Physik A Teil 1: Mechanik - Physik-Institut - Universität Zürich

Denn zweimalige Differentiation von Gl. (85) liefert
d⃗r
dt = ⃗v = d⃗r ◦
dt + d⃗r r
dt = ⃗v ◦ + ⃗v r
und
d 2 ⃗r
dt 2 = ⃗a = d2 ⃗r r
dt 2 = ⃗a r.
Aus ⃗a = ⃗a r folgt aber, dass auch die Kräfte ⃗ F = m⃗a und ⃗ F r = m⃗a r in beiden Systemen die
gleichen sind, also gilt auch in S r die Newtonsche Mechanik, S r ist auch ein Inertialsystem.
Alle Koordinatensysteme, die sich gleichförmig geradlinig gegenüber einem Inertialsystem
bewegen, sind also ebenfalls Inertialsysteme. Sie lassen sich nicht unterscheiden,
und es ist deshalb unmöglich festzustellen, ob eines dieser Systeme “absolut in Ruhe” ist.
Dies ist das Relativitätsprinzip der Mechanik.
Wenn Gl. (86) gilt, so lässt sich Gl. (85) auch in der Form
⃗r = ⃗r r + ⃗v ◦ t
der Galilei-Transformation
schreiben. Wenn diese Transformationsgleichung zwischen den Systemen S und S r gültig
ist, gilt das Relativitätsprinzip der Mechanik, in anderen Worten formuliert:
Es ist einem Beobachter unmöglich, mit Hilfe von mechanischen
Experimenten herauszufinden, ob sein Bezugssystem
in Ruhe oder in gleichförmiger Bewegung ist.
Auch mit anderen Wechselwirkungen wie z.B. elektrodynamischen oder optischen Versuchen
ist eine solche Unterscheidung nicht möglich.
8.2 Die Kinematik in einem bewegten Bezugssystem
Wir behandeln jetzt eine beliebige Bewegung (auch Rotationen und damit beschleunigte
Systeme) des Systems S r gegenüber dem Inertialsystem S im folgenden Ruhesystem oder
Laborsystem genannt. Ein ausgedehnter Körper mit einer allgemeinen Bewegung hat sechs
Freiheitsgrade, 3 der Translation und 3 der Rotation. Es gelte wie in Kapitel 8.1 die
klassische Mechanik.
z r ✻
Das bewegte Bezugssystem sei ein starrer Raum S r (x r ,y r ,z r ) z ✻ m ⃗ω
✡ ✡✣
S r
✉
(Fahrzeug), der vom ruhenden System S(x,y,z) aus beschrieben
wird mit ⃗r ◦ , ⃗v ◦ (Ortsvektor und Geschwindigkeit des Ursprungs
von S r ) und ⃗ω (Winkelgeschwindigkeit von S r um ✓ ✒ x r
✡✏ ✏✏✏✏✶ y r
✓✓ ✓✼ ✂✍
⃗r r
⃗r
✂ ✲
⃗r
✓
◦
eine Achse durch den Ursprung von S r ). Im relativen System
S ✓ y
S r (x r ,y r ,z r ) wird eine Masse m mit ⃗r r , ⃗v r und ⃗a r gekennzeichnet.
Im ruhenden System beschreiben ⃗r, ⃗v, ⃗a die Masse m.
x
✏ ✏✏✏✏✏✏✶
✓
✲
Für eine reine Translation von S r gilt: ⃗v = ⃗v ◦ . Für eine reine Rotation von S r gilt für einen
Massenpunkt: ⃗v = ⃗ω × ⃗r r . Der Koordinatenursprung von S r liegt auf der Drehachse. Die
Winkelgeschwindigkeit ist (im Gegensatz zu L ⃗ ◦ und M ⃗ ◦ ) unabhängig von der Wahl des
Bezugspunktes 58 . Für eine allgemeine Bewegung des Fahrzeuges ist die Geschwindigkeit
58 Beweis: P ◦ und P ′ ◦ seien zwei beliebige Bezugspunkte mit dem relativen
Verbindungsvektor ⃗s. Die Führungsgeschwindigkeit des Fahrzeuges ist
⃗v F = ⃗v ◦ +⃗ω ×⃗r r bzw. ⃗v F = ⃗v ′ ◦ + ⃗ω ′ × ⃗r ′ r weiter ist ⃗v ′ ◦ = ⃗v ◦ +⃗ω ×⃗s; ⃗r r = ⃗s+ ⃗r ′ r
⇒
⃗v F = ⃗v ◦ + ⃗ω × ⃗r r = ⃗v ◦ + ⃗ω × ⃗s + ⃗ω ′ × ⃗r r − ⃗ω ′ × ⃗s ⇒ (⃗ω − ⃗ω ′ ) × ⃗r r = (⃗ω − ⃗ω ′ ) × ⃗s.
Diese Vektorgleichung kann für alle ⃗r r nur erfüllt werden, wenn ⃗ω = ⃗ω ′ gilt, qed.
z r
✻ m ⃗ω
✡
✡✣
S r
⃗r r ✡
✡✂ ✂✍
⃗r ′
✘ ✘✿❅❅■ ♣ P ′ ◦
⃗s ✲
P ◦
x r
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