Physik A Teil 1: Mechanik - Physik-Institut - Universität Zürich

h
❄ p ◦
✻
❄p
p ◦
pA
⃗ ✲ ✛ p ◦A
⃗
✛vdt✲
Wie schnell fliesst Wasser aus der unteren Öffnung?
Durch die Öffnung mit dem Querschnitt A strömt während
der Zeit dt eine Flüssigkeitsmenge ρAvdt. Sie wird von der
Geschwindigkeit 0 auf v beschleunigt durch die Kraft
(p − p ◦ )A = ρghA, die längs des Weges vdt die Arbeit
dW = ρghAvdt leistet. Nach dem Energiesatz ist dW
gleich der kinetischen Energie dT = ρAvdt v2
2
√
der Flüssigkeitsmenge. Also folgt v = 2gh
Torricellisches Ausflussgesetz. Die Ausflussgeschwindigkeit ist genau so gross, als
wenn die Flüssigkeit durch die Fallhöhe h gefallen wäre. Da der Druck p ein Skalar
ist, ist die Richtung des ausfliessenden Wasserstrahles durch die Flächennormale
von ⃗ A gegeben.
7. Oberfläche einer rotierenden Flüssigkeit Die Flüssigkeit rotiert in einem vertikalen
zylindrischen Gefäss um dessen Achse. Für einen mitbewegten Beobachter
wirkt auf ein Volumenelement dV neben dem Gewicht dG = ρgdV auch eine Zentrifugalkraft
dZ = ρrω 2 dV . Die beiden Kräfte lassen sich aus einem Potential V ′
pro Volumeneinheit ableiten,
z
nämlich V ′ = ρgz − ω2 r 2
ρ. Da an der Oberfläche
ω → 2
z o als Äquipotentialfläche V ′ =konst. ist, gilt dort
dZ ρgz − 1 2 ρω2 r 2 = konst.
dV
dG
Setzt man z(r = 0) = z ◦ , so folgt z = z ◦ + ω2 r 2
2g .
Die Oberfläche der rotierenden Flüssigkeitssäule ist ein Paraboloid.
12.2 Der Auftrieb
Taucht ein fester Körper in ein Gas oder eine Flüssigkeit ein, so erfährt er von der anliegenden
Flüssigkeit Druckkräfte, deren Resultante man Auftrieb nennt. Bedeutet ⃗n einen
Einheitsvektor senkrecht zu jedem Flächenelement dA der Oberfläche des Körpers,
∫
so beträgt der Auftrieb FA ⃗ = − p⃗ndA.
p
p
→
dA
S D
n →
p
p
Oberfl.
Denkt man sich den Körper ersetzt durch die von ihm
verdrängte Gas- oder Flüssigkeitsmenge, das sogenannte
Déplacement , so wird das Gleichgewicht sicher nicht
gestört und ⃗ F A ändert sich nicht. Ist ⃗ f die Kraftdichte der
Volumenkräfte, die auf das Gas oder die Flüssigkeit wirken,
so ist deren Resultierende für das Déplacement
∫
⃗F D =
D
⃗fdV.
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