Physik A Teil 1: Mechanik - Physik-Institut - Universität Zürich

3. Dünner homogener Stab in bezug auf eine Achse durch S, die senkrecht zum Stab
steht
✛
l
S
dx
x
✲
✲x
I s = 2qρ
l/2 ∫
◦
x 2 dx = 2qρ
3
dI s = qρx 2 dx
( l
2
) 3
= Ml2
12 , M = qlρ.
4. Dünne homogene Platte bezüglich einer Achse durch S, die senkrecht zur Platte
steht
✁ ✁
✁
b ✁
✁
✁
✁
✁
a
S
✁ ✁
✁ ✁
✁ ✁
✁✁
dI s ′ = dxcρ b3
12
S ′ ✁
✁
✁ ✁
✲x
✁✁
dI s = dxcρ b3
✁
12 + dxcρbx2
✁✁
✁
✁✁
✁
∫a/2
✁✁dx✁
I c
s = 2 dI s = M 12 (a2 + b 2 ),
◦
M = abcρ.
5. Homogene Kugel mit dem Radius R bezüglich einer Achse durch den Mittelpunkt
z
∫
∫
∫
✬✩ ✻ I x = (y 2 + z 2 )dM ; I y = (x 2 + z 2 )dM ; I z = (x 2 + y 2 )dM ;
❅
S❅
R dm
⃗r
✟✯ ✲
y
✫✪
✠
∫ R
3I s = 2ρ r 2 4πr 2 dr = 8πρ R5
x
5 = 6R2
5 M; I x = I y = I z = I s ; I s = 2 5 MR2 .
◦
9.6 Beispiele zur ebenen Bewegung starrer Körper
9.6.1 Würfel auf horizontaler Ebene
Greift an der oberen Kante eines Würfels der Kantenlänge a eine horizontale
Kraft F an, so sind folgende Bewegungszustände möglich:
Haften, Gleiten, Kippen.
a
a
N ⃗
S ✻
e
✛
⃗R ❄G
⃗
✲
⃗ F
✲
a) Damit der Würfel haftet, müssen folgende Gleichgewichtsbedingungen erfüllt sein:
F = R; N = Mg; Ne = (R + F) a 2 → R = F = N e a .
Die Wirkungslinie der Normalkraft geht also nicht durch den Schwerpunkt. Da
R ≤ µ H N = µ H Mg,
ist der maximale Wert, den F = N e = Mg e a a
gerade noch haftet, gegeben durch
annehmen kann, so dass der Würfel
F max = µ H Mg = e a Mg für µ H ≤ 0.5 und F max = 1 2 Mg für µ H > 0.5,
denn e kann den Maximalwert a/2 nur erreichen, bevor der Würfel kippt.
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