Physik A Teil 1: Mechanik - Physik-Institut - Universität Zürich

β
2r
Platten hochsteigt. Mit z und x seien die Koordinaten jener Kurve bezeichnet,
welche die Flüssigkeitsoberfläche begrenzt, wobei z mit h aus
Gleichung (167) identisch ist. Aus der Figur liest man ab
β/2
Also wird
x
z(x) = h(x) = 2α 12 cos φ
ρgr
r
x = tgβ 2 ≈ β . (für β ≪ 1)
2
= 4α 12 cos φ
ρgxβ
oder
Die Anstiegskurve im Keil ist eine gleichseitige Hyperbel.
zx = 4α 12 cos φ
ρgβ
= konst.
12.7.1 Die Differentialgleichung einer Oberfläche (Seifenblase) †
Es ist zu beachten, dass eine Seifenblase oder eine offene Lamelle kein absolut stabiles
Gebilde ist, da innerhalb der Lamelle stets Flüssigkeit nach unten abfliessen kann. Wegen
der Viskosität in den dünnen Lamellen läuft jedoch die Bewegung so langsam ab, dass
man das ganze Gebilde quasistatisch behandeln kann 115 . Die Gleichung (165) ist eine reine
geometrische Bedingung, die mit der analytischen Geometrie für die mittlere Krümmung
einer Fläche z = z(x,y) in folgender Form geschrieben werden kann
1
R 1
+ 1 R 2
= 0 =
[ ( ) 2 ]
1 +
∂z ∂ 2 z
∂y
− 2 ∂z
∂x 2 ∂x
[ (
1 +
∂z
∂x
+ [ 1 + ( ) 2 ]
∂z ∂ 2 z
∂x∂y ∂x ∂y 2
) 2 ] 3/2
(168)
∂z ∂ 2 z
∂y
) 2 (
+
∂z
∂y
Diese komplizierte partielle Differentialgleichung (168) muss für ein spezielles Problem
mit den Randbedingungen z.B. den Umrandungen gelöst werden 116 .
Beispiele
1. Kugelförmige Seifenblasen oder Luftballone haben R 1 = R 2 = R und damit ∆p = 4α R .
Im Innern der Blase herrscht ein Überdruck, der umso kleiner ist, je grösser die Blase
wird.
2. Bei einer offenen Lamelle ist ∆p = 0, der Druck ist auf beiden Seiten gleich; dies wird
erfüllt, wenn R 1 = R 2 → ∞, d.h. die Lamellen eben sind oder wenn
R 1 = − 1
1 R
ist. In
2
diesem Fall hat die Lamelle die Form einer Sattelfläche. Man kann zeigen, dass bei einer
vorgegebenen Umrandung die Sattelfläche eine Minimalfläche - eine Fläche mit minimaler
Oberfläche - ist.
3. Spannt man eine Lamelle zwischen zwei parallele Platten, so ist die Oberfläche wiederum
eine Sattelfläche. Für d ≪ R ist die Druckdifferenz ∆p zwischen innen und aussen
∆p = p i − p a = 2α ( 1
R − 2 d
)
≈ −
4α
d
. Die beiden Platten ziehen sich daher mit einer Kraft
115 A. Gyemant, Hdb. der Physik Bd VII, 1927 p.354.
C. Isenberg, “The Science of Soap Films and Soap Bubbles”, Tieto Ltd. 1978.
I. Müller, P. Strehlow, “Physik von Luftballons”, Phys.Blätter 55(1999)2,37.
116 Im zweidimensionalen kann die Krümmung k einer Funktion y = y(x) einfach angegeben werden:
x = R cos ϕ, y = R sin ϕ, Steigung: tanϑ = x y
= −cot ϕ ⇒ ϑ = ϕ + π/2 =
arctan y ′ , dϑ = dϕ. Die Krümmung ist k = 1 R = dϕ
ds = dϑ
ds , dϑ =
ds 2 = dx 2 + dy 2 = (1 + y ′2 )dx 2 und damit k =
y′′
1+y
dx, ′2
y ′′
(1+y ′2 ) 3/2 . Die Sruktur der
mittleren Krümmung k = 1 R 1
+ 1 R 2
einer Fläche z = z(x,y) ist wie angegeben
ähnlich, jedoch komplizierter abzuleiten.
164
δ
R
dy
dx
y
φ
y=y(x)
x