, Atomuhr).
Abweichungen von der Sollfrequenz können umso besser korrigiert werden, je schmaler die
Resonanzkurve, je höher der Q-Wert ist.
Die Phasenverschiebung δ [Gl. (78)] zwischen der äusseren Kraft und der stationären
Schwingung hängt wie A ebenfalls stark von β,
δ
ω
π
◦ und ω ab. Kraft und Erregung sind nahezu in
β klein
Phase (δ klein) für niedrige ω. Für ω → ∞ sind
beide um π phasenverschoben, die äussere Kraft
π
wirkt bremsend. Für ω = ω ◦ , also in der Nähe
β
2
groβ
der Resonanzfrequenz, beträgt die Verschiebung
π/2, die äussere Kraft schaukelt das System auf
zu maximalen Schwingungsamplituden. Je kleiner
β ist, umso abrupter erfolgt der Übergang
0 ω ο 2 ω
von kleiner zu grosser Phasenverschiebung.
7.4.1 Vollständige Lösung der erzwungenen Schwingung †
Wie zu Beginn des Kapitels 7.4 angegeben, ist die vollständige Lösung der inhomogenen
Differentialgleichung der erzwungenen Schwingung x inh. = x hom. + x part. .
Die partikuläre, stationäre Lösung x part. Gl. (78) ist unabhängig von den Anfangsbedingungen,
da die Eigenfrequenz ω ◦ nach langen Zeiten t ausgestorben ist. Die beiden
Integrationskonstanten A h und δ h der homogenen Lösung [z.B. Gl. (69) für den schwach
gedämpften Oszillator] müssen aus den Anfangsbedingungen der vollständigen Lösung
bestimmt werden. Mit z.B. x(t = 0) = 0 und v(t = 0) = 0 gilt dann für die schwache
Dämpfung
mit τ = 2m β , ω2 ◦ = k m , A p =
√
x(t) = A h e −t/τ cos(t ω◦ 2 − (1/τ) 2 − δ h ) + A p cos(ωt − δ) (83)
F ◦
√
m (ω◦ 2 − ω 2 ) 2 + (2ω/τ) 2, tan δ = 2ω
τ(ω◦ 2 − ω 2 )
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