Physik A Teil 1: Mechanik - Physik-Institut - Universität Zürich

Zusammenfassung: Eine Kraft ⃗ F ist konservativ, wenn eine der folgenden gleichwertigen
Bedingungen erfüllt ist:
∫ 2
1
⃗F · d⃗r = W 1→2
ist unabhängig vom Weg
∮
⃗F · d⃗r = 0,
⃗ F = −gradV = − ⃗ ∇V
(31)
∫r
V (⃗r) − V ◦ = −
0
⃗F · d⃗r = W 0→r , rot ⃗ F = ⃗ ∇ × ⃗ F = 0
Wir haben schon bemerkt, dass eine konstante Kraft immer konservativ
ist. Wir beweisen jetzt, dass jedes Zentralfeld konservativ ist. Das
y ✻ ⃗F(⃗r)
✻
✁✕
V ✬✩ (r)
✁ ✒
✓✏
✟ ✟✯ sind radial-symmetrische Felder, die in der Form
✲
✒✑ x
⃗F(⃗r) = f(r)⃗r = f(r) · (x⃗i + y⃗j + z ⃗ k)
✫✪
geschrieben werden können, hierbei ist f(r) eine Funktion des Betrages von ⃗r unabhängig
von ϑ und ϕ. Die Feldlinien sind offen. Die Äquipotentialflächen V (⃗r) = V (r) für r =konst.
sind Kugelflächen.
Man überzeugt sich sofort, dass ∇ ⃗ × F ⃗ = 0 ist, weil mit r = √ x 2 + y 2 + z 2 gilt
∂r
∂x = x r ,
∂r
∂y = y r
und
∂F x
∂y = x df
dr
∂r
∂y = x df
dr
y
r ,
∂F y
∂x = y df
dr
∂r
∂x = y df
dr
x
r = ∂F x
∂y
und analog für die anderen Ableitungen. Das Feld ist also wirbelfrei und besitzt eine
potentielle Energie
∫⃗r
⃗r
❝✟ ✟ ✟✯ d⃗s V (⃗r) = V (⃗r ◦ ) −
⃗r ◦
f(r)⃗r · d⃗r = V (⃗r ◦ ) −
∫⃗r
⃗r ◦
f(r)r dr.
Wir haben hier in Radialrichtung integriert, d.h. d⃗r || ⃗r. Das Ergebnis ist jedoch, wie
es sein muss, unabhängig vom gewählten Weg. Denn für ein beliebiges Linienelement
d⃗s ist ⃗r · d⃗s proportional zur Komponente in Radialrichtung, Elemente senkrecht zur
Radialrichtung liefern keinen Beitrag zum Linienintegral. Es ist also V (⃗r) = V (r), die
potentielle Energie ist kugel-symmetrisch, die Äquipotentialflächen sind Kugelflächen.
Die Gravitations- und Coulomb-Kraft stellen Zentralfelder dar, in denen f(r) ∼ r −3
ist. Zur Berechnung der potentiellen Energie wählt man als Bezugspunkt ⃗r ◦ = ∞ und
setzt V (⃗r ◦ → ∞) = 0. Für das Newtonsche Gravitationskraftfeld
⃗G = −Γ Mm ⃗r ist f(r) = −ΓMmr−3
r3 und wir erhalten für die potentielle Energie
∫r
V (r) = +ΓMm
∞
dr
r = −ΓMm .
2 r
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